Which statement about the normal distribution is true?

Mean, median and mode are equal

In a joint distribution of discrete X and Y, P(X = 1, Y = 1) = 0.2, P(X = 1) = 0.5 and P(Y = 1) = 0.4. What can be concluded about this cell?

It fits independence; other cells must be checked

X and Y are certainly dependent

The table cannot be a valid joint distribution

It fits independence; other cells must be checked

यादृच्छिक चर और प्रायिकता बंटन

यादृच्छिक चर किसी प्रयोग के परिणामों को संख्याओं में बदलता है, और प्रायिकता बंटन बताता है कि हर संख्या कितनी संभावित है। यह अध्याय असतत और सतत यादृच्छिक चर, प्रायिकता द्रव्यमान और घनत्व फलन, प्रत्याशा और प्रसरण, उच्चतर आघूर्ण, पाठ्यक्रम के चार नामित बंटन — द्विपद, प्वासों, प्रसामान्य और चरघातांकी — तथा दो असतत यादृच्छिक चरों का संयुक्त बंटन पढ़ाता है।

यादृच्छिक चर, प्रत्याशा और प्रसरण

असतत यादृच्छिक चर गणनीय मान लेता है जिसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन p(x) = P(X = x) है, जहाँ हर p(x) ≥ 0 और Σp(x) = 1। सतत चर किसी अंतराल में मान लेता है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन f(x) ≥ 0 है और कुल क्षेत्रफल 1; तब P(a ≤ X ≤ b), a और b के बीच f के नीचे का क्षेत्रफल है, और किसी एक बिंदु के लिए P(X = a) = 0। बंटन फलन F(x) = P(X ≤ x), 0 से 1 तक बढ़ता है।

प्रत्याशा E(X) = Σx·p(x) (या ∫x f(x)dx) दीर्घकालीन औसत है। प्रसरण Var(X) = E(X − μ)² = E(X²) − [E(X)]² है। सबसे अधिक प्रयुक्त नियम: E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a²Var(X); E(X + Y) = E(X) + E(Y) सदैव; और Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) केवल तब जब X और Y स्वतंत्र हों (सामान्यतः + 2Cov(X, Y))। r-वाँ अपरिष्कृत आघूर्ण E(Xʳ) और r-वाँ केंद्रीय आघूर्ण E(X − μ)ʳ है, ठीक अध्याय 4 की तरह।

द्विपद और प्वासों बंटन

द्विपद B(n, p): n स्वतंत्र परीक्षण, प्रत्येक में सफलता की समान प्रायिकता p (q = 1 − p); X सफलताओं की गिनती है। P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ, r = 0, 1, …, n। माध्य = np, प्रसरण = npq, अतः प्रसरण सदैव माध्य से कम होता है। p = 1/2 पर यह सममित, p < 1/2 पर धनात्मक विषम है।

B(5, 0.4): पूरा बंटन
r	P(X = r)
0	0.0778
1	0.2592
2	0.3456
3	0.2304
4	0.0768
5	0.0102

प्वासों P(λ): किसी निश्चित अंतराल में दुर्लभ घटनाओं की गिनती — प्रति मिनट कॉल, प्रति पृष्ठ छपाई की भूलें। P(X = r) = e^(−λ) λʳ ÷ r!, r = 0, 1, 2, …। इसकी पहचान: माध्य = प्रसरण = λ। जब n बड़ा, p छोटा और np = λ स्थिर हो, तब यह द्विपद की सीमा है। λ = 2 के साथ P(X = 0) = e⁻² ≈ 0.1353 और P(X = 1) ≈ 0.2707; आगे के पद P(r + 1) = P(r)·λ/(r + 1) से मिलते हैं।

⚠️ परीक्षा जाल

जो प्रश्न द्विपद के लिए 'माध्य 4, प्रसरण 5' दे, उसका कोई उत्तर नहीं — द्विपद का प्रसरण npq सदैव माध्य np से कम होता है। यदि माध्य = प्रसरण हो, तो प्वासों सोचिए।

प्रसामान्य और चरघातांकी बंटन

प्रसामान्य बंटन N(μ, σ²) घंटी-आकार का वक्र है: μ के सापेक्ष सममित, माध्य = माध्यिका = बहुलक = μ, β₁ = 0 और β₂ = 3, और पूँछें जो अक्ष को कभी नहीं छूतीं। किसी भी प्रसामान्य चर को Z = (X − μ)/σ से मानक प्रसामान्य में बदला जाता है, जिसका माध्य 0 और SD 1 है, इसलिए एक ही सारणी हर प्रसामान्य वक्र के काम आती है। याद रखने योग्य क्षेत्रफल: μ ± σ के भीतर लगभग 68.27%, μ ± 2σ के भीतर लगभग 95.45%, μ ± 3σ के भीतर लगभग 99.73%; और ±1.96σ ठीक 95% काटता है।

हल किया गया: अंक N(50, 10²) हैं। P(X > 70) = P(Z > 2) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228, यानी लगभग 2.3% अभ्यर्थी।

दर λ वाले चरघातांकी बंटन का f(x) = λe^(−λx), x ≥ 0 है। यह प्वासों घटनाओं के बीच प्रतीक्षा-समय का प्रतिरूप है। माध्य = 1/λ, प्रसरण = 1/λ², अतः SD माध्य के बराबर है। P(X > x) = e^(−λx), और यह स्मृतिहीन है: P(X > s + t | X > s) = P(X > t) — जो पुर्ज़ा s घंटे चल चुका है वह नए जितना ही अच्छा है।

दो असतत यादृच्छिक चरों का संयुक्त बंटन

दो असतत चरों के लिए संयुक्त प्रायिकता फलन p(x, y) = P(X = x, Y = y) एक सारणी है जिसकी प्रविष्टियों का योग 1 है। इसकी पंक्ति-योग X का सीमांत बंटन, स्तंभ-योग Y का सीमांत देते हैं, और सप्रतिबंध बंटन P(X = x | Y = y) = p(x, y)/P(Y = y) है। X और Y स्वतंत्र हैं यदि हर कोष्ठ के लिए p(x, y) = P(X = x)·P(Y = y)। Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)।

हल की गई संयुक्त सारणी
X \ Y	Y = 0	Y = 1	P(X = x)
X = 0	0.1	0.2	0.3
X = 1	0.3	0.4	0.7
P(Y = y)	0.4	0.6	1

E(X) = 0.7, E(Y) = 0.6, E(XY) = 0.4, अतः Cov(X, Y) = 0.4 − 0.42 = -0.02। चूँकि P(X = 0, Y = 0) = 0.1 ≠ 0.3 × 0.4 = 0.12, X और Y स्वतंत्र नहीं हैं — एक असफल कोष्ठ ही पर्याप्त है।

⚠️ परीक्षा जाल

शून्य सहप्रसरण स्वतंत्रता सिद्ध नहीं करता; स्वतंत्रता से शून्य सहप्रसरण निकलता है, उलटा नहीं।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

चारों बंटन एक नज़र में
बंटन	माध्य	प्रसरण	मुख्य तथ्य
द्विपद	np	npq	प्रसरण < माध्य
प्वासों	λ	λ	माध्य = प्रसरण
प्रसामान्य	μ	σ²	माध्य = माध्यिका = बहुलक; β₂ = 3
चरघातांकी	1/λ	1/λ²	स्मृतिहीन; SD = माध्य

मुख्य बिंदु

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²; Var(aX + b) = a²Var(X)।
द्विपद: P(X = r) = ⁿCᵣpʳqⁿ⁻ʳ, माध्य np, प्रसरण npq।
प्वासों: P(X = r) = e^(−λ)λʳ/r!, माध्य = प्रसरण = λ।
प्रसामान्य: Z = (X − μ)/σ से मानकीकरण; ±1, 2, 3σ के लिए 68–95–99.7।
चरघातांकी: माध्य 1/λ, प्रसरण 1/λ², स्मृतिहीन; X, Y की स्वतंत्रता के लिए हर कोष्ठ में p(x, y) = p(x)p(y) चाहिए।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

n = 10 और p = 0.4 वाले द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण हैं:
1. 4 और 2.4
2. 2.4 और 4
3. 4 और 4
4. 6 और 2.4
उत्तर देखें
उत्तर: A — 4 और 2.4
माध्य = np = 4 और प्रसरण = npq = 10 × 0.4 × 0.6 = 2.4। समान माध्य और प्रसरण प्वासों का लक्षण है।
एक द्विपद बंटन का माध्य 6 और प्रसरण 2.4 है। इसके प्राचल n और p हैं:
1. n = 12, p = 0.5
2. n = 15, p = 0.4
3. n = 10, p = 0.6
4. n = 10, p = 0.4
उत्तर देखें
उत्तर: C — n = 10, p = 0.6
q = प्रसरण/माध्य = 2.4/6 = 0.4, अतः p = 0.6 और n = माध्य/p = 6/0.6 = 10। p = 0.4 लेना p और q को उलझाना है।
माध्य 3 वाले प्वासों बंटन का मानक विचलन है:
1. √3
2. 9
3. 1/3
4. 3
उत्तर देखें
उत्तर: A — √3
प्वासों बंटन में माध्य = प्रसरण = λ = 3, अतः SD = √3 ≈ 1.73। 3 प्रसरण है।
यदि X, λ = 2 वाले प्वासों बंटन का अनुसरण करे, तो P(X = 0) है:
1. 1 − e⁻²
2. e²
3. 2e⁻²
4. e⁻²
उत्तर देखें
उत्तर: D — e⁻²
P(X = 0) = e^(−λ)λ⁰/0! = e⁻² ≈ 0.135। 2e⁻², P(X = 1) है, और 1 − e⁻², P(X ≥ 1)।
प्रसामान्य बंटन के बारे में कौन-सा कथन सत्य है?
1. माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं
2. इसका β₂ शून्य है
3. इसका प्रसरण माध्य के बराबर है
4. यह धनात्मक विषम है
उत्तर देखें
उत्तर: A — माध्य, माध्यिका और बहुलक बराबर होते हैं
प्रसामान्य वक्र सममित और एकबहुलकी है, अतः उसके माध्य, माध्यिका और बहुलक μ पर संपाती हैं। इसका β₂ = 3 है (अतिरिक्त ककुदता 0), और माध्य = प्रसरण प्वासों का गुण है।
अंक माध्य 50 और SD 10 के साथ प्रसामान्य रूप से बंटित हैं। Z = 0 से Z = 2 का क्षेत्रफल 0.4772 दिया है। 70 से अधिक अंक पाने वालों का अनुपात है:
1. 0.4772
2. 0.0228
3. 0.9772
4. 0.0456
उत्तर देखें
उत्तर: B — 0.0228
Z = (70 − 50)/10 = 2, और P(Z > 2) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228। 0.0456 दोनों पूँछों (±2 से परे) को गिनता है।
दर λ = 0.5 वाले चरघातांकी बंटन का माध्य और प्रसरण हैं:
1. 2 और 2
2. 2 और 4
3. 0.5 और 0.25
4. 0.5 और 2
उत्तर देखें
उत्तर: B — 2 और 4
माध्य = 1/λ = 2 और प्रसरण = 1/λ² = 4। λ को ही माध्य मान लेना आम भूल है।
एक यादृच्छिक चर X के लिए E(X) = 3 और Var(X) = 4 है। E(X²) का मान है:
1. 13
2. 25
3. 7
4. 5
उत्तर देखें
उत्तर: A — 13
Var(X) = E(X²) − [E(X)]², अतः E(X²) = Var(X) + [E(X)]² = 4 + 9 = 13। E(X) के वर्ग के बजाय E(X) जोड़ने पर 7, और घटाने पर 5 मिलता है।
यदि Var(X) = 5 हो, तो Var(2X + 3) बराबर है:
1. 23
2. 20
3. 10
4. 13
उत्तर देखें
उत्तर: B — 20
Var(aX + b) = a²Var(X) = 4 × 5 = 20। अचर 3, X को खिसकाता है पर फैलाता नहीं।
असतत X और Y के संयुक्त बंटन में P(X = 1, Y = 1) = 0.2, P(X = 1) = 0.5 और P(Y = 1) = 0.4 है। इस कोष्ठ के बारे में क्या निष्कर्ष निकलता है?
1. X और Y निश्चित रूप से आश्रित हैं
2. यह सारणी वैध संयुक्त बंटन नहीं हो सकती
3. P(X = 1 | Y = 1) = 0.2
4. यह स्वतंत्रता से मेल खाता है; बाकी कोष्ठ जाँचने होंगे
उत्तर देखें
उत्तर: D — यह स्वतंत्रता से मेल खाता है; बाकी कोष्ठ जाँचने होंगे
0.5 × 0.4 = 0.2 इस कोष्ठ से मेल खाता है, जो स्वतंत्रता से संगत है; पर स्वतंत्रता के लिए हर कोष्ठ में p(x, y) = p(x)p(y) चाहिए। सप्रतिबंध P(X = 1 | Y = 1) = 0.2/0.4 = 0.5।