अपकिरण के माप

दो कक्षाओं का औसत अंक एक-सा हो सकता है और फिर भी वे बिल्कुल अलग हों: एक में हर विद्यार्थी 50 के पास रहा, दूसरी में आधे 20 और आधे 80 पर। अपकिरण इसी फैलाव को मापता है। यह अध्याय परास, चतुर्थक विचलन, माध्य विचलन और मानक विचलन को उनके गुणांकों सहित, परिवर्तनशीलता की तुलना के लिए विचरण गुणांक, मूलबिंदु व पैमाना बदलने का प्रभाव, और दो समूहों का संयुक्त मानक विचलन पढ़ाता है।

निरपेक्ष और सापेक्ष माप

अपकिरण का निरपेक्ष माप आँकड़ों की इकाई (रुपये, किग्रा) में होता है। सापेक्ष माप — गुणांक — किसी औसत या योग से भाग देकर शुद्ध संख्या बनता है, इसलिए भिन्न इकाइयों या बहुत भिन्न औसत वाली श्रेणियों की तुलना कर सकता है। नीचे के हर निरपेक्ष माप का एक संगत गुणांक है।

चार माप और उनके गुणांक
मापनिरपेक्ष रूपगुणांक
परासR = L − S(L − S) ÷ (L + S)
चतुर्थक विचलनQ.D. = (Q₃ − Q₁) ÷ 2(Q₃ − Q₁) ÷ (Q₃ + Q₁)
माध्य विचलनM.D. = Σ|x − A| ÷ nM.D. ÷ A (A = माध्य या माध्यिका)
मानक विचलनσ = √(Σ(x − x̄)² ÷ n)σ ÷ x̄ (× 100 = C.V.)

परास, चतुर्थक विचलन और माध्य विचलन

परास सबसे बड़े मान में से सबसे छोटा घटाने पर मिलता है। यह जल्दी निकलता है और एक चरम मान से आसानी से बिगड़ जाता है। चतुर्थक विचलन (अर्ध-अंतरचतुर्थक परास) केवल बीच के आधे आँकड़ों का उपयोग करता है: Q.D. = (Q₃ − Q₁)/2, इसलिए चरम चौथाइयों की उपेक्षा करता है और खुले सिरे वाले बंटन के लिए उपयुक्त है। माध्य विचलन किसी केंद्र से निरपेक्ष दूरियों का औसत है: M.D. = Σ|x − A|/n, और यह A के माध्यिका होने पर न्यूनतम होता है।

हल किया गया: 4, 8, 6, 10, 12 का माध्य 8 है; निरपेक्ष विचलन 4, 0, 2, 2, 4 हैं, अतः माध्य के सापेक्ष M.D. = 12/5 = 2.4; परास 12 − 4 = 8 और उसका गुणांक 8/16 = 0.5 है।

मानक विचलन और प्रसरण

मानक विचलन विचलनों के चिह्न हटाने के बजाय उनका वर्ग करता है, उनका औसत लेता है और वर्गमूल निकालता है: σ = √(Σ(x − x̄)²/n)। इसका वर्ग σ² प्रसरण है। सुविधाजनक रूप σ² = Σx²/n − x̄² ('वर्गों का माध्य घटा माध्य का वर्ग') है, और वर्गीकृत आँकड़ों के लिए σ² = Σfx²/N − x̄², या पद-विचलन से σ = h√(Σfu²/N − (Σfu/N)²)।

हल किया गया: 4, 8, 6, 10, 12
xx − x̄(x − x̄)²
4-416
800
6-24
1024
12416
योग040

σ² = 40/5 = 8 और σ = √8 ≈ 2.83। लघु रूप से जाँच: Σx² = 360, 360/5 − 8² = 72 − 64 = 8।

मूलबिंदु और पैमाने में परिवर्तन। यदि y = a + bx, तो σᵧ = |b|·σₓ और Var(y) = b²·Var(x)। अचर जोड़ने से आँकड़े खिसकते हैं पर फैलते नहीं, अतः SD अपरिवर्तित रहता है; b से गुणा करने पर फैलाव |b| गुना होता है। दो मानक परिणाम: प्रथम n प्राकृत संख्याओं का SD √((n² − 1)/12) है, और दो मानों a और b का SD |a − b|/2 है।

⚠️ परीक्षा जाल
प्रसरण गुणक के वर्ग से बदलता है। हर मान दुगुना करने पर SD दुगुना होता है पर प्रसरण 4 गुना; −2 से गुणा करने पर भी SD × 2 ही होता है, ऋणात्मक SD कभी नहीं।

विचरण गुणांक और संयुक्त मानक विचलन

विचरण गुणांक C.V. = (σ ÷ x̄) × 100 मानक विचलन को माध्य के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करता है। कम C.V. वाली श्रेणी अधिक संगत (अधिक स्थिर, अधिक समरूप) होती है। 4, 8, 6, 10, 12 के लिए C.V. = 2.83/8 × 100 ≈ 35.4%।

n₁, n₂ आकार, x̄₁, x̄₂ माध्य और σ₁, σ₂ मानक विचलन वाले दो समूहों का संयुक्त प्रसरण σ² = [n₁(σ₁² + d₁²) + n₂(σ₂² + d₂²)] ÷ (n₁ + n₂) है, जहाँ d₁ = x̄₁ − x̄ और d₂ = x̄₂ − x̄ बताते हैं कि हर समूह का माध्य संयुक्त माध्य से कितना दूर है। समूह-माध्य भिन्न होने पर d² पद भूलने से फैलाव कम आँका जाता है।

ℹ️ ध्यान दें
प्रसामान्य बंटन में ये माप निश्चित अनुपात में होते हैं: Q.D. ≈ (2/3)σ और M.D. ≈ (4/5)σ, अतः Q.D. : M.D. : S.D. ≈ 10 : 12 : 15।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

  • परास और Q.D. दो-दो मानों का उपयोग करते हैं; M.D. और S.D. हर मान का।
  • S.D. मूलबिंदु बदलने से अपरिवर्तित रहता है और पैमाना बदलने पर |b| गुना होता है।
  • कम C.V. = अधिक संगत, कच्चे SD चाहे जो कहें।
  • 1, 2, …, n का SD √((n² − 1)/12) है; दो संख्याओं का SD उनके अंतर का आधा है।
  • प्रसरण कभी ऋणात्मक नहीं होता; यह शून्य केवल तब होता है जब सभी मान बराबर हों।

मुख्य बिंदु

  • निरपेक्ष माप आँकड़ों की इकाई में होते हैं; गुणांक शुद्ध संख्याएँ हैं जो श्रेणियों की तुलना करते हैं।
  • Q.D. = (Q₃ − Q₁)/2; M.D. माध्यिका के सापेक्ष न्यूनतम; σ² = Σx²/n − x̄²।
  • y = a + bx के लिए: σᵧ = |b|σₓ और Var(y) = b²Var(x)।
  • C.V. = σ/x̄ × 100; कम C.V. अधिक संगत श्रेणी दर्शाता है।
  • संयुक्त प्रसरण में भारित करने से पहले हर समूह के प्रसरण में d² = (x̄ᵢ − x̄)² जोड़ा जाता है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अपकिरण का कौन-सा माप केवल बीच के 50% प्रेक्षणों पर आधारित है?

    1. परास
    2. चतुर्थक विचलन
    3. मानक विचलन
    4. माध्य विचलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — चतुर्थक विचलन

    Q.D. = (Q₃ − Q₁)/2 केवल पहले और तीसरे चतुर्थक के बीच के भाग का उपयोग करता है, जिसमें आँकड़ों का बीच का आधा भाग है। परास केवल दो चरम मानों का।

  2. यदि हर प्रेक्षण में 10 जोड़ा जाए, तो मानक विचलन:

    1. अपरिवर्तित रहता है
    2. 10 गुना हो जाता है
    3. 100 बढ़ जाता है
    4. 10 बढ़ जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अपरिवर्तित रहता है

    अचर जोड़ने से हर मान और माध्य बराबर खिसकते हैं, अतः हर विचलन x − x̄ और इसलिए σ अपरिवर्तित रहता है।

  3. चर X का प्रसरण 9 है। Y = 5 − 2X का प्रसरण है:

    1. 18
    2. −18
    3. 13
    4. 36
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 36

    Var(a + bX) = b²·Var(X) = (−2)² × 9 = 36। अचर 5 का कोई प्रभाव नहीं, और वर्ग करने पर ऋण चिह्न हट जाता है।

  4. प्रेक्षणों 4, 8, 6, 10, 12 का मानक विचलन है:

    1. 2√2
    2. 4
    3. 2.4
    4. 8
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2√2

    माध्य = 8; वर्गित विचलन 16, 0, 4, 4, 16 का योग 40; प्रसरण = 40/5 = 8 और σ = √8 = 2√2 ≈ 2.83। 8 प्रसरण है और 2.4 माध्य विचलन।

  5. बल्लेबाज़ A का औसत 50 रन और SD 10 है; B का औसत 40 रन और SD 9 है। कौन अधिक संगत है, और क्यों?

    1. दोनों समान रूप से संगत हैं
    2. A, क्योंकि उसका औसत अधिक है
    3. B, क्योंकि उसका SD कम है
    4. A, क्योंकि उसका C.V. कम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — A, क्योंकि उसका C.V. कम है

    संगति विचरण गुणांक से आँकी जाती है: A = 10/50 × 100 = 20%, B = 9/40 × 100 = 22.5%। A का C.V. कम है, अतः उसका SD बड़ा होने पर भी वही अधिक संगत है।

  6. किसी बंटन में Q₁ = 30 और Q₃ = 50 है। चतुर्थक विचलन गुणांक है:

    1. 0.25
    2. 0.2
    3. 0.5
    4. 10
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.25

    Q.D. गुणांक = (Q₃ − Q₁)/(Q₃ + Q₁) = 20/80 = 0.25। स्वयं चतुर्थक विचलन 20/2 = 10 है।

  7. प्रथम 9 प्राकृत संख्याओं 1, 2, …, 9 का मानक विचलन है:

    1. √(20/3)
    2. 20/3
    3. 3
    4. √10
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — √(20/3)

    1 से n का SD = √((n² − 1)/12) = √(80/12) = √(20/3) ≈ 2.58। 20/3 प्रसरण है।

  8. विचरण गुणांक की परिभाषा है:

    1. (परास ÷ माध्य) × 100
    2. (मानक विचलन ÷ माध्य) × 100
    3. (माध्य ÷ मानक विचलन) × 100
    4. (प्रसरण ÷ माध्य) × 100
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — (मानक विचलन ÷ माध्य) × 100

    C.V. = σ/x̄ × 100, यानी माध्य के प्रतिशत के रूप में SD। यह शुद्ध संख्या है, इसीलिए भिन्न इकाइयों की श्रेणियों की तुलना कर पाता है।

  9. समूह A में 10 इकाइयाँ हैं, माध्य 20 और प्रसरण 4; समूह B में 10 इकाइयाँ, माध्य 30 और प्रसरण 4। सभी 20 इकाइयों का संयुक्त प्रसरण है:

    1. 4
    2. 8
    3. 29
    4. 25
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 29

    संयुक्त माध्य = 25, अतः d₁ = −5 और d₂ = 5। σ² = [10(4 + 25) + 10(4 + 25)]/20 = 29। केवल दोनों प्रसरणों का औसत 4 देता है और समूह-माध्यों के अंतर की उपेक्षा करता है।

  10. 15 मानक विचलन वाले प्रसामान्य बंटन का चतुर्थक विचलन लगभग है:

    1. 7.5
    2. 12
    3. 15
    4. 10
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 10

    प्रसामान्य बंटन में Q.D. ≈ (2/3)σ = 10 और M.D. ≈ (4/5)σ = 12। अनुपात Q.D. : M.D. : S.D. ≈ 10 : 12 : 15 ठीक यही स्थिति है।