आघूर्ण, विषमता और ककुदता

औसत बताता है कि बंटन कहाँ स्थित है और अपकिरण बताता है कि वह कितना फैला है। दो और लक्षण चित्र पूरा करते हैं: क्या वह एक ओर झुका है (विषमता) और क्या वह नुकीले शिखर वाला है या चपटा (ककुदता)। आघूर्ण मापों का एक ही परिवार है जो चारों बातें देता है। यह अध्याय अपरिष्कृत और केंद्रीय आघूर्णों की परिभाषा देता है, एक को दूसरे में बदलता है, और उनसे विषमता व ककुदता के मानक माप बनाता है।

अपरिष्कृत और केंद्रीय आघूर्ण

बिंदु A के सापेक्ष r-वाँ आघूर्ण μ′ᵣ = Σf(x − A)ʳ ÷ N है; A = 0 होने पर ये अपरिष्कृत आघूर्ण कहलाते हैं। r-वाँ केंद्रीय आघूर्ण माध्य के सापेक्ष लिया जाता है: μᵣ = Σf(x − x̄)ʳ ÷ N। दो मान निश्चित हैं: μ₀ = 1 और μ₁ = 0 (माध्य से विचलनों का योग शून्य)। फिर μ₂ प्रसरण है, μ₃ बंटन का झुकाव दर्शाता है और μ₄ उसकी नुकीलापन।

A के सापेक्ष आघूर्णों से केंद्रीय आघूर्ण
आघूर्णसंबंध
μ₂μ′₂ − μ′₁²
μ₃μ′₃ − 3μ′₂μ′₁ + 2μ′₁³
μ₄μ′₄ − 4μ′₃μ′₁ + 6μ′₂μ′₁² − 3μ′₁⁴

हल किया गया: A के सापेक्ष पहले चार आघूर्ण 1, 4, 10 और 46 हैं। तब μ₂ = 4 − 1 = 3, μ₃ = 10 − 3(4)(1) + 2(1) = 0, μ₄ = 46 − 4(10)(1) + 6(4)(1) − 3(1) = 27। साथ ही μ′₁ = x̄ − A, अतः माध्य A + 1 है। केंद्रीय आघूर्ण मूलबिंदु बदलने से प्रभावित नहीं होते; पैमाना y = x/h बदलने पर μᵣ(y) = μᵣ(x)/hʳ।

विषमता: बंटन किस ओर झुकता है

जब बंटन के दोनों आधे भाग एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हों तो वह सममित है; तब माध्य = माध्यिका = बहुलक। यदि दाहिनी पूँछ लंबी हो तो वह धनात्मक विषम है और माध्य > माध्यिका > बहुलक; यदि बाईं पूँछ लंबी हो तो ऋणात्मक विषम और माध्य < माध्यिका < बहुलक। आय-बंटन धनात्मक विषमता का प्रसिद्ध उदाहरण है: कुछ बहुत ऊँची आय माध्य को ऊपर खींच लेती हैं।

विषमता के माप
मापसूत्रसीमाएँ
कार्ल पियर्सन (प्रथम)(Mean − Mode) ÷ σसामान्यतः −3 से +3
कार्ल पियर्सन (द्वितीय)3(Mean − Median) ÷ σ−3 से +3
बाउले (चतुर्थक)(Q₃ + Q₁ − 2Q₂) ÷ (Q₃ − Q₁)−1 से +1
केली (शततमक)(P₉₀ + P₁₀ − 2P₅₀) ÷ (P₉₀ − P₁₀)−1 से +1
आघूर्णβ₁ = μ₃² ÷ μ₂³, γ₁ = μ₃ ÷ σ³β₁ ≥ 0; γ₁ चिह्न दर्शाता है

हल किया गया: माध्य 50, बहुलक 45, σ = 10 से पियर्सन Sk = (50 − 45)/10 = 0.5, सामान्य धनात्मक विषमता। Q₁ = 20, Q₂ = 30, Q₃ = 50 के साथ बाउले Sk = (50 + 20 − 60)/(50 − 20) = 10/30 ≈ 0.33: उच्च चतुर्थक माध्यिका से निम्न चतुर्थक की तुलना में अधिक दूर है।

⚠️ परीक्षा जाल
β₁ = μ₃²/μ₂³ एक वर्ग है, इसलिए यह विषमता की दिशा कभी नहीं दिखा सकता। यदि प्रश्न पूछे कि विषमता धनात्मक है या ऋणात्मक, तो μ₃ (या γ₁) का चिह्न देखें, β₁ नहीं।

ककुदता: बंटन कितना नुकीला है

ककुदता बंटन के शिखर और पूँछों की तुलना प्रसामान्य वक्र से करती है। इसका आघूर्ण माप β₂ = μ₄ ÷ μ₂² है, और γ₂ = β₂ − 3 (अतिरिक्त ककुदता)। प्रसामान्य वक्र का β₂ = 3 है और वह मध्यककुदी (मीसोकर्टिक) है; β₂ > 3 तुंगककुदी (लेप्टोकर्टिक: ऊँचा, पतला शिखर व भारी पूँछें); β₂ < 3 चपटककुदी (प्लैटीकर्टिक: चपटा शिखर)। हल किए गए उदाहरण में β₂ = 27/3² = 3, अतः वह बंटन मध्यककुदी है, और μ₃ = 0 उसे सममित बनाता है।

एक शततमक-आधारित माप भी है: ककुदता का शततमक गुणांक κ = Q.D. ÷ (P₉₀ − P₁₀), जो प्रसामान्य बंटन के लिए लगभग 0.263 है।

🧠 याद रखने की ट्रिक
लेप्टो = पतला (ऊँचा शिखर), प्लैटी = चपटा (थाली जैसा), मीसो = मध्य (प्रसामान्य, β₂ = 3)।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

  • μ₁ = 0 और μ₂ = σ² सदैव; μ₂ = μ′₂ − μ′₁²।
  • धनात्मक विषमता: माध्य > माध्यिका > बहुलक; ऋणात्मक: उलटा।
  • बाउले और केली गुणांक −1 और +1 के बीच होते हैं; बाउले बाहरी चौथाइयों की उपेक्षा करता है।
  • β₂ = 3 मध्यककुदी, > 3 तुंगककुदी, < 3 चपटककुदी।
  • किसी भी बंटन के लिए β₂ ≥ β₁ + 1, अतः β₂ कभी 1 से कम नहीं होता।

मुख्य बिंदु

  • केंद्रीय आघूर्ण माध्य के सापेक्ष आघूर्ण हैं: μ₁ = 0, μ₂ = प्रसरण।
  • μ₃ = μ′₃ − 3μ′₂μ′₁ + 2μ′₁³ और μ₄ = μ′₄ − 4μ′₃μ′₁ + 6μ′₂μ′₁² − 3μ′₁⁴।
  • पियर्सन Sk = (माध्य − बहुलक)/σ ≈ 3(माध्य − माध्यिका)/σ; बाउले Sk = (Q₃ + Q₁ − 2Q₂)/(Q₃ − Q₁)।
  • β₁ = μ₃²/μ₂³ विषमता का परिमाण मापता है; चिह्न μ₃ से आता है।
  • β₂ = μ₄/μ₂²: प्रसामान्य वक्र के लिए 3; 3 से ऊपर तुंगककुदी, नीचे चपटककुदी।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. β₂ = 3 वाला बंटन कहलाता है:

    1. तुंगककुदी (लेप्टोकर्टिक)
    2. मध्यककुदी (मीसोकर्टिक)
    3. चपटककुदी (प्लैटीकर्टिक)
    4. धनात्मक विषम
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मध्यककुदी (मीसोकर्टिक)

    β₂ = 3 प्रसामान्य वक्र की ककुदता है, संदर्भ स्तर जिसे मध्यककुदी कहते हैं। ककुदता विषमता के बारे में कुछ नहीं बताती, उसके लिए μ₃ चाहिए।

  2. धनात्मक विषम बंटन में:

    1. माध्य > माध्यिका > बहुलक
    2. माध्यिका > माध्य > बहुलक
    3. बहुलक > माध्यिका > माध्य
    4. माध्य = माध्यिका = बहुलक
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्य > माध्यिका > बहुलक

    लंबी दाहिनी पूँछ माध्य को सबसे अधिक दाईं ओर खींचती है, माध्यिका कुछ दूर तक जाती है, और बहुलक शिखर पर ही रहता है।

  3. किसी बंटन का दूसरा केंद्रीय आघूर्ण μ₂ उसका होता है:

    1. प्रसरण
    2. माध्य
    3. माध्य विचलन
    4. मानक विचलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रसरण

    μ₂ = Σf(x − x̄)²/N, जो परिभाषा से प्रसरण है। SD इसका वर्गमूल है, और पहला केंद्रीय आघूर्ण सदैव शून्य होता है।

  4. मान 5 के सापेक्ष किसी बंटन के पहले दो आघूर्ण 2 और 20 हैं। प्रसरण है:

    1. 18
    2. 20
    3. 16
    4. 4
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 16

    μ₂ = μ′₂ − μ′₁² = 20 − 4 = 16। माध्य A + μ′₁ = 7 है, जिसकी प्रसरण के लिए आवश्यकता नहीं।

  5. बिंदु A के सापेक्ष पहले चार आघूर्ण 1, 4, 10 और 46 हैं। चौथा केंद्रीय आघूर्ण μ₄ है:

    1. 46
    2. 3
    3. 27
    4. 30
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 27

    μ₄ = μ′₄ − 4μ′₃μ′₁ + 6μ′₂μ′₁² − 3μ′₁⁴ = 46 − 40 + 24 − 3 = 27। μ₂ = 3 के साथ β₂ = 27/9 = 3, अतः बंटन मध्यककुदी है।

  6. किसी बंटन का माध्य 50, बहुलक 45 और मानक विचलन 10 है। कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक है:

    1. 0.5
    2. −0.5
    3. 1.5
    4. 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.5

    Sk = (माध्य − बहुलक)/σ = (50 − 45)/10 = 0.5। यह धनात्मक है क्योंकि माध्य बहुलक से अधिक है।

  7. किसी बंटन में Q₁ = 20, माध्यिका = 30 और Q₃ = 50 है। बाउले का विषमता गुणांक है:

    1. −1/3
    2. 2/3
    3. 1/3
    4. 1/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1/3

    Sk = (Q₃ + Q₁ − 2Q₂)/(Q₃ − Q₁) = (50 + 20 − 60)/30 = 10/30 = 1/3। Q₃ माध्यिका से Q₁ की तुलना में अधिक दूर है, अतः विषमता धनात्मक है।

  8. बाउले का विषमता गुणांक सदैव किनके बीच होता है?

    1. −3 और +3
    2. −1 और +1
    3. 0 और 3
    4. 0 और 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — −1 और +1

    Q₃ + Q₁ − 2Q₂ का परिमाण Q₃ − Q₁ से अधिक नहीं हो सकता, अतः बाउले का माप ±1 में सीमित है। सामान्यतः ±3 के भीतर पियर्सन का माप बताया जाता है।

  9. किसी बंटन का माध्य 60, माध्यिका 57 और मानक विचलन 9 है। माध्यिका पर आधारित इसका विषमता गुणांक है:

    1. 1
    2. 3
    3. 1/3
    4. −1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1

    पियर्सन का द्वितीय गुणांक = 3(माध्य − माध्यिका)/σ = 3 × 3/9 = 1। 3 का गुणक भूलने पर 1/3 मिलता है।

  10. किसी बंटन में μ₂ = 4 और μ₄ = 60 है। बंटन है:

    1. चपटककुदी, क्योंकि β₂ = 3.75
    2. तुंगककुदी, क्योंकि β₂ = 15
    3. मध्यककुदी, क्योंकि β₂ = 3
    4. तुंगककुदी, क्योंकि β₂ = 3.75
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — तुंगककुदी, क्योंकि β₂ = 3.75

    β₂ = μ₄/μ₂² = 60/16 = 3.75, जो 3 से अधिक है, अतः वक्र प्रसामान्य से अधिक नुकीला है: तुंगककुदी। μ₂² के बजाय μ₂ से भाग देने पर गलत 15 मिलता है।