प्रतिचयन सिद्धांत

सरकार द्वारा प्रकाशित लगभग हर सांख्यिकी संगणना से नहीं, प्रतिदर्श से आती है। यह अध्याय समष्टि और प्रतिदर्श, प्राचल और प्रतिदर्शज, प्रतिचयन व अप्रतिचयन त्रुटियाँ, पाठ्यक्रम में सूचीबद्ध प्रायिकता प्रतिचयन अभिकल्प (सरल यादृच्छिक, स्तरित, क्रमबद्ध, गुच्छ, बहुचरणीय और बहुकलीय), अप्रायिकता अभिकल्प (सोद्देश्य, सुविधा और कोटा), बिना प्रमाण के माध्य का प्रतिचयन बंटन, और प्रतिदर्श कितना बड़ा हो — यह पढ़ाता है।

समष्टि, प्रतिदर्श, प्राचल, प्रतिदर्शज

समष्टि अध्ययनाधीन पूरा समूह है (किसी ज़िले के सभी परिवार); प्रतिदर्श वह भाग है जिसका वास्तव में प्रेक्षण होता है। समष्टि का वर्णन करने वाली संख्या — उसका माध्य μ, प्रसरण σ², अनुपात P — प्राचल है, स्थिर पर सामान्यतः अज्ञात। प्रतिदर्श से निकाली गई वही राशि — x̄, s², p — प्रतिदर्शज है, जो प्रतिदर्श-दर-प्रतिदर्श बदलता है। जिस सूची से प्रतिदर्श निकाला जाता है उसे प्रतिचयन ढाँचा कहते हैं।

त्रुटि के दो प्रकार
पक्षप्रतिचयन त्रुटिअप्रतिचयन त्रुटि
कारणसमष्टि के केवल एक भाग का प्रेक्षणदोषपूर्ण ढाँचा, अनुत्तर, गलत उत्तर, अंकन व प्रसंस्करण की भूलें
संगणना में?अनुपस्थितउपस्थित, प्रायः अधिक
n बढ़ने परघटती हैबढ़ने की प्रवृत्ति

प्रायिकता प्रतिचयन अभिकल्प

प्रायिकता प्रतिचयन में हर इकाई के चुने जाने की एक ज्ञात, शून्येतर संभावना होती है, और इसी से प्रतिचयन त्रुटि मापी जा सकती है।

पाठ्यक्रम के छह अभिकल्प
अभिकल्पइकाइयाँ कैसे चुनी जाती हैंउपयुक्त
सरल यादृच्छिक (SRS)आकार n का हर प्रतिदर्श समसंभाव्य; लॉटरी या यादृच्छिक संख्याओं सेपूरी सूची वाली समरूप समष्टि
स्तरितसमरूप स्तरों में बाँटकर हर स्तर से SRSविषमरूप समष्टि
क्रमबद्धयादृच्छिक आरंभ, फिर हर k-वीं इकाई, k = N/nक्रमबद्ध सूचियाँ, शीघ्र क्षेत्र-कार्य
गुच्छपूरे समूह (गाँव, खंड) चुनकर उनकी हर इकाई का प्रेक्षणइकाइयों की सूची नहीं, पर समूहों की सूची हो
बहुचरणीयचरणों में प्रतिदर्श: ज़िले → गाँव → परिवारबड़े राष्ट्रीय सर्वेक्षण
बहुकलीय (द्विकलीय)बड़े प्रथम-कलीय प्रतिदर्श से सस्ती सूचना; उसके उप-प्रतिदर्श पर विस्तृत अनुसूचीजब सहायक चर मापना सस्ता हो

बिना प्रतिस्थापन SRS में ᴺCₙ संभव प्रतिदर्श होते हैं (N = 10, n = 3 के लिए ¹⁰C₃ = 120); प्रतिस्थापन सहित, Nⁿ। स्तरित प्रतिचयन में आनुपातिक आवंटन nₕ = n·Nₕ/N लेता है, अतः 600, 300 और 100 के स्तरों को n = 50 पर 30, 15 और 5 मिलते हैं; नेमन (इष्टतम) आवंटन nₕ ∝ NₕSₕ लेता है, जो बड़े और अधिक परिवर्तनशील स्तरों को अधिक इकाइयाँ देता है।

⚠️ परीक्षा जाल
स्तरित और गुच्छ प्रतिचयन दोनों समष्टि को समूहों में बाँटते हैं, पर उलटे ढंग से। स्तर भीतर से समरूप होने चाहिए और आप हर स्तर के भीतर से प्रतिदर्श लेते हैं; गुच्छ प्रत्येक एक छोटी समष्टि जैसे (भीतर से विविध) होने चाहिए और आप पूरे गुच्छ चुनते हैं।

अप्रायिकता प्रतिचयन

जब इकाइयाँ संयोग के बजाय निर्णय या सुविधा से चुनी जाती हैं, तब चयन की संभावना अज्ञात होती है और प्रतिचयन त्रुटि मापी नहीं जा सकती।

  • सोद्देश्य (निर्णयात्मक): अन्वेषक वे इकाइयाँ चुनता है जिन्हें वह प्रतिनिधि मानता है।
  • सुविधा: जो सबसे आसानी से मिल जाए — राहगीर, स्वयंसेवक।
  • कोटा: हर साक्षात्कारकर्ता को निश्चित कोटे भरने होते हैं (इतनी महिलाएँ, 60 से अधिक के इतने), व्यक्तियों का चयन वह स्वयं करता है — अभिकल्प में स्तरित, चयन में अयादृच्छिक।

प्रतिचयन बंटन और प्रतिदर्श आकार

केवल कथन, जैसा पाठ्यक्रम कहता है: यदि माध्य μ और SD σ वाली समष्टि से आकार n के प्रतिदर्श निकाले जाएँ, तो प्रतिदर्श माध्य x̄ का माध्य μ और मानक त्रुटि σ/√n होती है (प्रतिस्थापन सहित या अनंत समष्टि में)। N आकार की सीमित समष्टि से बिना प्रतिस्थापन, मानक त्रुटि को सीमित समष्टि संशोधन √((N − n)/(N − 1)) से गुणा किया जाता है। केंद्रीय सीमा प्रमेय से, बड़े n के लिए x̄ लगभग प्रसामान्य होता है, समष्टि का आकार कैसा भी हो। प्रतिदर्श अनुपात की मानक त्रुटि √(PQ/n) है।

प्रतिदर्श आकार। माध्य को सीमा E के भीतर, z द्वारा दिए गए विश्वास के साथ आकलित करने के लिए n = (zσ/E)² लें; अनुपात के लिए n = z²PQ/E²। σ = 10, E = 2 और 95% विश्वास (z = 1.96) के साथ n = (1.96 × 10/2)² = 96.04, अतः 97 इकाइयाँ — सदैव ऊपर की ओर पूर्णांकित करें। सीमा आधी करने पर प्रतिदर्श चार गुना हो जाता है, क्योंकि n, 1/E² के साथ बढ़ता है।

🧠 याद रखने की ट्रिक
मानक त्रुटि √n से घटती है: उसे आधा करने के लिए प्रतिदर्श चार गुना चाहिए, दुगुना नहीं।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

  • प्राचल = समष्टि, स्थिर; प्रतिदर्शज = प्रतिदर्श, परिवर्तनशील।
  • संगणना में प्रतिचयन त्रुटि नहीं होती पर अप्रतिचयन त्रुटि बड़ी हो सकती है।
  • क्रमबद्ध: k = N/n; आनुपातिक आवंटन: nₕ = nNₕ/N; नेमन: nₕ ∝ NₕSₕ।
  • सोद्देश्य, सुविधा और कोटा अप्रायिकता अभिकल्प हैं।
  • SE(x̄) = σ/√n; n = (zσ/E)², ऊपर पूर्णांकित।

मुख्य बिंदु

  • प्राचल समष्टि का वर्णन करता है; प्रतिदर्श से निकाला गया प्रतिदर्शज उसका आकलन करता है।
  • प्रतिचयन त्रुटि भाग के प्रेक्षण से आती है; अप्रतिचयन त्रुटि बाकी सब से, और संगणना में भी होती है।
  • स्तर भीतर से समरूप होते हैं और सभी से प्रतिदर्श लिया जाता है; गुच्छ भीतर से विविध होते हैं और पूरे चुने जाते हैं।
  • सोद्देश्य, सुविधा और कोटा प्रतिचयन अपनी प्रतिचयन त्रुटि नहीं माप सकते।
  • SE(x̄) = σ/√n, बिना प्रतिस्थापन सीमित समष्टि में √((N − n)/(N − 1)) से गुणा; n = (zσ/E)²।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. समष्टि की संख्यात्मक विशेषता, जैसे उसका माध्य, कहलाती है:

    1. प्रतिदर्शज
    2. प्रतिचयन ढाँचा
    3. प्राचल
    4. आकलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — प्राचल

    समष्टि की राशियाँ प्राचल हैं; प्रतिदर्श से निकाली गई वही राशियाँ प्रतिदर्शज हैं, जो प्राचलों के आकलन के रूप में प्रयुक्त होती हैं।

  2. पूर्ण संगणना में किस प्रकार की त्रुटि हो सकती है?

    1. केवल अप्रतिचयन त्रुटि
    2. केवल प्रतिचयन त्रुटि
    3. प्रतिचयन और अप्रतिचयन दोनों त्रुटियाँ
    4. किसी प्रकार की त्रुटि नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल अप्रतिचयन त्रुटि

    संगणना हर इकाई का प्रेक्षण करती है, अतः प्रतिचयन त्रुटि नहीं होती; पर अनुत्तर, गलत उत्तर और प्रसंस्करण की भूलें फिर भी होती हैं, जो प्रायः अच्छे प्रतिदर्श से अधिक होती हैं।

  3. 10 इकाइयों की समष्टि से बिना प्रतिस्थापन आकार 3 के कितने भिन्न सरल यादृच्छिक प्रतिदर्श निकाले जा सकते हैं?

    1. 1000
    2. 120
    3. 30
    4. 720
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 120

    बिना प्रतिस्थापन क्रम मायने नहीं रखता, अतः संख्या ¹⁰C₃ = 120 है। 1000 = 10³ प्रतिस्थापन सहित की संख्या है, और 720 क्रमित चयनों को गिनता है।

  4. 1,000 इकाइयों की सूची से 50 का क्रमबद्ध प्रतिदर्श निकालना है। प्रतिचयन अंतराल k है:

    1. 200
    2. 20
    3. 50
    4. 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 20

    k = N/n = 1000/50 = 20: 1 और 20 के बीच यादृच्छिक आरंभ चुनें, फिर हर 20वीं इकाई।

  5. एक समष्टि के तीन स्तरों के आकार 600, 300 और 100 हैं। आनुपातिक आवंटन से 50 के प्रतिदर्श में दूसरे स्तर को कितनी इकाइयाँ मिलेंगी?

    1. 5
    2. 15
    3. 17
    4. 30
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 15

    nₕ = n·Nₕ/N = 50 × 300/1000 = 15। तीनों स्तरों को 30, 15 और 5 मिलते हैं, योग 50।

  6. निम्न में से कौन अप्रायिकता प्रतिचयन विधि है?

    1. कोटा प्रतिचयन
    2. क्रमबद्ध प्रतिचयन
    3. स्तरित प्रतिचयन
    4. गुच्छ प्रतिचयन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कोटा प्रतिचयन

    कोटा प्रतिचयन में साक्षात्कारकर्ता स्वयं कोटा भरने वाले व्यक्ति चुनता है, अतः चयन की संभावना अज्ञात रहती है। अन्य तीन हर इकाई को ज्ञात संभावना देते हैं।

  7. एक समष्टि का मानक विचलन 12 है। 36 के यादृच्छिक प्रतिदर्श के माध्य की मानक त्रुटि है:

    1. 1/3
    2. 2
    3. 4
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2

    SE = σ/√n = 12/√36 = 12/6 = 2। √n के बजाय n से भाग देने पर 1/3 मिलता है, और स्वयं σ (12) बताना प्रतिदर्श माध्य द्वारा किए गए औसतन की उपेक्षा है।

  8. एक सर्वेक्षण पहले ज़िले चुनता है, फिर चुने गए ज़िलों में गाँव, फिर चुने गए गाँवों में परिवार। यह अभिकल्प है:

    1. बहुचरणीय प्रतिचयन
    2. क्रमबद्ध प्रतिचयन
    3. कोटा प्रतिचयन
    4. बहुकलीय प्रतिचयन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बहुचरणीय प्रतिचयन

    हर चरण पर क्रमशः छोटी इकाइयों का प्रतिचयन बहुचरणीय है। बहुकलीय प्रतिचयन उन्हीं इकाइयों को रखकर उनके उप-प्रतिदर्श से अधिक सूचना लेता है।

  9. सीमित समष्टि से बिना प्रतिस्थापन प्रतिचयन में मानक त्रुटि पर लगाया जाने वाला गुणक √((N − n)/(N − 1)) कहलाता है:

    1. अभिकल्प प्रभाव
    2. सीमित समष्टि संशोधन
    3. प्रतिचयन भिन्न
    4. विचरण गुणांक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सीमित समष्टि संशोधन

    जब इकाइयाँ लौटाई नहीं जातीं तब घटते समूह के लिए यह σ/√n को संशोधित करता है; n, N का छोटा भाग हो तो यह 1 के निकट होता है। प्रतिचयन भिन्न स्वयं n/N है।

  10. σ = 10 होने पर समष्टि माध्य को 95% विश्वास (z = 1.96) के साथ ±2 इकाई के भीतर आकलित करने के लिए न्यूनतम प्रतिदर्श आकार है:

    1. 97
    2. 96
    3. 50
    4. 10
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 97

    n = (zσ/E)² = (1.96 × 10/2)² = 9.8² = 96.04। प्रतिदर्श कम-से-कम इतना बड़ा पूर्णांक होना चाहिए, अतः 97 — नीचे 96 पर पूर्णांकन वांछित परिशुद्धता से चूक जाता है।