सहसंबंध और समाश्रयण

सहसंबंध पूछता है कि क्या दो चर साथ-साथ बदलते हैं और कितनी निकटता से; समाश्रयण पूछता है कि एक के बदलने पर दूसरा कितना बदलता है, ताकि एक से दूसरे का आकलन हो सके। यह अध्याय प्रकीर्ण आरेख, कार्ल पियर्सन का गुणांक, दोनों समाश्रयण रेखाएँ और उनके गुणांक, स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध, गुणों का साहचर्य, और — पाठ्यक्रम के अनुसार केवल तीन चरों के लिए — आंशिक व बहु सहसंबंध तथा बहु समाश्रयण तल पढ़ाता है।

प्रकीर्ण आरेख और कार्ल पियर्सन का r

प्रत्येक युग्म (x, y) को एक बिंदु के रूप में अंकित करें: दाईं ओर ऊपर उठता बादल धनात्मक सहसंबंध, दाईं ओर गिरता ऋणात्मक, और आकारहीन बादल कोई रैखिक सहसंबंध नहीं दर्शाता। कार्ल पियर्सन का गुणांक इसे संख्या देता है: r = Cov(x, y) ÷ (σₓσᵧ) = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ √[Σ(x − x̄)² · Σ(y − ȳ)²]।

हल किया गया: पाँच युग्म
xyx − x̄y − ȳगुणनफल
12-2-24
24-100
35010
44100
55212

x̄ = 3, ȳ = 4, Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 6, Σ(x − x̄)² = 10, Σ(y − ȳ)² = 6, अतः r = 6/√60 ≈ 0.77 — प्रबल धनात्मक सहसंबंध। गुण: −1 ≤ r ≤ 1; r शुद्ध संख्या है; यह मूलबिंदु और पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र है (यदि दोनों पैमाना-गुणक समान चिह्न के हों); और r = 0 का अर्थ है कोई रैखिक संबंध नहीं, कोई संबंध ही नहीं ऐसा नहीं — सममित x पर y = x² से r = 0 मिलता है।

दो समाश्रयण रेखाएँ

समाश्रयण रेखाएँ दो हैं क्योंकि 'x से y का आकलन' ऊर्ध्वाधर त्रुटियों को न्यूनतम करता है और 'y से x का आकलन' क्षैतिज त्रुटियों को। x पर y: y − ȳ = bᵧₓ(x − x̄), जहाँ bᵧₓ = r·σᵧ/σₓ। y पर x: x − x̄ = bₓᵧ(y − ȳ), जहाँ bₓᵧ = r·σₓ/σᵧ।

  • दोनों रेखाएँ माध्यों के बिंदु (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं, अतः उनके समीकरण साथ हल करने से माध्य मिलते हैं।
  • r² = bᵧₓ × bₓᵧ, और r दोनों गुणांकों का साझा चिह्न लेता है (उनका चिह्न सदैव एक होता है)।
  • दोनों गुणांक एक साथ परिमाण में 1 से अधिक नहीं हो सकते, क्योंकि उनका गुणनफल r² अधिकतम 1 है।
  • समाश्रयण गुणांक पैमाने से बदलते हैं पर मूलबिंदु से नहीं।
  • यदि r = ±1 तो दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं; यदि r = 0 तो लंबवत (y = ȳ और x = x̄)।

हल किए गए आँकड़ों में bᵧₓ = 6/10 = 0.6 और bₓᵧ = 6/6 = 1; उनका गुणनफल 0.6 = r², जो r ≈ 0.77 की पुष्टि करता है। x पर y की रेखा y − 4 = 0.6(x − 3) है, अतः x = 6 पर आकलन 5.8 है।

⚠️ परीक्षा जाल
दो समाश्रयण समीकरण दिए हों तो तय करना पड़ता है कि x पर y कौन-सा है। प्रत्येक को y = … और x = … रूप में लिखें; जिस निर्धारण में गुणांकों का गुणनफल 1 या उससे कम हो, वही सही है। गलत निर्धारण r² > 1 देता है, जो असंभव है।

कोटि सहसंबंध और गुणों का साहचर्य

जब केवल कोटियाँ उपलब्ध हों (सौंदर्य प्रतियोगिता के निर्णायक, पसंद), तब स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध लें: ρ = 1 − 6Σd² ÷ [n(n² − 1)], जहाँ d प्रत्येक इकाई की दोनों कोटियों का अंतर है। कोटियाँ बराबर हों तो प्रत्येक बराबर इकाई को औसत कोटि दें और m बराबर कोटियों के हर समूह के लिए Σd² में m(m² − 1)/12 जोड़ें। ρ भी −1 और +1 के बीच होता है।

दो गुण (उपस्थित या अनुपस्थित विशेषताएँ, जैसे टीकाकृत/नहीं और संक्रमित/नहीं) का अध्ययन वर्ग-बारंबारताओं (AB), (Aβ), (αB), (αβ) की 2 × 2 सारणी से होता है। यूल का साहचर्य गुणांक Q = [(AB)(αβ) − (Aβ)(αB)] ÷ [(AB)(αβ) + (Aβ)(αB)] है, −1 और +1 के बीच; Q = 0 स्वतंत्रता दर्शाता है। हल किया गया: (AB) = 40, (Aβ) = 10, (αB) = 20, (αβ) = 30 से Q = (1200 − 200)/(1200 + 200) = 5/7 ≈ 0.71, प्रबल धनात्मक साहचर्य। गुण स्वतंत्र होते हैं जब (AB) = (A)(B)/N।

आंशिक और बहु सहसंबंध (तीन चर)

तीन चरों X₁, X₂, X₃ के साथ आंशिक सहसंबंध r₁₂.₃, X₃ का प्रभाव हटाने के बाद X₁ और X₂ का संबंध मापता है: r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃) ÷ √[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)]। बहु सहसंबंध R₁.₂₃ मापता है कि X₂ और X₃ मिलकर X₁ का कितना अच्छा पूर्वानुमान करते हैं: R²₁.₂₃ = (r₁₂² + r₁₃² − 2r₁₂r₁₃r₂₃) ÷ (1 − r₂₃²)। R, 0 और 1 के बीच होता है और X₁ के अन्य दो के साथ किसी भी साधारण सहसंबंध के परिमाण से कभी कम नहीं होता।

हल किया गया: r₁₂ = 0.7, r₁₃ = r₂₃ = 0.5 से r₁₂.₃ = (0.7 − 0.25)/0.75 = 0.6 और R²₁.₂₃ = (0.49 + 0.25 − 0.35)/0.75 = 0.52, अतः R₁.₂₃ ≈ 0.72। बहु समाश्रयण तल X₁ = a + b₁₂.₃X₂ + b₁₃.₂X₃ न्यूनतम वर्ग विधि से आसंजित होता है; b₁₂.₃, X₃ को स्थिर रखते हुए X₂ में एक इकाई परिवर्तन पर X₁ का परिवर्तन है।

ℹ️ ध्यान दें
सहसंबंध कार्य-कारण नहीं है: दो श्रेणियाँ समय के साथ साथ-साथ बढ़ सकती हैं — गर्मी में आइसक्रीम की बिक्री और डूबने की घटनाएँ दोनों बढ़ती हैं — बिना एक के दूसरे का कारण बने। ऐसे संबंध को कृत्रिम (निरर्थक) सहसंबंध कहते हैं।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

  • r = Cov/(σₓσᵧ); −1 ≤ r ≤ 1; मूलबिंदु और पैमाने से अपरिवर्तित।
  • bᵧₓ = rσᵧ/σₓ, bₓᵧ = rσₓ/σᵧ, r = ±√(bᵧₓ·bₓᵧ), दोनों के साझा चिह्न के साथ।
  • समाश्रयण रेखाएँ (x̄, ȳ) पर मिलती हैं।
  • स्पीयरमैन: ρ = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)]।
  • 2 × 2 सारणी a, b, c, d के लिए यूल का Q = (ad − bc)/(ad + bc)।

मुख्य बिंदु

  • पियर्सन का r रैखिक साहचर्य मापता है और मूलबिंदु व पैमाने से मुक्त है।
  • दो समाश्रयण रेखाएँ, दोनों (x̄, ȳ) से; r² = bᵧₓ·bₓᵧ।
  • स्पीयरमैन का ρ = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] कोटियों से निकलता है, बराबर कोटियों के लिए संशोधन सहित।
  • यूल का Q गुणों का साहचर्य मापता है; Q = 0 स्वतंत्रता दर्शाता है।
  • r₁₂.₃, X₃ का प्रभाव हटाता है; R₁.₂₃ संयुक्त पूर्वानुमान मापता है और 0 व 1 के बीच होता है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक सदैव किनके बीच होता है?

    1. −∞ और +∞
    2. 0 और ∞
    3. 0 और 1
    4. −1 और +1
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — −1 और +1

    कॉशी–श्वार्ज़ असमिका से |Cov(x, y)| ≤ σₓσᵧ, अतः r, [−1, 1] में रहता है, और ±1 केवल पूर्ण सरल-रेखीय संबंध पर होता है।

  2. दो समाश्रयण गुणांक bᵧₓ = 0.8 और bₓᵧ = 0.2 हैं। सहसंबंध गुणांक है:

    1. 0.5
    2. 0.16
    3. 0.4
    4. −0.4
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 0.4

    r² = 0.8 × 0.2 = 0.16, अतः r = 0.4, धनात्मक क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं। 0.16, r² है, r नहीं।

  3. यदि bᵧₓ = −0.9 और bₓᵧ = −0.4 हो, तो r बराबर है:

    1. 0.36
    2. −0.36
    3. 0.6
    4. −0.6
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — −0.6

    r² = (−0.9)(−0.4) = 0.36, अतः |r| = 0.6, और r गुणांकों का साझा ऋणात्मक चिह्न लेता है: r = −0.6।

  4. दोनों समाश्रयण रेखाएँ किस बिंदु पर काटती हैं?

    1. (σₓ, σᵧ)
    2. (0, 0)
    3. (x̄, ȳ)
    4. (bₓᵧ, bᵧₓ)
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — (x̄, ȳ)

    प्रत्येक रेखा (y − ȳ) = b(x − x̄) या (x − x̄) = b(y − ȳ) रूप की है, और दोनों x = x̄, y = ȳ से संतुष्ट होती हैं। इसीलिए दोनों समीकरण हल करने पर माध्य मिलते हैं।

  5. किसी द्विचर आँकड़ा-समूह की समाश्रयण रेखाएँ x + 2y = 5 और 2x + 3y = 8 हैं। माध्य x̄ और ȳ हैं:

    1. x̄ = 1, ȳ = 2
    2. x̄ = 5, ȳ = 0
    3. x̄ = 4, ȳ = 0
    4. x̄ = 2, ȳ = 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x̄ = 1, ȳ = 2

    दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं। पहली से x = 5 − 2y; प्रतिस्थापन से 10 − 4y + 3y = 8, अतः y = 2 और x = 1।

  6. यदि r = 0.5, σₓ = 4 और σᵧ = 6 हो, तो x पर y का समाश्रयण गुणांक है:

    1. 3
    2. 0.33
    3. 1.5
    4. 0.75
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 0.75

    bᵧₓ = r·σᵧ/σₓ = 0.5 × 6/4 = 0.75। SD आपस में बदलने पर bₓᵧ = 0.5 × 4/6 ≈ 0.33 मिलता है।

  7. 5 कोटि-युग्मों के लिए कोटि-अंतरों के वर्गों का योग Σd² = 6 है। स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध है:

    1. 0.3
    2. 0.94
    3. 0.7
    4. 0.6
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 0.7

    ρ = 1 − 6 × 6/[5(25 − 1)] = 1 − 36/120 = 1 − 0.3 = 0.7। 36/120 पर रुक जाने से गलत 0.3 मिलता है।

  8. यदि हर x को (x − 10)/2 और हर y को (y − 50)/5 से बदल दिया जाए, तो सहसंबंध गुणांक:

    1. 2.5 से गुणा हो जाता है
    2. 10 से विभाजित हो जाता है
    3. चिह्न बदल लेता है
    4. अपरिवर्तित रहता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — अपरिवर्तित रहता है

    पैमाना-गुणक समान चिह्न के हों तो r मूलबिंदु और पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र है; यहाँ दोनों भाजक (2 और 5) धनात्मक हैं।

  9. दो गुणों की 2 × 2 सारणी में (AB) = 40, (Aβ) = 10, (αB) = 20 और (αβ) = 30 है। यूल का साहचर्य गुणांक Q है:

    1. 6/7
    2. 1/2
    3. 2/7
    4. 5/7
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 5/7

    Q = [(AB)(αβ) − (Aβ)(αB)]/[(AB)(αβ) + (Aβ)(αB)] = (1200 − 200)/(1200 + 200) = 1000/1400 = 5/7 ≈ 0.71, प्रबल धनात्मक साहचर्य।

  10. r₁₂ = 0.7, r₁₃ = 0.5 और r₂₃ = 0.5 दिए हैं। आंशिक सहसंबंध गुणांक r₁₂.₃ है:

    1. 0.6
    2. 0.7
    3. 0.45
    4. 0.52
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.6

    r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃)/√[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)] = (0.7 − 0.25)/√(0.75 × 0.75) = 0.45/0.75 = 0.6। 0.52 इन्हीं आँकड़ों का R²₁.₂₃ है।