केंद्रीय प्रवृत्ति के माप और विभाजन मान

पूरे बंटन का प्रतिनिधित्व करने वाली एक संख्या को औसत कहते हैं। यह अध्याय पाठ्यक्रम में नामित तीनों औसत — माध्य, माध्यिका और बहुलक — कच्चे, असतत और वर्गीकृत आँकड़ों के लिए पढ़ाता है, साथ में उनके मुख्य गुण, भारित और संयुक्त माध्य, उनके साथ आने वाले गुणोत्तर और हरात्मक माध्य, तथा विभाजन मान: चतुर्थक, दशमक और शततमक। यहाँ पेपर-II के अधिकांश प्रश्न छोटी गणनाएँ होते हैं, इसलिए अध्याय सूत्रों और वर्ग-परिसीमा के जालों को साथ-साथ रखता है।

औसत किसलिए है

औसत इस प्रश्न का उत्तर देता है कि 'प्रतिनिधि मान क्या है?' समांतर माध्य आँकड़ों को झूले की तरह संतुलित करता है: दोनों ओर के विचलन एक-दूसरे को निरस्त करते हैं। माध्यिका आँकड़ों को क्रम में रखने पर बीच का मान है, जिससे आधे उससे नीचे और आधे ऊपर हों। बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है। सममित बंटन में तीनों बराबर होते हैं; विषम बंटन में ये अलग हो जाते हैं, और यह अलगाव स्वयं एक सूचना है (अध्याय 4)।

औसत का चुनाव
औसत	हर मान का उपयोग?	चरम मानों से प्रभावित?	खुले सिरे वाले वर्ग?
माध्य	हाँ	हाँ	नहीं निकलता
माध्यिका	नहीं, केवल स्थिति	नहीं	निकलता है
बहुलक	नहीं	नहीं	निकलता है

समांतर माध्य और उसके गुण

कच्चे आँकड़ों के लिए x̄ = Σx ÷ n; बारंबारता बंटन के लिए x̄ = Σfx ÷ N, जहाँ x प्रत्येक वर्ग का मध्य-मान है। कल्पित माध्य (लघु) विधि d = x − A लेकर x̄ = A + Σfd ÷ N प्रयोग करती है; पद-विचलन विधि चौड़ाई h से और भाग देती है: u = (x − A) ÷ h और x̄ = A + h·Σfu ÷ N।

हल किया गया वर्गीकृत उदाहरण (N = 50)
वर्ग	f	मध्य-मान x	fx	संचयी f
0–10	5	5	25	5
10–20	8	15	120	13
20–30	15	25	375	28
30–40	12	35	420	40
40–50	10	45	450	50

Σfx = 1390, अतः x̄ = 1390 ÷ 50 = 27.8। तीन गुण बार-बार पूछे जाते हैं:
(1) माध्य से विचलनों का योग शून्य होता है, Σ(x − x̄) = 0;
(2) विचलनों के वर्गों का योग माध्य के सापेक्ष न्यूनतम होता है;
(3) माध्य मूलबिंदु और पैमाने के साथ बदलता है — यदि y = a + bx तो ȳ = a + b·x̄।

दो समूहों का संयुक्त माध्य x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂) है। भारित माध्य Σwx ÷ Σw है। धनात्मक संख्याओं का गुणोत्तर माध्य उनके गुणनफल का n-वाँ मूल और हरात्मक माध्य n ÷ Σ(1/x) है; सदैव AM ≥ GM ≥ HM, समता केवल तब जब सभी मान बराबर हों, और दो संख्याओं के लिए GM² = AM × HM। समान दूरियों पर चालों का सही औसत हरात्मक माध्य है।

वर्गीकृत आँकड़ों के लिए माध्यिका और बहुलक

कच्चे आँकड़ों को क्रम में रखें: n विषम हो तो माध्यिका ((n + 1)/2)-वाँ मान है; n सम हो तो (n/2)-वें और (n/2 + 1)-वें मानों का माध्य। वर्गीकृत आँकड़ों में पहले माध्यिका वर्ग खोजें — वह पहला वर्ग जिसकी संचयी बारंबारता N/2 तक पहुँचे — फिर अंतर्वेशन करें: माध्यिका = L + ((N/2 − c.f.) ÷ f) × h, जहाँ L माध्यिका वर्ग की निम्न परिसीमा, c.f. उससे पहले की संचयी बारंबारता, f उसकी बारंबारता और h उसकी चौड़ाई है।

हल की गई सारणी में N/2 = 25। संचयी बारंबारताएँ 5, 13, 28, … हैं, अतः माध्यिका वर्ग 20–30 है, c.f. = 13 और f = 15: माध्यिका = 20 + (25 − 13)/15 × 10 = 28। बहुलक के लिए बहुलक वर्ग (सबसे अधिक बारंबारता, 20–30) लेकर बहुलक = L + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h = 20 + (15 − 8)/(30 − 8 − 12) × 10 = 27। जब बहुलक स्पष्ट न हो, तब मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए अनुभवजन्य संबंध बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य प्रयोग होता है।

⚠️ परीक्षा जाल

माध्यिका या बहुलक वर्ग की निम्न परिसीमा लें, निम्न सीमा नहीं। समावेशी वर्ग 20–29 के लिए L = 19.5 है। 20 लेने से हर उत्तर 0.5 खिसक जाता है — और वही गलत विकल्प प्रायः आपकी प्रतीक्षा में रहता है।

चतुर्थक, दशमक और शततमक

माध्यिका आँकड़ों को दो भागों में बाँटती है; विभाजन मान उन्हें और बाँटते हैं। तीन चतुर्थक Q₁, Q₂, Q₃ चार बराबर भागों में, नौ दशमक D₁…D₉ दस में, और निन्यानवे शततमक P₁…P₉₉ सौ भागों में बाँटते हैं। अतः Q₂ = D₅ = P₅₀ = माध्यिका, Q₁ = P₂₅ और Q₃ = P₇₅। कच्चे आँकड़ों में Qₖ क्रम में (k(n + 1)/4)-वाँ मान है। वर्गीकृत आँकड़ों में माध्यिका का सूत्र ही N/2 की जगह kN/4, kN/10 या kN/100 रखकर प्रयोग होता है।

हल की गई सारणी में N/4 = 12.5 वर्ग 10–20 में आता है (पहले की c.f. 5, f = 8), अतः Q₁ = 10 + (12.5 − 5)/8 × 10 = 19.38; 3N/4 = 37.5 वर्ग 30–40 में आता है (c.f. 28, f = 12), अतः Q₃ = 30 + (37.5 − 28)/12 × 10 = 37.92। ये सीधे अध्याय 3 के चतुर्थक विचलन और अध्याय 4 के बाउले विषमता में काम आते हैं।

🧠 याद रखने की ट्रिक

चतुर्थक ↔ 4, दशमक ↔ 10, शततमक ↔ 100: k-वाँ मान kN/4, kN/10, kN/100 स्थान पर होता है।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

Σ(x − x̄) = 0 सदैव; Σ(x − A)² न्यूनतम जब A = x̄; Σ|x − A| न्यूनतम जब A माध्यिका हो।
यदि हर मान को b से गुणा कर a जोड़ा जाए, तो माध्य, माध्यिका और बहुलक सभी a + b × (पुराना मान) हो जाते हैं।
खुले सिरे वाले वर्गों में माध्यिका और बहुलक निकलते हैं; माध्य नहीं।
बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य, केवल मध्यम रूप से विषम बंटन के लिए।
AM ≥ GM ≥ HM; दो धनात्मक संख्याओं के लिए GM² = AM × HM।

मुख्य बिंदु

माध्य हर मान का उपयोग कर विचलनों को संतुलित करता है; माध्यिका स्थिति का; बहुलक बारंबारता का।
वर्गीकृत माध्यिका = L + ((N/2 − c.f.) ÷ f) × h, जहाँ L उस वर्ग की निम्न परिसीमा है जिसमें N/2 आता है।
वर्गीकृत बहुलक = L + ((f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)) × h; अनुभवजन्य रूप से बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य।
संयुक्त माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂); AM ≥ GM ≥ HM।
Q₂ = D₅ = P₅₀ = माध्यिका; विभाजन मान kN/4, kN/10, kN/100 पर माध्यिका का सूत्र दोहराते हैं।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

मानों के किसी समूह के उनके समांतर माध्य से विचलनों का योग सदैव होता है:
1. न्यूनतम पर शून्य नहीं
2. प्रसरण के बराबर
3. शून्य
4. एक
उत्तर देखें
उत्तर: C — शून्य
माध्य संतुलन-बिंदु है, अतः धनात्मक और ऋणात्मक विचलन पूरी तरह निरस्त होते हैं: Σ(x − x̄) = Σx − n·x̄ = 0। न्यूनतम तो विचलनों के वर्गों का योग होता है।
निरपेक्ष विचलनों का योग Σ|x − A| न्यूनतम कब होता है, जब A हो:
1. माध्य
2. गुणोत्तर माध्य
3. माध्यिका
4. बहुलक
उत्तर देखें
उत्तर: C — माध्यिका
निरपेक्ष विचलन माध्यिका के सापेक्ष न्यूनतम होते हैं; वर्गित विचलन माध्य के सापेक्ष। इन दोनों को आपस में बदलना पसंदीदा जाल है।
'10 से कम' और '60 और अधिक' जैसे खुले सिरे वाले वर्गों वाले बंटन के लिए कौन-सा औसत निकाला जा सकता है?
1. समांतर माध्य
2. गुणोत्तर माध्य
3. माध्यिका
4. हरात्मक माध्य
उत्तर देखें
उत्तर: C — माध्यिका
माध्यिका को केवल N/2 वाला वर्ग और उससे पहले की बारंबारताएँ चाहिए, अतः खुले सिरे बाधा नहीं हैं। हर माध्य को हर वर्ग का मध्य-मान चाहिए, जो खुले वर्ग का नहीं होता।
दो वर्गों में 30 और 20 विद्यार्थी हैं जिनके माध्य अंक 60 और 70 हैं। संयुक्त माध्य है:
1. 62
2. 64
3. 65
4. 66
उत्तर देखें
उत्तर: B — 64
संयुक्त माध्य = (30 × 60 + 20 × 70) ÷ 50 = (1800 + 1400) ÷ 50 = 64। 60 और 70 का सीधा औसत 65 असमान समूह-आकार की उपेक्षा करता है।
एक मध्यम रूप से विषम बंटन में माध्य 40 और माध्यिका 38 है। अनुमानित बहुलक है:
1. 42
2. 39
3. 36
4. 34
उत्तर देखें
उत्तर: D — 34
बहुलक ≈ 3 × माध्यिका − 2 × माध्य = 114 − 80 = 34। बहुलक, माध्यिका के उस ओर होता है जो माध्य से दूर है।
बंटन 0–10 (5), 10–20 (8), 20–30 (15), 30–40 (12), 40–50 (10) की माध्यिका है:
1. 30
2. 25
3. 28
4. 27
उत्तर देखें
उत्तर: C — 28
N = 50, N/2 = 25; संचयी बारंबारताएँ 5, 13, 28 माध्यिका को 20–30 में रखती हैं, c.f. = 13, f = 15। माध्यिका = 20 + (25 − 13)/15 × 10 = 28। 27 इसी सारणी का बहुलक है।
उसी बंटन 0–10 (5), 10–20 (8), 20–30 (15), 30–40 (12), 40–50 (10) का बहुलक है:
1. 26
2. 25
3. 28
4. 27
उत्तर देखें
उत्तर: D — 27
बहुलक वर्ग 20–30, f₁ = 15, f₀ = 8, f₂ = 12। बहुलक = 20 + (15 − 8)/(30 − 8 − 12) × 10 = 20 + 7 = 27। 25 वर्ग का मध्य-मान है, बहुलक नहीं।
दो धनात्मक संख्याओं का समांतर माध्य 25 और हरात्मक माध्य 16 है। उनका गुणोत्तर माध्य है:
1. 41
2. 20
3. 400
4. 20.5
उत्तर देखें
उत्तर: B — 20
दो संख्याओं के लिए GM² = AM × HM = 25 × 16 = 400, अतः GM = 20। जाँच: 20, 16 और 25 के बीच है, जैसा AM ≥ GM ≥ HM कहता है।
निम्न में से कौन माध्यिका के समान है?
1. पहला चतुर्थक, Q₁
2. पाँचवाँ दशमक, D₅
3. पाँचवाँ शततमक, P₅
4. तीसरा चतुर्थक, Q₃
उत्तर देखें
उत्तर: B — पाँचवाँ दशमक, D₅
माध्यिका आँकड़ों को आधे-आधे में बाँटती है, यानी Q₂ = D₅ = P₅₀। P₅ केवल 5% का बिंदु है — 'पाँचवाँ' का आम गलत अर्थ।
किसी आँकड़ा-समूह के हर प्रेक्षण को 3 से गुणा कर 5 घटाया जाता है। यदि पुरानी माध्यिका 12 थी, तो नई माध्यिका है:
1. 36
2. 7
3. 31
4. 41
उत्तर देखें
उत्तर: C — 31
रैखिक परिवर्तन y = 3x − 5 में गुणक धनात्मक होने पर मानों का क्रम नहीं बदलता, अतः बीच का मान भी वैसे ही बदलता है: 3 × 12 − 5 = 31।