सांख्यिकीय अनुमिति: आकलन और परिकल्पना परीक्षण
आकलन की विधियाँ
- आघूर्ण विधि: पहले कुछ प्रतिदर्श आघूर्णों को संगत समष्टि आघूर्णों के बराबर रखकर प्राचलों के लिए हल करें। प्वासों के लिए x̄ = λ रखने पर λ̂ = x̄।
- अधिकतम संभाविता (MLE): प्राचल का वह मान चुनें जो प्रेक्षित प्रतिदर्श को सबसे अधिक प्रायिक बनाए — L(θ) = Πf(xᵢ; θ) को अधिकतम करें, सामान्यतः log L द्वारा। प्वासों λ का MLE x̄, द्विपद p का x/n, और प्रसामान्य μ का x̄ है।
- न्यूनतम वर्ग: वे प्राचल चुनें जो अवशेषों के वर्गों का योग Σ(y − ŷ)² न्यूनतम करें — समाश्रयण रेखाओं और उपनति रेखाओं के पीछे यही विधि है।
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल। σ ज्ञात हो (या n बड़ा हो) तो x̄ ± z·σ/√n, जहाँ 95% के लिए z = 1.96 और 99% के लिए 2.576। x̄ = 50, σ = 10 और n = 100 के साथ 95% अंतराल 50 ± 1.96 × 1 = 48.04 से 51.96 है। σ अज्ञात और n छोटा हो तो z के बजाय s और n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें।
परिकल्पना परीक्षण का तर्क
परीक्षण एक शून्य परिकल्पना H₀ (कोई अंतर नहीं, कोई प्रभाव नहीं) और एक वैकल्पिक H₁ से शुरू होता है। एक परीक्षण प्रतिदर्शज निकाला जाता है; यदि वह क्रांतिक (अस्वीकृति) क्षेत्र में पड़े तो H₀ अस्वीकार होती है। सार्थकता स्तर α, H₀ सत्य होने पर क्रांतिक क्षेत्र की प्रायिकता है — झूठी चेतावनी का वह जोखिम जिसे हम स्वीकार करते हैं, सामान्यतः 5% या 1%।
| निर्णय | H₀ सत्य | H₀ असत्य |
|---|---|---|
| H₀ अस्वीकार | प्रथम प्रकार की त्रुटि (प्रायिकता α) | सही निर्णय (शक्ति 1 − β) |
| H₀ स्वीकार | सही निर्णय | द्वितीय प्रकार की त्रुटि (प्रायिकता β) |
द्वि-पुच्छीय परीक्षण (H₁: μ ≠ μ₀) α को दोनों पूँछों में बाँटता है; एक-पुच्छीय परीक्षण (H₁: μ > μ₀ या μ < μ₀) पूरा एक में रखता है। Z के क्रांतिक मान: ±1.96 (5%, द्वि-पुच्छीय), 1.645 (5%, एक-पुच्छीय), ±2.58 (1%, द्वि-पुच्छीय), 2.33 (1%, एक-पुच्छीय)।
Z, t, काई-वर्ग और F परीक्षण
| परीक्षण | किसके लिए | प्रतिदर्शज / स्वा. को. |
|---|---|---|
| Z (बड़ा प्रतिदर्श) | माध्य या अनुपात, n ≥ 30 या σ ज्ञात | Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) |
| t, एक प्रतिदर्श | माध्य, n छोटा, σ अज्ञात | t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), स्वा. को. n − 1 |
| t, दो प्रतिदर्श | दो माध्यों का अंतर, साझा प्रसरण | स्वा. को. n₁ + n₂ − 2 |
| t, युग्मित | उन्हीं इकाइयों पर पहले–बाद | स्वा. को. n − 1 (n युग्म) |
| χ², आसंजन सुष्ठुता | प्रेक्षित बनाम प्रत्याशित बारंबारताएँ | Σ(O − E)²/E, स्वा. को. k − 1 − (आकलित प्राचल) |
| χ², स्वतंत्रता | r × c आसंग सारणी | स्वा. को. (r − 1)(c − 1) |
| χ², प्रसरण | σ² = σ₀² | (n − 1)s²/σ₀², स्वा. को. n − 1 |
| F | दो प्रसरणों की समता; ANOVA | F = s₁²/s₂² (बड़ा ऊपर), स्वा. को. (n₁ − 1, n₂ − 1) |
हल किया गया: 64 के प्रतिदर्श का माध्य 52 है; σ = 8 दिए होने पर क्या समष्टि माध्य 50 है? Z = (52 − 50)/(8/√64) = 2/1 = 2। चूँकि |Z| = 2 > 1.96, 5% स्तर (द्वि-पुच्छीय) पर H₀ अस्वीकार; पर 2 < 2.58, अतः 1% पर H₀ अस्वीकार नहीं होती। निर्णय α पर निर्भर है, इसीलिए उसे आँकड़े देखने से पहले तय करना ज़रूरी है।
परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति
- अनभिनत: E(T) = θ; n − 1 वाला s², σ² के लिए अनभिनत है।
- प्वासों λ का MLE = x̄; द्विपद p का = x/n।
- प्रथम प्रकार = सत्य H₀ अस्वीकार (α); द्वितीय प्रकार = असत्य H₀ स्वीकार (β); शक्ति = 1 − β।
- 5% द्वि-पुच्छीय: ±1.96; 1% द्वि-पुच्छीय: ±2.58।
- स्वा. को.: t एक-प्रतिदर्श n − 1, दो-प्रतिदर्श n₁ + n₂ − 2; χ² सारणी (r − 1)(c − 1); F (n₁ − 1, n₂ − 1)।
मुख्य बिंदु
- अच्छा आकलक अनभिनत, संगत, दक्ष और पर्याप्त होता है।
- आघूर्ण, अधिकतम संभाविता और न्यूनतम वर्ग पाठ्यक्रम की तीन आकलन विधियाँ हैं।
- μ के लिए 95% विश्वास्यता अंतराल x̄ ± 1.96σ/√n है।
- α प्रथम प्रकार की त्रुटि की प्रायिकता है; शक्ति 1 − β असत्य H₀ को अस्वीकार करने की प्रायिकता है।
- बड़े प्रतिदर्श के लिए Z; छोटे प्रतिदर्श के लिए t, χ² और F, प्रत्येक की अपनी स्वातंत्र्य कोटि।
अभ्यास प्रश्न (10)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
प्राचल θ का आकलक T अनभिनत है यदि:
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उत्तर: D — E(T) = θ
अनभिनतता सभी प्रतिदर्शों पर T के औसत से संबंधित है: E(T) = θ। n बढ़ने पर θ की ओर जाना संगतता है, जो भिन्न गुण है।निम्न में से कौन समष्टि प्रसरण σ² का अनभिनत आकलक है?
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उत्तर: D — Σ(x − x̄)²/(n − 1)
n से भाग देने पर σ² औसतन कम आँका जाता है क्योंकि x̄, μ की तुलना में प्रतिदर्श के अधिक निकट है; भाजक n − 1 इसे ठीक करता है। Σ(x − x̄)/n सदैव शून्य है।प्रथम प्रकार की त्रुटि तब होती है जब:
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उत्तर: B — सत्य शून्य परिकल्पना अस्वीकार की जाए
प्रथम प्रकार झूठी चेतावनी है: H₀ सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना, प्रायिकता α। असत्य H₀ स्वीकार करना द्वितीय प्रकार की त्रुटि है; शेष दो सही निर्णय हैं।किसी परीक्षण की शक्ति है:
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उत्तर: D — 1 − β, H₀ असत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता
शक्ति मापती है कि परीक्षण असत्य H₀ को कितनी अच्छी तरह पकड़ता है: 1 − β। 1 − α सत्य H₀ स्वीकार करने का विश्वास है, शक्ति नहीं।100 के यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 50 है; समष्टि SD 10 है। समष्टि माध्य का 95% विश्वास्यता अंतराल है:
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उत्तर: A — 48.04 से 51.96
SE = 10/√100 = 1, अतः 50 ± 1.96 × 1 = 48.04 से 51.96। SE के बजाय σ लेने पर बहुत चौड़ा 30.4 से 69.6 मिलता है, और 2.58 से 99% अंतराल।15 प्रेक्षणों के एक प्रतिदर्श के माध्य की जाँच हेतु t-परीक्षण लगाया जाता है। स्वातंत्र्य कोटियाँ हैं:
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उत्तर: C — 14
एक-प्रतिदर्श t की n − 1 = 14 स्वातंत्र्य कोटियाँ होती हैं, एक माध्य के आकलन में खर्च होती है। n₁ + n₂ − 2 केवल दो प्रतिदर्शों पर लागू है।3 × 4 आसंग सारणी में स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण की स्वातंत्र्य कोटियाँ हैं:
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उत्तर: B — 6
स्वा. को. = (r − 1)(c − 1) = 2 × 3 = 6। 12 कोष्ठों की संख्या है और 11 कोष्ठ घटा एक।दो समष्टि प्रसरणों की समता जाँचने वाला F प्रतिदर्शज इस प्रकार निकाला जाता है:
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उत्तर: A — बड़ा प्रतिदर्श प्रसरण ÷ छोटा
F = s₁²/s₂², बड़ा आकलन ऊपर रखकर, ताकि F ≥ 1 हो और ऊपरी-पूँछ सारणी काम आए, (n₁ − 1, n₂ − 1) स्वातंत्र्य कोटियों के साथ।प्राचल λ वाले प्वासों बंटन से यादृच्छिक प्रतिदर्श x₁, …, xₙ के लिए λ का अधिकतम संभाविता आकलक है:
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उत्तर: C — प्रतिदर्श माध्य x̄
log L = −nλ + Σxᵢ log λ − Σ log xᵢ!; d(log L)/dλ = −n + Σxᵢ/λ = 0 रखने पर λ̂ = Σxᵢ/n = x̄। यहाँ आघूर्ण विधि भी यही आकलन देती है।64 के प्रतिदर्श का माध्य 52 है। ज्ञात σ = 8 के साथ H₀: μ = 50 बनाम H₁: μ ≠ 50 के परीक्षण का सही निष्कर्ष है:
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उत्तर: C — Z = 2: 5% पर H₀ अस्वीकार पर 1% पर नहीं
Z = (52 − 50)/(8/√64) = 2/1 = 2। यह 1.96 से अधिक पर 2.58 से कम है, अतः 5% पर H₀ अस्वीकार और 1% पर स्वीकार। √n भूलने पर 0.25 मिलता है।