ऊर्जा विधियाँ, शाफ़्ट का मरोड़, Euler buckling तथा पतली-दीवार दाब पात्र

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर का है और XE3 ठोस यांत्रिकी के खंड XE3.2, विकृतिशील पिंडों की यांत्रिकी, की समापन पंक्तियों का उत्तर देता है; XE3 उन नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है जिनमें से कोई दो अभ्यर्थी परीक्षा में चुनता है। यह जिन पंक्तियों को पूरा करता है: “energy methods (Castigliano’s theorems); torsion of circular shaft; Euler Buckling; thin-walled pressure vessels.” इसमें विक्षेप व redundant प्रतिक्रिया के लिए विकृति ऊर्जा तथा Castigliano प्रमेय, ठोस व खोखले वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़ (शक्ति संचरण तथा श्रेणी व समांतर शाफ़्ट सहित), प्रभावी लंबाइयों के साथ Euler क्रांतिक भार व सूत्र की सीमा, तथा पतले बेलनों व गोलों के प्रतिबल व आयतन परिवर्तन पढ़ाए गए हैं। संख्यात्मक प्रश्न: Castigliano विक्षेप, शाफ़्ट व्यास व ऐंठन, श्रेणी शाफ़्ट, क्रांतिक भार व कृशता सीमाएँ, तथा घेरा प्रतिबल व आयतनिक विकृति।

1. विकृति ऊर्जा व Castigliano प्रमेय

रैखिक प्रत्यास्थ पिंड में भारों द्वारा किया गया कार्य विकृति ऊर्जा U के रूप में संचित होता है। मानक व्यंजक: अक्षीय U = ∫N²dx/(2AE) (एकसमान छड़ के लिए U = P²L/2AE); बंकन U = ∫M²dx/(2EI); मरोड़ U = ∫T²dx/(2GJ); अनुप्रस्थ अपरूपण U = ∫αV²dx/(2GA), जहाँ α परिच्छेद गुणक है। ऊर्जा भार में द्विघात है, इसलिए उसे अध्यारोपित नहीं किया जा सकता: दो भारों की U अलग-अलग ऊर्जाओं का योग नहीं होती, क्योंकि क्रॉस पद आता है।

Castigliano का प्रथम प्रमेय: यदि U को विस्थापनों δᵢ के फलन के रूप में लिखा जाए तो i पर भार Pᵢ = ∂U/∂δᵢ है। Castigliano का द्वितीय प्रमेय: यदि U को भारों के फलन के रूप में लिखा जाए तो Pᵢ की दिशा में i का विस्थापन δᵢ = ∂U/∂Pᵢ है। जहाँ कोई भार नहीं है वहाँ dummy भार Q जोड़ें, अवकलन करें, फिर Q = 0 रखें। घूर्णन के लिए Q की जगह युग्म लेकर यही लागू होता है।

हल उदाहरण: कैंटिलीवर के सिरे का विक्षेप। x को मुक्त सिरे से लें, M = −Px। U = ∫₀ᴸ P²x²dx/(2EI) = P²L³/(6EI), अतः δ = ∂U/∂P = PL³/(3EI), जो मानक परिणाम से मिलता है। सिरे पर भार P और एकसमान भार w के साथ, सिरे पर dummy भार Q रखकर, M = −(P + Q)x − wx²/2, ∂M/∂Q = −x, और δ = ∫(M)(∂M/∂Q)dx/EI = [PL³/3 + wL⁴/8]/EI। संख्यात्मक रूप से, L = 2 m, EI = 8000 kN·m², P = 5 kN व w = 10 kN/m के लिए: δ = (5 × 8/3 + 10 × 16/8)/8000 = 33.33/8000 = 4.17 mm।

⚠️ dummy भार व विस्थापन की दिशा
प्रमेय उस भार के प्रयोग-बिंदु का उसी भार की दिशा में विस्थापन देता है। संख्याएँ रखने से पहले अवकलन करें, और dummy भार को अवकलन के बाद ही शून्य करें। बंकन-प्रधान बीमों व फ्रेमों में अपरूपण व अक्षीय ऊर्जा सामान्यतः छोड़ दी जाती है, अतः बताएँ कि कौन-से पद रखे गए हैं; छोटे, गहरे बीम में अपरूपण पद नगण्य नहीं होता।

2. redundant प्रतिक्रिया हेतु Castigliano

यदि आधार दृढ़ prop है तो prop पर विक्षेप शून्य है, अतः redundant प्रतिक्रिया R को भार-चर लेकर ∂U/∂R = 0 (और k कठोरता वाले स्प्रिंग आधार के लिए ∂U/∂R = −R/k)। पहले R को अज्ञात बाह्य भार मानकर बीम को स्थैतिक रूप से निर्धार्य बनाया जाता है, M को वास्तविक भारों व R के पदों में लिखा जाता है, और U का अवकलन किया जाता है।

हल उदाहरण: propped cantilever। एक सिरे पर fixed, दूसरे पर prop, स्पैन L, एकसमान भार w। x को prop से मापें: M = Rx − wx²/2। तब ∂U/∂R = (1/EI)∫₀ᴸ M (∂M/∂R) dx = (1/EI)∫₀ᴸ (Rx² − wx³/2) dx = (1/EI)(RL³/3 − wL⁴/8) = 0, अतः R = 3wL/8, जो पिछले अध्याय की compatibility विधि से मेल खाता है। मध्य बिंदु भार P के साथ वही गणना R = 5P/16 देती है।

🎯 दृढ़ आधार पर विक्षेप शून्य क्यों है
बीम के विरूपित होने पर prop कार्य नहीं करता क्योंकि वह हिलता नहीं। अतः संचित ऊर्जा redundant के सापेक्ष न्यूनतम होती है, जो ठीक कथन ∂U/∂R = 0 (least work प्रमेय) है। यह शर्त ज्यामितीय है, इसलिए वही compatibility आवश्यकता है, बस ऊर्जा के माध्यम से व्यक्त।

3. वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़

वृत्ताकार शाफ़्ट (ठोस या खोखले) के प्रत्यास्थ मरोड़ में परिच्छेद समतल व वृत्ताकार रहते हैं और अपरूपण विकृति त्रिज्या के साथ रैखिक बदलती है। इससे τ = Tr/J तथा θ = TL/(GJ) (रेडियन) मिलते हैं, T/J = τ/r = Gθ/L के साथ। ध्रुवीय द्वितीय आघूर्ण ठोस शाफ़्ट में J = πd⁴/32 और खोखले में J = π(D⁴ − d⁴)/32 है। अधिकतम प्रतिबल τmax = TD/2J = 16T/(πd³) बाहरी सतह पर होता है; खोखले शाफ़्ट में आंतरिक त्रिज्या पर प्रतिबल τmax × (d/D) है। 45° के तलों पर प्रतिबल मुख्य, ±τ, होते हैं, इसीलिए भंगुर शाफ़्ट कुंडली-रूप में दरकते हैं।

हल उदाहरण। ठोस इस्पात शाफ़्ट, d = 50 mm, G = 80 GPa, लंबाई 1.5 m, 300 rpm पर 30 kW संचारित करता है। ω = 2π × 300/60 = 31.42 rad/s, अतः T = P/ω = 30 000/31.42 = 954.9 N·m। τmax = 16 × 954.9 × 10³/(π × 50³) = 38.9 MPa। J = π × 50⁴/32 = 6.136 × 10⁵ mm⁴ और θ = 954.9 × 10³ × 1500/(80 000 × 6.136 × 10⁵) = 0.02918 rad = 1.67°। शक्ति P = Tω = 2πNT/60 है, जहाँ N rpm में व T N·m में हो तो वाट मिलते हैं; नियत शक्ति पर गति बढ़ने से टॉर्क घटता है, अतः तेज़ गति का शाफ़्ट पतला हो सकता है।

⚠️ rpm व rad/s
शक्ति से T निकालने से पहले rpm को 2π/60 से rad/s में बदलें। सामान्य भूल P = Tω में N को सीधे लेना है, जिससे ω 9.55 गुना बढ़ा आँका जाता है। साथ ही, खोखले शाफ़्ट का J चतुर्थ घातों का अंतर है, (D − d)⁴ नहीं।

4. खोखले बनाम ठोस शाफ़्ट, श्रेणी व समांतर शाफ़्ट

अक्ष के पास की सामग्री कम प्रतिबलित होती है, अतः उसे हटाने से सामर्थ्य कम घटती है। समान भार (समान क्षेत्रफल) व समान सामग्री के लिए, अधिक व्यास का खोखला शाफ़्ट अधिक J/R रखता है और समान τmax पर अधिक टॉर्क वहन करता है। उदाहरण: 50 mm व्यास का ठोस शाफ़्ट (क्षेत्रफल 1963 mm²) बाहरी व्यास 60 mm और भीतरी व्यास 33.17 mm की नलिका से बदला जाता है, जिसका क्षेत्रफल समान है। इसका ध्रुवीय परिच्छेद गुणांक π(D⁴ − d⁴)/(16D) = 38 452 mm³ है जबकि ठोस का πd³/16 = 24 544 mm³ है, अर्थात् समान τmax पर 1.57 गुना टॉर्क।

श्रेणी शाफ़्ट (सिरे से सिरा जुड़ा, एक सिरा fixed, मुक्त सिरे पर टॉर्क) समान टॉर्क T वहन करते हैं और कोण जुड़ते हैं: θ = ΣTLᵢ/(GᵢJᵢ)। समांतर शाफ़्ट (नलिका के भीतर छड़, या दोनों सिरों पर fixed व साझा अंत-प्लेट से जुड़े दो शाफ़्ट) समान कोण से ऐंठते हैं और टॉर्क GJ/L के अनुपात में बँटता है: T₁ + T₂ = T, T₁L₁/G₁J₁ = T₂L₂/G₂J₂। किसी मध्यवर्ती परिच्छेद पर टॉर्क लगे दोनों सिरों पर fixed शाफ़्ट, जो स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है, इसी प्रकार हल होता है।

हल उदाहरण। शाफ़्ट AB, d = 40 mm, 1.0 m लंबा, शाफ़्ट BC, d = 30 mm, 0.8 m लंबे से जुड़ा है; A fixed है और C पर 400 N·m टॉर्क लगता है (G = 80 GPa)। J₁ = 2.513 × 10⁵ mm⁴ और J₂ = 7.952 × 10⁴ mm⁴। θ = 400 × 10³[1000/(80 000 × 2.513 × 10⁵) + 800/(80 000 × 7.952 × 10⁴)] = 0.01989 + 0.05030 = 0.0702 rad = 4.02°। पतला भाग छोटा होने पर भी अधिकांश ऐंठन देता है क्योंकि J, d⁴ से बदलता है।

5. स्तंभों का Euler buckling

पतला सीधा स्तंभ अक्षीय संपीडन में क्रांतिक भार तक ही स्थिर रहता है। pinned–pinned स्तंभ के लिए EI y″ = −Py हल करने पर Pcr = π²EI/L² मिलता है, और अन्य सिरों के लिए Pcr = π²EI/Le², जहाँ Le प्रभावी लंबाई है (नति-बिंदुओं के बीच की दूरी, या तुल्य pinned स्तंभ की लंबाई)। स्तंभ न्यूनतम I के अक्ष के सापेक्ष, अर्थात् न्यूनतम घूर्णन त्रिज्या r = √(I/A) के सापेक्ष, buckle होता है।

मानक सिरा-शर्तों हेतु प्रभावी लंबाई (सैद्धांतिक मान)
सिरा-शर्तेंLepinned–pinned के सापेक्ष Pcr
pinned–pinnedL1
fixed–free (ध्वज-स्तंभ)2L1/4
fixed–fixedL/24
fixed–pinned≈ 0.7L (0.699L)≈ 2.05

हल उदाहरण। इस्पात स्तंभ (E = 200 GPa), ठोस वृत्ताकार परिच्छेद d = 40 mm, दोनों सिरों पर pinned, L = 1.5 m। I = π × 40⁴/64 = 1.2566 × 10⁵ mm⁴, अतः Pcr = π² × 200 000 × 1.2566 × 10⁵/1500² = 110.2 kN। घूर्णन त्रिज्या r = d/4 = 10 mm है, अतः कृशता अनुपात λ = Le/r = 150। Euler प्रतिबल σcr = π²E/λ² है, और कृशता अनुपात ही स्तंभ को मापने वाला एकल प्राचल है। आधार पर fixed और ऊपर मुक्त होने पर वही स्तंभ इसका केवल एक-चौथाई वहन करता है।

⚠️ Euler की सीमा: मोटे स्तंभ प्रत्यास्थ रूप से buckle नहीं होते
Euler सूत्र मानता है कि स्तंभ प्रत्यास्थ रहता है, अतः वह तभी वैध है जब σcr = π²E/λ² ≤ σy, अर्थात् λ ≥ π√(E/σy)। E = 200 GPa व σy = 250 MPa के लिए यह λ ≥ 88.9 है। λ = 60 के लिए सूत्र 548 MPa देता, जो पराभव सामर्थ्य से ऊपर है, अतः स्तंभ कम भार पर पराभव या अप्रत्यास्थ buckling से विफल होता है। Euler परास में Pcr पराभव सामर्थ्य पर निर्भर नहीं करता, और समान E का अधिक मज़बूत इस्पात उसी भार पर buckle होता है।

6. पतली-दीवार दाब पात्र

पात्र तब पतली-दीवार वाला है जब t त्रिज्या की तुलना में छोटी हो (t/d लगभग 1/20 से कम), अतः प्रतिबल मोटाई में एकसमान माना जाता है और अरीय प्रतिबल (0 से −p के बीच) की उपेक्षा की जाती है। व्यास d व गेज दाब p के बंद-सिरे बेलन में, अक्ष के अनुदिश काटने पर घेरा प्रतिबल σh = pd/(2t) और परिच्छेद के आर-पार काटने पर अनुदैर्ध्य प्रतिबल σL = pd/(4t) मिलता है, अतः σh = 2σL। गोले में दोनों तल-अंतर्गत प्रतिबल σ = pd/(4t) हैं, जो बेलन के अनुदैर्ध्य प्रतिबल के बराबर और घेरा प्रतिबल के आधे हैं; इसीलिए गोलाकार पात्र सबसे किफ़ायती हैं।

विकृतियाँ व आयतन परिवर्तन। समतल प्रतिबल में Hooke नियम से εh = (σh − νσL)/E, εL = (σL − νσh)/E, और बेलन के लिए आयतनिक विकृति εv = 2εh + εL। गोले के लिए हर दिशा में ε = σ(1 − ν)/E और εv = 3ε। हल उदाहरण: 1.2 m व्यास, 10 mm दीवार, p = 2 MPa के बेलन में σh = 120 MPa और σL = 60 MPa। E = 200 GPa व ν = 0.3 लेकर: εh = (120 − 18)/200 000 = 5.1 × 10⁻⁴, εL = (60 − 36)/200 000 = 1.2 × 10⁻⁴, εv = 2 × 5.1 × 10⁻⁴ + 1.2 × 10⁻⁴ = 1.14 × 10⁻³। संगत गोले में σ = 60 MPa, ε = 2.1 × 10⁻⁴ और εv = 6.3 × 10⁻⁴।

⚠️ कौन-सा प्रतिबल कौन-सा है, और अधिकतम अपरूपण क्या है
घेरा प्रतिबल बड़ा होता है, और अक्ष के अनुदिश सीवन (अनुदैर्ध्य जोड़) को अधिक मज़बूत होना चाहिए। बेलन में तल-अंतर्गत अधिकतम अपरूपण (σh − σL)/2 = pd/(8t) है, जबकि निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण, जिसमें शून्य माना गया अरीय प्रतिबल सम्मिलित है, σh/2 = pd/(4t) है। इन सूत्रों में गेज दाब और व्यास (त्रिज्या नहीं) लें।

मुख्य बिंदु

  • U = ∫N²/2AE, ∫M²/2EI, ∫T²/2GJ; Castigliano का द्वितीय प्रमेय δ = ∂U/∂P देता है (भार न हो तो dummy भार), और दृढ़ prop के लिए ∂U/∂R = 0।
  • मरोड़: τ = Tr/J, θ = TL/GJ, J = πd⁴/32 (ठोस) या π(D⁴ − d⁴)/32 (खोखला); समान भार पर खोखला शाफ़्ट अधिक टॉर्क वहन करता है।
  • शक्ति P = 2πNT/60: rpm को सदैव rad/s में बदलें; श्रेणी शाफ़्ट टॉर्क साझा करते हैं और कोण जोड़ते हैं, समांतर शाफ़्ट कोण साझा करते हैं और टॉर्क GJ/L से बाँटते हैं।
  • Euler: Pcr = π²EI/Le², Le = L, 2L, L/2, 0.7L; यह E व न्यूनतम I पर निर्भर है, पराभव सामर्थ्य पर नहीं।
  • Euler सूत्र केवल λ ≥ π√(E/σy) के लिए मान्य है; अधिक मोटे स्तंभों में सूत्र से σcr पराभव से अधिक आता है और वह अमान्य है।
  • पतला बेलन σh = pd/2t, σL = pd/4t; गोला σ = pd/4t; आयतनिक विकृति बेलन में εv = 2εh + εL और गोले में 3ε।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. रैखिक प्रत्यास्थ संरचना के लिए, Castigliano का द्वितीय प्रमेय कहता है कि भार Pi के प्रयोग-बिंदु का Pi की दिशा में मापा गया विस्थापन है:

    1. भारों के पदों में लिखी विकृति ऊर्जा का Pi के सापेक्ष आंशिक अवकलज
    2. विस्थापनों के पदों में लिखी विकृति ऊर्जा का Pi के सापेक्ष आंशिक अवकलज
    3. विकृति ऊर्जा को Pi से भाग देने पर प्राप्त मान
    4. सदस्य की लंबाई पर विकृति ऊर्जा का समाकलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — भारों के पदों में लिखी विकृति ऊर्जा का Pi के सापेक्ष आंशिक अवकलज

    U को भारों के माध्यम से व्यक्त करने पर δi = ∂U/∂Pi। यदि U को विस्थापनों से व्यक्त किया जाए तो δi के सापेक्ष अवकलज भार Pi देता है, जो प्रथम प्रमेय है। U को Pi से भाग देने पर विस्थापन का आधा मिलता है, विस्थापन नहीं, क्योंकि एक भार के लिए U = ½Pδ।

  2. L लंबाई, flexural rigidity EI और बंकन आघूर्ण M(x) के बीम में, अपरूपण व अक्षीय प्रभाव छोड़कर, बंकन में संचित विकृति ऊर्जा है:

    1. ∫₀ᴸ M² dx/(2EI)
    2. ∫₀ᴸ M dx/(2EI)
    3. ∫₀ᴸ EI M² dx/2
    4. ∫₀ᴸ M² dx/(EI)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ∫₀ᴸ M² dx/(2EI)

    प्रति इकाई लंबाई ऊर्जा ½Mκ है, κ = M/EI के साथ, जिससे M²/2EI मिलता है। बिना वर्ग वाला व्यंजक ऊर्जा नहीं है, अंश में EI वाले रूप की विमाएँ गलत हैं, और आधे का गुणक छोड़ने से ऊर्जा दुगुनी हो जाती है।

  3. 3 m लंबाई का कैंटिलीवर (EI = 12 000 kN·m², एकसमान) अपने मुक्त सिरे पर 8 kN का नीचे की ओर बिंदु भार और पूरी लंबाई पर 6 kN/m का नीचे की ओर एकसमान वितरित भार वहन करता है। Castigliano के द्वितीय प्रमेय (केवल बंकन ऊर्जा) से मुक्त सिरे का विक्षेप, mm में, ____ है (दो दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 11.06

    मुक्त सिरे से M = −Px − wx²/2 और ∂M/∂P = −x, अतः δ = (1/EI)∫₀ᴸ (Px² + wx³/2) dx = (PL³/3 + wL⁴/8)/EI = (8 × 27/3 + 6 × 81/8)/12 000 = (72 + 60.75)/12 000 = 0.011063 m = 11.06 mm। केवल बिंदु भार लेने पर 6.00 mm आता।

  4. एक propped cantilever के दाएँ सिरे पर दृढ़ prop है। यदि prop प्रतिक्रिया R को redundant लिया जाए और U वास्तविक भारों व R के पदों में लिखी बंकन ऊर्जा हो, तो Castigliano प्रमेय से मिलने वाली compatibility शर्त है:

    1. ∂U/∂R = R, क्योंकि prop भार वहन करता है
    2. ∂U/∂R = 0, क्योंकि prop बिंदु विक्षेपित नहीं होता
    3. U = 0, क्योंकि दृढ़ आधार के साथ कोई ऊर्जा संचित नहीं होती
    4. ∂U/∂R, fixed सिरे के आघूर्ण को L से भाग देने के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ∂U/∂R = 0, क्योंकि prop बिंदु विक्षेपित नहीं होता

    अवकलज ∂U/∂R, R की दिशा में prop पर विक्षेप है, जो दृढ़ prop के लिए शून्य है। बीम झुकते समय ऊर्जा संचित करता ही है, अतः U शून्य नहीं है, और R बल है, विस्थापन नहीं, अतः वह ∂U/∂R के बराबर नहीं हो सकता।

  5. एक ठोस वृत्ताकार इस्पात शाफ़्ट 600 rpm पर 50 kW संचारित करता है। अनुमेय अपरूपण प्रतिबल 40 MPa है और शाफ़्ट शुद्ध मरोड़ में है। τ = 16T/(πd³) लेकर न्यूनतम शाफ़्ट व्यास, mm में, ____ है (एक दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 46.6

    ω = 2π × 600/60 = 62.83 rad/s, T = 50 000/62.83 = 795.8 N·m। d³ = 16T/(πτ) = 16 × 795.8 × 10³/(π × 40) = 1.0133 × 10⁵ mm³, अतः d = 46.6 mm। ω के स्थान पर सीधे 600 लेने पर टॉर्क 9.55 गुना कम और d लगभग 22 mm आता।

  6. 50 mm व्यास व 2 m लंबाई का ठोस वृत्ताकार शाफ़्ट (G = 80 GPa) अपनी पूरी लंबाई में 1.0 kN·m का नियत टॉर्क वहन करता है। एक सिरे का दूसरे के सापेक्ष ऐंठन कोण, डिग्री में, ____ है (दो दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.33

    J = π × 50⁴/32 = 6.136 × 10⁵ mm⁴ और θ = TL/(GJ) = 1.0 × 10⁶ × 2000/(80 000 × 6.136 × 10⁵) = 0.04075 rad। डिग्री में, 0.04075 × 180/π = 2.33°। उत्तर को रेडियन में छोड़ देना सामान्य भूल है।

  7. शाफ़्ट AB (ठोस, व्यास 60 mm, लंबाई 1.2 m) सिरे से सिरा शाफ़्ट BC (ठोस, व्यास 40 mm, लंबाई 0.9 m) से जुड़ा है; दोनों इस्पात के हैं, G = 80 GPa। सिरा A fixed है और सिरे C पर 1.5 kN·m का टॉर्क लगता है। A के सापेक्ष C का कुल ऐंठन कोण, डिग्री में, ____ है (दो दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4.86

    दोनों भाग समान टॉर्क T = 1.5 × 10⁶ N·mm वहन करते हैं। J1 = π × 60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴, J2 = π × 40⁴/32 = 2.513 × 10⁵ mm⁴। θ1 = 1.5 × 10⁶ × 1200/(80 000 × 1.272 × 10⁶) = 0.01768 rad; θ2 = 1.5 × 10⁶ × 900/(80 000 × 2.513 × 10⁵) = 0.06715 rad। कुल = 0.08483 rad = 4.86°। श्रेणी में कोण जुड़ते हैं; टॉर्क नहीं।

  8. एक खोखले वृत्ताकार शाफ़्ट का बाहरी व्यास 100 mm और भीतरी व्यास 60 mm है और वह प्रत्यास्थ मरोड़ में है, बाहरी सतह पर अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 80 MPa है। भीतरी सतह पर अपरूपण प्रतिबल है:

    1. 28.8 MPa
    2. 64.0 MPa
    3. 80.0 MPa
    4. 48.0 MPa
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 48.0 MPa

    τ त्रिज्या के साथ रैखिक बदलता है, अतः τभीतरी = 80 × 60/100 = 48 MPa। 28.8 MPa अनुपात 0.6 का वर्ग लेने से आता है, जो गलत है, और 80 MPa तभी होता जब प्रतिबल दीवार में एकसमान होता।

  9. निश्चित लंबाई व सामग्री के ठोस शाफ़्ट को अनुमेय अपरूपण प्रतिबल पर निश्चित शक्ति P संचारित करनी है। यदि संचालन गति दुगुनी कर दी जाए तो मूल की तुलना में आवश्यक व्यास हो जाता है:

    1. मूल का 0.500
    2. मूल का 0.630
    3. मूल का 0.794
    4. मूल का 0.707
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — मूल का 0.794

    T = P/ω आधा हो जाता है, और d³ ∝ T, अतः d, 2^(1/3) = 1.26 के गुणक से घटता है, अर्थात् मूल का 0.794। गुणक 0.5 तब होता जब d, T के समानुपाती होता, 0.707 तब मिलता जब d², T के समानुपाती होता, और 0.630 = 2^(−2/3) के लिए d^1.5, T के समानुपाती होना चाहिए।

  10. इस्पात का एक स्तंभ (E = 200 GPa), ठोस वृत्ताकार परिच्छेद, व्यास 40 mm व लंबाई 1.0 m, अपने आधार पर fixed और ऊपर मुक्त है। इन सिरा-शर्तों के लिए सैद्धांतिक प्रभावी लंबाई लें और मानें कि Euler सूत्र लागू है। क्रांतिक buckling भार, kN में, ____ है (एक दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 62.0

    I = π × 40⁴/64 = 1.2566 × 10⁵ mm⁴ और Le = 2L = 2000 mm। Pcr = π²EI/Le² = 9.8696 × 200 000 × 1.2566 × 10⁵/2000² = 62.0 kN। Le = L लेने पर 248 kN आता, चार गुना अधिक।

  11. दो स्तंभों की लंबाई, परिच्छेद व सामग्री समान हैं। एक दोनों सिरों पर fixed है और दूसरा आधार पर fixed व ऊपर मुक्त है। सैद्धांतिक प्रभावी लंबाइयाँ लेकर, पहले के Euler क्रांतिक भार का दूसरे से अनुपात है:

    1. 2
    2. 4
    3. 8
    4. 16
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 16

    fixed–fixed स्तंभ के लिए Le = L/2 और fixed–free के लिए 2L है, और Pcr ∝ 1/Le², अतः अनुपात (2L/(L/2))² = 4² = 16। मान 4 fixed–fixed स्तंभ की pinned–pinned से तुलना करता है, जो भिन्न युग्म है।

  12. एक pinned–pinned इस्पात स्तंभ (E = 200 GPa, पराभव सामर्थ्य 250 MPa) का कृशता अनुपात Le/r = 60 है। कौन-सा कथन सही है?

    1. Euler सूत्र 548 MPa देता है, जो पराभव सामर्थ्य से ऊपर है, अतः सूत्र अमान्य है और स्तंभ उस प्रतिबल से नीचे पराभव या अप्रत्यास्थ buckling से विफल होता है
    2. Euler सूत्र लागू होता है, और स्तंभ 548 MPa पर प्रत्यास्थ रूप से buckle होता है, क्योंकि λ = 60 दीर्घ-स्तंभ परिसर में है
    3. Euler सूत्र लागू होता है और क्रांतिक प्रतिबल पराभव सामर्थ्य 250 MPa के बराबर है, क्योंकि स्तंभ क्षीण है
    4. स्तंभ विफल नहीं हो सकता, क्योंकि λ का 89 से कम होना उसे छोटा स्तंभ बनाता है जो अक्षीय भार में सदा प्रत्यास्थ रहता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Euler सूत्र 548 MPa देता है, जो पराभव सामर्थ्य से ऊपर है, अतः सूत्र अमान्य है और स्तंभ उस प्रतिबल से नीचे पराभव या अप्रत्यास्थ buckling से विफल होता है

    σcr = π²E/λ² = 9.8696 × 200 000/3600 = 548 MPa, जो σy = 250 MPa से अधिक है, और Euler परास के लिए λ ≥ π√(E/σy) = 88.9 चाहिए। λ = 60 पर स्तंभ कम भार पर पराभव या अप्रत्यास्थ buckling से विफल होता है। छोटा स्तंभ विफल नहीं होता वाला कथन प्रत्यास्थ buckling के अभाव को विफलता के अभाव से मिला देता है, जबकि वह कुचलकर विफल होता है।

  13. लंबे, सीधे, प्रत्यास्थ स्तंभ के Euler क्रांतिक भार के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. P: दी गई लंबाई व सिरा-शर्तों के लिए यह E व I पर निर्भर है पर पराभव सामर्थ्य पर नहीं।
    2. Q: pinned–pinned स्तंभ की लंबाई दुगुनी करने से क्रांतिक भार दुगुना हो जाता है।
    3. R: समान अनुप्रस्थ क्षेत्रफल व सामग्री के लिए, पतली-दीवार नलिका का क्रांतिक भार ठोस छड़ से अधिक होता है।
    4. S: स्तंभ परिच्छेद के उस मुख्य अक्ष के सापेक्ष buckle होता है जिसका क्षेत्रफल-द्वितीय आघूर्ण अधिक है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P: दी गई लंबाई व सिरा-शर्तों के लिए यह E व I पर निर्भर है पर पराभव सामर्थ्य पर नहीं।; C — R: समान अनुप्रस्थ क्षेत्रफल व सामग्री के लिए, पतली-दीवार नलिका का क्रांतिक भार ठोस छड़ से अधिक होता है।

    Pcr = π²EI/Le² में पराभव सामर्थ्य नहीं है (P), और समान क्षेत्रफल पर नलिका का I अधिक है, अतः Pcr भी अधिक (R)। L दुगुनी करने पर Pcr चार से विभाजित होता है, अतः Q गलत है, और स्तंभ छोटे I वाले अक्ष के सापेक्ष buckle होता है, अतः S गलत है।

  14. एक पतले गोलाकार पात्र और एक पतले बंद-सिरे के बेलनाकार पात्र का व्यास, दीवार की मोटाई व आंतरिक गेज दाब समान हैं। गोले में झिल्ली प्रतिबल की तुलना बेलन के घेरा प्रतिबल से है:

    1. बेलन के घेरा प्रतिबल के समान
    2. बेलन के घेरा प्रतिबल का दुगुना
    3. बेलन के घेरा प्रतिबल का आधा
    4. बेलन के घेरा प्रतिबल का चौथाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — बेलन के घेरा प्रतिबल का आधा

    गोले में हर दिशा में σ = pd/4t है और बेलन में σh = pd/2t, अतः गोले का प्रतिबल बेलन के घेरा प्रतिबल का आधा है। यह बेलन के अनुदैर्ध्य प्रतिबल के बराबर है, जो समान वाले विकल्प की भ्रामक गलत तुलना है।

  15. 900 mm व्यास व 6 mm दीवार-मोटाई का पतली-दीवार वाला बंद-सिरे का बेलनाकार पात्र 2 MPa आंतरिक गेज दाब पर है। सामग्री E = 200 GPa व ν = 0.3 वाली है और अरीय प्रतिबल की उपेक्षा की गई है। आयतनिक विकृति, माइक्रोविकृति (10⁻⁶) में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1425

    σh = pd/2t = 2 × 900/12 = 150 MPa और σL = 75 MPa। εh = (150 − 0.3 × 75)/200 000 = 6.375 × 10⁻⁴ और εL = (75 − 0.3 × 150)/200 000 = 1.5 × 10⁻⁴। εv = 2εh + εL = 1.275 × 10⁻³ + 1.5 × 10⁻⁴ = 1.425 × 10⁻³, अर्थात् 1425 माइक्रोविकृति। εv = 3εh लेने पर लगभग 1910 आता।

  16. आंतरिक गेज दाब p के अंतर्गत पतली-दीवार वाले बंद-सिरे के बेलनाकार पात्र (व्यास d, दीवार मोटाई t, t ≪ d) के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. P: घेरा प्रतिबल अनुदैर्ध्य प्रतिबल का दुगुना है।
    2. Q: समान p व d पर दीवार की मोटाई दुगुनी करने से घेरा व अनुदैर्ध्य दोनों प्रतिबल आधे हो जाते हैं।
    3. R: दीवार के आर-पार अरीय प्रतिबल घेरा प्रतिबल की तुलना में छोटा है और उपेक्षित किया जाता है।
    4. S: अधिकतम तल-अंतर्गत अपरूपण प्रतिबल घेरा प्रतिबल के बराबर है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P: घेरा प्रतिबल अनुदैर्ध्य प्रतिबल का दुगुना है।; B — Q: समान p व d पर दीवार की मोटाई दुगुनी करने से घेरा व अनुदैर्ध्य दोनों प्रतिबल आधे हो जाते हैं।; C — R: दीवार के आर-पार अरीय प्रतिबल घेरा प्रतिबल की तुलना में छोटा है और उपेक्षित किया जाता है।

    σh = pd/2t, σL = pd/4t (P), दोनों 1/t से बदलते हैं (Q), और अरीय प्रतिबल −p व 0 के बीच है, t ≪ d होने पर pd/2t की तुलना में छोटा (R)। तल-अंतर्गत अधिकतम अपरूपण (σh − σL)/2 = pd/8t है, σh का चौथाई, अतः S गलत है।

  17. प्रत्यास्थ मरोड़ में वृत्ताकार शाफ़्टों के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. P: सिरे से सिरा जुड़े और मुक्त सिरे पर टॉर्क वहन करते दो शाफ़्ट समान टॉर्क संचारित करते हैं।
    2. Q: नलिका के भीतर ठोस छड़, जो दोनों सिरों पर दृढ़ता से जुड़ी हो, नलिका के समान कोण से ऐंठती है।
    3. R: छड़-नलिका व्यवस्था में टॉर्क दोनों सदस्यों में बराबर बँटता है।
    4. S: ठोस शाफ़्ट के परिच्छेद में अपरूपण प्रतिबल एकसमान होता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P: सिरे से सिरा जुड़े और मुक्त सिरे पर टॉर्क वहन करते दो शाफ़्ट समान टॉर्क संचारित करते हैं।; B — Q: नलिका के भीतर ठोस छड़, जो दोनों सिरों पर दृढ़ता से जुड़ी हो, नलिका के समान कोण से ऐंठती है।

    श्रेणी में टॉर्क उभयनिष्ठ है (P), और समांतर में कोण उभयनिष्ठ है (Q)। टॉर्क GJ/L के अनुपात में बँटता है, बराबर नहीं, अतः R गलत है, और τ = Tr/J, r के साथ रैखिक बढ़ता है, अतः S गलत है।

  18. समान सामग्री व समान लंबाई के एक ठोस शाफ़्ट और एक खोखले शाफ़्ट का द्रव्यमान समान है। खोखले का बाहरी व्यास अधिक है। दोनों को समान अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तक भारित करने पर खोखला शाफ़्ट:

    1. छोटा टॉर्क वहन करता है, क्योंकि अक्ष के पास की सामग्री, जो हटा दी गई है, सबसे अधिक टॉर्क वहन करती है
    2. समान टॉर्क वहन करता है, क्योंकि क्षेत्रफल समान है
    3. बड़ा टॉर्क वहन करता है, क्योंकि सामग्री बड़े त्रिज्या पर चली जाती है जहाँ प्रतिबल अधिक है
    4. बड़ा टॉर्क वहन करता है, क्योंकि उसका अधिकतम अपरूपण प्रतिबल भीतरी सतह पर होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — बड़ा टॉर्क वहन करता है, क्योंकि सामग्री बड़े त्रिज्या पर चली जाती है जहाँ प्रतिबल अधिक है

    सीमांत टॉर्क τmax J/R है, और समान क्षेत्रफल के लिए नलिका का J/R अधिक है (पाठ का उदाहरण 1.57 गुना देता है)। अक्ष के पास की सामग्री कम प्रतिबलित है, अतः उसे हटाने से क्षमता कठिनाई से घटती है। खोखले शाफ़्ट में भी अधिकतम प्रतिबल बाहरी सतह पर होता है, अतः भीतरी सतह वाला दावा गलत है।