सांख्यिकीय आँकड़ों का संकलन, वर्गीकरण और प्रस्तुतीकरण

इस प्रश्नपत्र की हर सांख्यिकीय विधि कच्चे आँकड़ों के उस ढेर से शुरू होती है जिसे किसी ने एकत्र किया, छाँटा और व्यवस्थित किया। यह अध्याय उसी पहले चरण को पढ़ाता है: प्राथमिक और द्वितीयक आँकड़े, प्राथमिक आँकड़े एकत्र करने की विधियाँ, कच्चे आँकड़ों को बारंबारता बंटन में वर्गीकृत करना, सारणी बनाना, और बंटन को प्रस्तुत करने वाले आरेख व ग्राफ़ — दंड आरेख, वृत्त आरेख, आयतचित्र, बारंबारता बहुभुज और तोरण। पेपर-II इन्हें छोटे परिभाषा व रचना-प्रश्नों के रूप में पूछता है, और जाल लगभग हमेशा वर्ग-सीमाओं और असमान वर्ग-अंतरालों में होता है।

प्राथमिक और द्वितीयक आँकड़े

आँकड़ों का एक 'पहला स्वामी' होता है, ऐसा सोचिए। प्राथमिक आँकड़े अन्वेषक द्वारा पहली बार, सामने के उद्देश्य के लिए एकत्र किए जाते हैं — जैसे अपने अध्ययन के लिए बनाया गया घरेलू व्यय का सर्वेक्षण। द्वितीयक आँकड़े किसी और ने किसी अन्य उद्देश्य से एकत्र किए थे और अब दोबारा उपयोग हो रहे हैं — जनगणना सारणियाँ, RBI बुलेटिन, किसी कंपनी की वार्षिक रिपोर्ट। एक ही आँकड़े उन्हें एकत्र करने वाली संस्था के लिए प्राथमिक और बाद में उन्हें उद्धृत करने वाले हर व्यक्ति के लिए द्वितीयक हो सकते हैं।

प्राथमिक बनाम द्वितीयक
बिंदुप्राथमिकद्वितीयक
कौन एकत्र करता हैअन्वेषक, पहली बारकोई अन्य संस्था, पहले
उद्देश्य से मेलपूराजाँचना पड़ता है
लागत व समयअधिककम
स्रोतसर्वेक्षण, साक्षात्कार, अनुसूचियाँप्रकाशित रिपोर्टें, अभिलेख, पत्रिकाएँ
⚠️ परीक्षा जाल
द्वितीयक आँकड़े उपयोग करने से पहले तीन बातें जाँचें: विश्वसनीयता (किसने और कैसे एकत्र किए), उपयुक्तता (आपकी जाँच जैसी परिभाषाएँ और इकाइयाँ) और पर्याप्तता (पर्याप्त कवरेज)। जो प्रश्न पूछे कि आँकड़े दोबारा उपयोग करने से पहले क्या जाँचना चाहिए, वह इन्हीं तीन को पूछ रहा है।

प्राथमिक आँकड़े एकत्र करने की विधियाँ

प्राथमिक आँकड़े पाँच मानक विधियों से एकत्र किए जाते हैं। ये इस बात में भिन्न हैं कि प्रश्न कौन पूछता है, उत्तर कौन लिखता है और कितना बड़ा क्षेत्र कवर हो सकता है।

पाँच विधियाँ
विधिकैसे काम करती हैकब उपयुक्त
प्रत्यक्ष व्यक्तिगत अन्वेषणअन्वेषक हर सूचक से स्वयं मिलता हैछोटा क्षेत्र, उच्च शुद्धता
अप्रत्यक्ष मौखिक अन्वेषणतथ्य जानने वाले तीसरे पक्षों से पूछा जाता हैसूचक अनिच्छुक या अप्राप्य
स्थानीय संवाददाताओं द्वारा सूचनाप्रत्येक क्षेत्र के प्रतिनिधि रिपोर्ट भेजते हैंनियमित, अनुमानित आँकड़े
डाक प्रश्नावलीसूचक स्वयं प्रपत्र भरकर लौटाते हैंविस्तृत क्षेत्र, शिक्षित सूचक
प्रगणकों द्वारा भरी अनुसूचियाँप्रशिक्षित प्रगणक पूछते और लिखते हैंबड़े सर्वेक्षण, जैसे जनगणना
🧠 याद रखने की ट्रिक
प्रश्नावली — उत्तर सूचक स्वयं लिखता है। अनुसूची — उत्तर प्रगणक लिखता है। जनगणना अनुसूची का उपयोग करती है क्योंकि बहुत से सूचकों पर स्वयं प्रपत्र भरने का भरोसा नहीं किया जा सकता।

कवरेज एक अलग निर्णय है। संगणना (पूर्ण गणना) समष्टि की हर इकाई का अध्ययन करती है; प्रतिदर्श सर्वेक्षण एक भाग का अध्ययन कर शेष के बारे में अनुमान लगाता है। संगणना में प्रतिचयन त्रुटि नहीं होती, पर यह धीमी और महँगी है, और जब इकाई का परीक्षण उसे नष्ट कर दे — जैसे बल्बों की आयु जाँचना — तब संभव ही नहीं।

वर्गीकरण, वर्ग-अंतराल और सारणीयन

वर्गीकरण कच्चे आँकड़ों को किसी साझा विशेषता के आधार पर समूहित करता है: भौगोलिक (स्थान के अनुसार), कालानुक्रमिक (समय के अनुसार), गुणात्मक (साक्षरता जैसे किसी गुण के अनुसार) और मात्रात्मक (आय जैसे मापे गए चर के अनुसार)। मात्रात्मक चर असतत है यदि वह मानों के बीच छलाँग लगाता है (बच्चों की संख्या) और सतत है यदि वह किसी परास में कोई भी मान ले सकता है (ऊँचाई)। सतत आँकड़ों को वर्ग-अंतरालों में समूहित किया जाता है।

वर्ग-अंतराल की शब्दावली
पदअर्थउदाहरण: समावेशी वर्ग 10–19
वर्ग-सीमाएँलिखी गई दो संख्याएँ10 and 19
वर्ग-परिसीमाएँसीमाओं को अंतर के आधे से बाहर खिसकाना9.5 and 19.5
वर्ग-चौड़ाईउच्च परिसीमा − निम्न परिसीमा10
मध्य-मान(निम्न + उच्च सीमा) ÷ 214.5

अपवर्जी विधि (10–20, 20–30, …) में एक वर्ग की उच्च सीमा अगले वर्ग की निम्न सीमा होती है और ठीक 20 का मान 20–30 में जाता है। समावेशी विधि (10–19, 20–29, …) में दोनों सीमाएँ वर्ग में शामिल हैं, और आयतचित्र बनाने या अंतर्वेशन सूत्र लगाने से पहले अंतर का आधा — यहाँ 0.5 — घटा-जोड़कर परिसीमाओं में बदलना पड़ता है। स्टर्जेस नियम वर्गों की संख्या सुझाता है: k = 1 + 3.322 log₁₀N; N = 100 पर यह 7.644 देता है, अर्थात लगभग 8 वर्ग।

सांख्यिकीय सारणी के निश्चित भाग होते हैं: सारणी संख्या और शीर्षक; उपशीर्षक (स्तंभ-शीर्ष); पंक्ति-शीर्ष (स्टब); मुख्य भाग (आँकड़े); शीर्ष-टिप्पणी (इकाइयाँ, शीर्षक के नीचे); और नीचे पाद-टिप्पणी व स्रोत-टिप्पणी। सारणीयन वर्गीकरण के बाद आता है — जिसे वर्गीकृत नहीं किया, उसे सारणीबद्ध नहीं कर सकते।

बंटन के आरेख और ग्राफ़

दंड आरेख अलग-अलग श्रेणियों की तुलना समान चौड़ाई के दंडों से करता है जिनकी ऊँचाई मान दर्शाती है; दंडों के बीच का अंतर जान-बूझकर रखा जाता है। वृत्त आरेख 360° को प्रत्येक घटक के अनुपात में बाँटता है: कोण = (घटक ÷ कुल) × 360°।

हल किया गया वृत्त आरेख: ₹12,000 का मासिक बजट
मदव्यय (₹)कोण
भोजन4800144°
किराया300090°
शिक्षा180054°
अन्य240072°

आयतचित्र सतत बारंबारता बंटन के लिए है: आयत वर्ग-परिसीमाओं पर बिना अंतर के खड़े होते हैं, और प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल उसकी बारंबारता के समानुपाती होता है। चौड़ाइयाँ समान हों तो ऊँचाई = बारंबारता। असमान हों तो ऊँचाई बारंबारता घनत्व (बारंबारता ÷ चौड़ाई) होनी चाहिए, या मानक चौड़ाई पर समायोजित बारंबारता।

असमान चौड़ाइयाँ: 10 की चौड़ाई पर समायोजित ऊँचाई
वर्गचौड़ाईबारंबारताखींचने की ऊँचाई
0–101055
10–201088
20–4020126
40–501066

बारंबारता बहुभुज (मध्य-मान, बारंबारता) बिंदुओं को — अर्थात आयतचित्र के आयतों के शीर्षों के मध्य-बिंदुओं को — जोड़ता है, और दोनों सिरों पर एक-एक खाली वर्ग के मध्य-मान तक बढ़ाकर बंद किया जाता है। तोरण (ओजाइव) संचयी बारंबारता का ग्राफ़ है: 'से कम' तोरण संचयी बारंबारता को उच्च परिसीमाओं के सापेक्ष अंकित करता है और ऊपर उठता है; 'से अधिक' तोरण निम्न परिसीमाओं के सापेक्ष अंकित होकर नीचे गिरता है। दोनों तोरण माध्यिका पर काटते हैं।

⚠️ परीक्षा जाल
चौड़ाइयाँ भिन्न होने पर बारंबारता को ही ऊँचाई मानकर आयतचित्र बनाना सबसे आम रचना-त्रुटि है। दुगुनी चौड़ाई और समान बारंबारता वाला वर्ग आधी ऊँचाई का बनना चाहिए।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

  • आपके अध्ययन में उद्धृत जनगणना आँकड़े आपके लिए द्वितीयक हैं, जनगणना कार्यालय के लिए प्राथमिक।
  • आयतचित्र, माध्यिका या बहुलक निकालने से पहले समावेशी वर्गों को परिसीमाओं में बदलना ज़रूरी है।
  • दंड आरेख: अंतराल होते हैं, ऊँचाई मायने रखती है। आयतचित्र: अंतराल नहीं, क्षेत्रफल मायने रखता है।
  • बारंबारता बहुभुज मध्य-मान लेता है; तोरण वर्ग-परिसीमाएँ और संचयी बारंबारता लेता है।
  • वृत्त कोण = हिस्सा × 360°; कुल का चौथाई सदैव 90° होता है।
🧠 याद रखने की ट्रिक
उपशीर्षक स्तंभों पर, पंक्ति-शीर्ष (स्टब) बगल की पंक्तियों पर: 'उपशीर्षक — स्तंभ, स्टब — पंक्तियाँ'।

मुख्य बिंदु

  • प्राथमिक आँकड़े प्रत्यक्ष और उद्देश्य-विशेष होते हैं; द्वितीयक आँकड़े दोबारा उपयोग होते हैं और उनकी विश्वसनीयता, उपयुक्तता व पर्याप्तता जाँचनी पड़ती है।
  • प्रश्नावली सूचक भरता है, अनुसूची प्रगणक भरता है।
  • समावेशी वर्गों को हर सीमा अंतर के आधे से बाहर खिसकाकर परिसीमाओं में बदलें; मध्य-मान = (निम्न + उच्च सीमा) ÷ 2।
  • आयतचित्र में ऊँचाई नहीं, क्षेत्रफल बारंबारता दर्शाता है; असमान चौड़ाई पर बारंबारता घनत्व अंकित करें।
  • 'से कम' और 'से अधिक' तोरण माध्यिका पर मिलते हैं; वृत्त-कोण घटक का 360° में हिस्सा है।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक शोधकर्ता परिवहन पर व्यय के अध्ययन हेतु 400 परिवारों का स्वयं सर्वेक्षण करती है। उसके अध्ययन के लिए ये आँकड़े हैं:

    1. द्वितीयक आँकड़े
    2. प्रकाशित आँकड़े
    3. व्युत्पन्न आँकड़े
    4. प्राथमिक आँकड़े
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — प्राथमिक आँकड़े

    उसने इन्हें स्वयं, पहली बार और इसी उद्देश्य से एकत्र किया, इसलिए ये प्राथमिक हैं। जो बाद में इनका उपयोग करेगा उसके लिए ये द्वितीयक होंगे।

  2. प्राथमिक आँकड़े एकत्र करने की किस विधि में प्रशिक्षित प्रगणक स्वयं प्रश्न पूछता और उत्तर लिखता है?

    1. अप्रत्यक्ष मौखिक अन्वेषण
    2. स्थानीय संवाददाताओं द्वारा सूचना
    3. प्रगणकों द्वारा भरी अनुसूचियाँ
    4. डाक प्रश्नावली
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — प्रगणकों द्वारा भरी अनुसूचियाँ

    अनुसूची प्रगणक भरता है, प्रश्नावली सूचक। इसीलिए जनगणना जैसे बड़े सर्वेक्षण अनुसूची पर निर्भर करते हैं।

  3. समावेशी वर्ग 30–39 (आँकड़े पूर्णांकों में) की उच्च वर्ग-परिसीमा है:

    1. 34.5
    2. 39
    3. 40
    4. 39.5
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 39.5

    39 और अगले वर्ग की निम्न सीमा 40 के बीच अंतर 1 है, अतः हर सीमा 0.5 बाहर खिसकती है: परिसीमाएँ 29.5 और 39.5।

  4. बारंबारता बहुभुज बारंबारताओं को किसके सापेक्ष अंकित करके बनाया जाता है?

    1. निम्न वर्ग-सीमाएँ
    2. उच्च वर्ग-परिसीमाएँ
    3. संचयी बारंबारताएँ
    4. वर्गों के मध्य-मान
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — वर्गों के मध्य-मान

    बहुभुज (मध्य-मान, बारंबारता) बिंदुओं को जोड़ता है। उच्च परिसीमाओं के साथ संचयी बारंबारता 'से कम' तोरण बनाती है।

  5. किसी परिवार के ₹3,600 के मासिक व्यय के वृत्त आरेख में किराया ₹900 है। किराए के त्रिज्यखंड का कोण है:

    1. 60°
    2. 90°
    3. 120°
    4. 25°
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 90°

    कोण = (900 ÷ 3600) × 360° = 0.25 × 360° = 90°। 25 प्रतिशत हिस्सा है, कोण नहीं।

  6. एक आयतचित्र में अधिकांश वर्गों की चौड़ाई 10 है, और वर्ग 20–40 की बारंबारता 18 है। क्षेत्रफल को बारंबारता के समानुपाती रखने के लिए इसका आयत कितनी ऊँचाई का बनेगा?

    1. 9
    2. 0.9
    3. 18
    4. 36
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 9

    वर्ग मानक चौड़ाई का दुगुना है, अतः ऊँचाई = 18 × 10 ÷ 20 = 9। इसे 18 पर बनाने से क्षेत्रफल दुगुना होकर वर्ग बढ़ा-चढ़ाकर दिखेगा।

  7. किसी बंटन के 'से कम' और 'से अधिक' तोरण जिस बिंदु पर काटते हैं, उसका भुज (x-मान) होता है:

    1. परास
    2. माध्यिका
    3. माध्य
    4. बहुलक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — माध्यिका

    कटान-बिंदु पर नीचे की इकाइयाँ ऊपर की इकाइयों के बराबर होती हैं, यानी दोनों ओर N/2 — यही माध्यिका की परिभाषा है।

  8. स्टर्जेस नियम k = 1 + 3.322 log₁₀N से 64 प्रेक्षणों के लिए वर्गों की सुझाई गई संख्या लगभग है (log₁₀64 = 1.806):

    1. 64
    2. 7
    3. 8
    4. 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 7

    k = 1 + 3.322 × 1.806 = 1 + 6.0 = 7.0, अतः 7 वर्ग। स्टर्जेस नियम ठीक 1 + log₂N देता है, और log₂64 = 6।

  9. सांख्यिकीय सारणी में स्तंभों के शीर्षकों को क्या कहते हैं?

    1. शीर्ष-टिप्पणी
    2. पंक्ति-शीर्ष (स्टब)
    3. मुख्य भाग
    4. उपशीर्षक (कैप्शन)
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — उपशीर्षक (कैप्शन)

    उपशीर्षक = स्तंभ-शीर्ष; स्टब = बगल की पंक्ति-शीर्ष; शीर्ष-टिप्पणी = शीर्षक के नीचे इकाई वाली पंक्ति; मुख्य भाग = आँकड़े।

  10. किसी कारखाने के हर बल्ब की जलने की आयु जाँचना मुख्यतः क्यों अव्यावहारिक है?

    1. परीक्षण इकाई को नष्ट कर देता है, अतः केवल प्रतिदर्श जाँचा जा सकता है
    2. बल्बों के द्वितीयक आँकड़े सदैव उपलब्ध रहते हैं
    3. बल्ब की आयु एक गुणात्मक विशेषता है
    4. संगणना में प्रतिचयन त्रुटि सदैव अधिक होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परीक्षण इकाई को नष्ट कर देता है, अतः केवल प्रतिदर्श जाँचा जा सकता है

    विनाशकारी परीक्षण के बाद बेचने को कुछ नहीं बचता, अतः यहाँ संगणना असंभव है। संगणना में प्रतिचयन त्रुटि होती ही नहीं, और जलने की आयु मापा गया मात्रात्मक चर है।