काल श्रेणी विश्लेषण

काल श्रेणी वह चर है जो समय के क्रमिक बिंदुओं पर दर्ज होता है — मासिक कीमतें, तिमाही उत्पादन, वार्षिक जनसंख्या। इसकी गति दीर्घकालीन उपनति, नियमित मौसमी प्रतिरूप, धीमे चक्रों और यादृच्छिक झटकों का संयुक्त प्रभाव है। यह अध्याय चार घटक तथा योगात्मक और गुणात्मक प्रतिरूप, उपनति निर्धारण की विधियाँ (मुक्त-हस्त, अर्ध-माध्य, गतिमान माध्य और न्यूनतम वर्ग), और मौसमी विचरण मापने की विधियाँ पढ़ाता है।

चार घटक

काल श्रेणी के घटक
घटकक्या हैउदाहरण
दीर्घकालीन उपनति (T)दीर्घकाल की सहज दिशादशकों में जनसंख्या वृद्धि
मौसमी विचरण (S)एक वर्ष के भीतर दोहराया जाने वाला प्रतिरूपहर त्योहारी मौसम में बिक्री बढ़ना
चक्रीय विचरण (C)एक वर्ष से अधिक चलने वाले, अनियमित अवधि के उतार-चढ़ावव्यापार चक्र: तेज़ी, मंदी, अवसाद, पुनरुद्धार
अनियमित विचरण (I)अप्रत्याशित, यादृच्छिक झटकेबाढ़, हड़ताल, महामारी

दो प्रतिरूप इन्हें जोड़ते हैं। योगात्मक प्रतिरूप Y = T + S + C + I हर घटक को Y की इकाइयों में जोड़ी गई मात्रा मानता है। गुणात्मक प्रतिरूप Y = T × S × C × I, S, C और I को उपनति पर लगाए गए अनुपात (सूचकांक) मानता है, और सामान्यतः यही चुना जाता है क्योंकि मौसमी उतार-चढ़ाव श्रेणी के स्तर के साथ बढ़ते हैं।

⚠️ परीक्षा जाल
मौसमी का अर्थ है एक वर्ष के भीतर का चक्र (मास, तिमाही), कारण चाहे मौसम हो, त्योहार या वित्त-वर्ष का अंत। पाँच से सात वर्ष का उतार-चढ़ाव चक्रीय है, मौसमी नहीं।

उपनति का मापन

  • मुक्त-हस्त वक्र: अंकित श्रेणी से आँख से एक सहज रेखा खींचें — तेज़, पर व्यक्तिनिष्ठ।
  • अर्ध-माध्य: श्रेणी को दो आधों में बाँटें, हर आधे का औसत लें, औसतों को हर आधे के मध्य में अंकित कर जोड़ें; ढाल = औसतों का अंतर ÷ उनके मध्य-बिंदुओं का अंतराल।
  • गतिमान माध्य: हर मान को उस पर केंद्रित m मानों के औसत से बदलें। विषम अवधि किसी समय-बिंदु पर बैठती है; सम अवधि दो बिंदुओं के बीच पड़ती है और क्रमिक गतिमान माध्यों के युग्म-औसत से केंद्रित करनी पड़ती है। सही अवधि का गतिमान माध्य उसी लंबाई के नियमित चक्र को हटा देता है।
  • न्यूनतम वर्ग: Σ(y − a − bx)² न्यूनतम करके y = a + bx आसंजित करें। x को इस प्रकार कूटित करें कि Σx = 0, तब सीधे a = Σy/n और b = Σxy/Σx²।
हल की गई न्यूनतम-वर्ग उपनति, पाँच वर्ष −2 से 2 कूटित
वर्ष कूट xyxyx²
-210-204
-112-121
01500
116161
217344
योग701810

a = 70/5 = 14 और b = 18/10 = 1.8, अतः उपनति y = 14 + 1.8x है (मूल बीच के वर्ष पर, x वर्षों में)। अंतिम वर्ष के दो वर्ष बाद (x = 4) का आकलन 14 + 7.2 = 21.2 है। श्रेणी 10, 12, 15, 16, 17, 20 के त्रिवर्षीय गतिमान माध्य 12.33, 14.33, 16, 17.67 हैं।

मौसमी विचरण का मापन

चार विधियाँ
विधिकैसेटिप्पणी
सरल माध्यहर मास या तिमाही का वर्षों पर औसत लें; समग्र औसत के % में व्यक्त करेंउपनति नहीं मानती
उपनति से अनुपातहर मान को उसके उपनति मान से भाग दें, फिर मौसम-वार अनुपातों का औसत लेंउपनति हटती है; चक्र रहते हैं
गतिमान माध्य से अनुपातहर मान को केंद्रित 12-मासिक या 4-तिमाही गतिमान माध्य से भाग देंसबसे अधिक प्रयुक्त; उपनति और चक्र दोनों हटाती है
शृंखला सापेक्षहर मौसम पिछले मौसम के % के रूप में, शृंखलित और उपनति हेतु संशोधितकार्ल पियर्सन द्वारा

मौसमी सूचकांकों को अंत में इस प्रकार समायोजित किया जाता है कि उनका औसत 100 हो: तिमाही सूचकांकों का योग 400 और मासिक सूचकांकों का 1,200 होना चाहिए। यदि चार कच्चे तिमाही सूचकांकों का योग 404 हो, तो प्रत्येक को 400/404 से गुणा करें। मूल आँकड़ों को मौसमी सूचकांक से भाग देने (× 100) पर मौसम-निरपेक्ष आँकड़े मिलते हैं।

परीक्षा के जाल और त्वरित पुनरावृत्ति

  • T, S, C, I; गुणात्मक Y = T × S × C × I सामान्य प्रतिरूप है।
  • मौसमी = एक वर्ष के भीतर; चक्रीय = एक वर्ष से लंबा।
  • Σx = 0 के साथ न्यूनतम वर्ग: a = Σy/n, b = Σxy/Σx²।
  • सम अवधि वाले गतिमान माध्य केंद्रित करने पड़ते हैं।
  • तिमाही मौसमी सूचकांकों का योग 400, मासिक का 1,200।

मुख्य बिंदु

  • काल श्रेणी उपनति, मौसमी, चक्रीय और अनियमित घटकों को जोड़ती है।
  • गुणात्मक प्रतिरूप Y = T × S × C × I मानक है; योगात्मक प्रतिरूप Y = T + S + C + I है।
  • उपनति मुक्त-हस्त, अर्ध-माध्य, गतिमान माध्य या न्यूनतम वर्ग से।
  • मौसमी सूचकांकों की मानक विधि गतिमान माध्य से अनुपात है।
  • मौसमी सूचकांक औसत 100 पर समायोजित होते हैं: तिमाहियों का योग 400, मासों का 1,200।

अभ्यास प्रश्न (10)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. काल श्रेणी में एक वर्ष के भीतर नियमित रूप से दोहराए जाने वाले उतार-चढ़ाव कहलाते हैं:

    1. दीर्घकालीन उपनति
    2. अनियमित विचरण
    3. मौसमी विचरण
    4. चक्रीय विचरण
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — मौसमी विचरण

    एक वर्ष या कम अवधि का प्रतिरूप मौसमी है। कई वर्ष चलने वाले उतार-चढ़ाव चक्रीय हैं।

  2. व्यापारिक गतिविधि का समृद्धि–मंदी–अवसाद–पुनरुद्धार प्रतिरूप किसका उदाहरण है?

    1. अनियमित विचरण
    2. मौसमी विचरण
    3. चक्रीय विचरण
    4. दीर्घकालीन उपनति
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — चक्रीय विचरण

    व्यापार चक्र के चरण कई वर्षों में और अनियमित अवधि के होते हैं, यही चक्रीय विचरण की परिभाषा है।

  3. काल श्रेणी का गुणात्मक प्रतिरूप है:

    1. Y = (T + S) × (C + I)
    2. Y = T × S × C × I
    3. Y = T + S + C + I
    4. Y = T × S + C × I
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Y = T × S × C × I

    गुणात्मक प्रतिरूप में उपनति Y की इकाई में है और S, C, I उस पर लगाए गए अनुपात हैं। योगात्मक प्रतिरूप चारों को जोड़ता है।

  4. पाँच वर्षों के लिए, x = −2, −1, 0, 1, 2 कूटित, Σy = 70, Σxy = 18 और Σx² = 10 है। न्यूनतम-वर्ग उपनति रेखा है:

    1. y = 14 + 18x
    2. y = 14 + 1.8x
    3. y = 70 + 1.8x
    4. y = 1.8 + 14x
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — y = 14 + 1.8x

    Σx = 0 होने पर a = Σy/n = 14 और b = Σxy/Σx² = 1.8। Σy को ही a लेने पर गलत 70 मिलता है।

  5. उपनति y = 14 + 1.8x (पाँच वर्षों के बीच वाले वर्ष पर x = 0, x वर्षों में) से पाँच में से अंतिम वर्ष के दो वर्ष बाद का उपनति मान है:

    1. 19.4
    2. 23
    3. 21.2
    4. 17.6
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 21.2

    अंतिम वर्ष x = 2 है, अतः दो वर्ष बाद x = 4: y = 14 + 1.8 × 4 = 21.2। x = 2 लेने पर 17.6 मिलता है, जो अंतिम वर्ष का ही उपनति मान है।

  6. श्रेणी 4, 6, 8, 10, 12 का पहला त्रिवर्षीय गतिमान माध्य है:

    1. 6
    2. 18
    3. 5
    4. 8
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 6

    (4 + 6 + 8)/3 = 6, तीनों के मध्य, दूसरे वर्ष के सामने रखा जाता है। अगले 8 और 10 हैं; 18, 3 से भाग देने से पहले का गतिमान योग है।

  7. चार-वर्षीय गतिमान माध्य को केंद्रित करना पड़ता है क्योंकि:

    1. सम अवधि हर औसत को दो समय-बिंदुओं के बीच रख देती है
    2. यह उपनति हटा देता है
    3. गतिमान माध्यों का योग 400 होना चाहिए
    4. चार चक्र-लंबाई से बड़ा है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सम अवधि हर औसत को दो समय-बिंदुओं के बीच रख देती है

    वर्ष 1 से 4 का औसत वर्ष 2 और 3 के बीच के मध्य-बिंदु पर आता है। ऐसे औसतों के क्रमिक युग्मों का औसत लेने पर वे वास्तविक वर्षों पर लौट आते हैं।

  8. आँकड़ों से निकाले गए चार तिमाही मौसमी सूचकांकों का योग 404 है। उपयोग से पहले प्रत्येक को किससे गुणा करना चाहिए?

    1. 100/404
    2. 404/400
    3. 400/404
    4. 4/404
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 400/404

    तिमाही सूचकांकों का औसत 100 होना चाहिए, अतः उनका योग 400। प्रत्येक को 400/404 से गुणा करने पर योग ठीक 400 हो जाता है।

  9. मौसमी विचरण मापने की शृंखला सापेक्ष विधि किसने सुझाई?

    1. इरविंग फ़िशर
    2. कार्ल पियर्सन
    3. ए. एल. बाउले
    4. आर. ए. फ़िशर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कार्ल पियर्सन

    कार्ल पियर्सन की शृंखला सापेक्ष विधि हर मौसम को पिछले के प्रतिशत के रूप में व्यक्त कर उन्हें शृंखलित करती है। इरविंग फ़िशर आदर्श सूचकांक के लिए जाने जाते हैं।

  10. छह वर्ष की श्रेणी को तीन-तीन वर्ष के दो आधों में बाँटा गया है। पहले आधे का औसत 20 और दूसरे का 26 है। अर्ध-माध्य विधि से उपनति में वार्षिक वृद्धि है:

    1. 6
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 2

    दोनों औसत आधों के मध्य में बैठते हैं, जो 3 वर्ष दूर हैं। वार्षिक वृद्धि = (26 − 20)/3 = 2। 6 कुल वृद्धि है, वार्षिक नहीं।