प्रायिकता सिद्धांत

प्रायिकता अनिश्चितता की भाषा है, और आगे का हर अध्याय — बंटन, प्रतिचयन, अनुमिति — इसी भाषा में लिखा है। यह अध्याय प्रायिकता का अर्थ और उसकी शास्त्रीय, सापेक्ष-बारंबारता और अभिगृहीतीय परिभाषाएँ, योग और गुणन प्रमेय, सप्रतिबंध और संयुक्त प्रायिकता, स्वतंत्र और परस्पर अपवर्जी घटनाओं का अंतर, संपूर्ण प्रायिकता प्रमेय और बेज़ प्रमेय पढ़ाता है।

प्रायिकता का अर्थ: तीन परिभाषाएँ

अनिश्चित परिणाम वाले प्रयोग का एक प्रतिदर्श समष्टि S होता है जिसमें सभी संभव परिणाम हैं; घटना S का उपसमुच्चय है। प्रायिकता हर घटना को 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) तक की संख्या देती है। इस संख्या को परिभाषित करने के तीन मानक तरीके हैं, और हर एक की कमी अगला दूर करता है।

तीन परिभाषाएँ
परिभाषाकथनसीमा
शास्त्रीय (प्राग्नुभविक)P(A) = अनुकूल स्थितियाँ ÷ कुल स्थितियाँ, परिणाम समसंभाव्य और सीमितपरिणाम समसंभाव्य न हों या अनंत हों तो विफल
सापेक्ष बारंबारता (आनुभविक)P(A) = परीक्षणों की संख्या n बढ़ने पर m/n की सीमादोहराए जा सकने वाले परीक्षण चाहिए; सीमा कभी ठीक-ठीक नहीं दिखती
अभिगृहीतीय (कोल्मोगोरोव)P(A) ≥ 0; P(S) = 1; असंयुक्त A, B के लिए P(A ∪ B) = P(A) + P(B)बताती है प्रायिकताएँ कैसे व्यवहार करती हैं, उन्हें कैसे निकालें यह नहीं

चौथी, व्यक्तिपरक प्रायिकता, व्यक्तिगत विश्वास का अंश है — एक बार होने वाली घटनाओं, जैसे नए उत्पाद की सफलता, के लिए प्रयुक्त। A के पक्ष में संयोगानुपात P(A) : P(A′) है।

योग और गुणन प्रमेय

योग प्रमेय: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए अंतिम पद शून्य है। तीन घटनाओं के लिए P(A ∪ B ∪ C) = ΣP(A) − ΣP(A ∩ B) + P(A ∩ B ∩ C)। B दिए होने पर A की सप्रतिबंध प्रायिकता P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), P(B) > 0 है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर संयुक्त घटनाओं का गुणन प्रमेय मिलता है: P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B) = P(A)·P(B | A)।

हल किया गया: दो पत्ते एक के बाद एक बिना प्रतिस्थापन निकालने पर P(दोनों इक्के) = (4/52)(3/51) = 1/221। प्रतिस्थापन सहित यह (4/52)² = 1/169 होगी, क्योंकि तब दूसरा निकालना पहले पर निर्भर नहीं करता।

स्वतंत्र बनाम परस्पर अपवर्जी

परस्पर अपवर्जी घटनाएँ एक साथ नहीं हो सकतीं: P(A ∩ B) = 0। स्वतंत्र घटनाएँ एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करतीं: P(A ∩ B) = P(A)·P(B), अर्थात P(A | B) = P(A)। ये भिन्न विचार हैं, और वस्तुतः धनात्मक प्रायिकता वाली दो परस्पर अपवर्जी घटनाएँ कभी स्वतंत्र नहीं होतीं — A के घटित होने से पता चल जाता है कि B नहीं हुई।

  • यदि A और B स्वतंत्र हैं, तो A और B′, A′ और B, तथा A′ और B′ भी स्वतंत्र हैं।
  • P(स्वतंत्र A, B में से कम-से-कम एक) = 1 − P(A′)P(B′)।
  • पासे की दो फेंक: P(कम-से-कम एक छक्का) = 1 − (5/6)² = 11/36।
⚠️ परीक्षा जाल
'कम-से-कम एक' वाले प्रश्न पूरक से सबसे तेज़ हल होते हैं। P(पहली पर छक्का) + P(दूसरी पर छक्का) = 2/6 जोड़ने से दो छक्कों वाली स्थिति दो बार गिनी जाती है।

संपूर्ण प्रायिकता और बेज़ प्रमेय

यदि B₁, B₂, …, Bₙ परस्पर अपवर्जी हों और मिलकर पूरा प्रतिदर्श समष्टि बनाते हों, तो किसी भी घटना A के लिए P(A) = Σ P(Bᵢ)P(A | Bᵢ) (संपूर्ण प्रायिकता)। बेज़ प्रमेय प्रतिबंध की दिशा उलट देता है: P(Bᵢ | A) = P(Bᵢ)P(A | Bᵢ) ÷ Σ P(Bⱼ)P(A | Bⱼ)। P(Bᵢ) पूर्व प्रायिकताएँ हैं, P(Bᵢ | A) पश्च प्रायिकताएँ।

हल किया गया बेज़: दोषपूर्ण वस्तु किस मशीन ने बनाई?
मशीनउत्पादन में हिस्सादोष दरगुणनफलपश्च
A0.600.020.0120.5
B0.400.030.0120.5
योग1—0.0241

दोषपूर्ण वस्तु दोनों मशीनों से समान रूप से संभावित है, यद्यपि उत्पादन का अधिक भाग A बनाती है — B की ऊँची दोष-दर A के बड़े हिस्से को ठीक संतुलित कर देती है।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

  • 0 ≤ P(A) ≤ 1 और P(A′) = 1 − P(A)।
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)।
  • P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B); स्वतंत्र का अर्थ P(A ∩ B) = P(A)P(B)।
  • धनात्मक प्रायिकता वाली परस्पर अपवर्जी घटनाएँ आश्रित होती हैं।
  • बेज़: पश्च ∝ पूर्व × संभाविता, संपूर्ण प्रायिकता से सामान्यीकृत।

मुख्य बिंदु

  • शास्त्रीय प्रायिकता को समसंभाव्य परिणाम चाहिए; सापेक्ष बारंबारता को दोहराए जा सकने वाले परीक्षण; अभिगृहीतीय दृष्टिकोण नियम बताता है।
  • योग: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); गुणन: P(A ∩ B) = P(A)P(B | A)।
  • स्वतंत्रता और परस्पर अपवर्जिता भिन्न हैं; धनात्मक प्रायिकताओं के साथ दोनों एक साथ नहीं हो सकतीं।
  • संपूर्ण प्रायिकता: विभाजन B₁ … Bₙ पर P(A) = ΣP(Bᵢ)P(A | Bᵢ)।
  • बेज़: P(Bᵢ | A) = P(Bᵢ)P(A | Bᵢ)/ΣP(Bⱼ)P(A | Bⱼ)।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के लिए प्रयोग के परिणाम होने चाहिए:

    1. पिछले अभिलेखों पर आधारित
    2. व्यक्तिगत विश्वास
    3. अनंत और स्वतंत्र
    4. संख्या में सीमित और समसंभाव्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — संख्या में सीमित और समसंभाव्य

    P(A) = अनुकूल ÷ कुल तभी सार्थक है जब स्थितियाँ गिनी जा सकें और हर एक समसंभाव्य हो। पिछले अभिलेख सापेक्ष-बारंबारता परिभाषा देते हैं; विश्वास व्यक्तिपरक प्रायिकता।

  2. प्रायिकता की अभिगृहीतीय परिभाषा किसने दी?

    1. ए. एन. कोल्मोगोरोव
    2. आर. ए. फ़िशर
    3. थॉमस बेज़
    4. कार्ल पियर्सन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ए. एन. कोल्मोगोरोव

    कोल्मोगोरोव ने 1933 में अभिगृहीत दिए: अऋणात्मकता, P(S) = 1 और असंयुक्त घटनाओं पर योगात्मकता। बेज़ व्युत्क्रम प्रायिकता के प्रमेय के लिए जाने जाते हैं।

  3. यदि P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 और P(A ∩ B) = 0.2 हो, तो P(A ∪ B) है:

    1. 1.1
    2. 0.7
    3. 0.9
    4. 0.2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.7

    P(A ∪ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7। सामान्य भाग घटाए बिना जोड़ने से 0.9 मिलता है, जो A ∩ B को दो बार गिनता है।

  4. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 और P(A ∩ B) = 0.2 के साथ सप्रतिबंध प्रायिकता P(A | B) है:

    1. 0.4
    2. 0.8
    3. 0.2
    4. 0.5
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 0.5

    P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.4 = 0.5। यहाँ P(A | B) = P(A), अतः A और B वस्तुतः स्वतंत्र हैं।

  5. A और B स्वतंत्र हैं, P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4। P(A ∪ B) है:

    1. 0.7
    2. 0.58
    3. 0.12
    4. 0.42
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.58

    P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12, अतः P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58। समतुल्य रूप से 1 − (0.7)(0.6) = 0.58।

  6. दो घटनाओं A और B के लिए P(A) > 0 और P(B) > 0 है और वे परस्पर अपवर्जी हैं। तब A और B:

    1. का P(A ∪ B) = 0 है
    2. अवश्य स्वतंत्र होंगी
    3. निःशेष हैं
    4. स्वतंत्र नहीं हो सकतीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — स्वतंत्र नहीं हो सकतीं

    परस्पर अपवर्जिता से P(A ∩ B) = 0, जबकि स्वतंत्रता के लिए P(A ∩ B) = P(A)P(B) > 0 चाहिए। दोनों एक साथ संभव नहीं, अतः घटनाएँ आश्रित हैं।

  7. 52 पत्तों की गड्डी से बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक दो पत्ते निकाले जाते हैं। दोनों के इक्के होने की प्रायिकता है:

    1. 1/221
    2. 1/26
    3. 2/13
    4. 1/169
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/221

    P = (4/52) × (3/51) = 12/2652 = 1/221। 1/169 = (4/52)² प्रतिस्थापन सहित का उत्तर है।

  8. एक निष्पक्ष पासा दो बार फेंका जाता है। कम-से-कम एक छक्का आने की प्रायिकता है:

    1. 1/3
    2. 25/36
    3. 11/36
    4. 1/36
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 11/36

    P(कोई छक्का नहीं) = (5/6)² = 25/36, अतः P(कम-से-कम एक) = 11/36। 1/3 = 2/6 दोहरे छक्के को दो बार गिनता है।

  9. एक कारखाने का 60% उत्पादन मशीन A करती है जिसमें 2% दोषपूर्ण हैं; 40% मशीन B करती है जिसमें 3% दोषपूर्ण हैं। यादृच्छिक रूप से चुनी वस्तु दोषपूर्ण है। इसके A से आने की प्रायिकता है:

    1. 2/5
    2. 3/5
    3. 0.024
    4. 1/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 1/2

    बेज़ से: P(A | D) = (0.6 × 0.02)/(0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.03) = 0.012/0.024 = 1/2। 0.024 दोषपूर्ण होने की संपूर्ण प्रायिकता है, और 3/5 केवल A का पूर्व हिस्सा।

  10. दो घटनाओं के लिए P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 और P(A ∪ B) = 0.8 है। ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता है:

    1. 0.3
    2. 0.8
    3. 0.5
    4. 1.1
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 0.5

    P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8 = 0.3, और ठीक एक = P(A ∪ B) − P(A ∩ B) = 0.8 − 0.3 = 0.5।