A simply supported beam carries a clockwise couple C applied at its mid-span and no other load. Just on either side of the mid-span section the shear force and bending moment behave as follows:

the shear force is constant on the whole span and the bending moment jumps upward by C at the couple

the shear force is zero everywhere and the moment jumps by C

the shear force jumps by C and the moment is continuous

the shear force is constant on the whole span and the bending moment jumps upward by C at the couple

both the shear force and the moment are continuous but the slope of M changes

A cantilever of rectangular section carries a given tip load. If the depth of the section is doubled while the width, the length and the load are unchanged, the maximum bending stress at the fixed end becomes:

one-fourth of its original value

one-eighth of its original value

one-fourth of its original value

unchanged, because M is independent of the section

For a beam of rectangular cross-section carrying a transverse shear force V, the shear stress across the depth is:

parabolic, zero at the top and bottom surfaces and 1.5 V/A at the neutral axis

uniform and equal to V/A at every level

parabolic, zero at the top and bottom surfaces and 1.5 V/A at the neutral axis

linear, zero at the neutral axis and largest at the extreme fibres

parabolic, largest at the extreme fibres and 0.5 V/A at the neutral axis

Which of the following statements about the flexure formula σ = My/I for a straight, homogeneous, linearly elastic beam in pure bending are correct?

P: The neutral axis passes through the centroid of the section.

R: Plane cross-sections remain plane and the strain varies linearly with y.

P: The neutral axis passes through the centroid of the section.

Q: The bending stress is largest at the neutral axis.

R: Plane cross-sections remain plane and the strain varies linearly with y.

S: The stress varies parabolically across the depth.

For a symmetric I-section beam carrying a transverse shear force, which of the following statements are correct?

P: The web carries by far the larger share of the shear force.

Q: The shear stress is greatest at the neutral axis.

P: The web carries by far the larger share of the shear force.

Q: The shear stress is greatest at the neutral axis.

R: The shear stress in the web is exactly uniform.

S: The shear stress is greatest at the extreme top fibre.

Which of the following statements about a propped cantilever of uniform EI under a given vertical load are correct?

P: It is indeterminate to the first degree for the vertical reactions and the support moment.

R: Removing the prop leaves a determinate cantilever, and the compatibility condition is zero deflection at the prop.

P: It is indeterminate to the first degree for the vertical reactions and the support moment.

Q: The reactions can be found from the three equations of statics alone.

R: Removing the prop leaves a determinate cantilever, and the compatibility condition is zero deflection at the prop.

S: The reactions depend on the numerical value of EI even for a rigid prop.

बीम: SFD व BMD, बंकन व अपरूपण प्रतिबल, संयुक्त प्रतिबल, विक्षेप तथा अनिर्धार्य बीम

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर का है और XE3 ठोस यांत्रिकी के खंड XE3.2, विकृतिशील पिंडों की यांत्रिकी, के बीम वाले भाग का उत्तर देता है; XE3 उन नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है जिनमें से कोई दो अभ्यर्थी परीक्षा में चुनता है। यह जिन पंक्तियों को पूरा करता है: “Axial force, shear force, and bending moment diagrams; axial, shear, and bending stresses; combined stresses; deflection (for symmetric bending); systems with up to one degree of static indeterminacy (i.e., up to one support or internal force not determinable from static equilibrium alone)”। इसमें चिह्न-परिपाटियाँ व w–V–M संबंध, flexure formula, आयताकार व I परिच्छेद के लिए अपरूपण प्रतिबल सूत्र, अक्षीय व बंकन तथा बंकन व मरोड़ का संयोजन, double integration व मानक विक्षेप परिणाम, और compatibility से हल किए गए propped cantilever, fixed-pinned व दो-स्पैन बीम पढ़ाए गए हैं। संख्यात्मक प्रश्न: बंकन आघूर्ण व प्रतिबल, I परिच्छेद में अपरूपण प्रतिबल, उत्केंद्र भारण, शाफ़्ट के प्रतिबल, विक्षेप तथा अनावश्यक (redundant) प्रतिक्रियाएँ।

1. अपरूपण बल व बंकन आघूर्ण आरेख

बीम को किसी परिच्छेद पर काटकर एक ओर का भाग रखें। वहाँ आंतरिक परिणामी हैं अक्षीय बल N, अपरूपण बल V और बंकन आघूर्ण M। इस अध्याय की परिपाटी: कट के बाईं ओर का भाग ऊपर की ओर धकेला जाए तो अपरूपण बल धनात्मक है (अर्थात् V = बाईं ओर के ऊर्ध्वाधर बलों का योग, ऊपर धनात्मक); बंकन आघूर्ण तब धनात्मक है जब वह sagging हो, यानी ऊपरी तंतु संपीडित और निचले तंतु तनित हों। वितरित भार w(x) नीचे की ओर धनात्मक है। इन चिह्नों के साथ अवकल संबंध dV/dx = −w तथा dM/dx = V हैं।

भार से आरेख पढ़ना
बीम पर भार	अपरूपण बल आरेख (SFD)	बंकन आघूर्ण आरेख (BMD)
बिंदुओं के बीच कोई भार नहीं	क्षैतिज रेखा	सीधी तिरछी रेखा (ढाल = V)
एकसमान भार w	ढाल −w की सरल रेखा	परवलय, शीर्ष वहाँ जहाँ V = 0
बिंदु भार P (नीचे)	P का अचानक गिरना	ढाल अचानक बदलती है (kink)
लगाया गया युग्म C (दक्षिणावर्त)	कोई परिवर्तन नहीं	C का अचानक ऊपर छलाँग
मुक्त सिरा या सरल सिरा, युग्म नहीं	V = सिरे की प्रतिक्रिया या भार	M = 0

हल उदाहरण। 6 m स्पैन के सरल आधारित बीम (आधार A पर x = 0 और B पर x = 6 m) पर पूरे स्पैन में 10 kN/m एकसमान भार तथा x = 2 m पर 24 kN बिंदु भार है। A के सापेक्ष आघूर्ण: RB × 6 = 24 × 2 + 10 × 6 × 3 = 228, अतः RB = 38 kN और RA = 84 − 38 = 46 kN। बिंदु भार के ठीक दाईं ओर V = 46 − 24 − 10x; यह x = 2 + 0.2 = 2.2 m पर शून्य है, अतः अधिकतम आघूर्ण वहीं है: M = 46 × 2.2 − 24 × 0.2 − 10 × 2.2²/2 = 101.2 − 4.8 − 24.2 = 72.2 kN·m। जाँच: भार पर M = 72 kN·m है और भार से x = 2.2 m तक SFD का क्षेत्रफल ½ × 2 × 0.2 = 0.2 kN·m है, जो 72 से 72.2 kN·m की वृद्धि समझाता है। सदैव जाँचें कि सरल आधार पर M पुनः शून्य हो।

⚠️ अधिकतम आघूर्ण कहाँ होता है

अधिकतम बंकन आघूर्ण वहाँ होता है जहाँ V = 0 हो या V चिह्न बदले, तथा संकेंद्रित युग्म (छलाँग) वाले परिच्छेद या fixed आधार पर भी। सामान्य भूल यह है कि बिंदु भार के नीचे के आघूर्ण को अधिकतम मान लिया जाए जबकि उसके ठीक दाईं ओर V अभी धनात्मक है, जैसा ऊपर के उदाहरण में। युग्म केवल BMD को प्रभावित करता है, SFD को नहीं।

अक्षीय बल आरेख छड़ों व फ्रेम सदस्यों के लिए इसी प्रकार बनता है: N एक ओर के बलों के अक्षीय घटकों का योग है, तनन धनात्मक, और प्रत्येक अक्षीय बिंदु भार के मान से वह छलाँग लेता है।

2. अक्षीय व बंकन प्रतिबल: flexure formula

सीधे, समांगी, रैखिक प्रत्यास्थ, सममिति-तल वाले बीम के शुद्ध बंकन में समतल परिच्छेद समतल रहते हैं और विकृति उदासीन अक्ष से दूरी y के साथ रैखिक बदलती है; उदासीन अक्ष केंद्रक से गुज़रता है। इससे σ = My/I तथा M/I = σ/y = E/R मिलता है, जहाँ I उदासीन अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण और R वक्रता त्रिज्या है। चरम तंतु प्रतिबल σmax = M/Z है, परिच्छेद गुणांक Z = I/ymax। चिह्न: sagging M के लिए प्रतिबल उदासीन अक्ष के ऊपर संपीडक और नीचे तनन होता है।

बंकन के केंद्रकीय अक्ष के सापेक्ष परिच्छेद गुण
परिच्छेद	I	Z
आयत, चौड़ाई b, गहराई h	bh³/12	bh²/6
ठोस वृत्त, व्यास d	πd⁴/64	πd³/32
खोखला वृत्त, D व d	π(D⁴ − d⁴)/64	π(D⁴ − d⁴)/(32D)

गहराई सबसे अधिक क्यों मायने रखती है। आयत के लिए Z ∝ bh² है, अतः समान चौड़ाई व आघूर्ण पर गहराई दुगुनी करने से चरम प्रतिबल एक-चौथाई रह जाता है, जबकि चौड़ाई दुगुनी करने से आधा। उदासीन अक्ष से दूर की सामग्री ही काम करती है, इसी कारण I परिच्छेद व खोखली नलिकाएँ दक्ष हैं। हल उदाहरण: D = 100 mm व d = 80 mm का खोखला वृत्ताकार परिच्छेद M = 5 kN·m वहन करता है। I = π(100⁴ − 80⁴)/64 = 2.898 × 10⁶ mm⁴, अतः σmax = 5 × 10⁶ × 50/2.898 × 10⁶ = 86.3 MPa।

⚠️ इकाई की भूलें व गलत अक्ष

भाग देने से पहले N व mm (या kN व m) में बदलें: kN·m में M को N·mm बनाने के लिए 10⁶ से गुणा करें। बंकन के अक्ष के सापेक्ष I लें; दुर्बल अक्ष के सापेक्ष मुड़ने पर आयत के लिए hb³/12 आता है। flexure formula शुद्ध बंकन के लिए है; अपरूपण होने पर भी पतले बीमों के लिए यह उत्कृष्ट सन्निकटन रहता है।

3. बीम में अपरूपण प्रतिबल

उदासीन अक्ष से y₁ ऊँचाई पर अनुप्रस्थ अपरूपण प्रतिबल τ = VQ/(Ib) है, जहाँ Q उस स्तर से परे के क्षेत्रफल का उदासीन अक्ष के सापेक्ष प्रथम आघूर्ण, b उस स्तर पर चौड़ाई और I संपूर्ण परिच्छेद का द्वितीय आघूर्ण है। मुक्त ऊपरी व निचली सतहों पर यह शून्य है। आयत के लिए वितरण परवलयाकार है, τ = (3V/2bh)[1 − (2y/h)²], और उदासीन अक्ष पर अधिकतम 1.5 V/A, अर्थात् औसत का 1.5 गुना। ठोस वृत्त के लिए उदासीन अक्ष पर अधिकतम 4V/3A है।

I परिच्छेद। फ्लैंज 100 mm × 20 mm, वेब मोटाई 10 mm, कुल गहराई 200 mm (वेब गहराई 160 mm), V = 100 kN लें। I = 100 × 200³/12 − 90 × 160³/12 = 35.95 × 10⁶ mm⁴। उदासीन अक्ष पर Q = 100 × 20 × 90 + 10 × 80 × 40 = 212 000 mm³, अतः τmax = 100 × 10³ × 212 000/(35.95 × 10⁶ × 10) = 59.0 MPa। वेब-फ्लैंज संधि के वेब वाले पक्ष पर Q = 180 000 mm³ और τ = 50.1 MPa; फ्लैंज वाले पक्ष पर b = 100 mm है, अतः उसी Q से केवल 5.0 MPa आता है, b बदलने से दस गुना छलाँग।

ℹ️ अपरूपण कहाँ जाता है

I परिच्छेद में वेब में परिवर्तन मामूली है (यहाँ उदासीन अक्ष पर 59.0 MPa बनाम संधि पर 50.1 MPa) और वह V का लगभग 90 प्रतिशत वहन करता है, जबकि फ्लैंज लगभग पूरा आघूर्ण सँभालते हैं। अतः त्वरित डिज़ाइन अनुमान τ ≈ V/(वेब क्षेत्रफल) है। संपूर्ण परिच्छेद पर औसत V/A वेब प्रतिशत को बहुत कम आँकेगा।

4. संयुक्त प्रतिबल: अक्षीय के साथ बंकन, बंकन के साथ मरोड़

जब एक ही प्रकार के प्रतिबल एक ही बिंदु पर लगें तो उन्हें अध्यारोपित करें। केंद्रक से e उत्केंद्रता पर उत्केंद्र अक्षीय भार P, P और आघूर्ण Pe के तुल्य है, अतः σ = P/A ± Pe y/I। h गहराई के आयत में, भार गहराई-अक्ष पर हो तो σ = P/A ± 6Pe/(bh²) और संपूर्ण परिच्छेद संपीडन में तभी रहता है जब e ≤ h/6 (मध्य तिहाई)। हल: b = 100, h = 150 mm, P = 90 kN संपीडक, e = 40 mm पर P/A = 6.0 MPa और 6Pe/bh² = 9.6 MPa, अतः एक किनारे पर 15.6 MPa संपीडक और दूसरे पर 3.6 MPa तनन (e = 40 mm, h/6 = 25 mm से अधिक है)।

d व्यास के ठोस वृत्ताकार शाफ़्ट में बंकन के साथ मरोड़ से सतह के बिंदु पर σ = M/Z, Z = πd³/32, और τ = T/(2Z) मिलता है, क्योंकि ध्रुवीय परिच्छेद गुणांक Z का दुगुना है। उदाहरण: d = 40 mm, M = 400 N·m, T = 300 N·m: Z = 6283 mm³, σ = 63.7 MPa, τ = 23.9 MPa। मुख्य प्रतिबल σ1,2 = σ/2 ± √[(σ/2)² + τ²] = 31.8 ± 39.8, अतः σ1 = 71.6 MPa, σ2 = −8.0 MPa और τmax = 39.8 MPa। Von Mises: √(σ² + 3τ²) = 75.9 MPa। इस प्रकार अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत से शाफ़्ट पर तुल्य बंकन आघूर्ण ½[M + √(M² + T²)] आता है।

⚠️ बंकन प्रतिबल मुख्य प्रतिबल नहीं है

मरोड़ होने पर सतह का बिंदु एकअक्षीय प्रतिबल में नहीं होता। M/Z की तुलना सीधे पराभव सामर्थ्य से कभी न करें और σ व τ को बीजगणितीय रूप से न जोड़ें। पहले मुख्य प्रतिबल (या von Mises मान) निकालें। क्रांतिक बिंदु भी पहचानें: सतह का वह बिंदु जहाँ बंकन तनन और मरोड़ एक साथ हों।

5. द्विसमाकलन से विक्षेप व मानक परिणाम

छोटी ढालों के लिए वक्रता 1/R = d²y/dx² है और जब y ऊपर की ओर धनात्मक तथा M sagging धनात्मक हो तो EI d²y/dx² = M(x)। दो बार समाकलन करके सीमा शर्तों से स्थिरांक निकालें: pin या roller पर y = 0, fixed सिरे पर y = 0 व dy/dx = 0, तथा जहाँ आघूर्ण व्यंजक बदलता है वहाँ y और dy/dx की निरंतरता। चिह्न की भौतिक जाँच: इस परिपाटी में sagging बीम का y ऋणात्मक (नीचे) होता है, और मानक परिणाम परिमाण के रूप में दिए जाते हैं।

मानक विक्षेप व ढाल (परिमाण, एकसमान EI, लंबाई L)
बीम व भार	अधिकतम विक्षेप	सिरे की ढाल
कैंटिलीवर, सिरे पर भार P	PL³/3EI	PL²/2EI
कैंटिलीवर, एकसमान w	wL⁴/8EI	wL³/6EI
कैंटिलीवर, सिरे पर युग्म M₀	M₀L²/2EI	M₀L/EI
सरल आधारित, मध्य में P	PL³/48EI	PL²/16EI
सरल आधारित, एकसमान w	5wL⁴/384EI	wL³/24EI

हल उदाहरण। 4 m स्पैन का सरल आधारित इस्पात बीम (E = 200 GPa), I = 4 × 10⁷ mm⁴, w = 16 kN/m (16 N/mm) वहन करता है। δ = 5 × 16 × 4000⁴/(384 × 200 000 × 4 × 10⁷) = 6.67 mm, जो L/600 है, सामान्य L/360 सेवाक्षमता सीमा के भीतर। अनुमापन से, एकसमान भार के लिए विक्षेप L⁴ और बिंदु भार के लिए L³ से बढ़ता है तथा I के साथ रैखिक घटता है, अतः आयत की गहराई दुगुनी करने (I × 8) से वह आठवाँ भाग रह जाता है। अध्यारोपण से कई भार जोड़े जा सकते हैं।

6. एक अनावश्यक वाले बीम: compatibility विधि

जिस बीम में स्थैतिकी से मिलने वाली संख्या से एक प्रतिक्रिया अधिक हो वह प्रथम कोटि का अनिर्धार्य है। विधि: एक प्रतिक्रिया (या आंतरिक आघूर्ण) को redundant चुनें, उसे हटाकर निर्धार्य मुक्त बीम बनाएँ, और माँग करें कि वास्तविक भारों से उस बिंदु पर मुक्त बीम का विक्षेप या ढाल, तथा अकेले redundant का प्रभाव, मिलकर वास्तविक सीमा मान (दृढ़ prop पर शून्य) के बराबर हों। ऊपर के मानक परिणाम दोनों विक्षेप देते हैं।

Propped cantilever, L पर एकसमान w (A पर fixed, B पर roller prop)। prop हटाएँ: सिरे का विक्षेप wL⁴/8EI नीचे की ओर और prop बल R से RL³/3EI ऊपर की ओर। दोनों बराबर करने पर R = 3wL/8 मिलता है। तब fixed सिरे की प्रतिक्रिया 5wL/8 और fixed सिरे का आघूर्ण wL²/8 (hogging) है। prop से 3L/8 पर, जहाँ V = 0, अधिकतम sagging आघूर्ण 9wL²/128 है। w = 12 kN/m, L = 4 m के लिए ये R = 18 kN, 30 kN, 24 kN·m तथा 13.5 kN·m हैं। मध्य बिंदु भार P के लिए prop प्रतिक्रिया 5P/16 और fixed सिरे का आघूर्ण 3PL/16 है।

समान दो स्पैन L, एकसमान w: मध्य प्रतिक्रिया को redundant लें। इसे हटाने पर बीम पूर्ण लंबाई 2L पर सरल आधारित हो जाता है और मध्य में विक्षेप δ = 5w(2L)⁴/384EI = 5wL⁴/24EI और केंद्रीय बल से R(2L)³/48EI = RL³/6EI। बराबर करने पर RB = 5wL/4, सिरों की प्रतिक्रियाएँ प्रत्येक 3wL/8 और आधार आघूर्ण wL²/8 hogging। fixed-pinned बीम वही समस्या है जो propped cantilever की है।

⚠️ अनिर्धार्य प्रतिक्रियाएँ कठोरता से तय होती हैं, बराबर बाँट से नहीं

दो-स्पैन बीम का मध्य आधार 5wL/4 = 1.25 wL वहन करता है, wL नहीं जो दो स्वतंत्र सरल आधारित स्पैन देते। एकसमान EI के एकल बीम में प्रतिक्रियाएँ EI के मान पर नहीं, केवल ज्यामिति व भारण पर निर्भर करती हैं; आधार का धँसना EI को ले आता है।

मुख्य बिंदु

sagging धनात्मक लेकर dV/dx = −w व dM/dx = V का प्रयोग करें; अधिकतम आघूर्ण वहाँ है जहाँ V = 0 हो या चिह्न बदले, और युग्म केवल BMD में छलाँग देता है।
flexure formula σ = My/I, Z = I/ymax; आयत Z = bh²/6, ठोस वृत्त πd³/32, और गहराई वर्ग में आती है।
अपरूपण प्रतिबल τ = VQ/(Ib): मुक्त सतहों पर शून्य, उदासीन अक्ष पर अधिकतम, आयत में औसत का 1.5 गुना और ठोस वृत्त में 4/3 गुना; I परिच्छेद का वेब लगभग पूरा V वहन करता है।
संयुक्त भार: P/A ± Pey/I अध्यारोपित करें (मध्य तिहाई नियम e ≤ h/6) और बंकन के साथ मरोड़ में σ = M/Z व τ = T/2Z से मुख्य प्रतिबल निकालें।
विक्षेप: EI y″ = M; PL³/3EI, wL⁴/8EI, PL³/48EI, 5wL⁴/384EI तथा L व I के साथ अनुमापन याद रखें।
एक redundant: उसे हटाएँ, मुक्त बीम के विक्षेप को redundant के विक्षेप के बराबर रखें (propped cantilever R = 3wL/8; समान दो स्पैन में मध्य R = 5wL/4)।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

एक बीम पर वितरित भार w(x) नीचे की ओर धनात्मक है, बंकन आघूर्ण M sagging होने पर धनात्मक है और अपरूपण बल V तब धनात्मक है जब बाईं ओर का भाग ऊपर धकेला जाए। कौन-सा संबंध-युग्म सही है?
1. dV/dx = w तथा dM/dx = −V
2. dV/dx = −w तथा dM/dx = V
3. dV/dx = −w तथा dM/dx = −V
4. dV/dx = w तथा dM/dx = V
उत्तर देखें
उत्तर: B — dV/dx = −w तथा dM/dx = V
बाएँ भाग पर ऊपर के बलों को धनात्मक V मानने पर, खंड पर नीचे का भार w dx, V को घटाता है, अतः dV/dx = −w। sagging-धनात्मक M के लिए खंड के दाएँ फलक के आघूर्ण से dM = V dx मिलता है। dM/dx = −V वाला युग्म विपरीत आघूर्ण परिपाटी से आता है, और dV/dx = w तब लागू होता जब w ऊपर की ओर लिया जाता।
एक सरल आधारित बीम के मध्य-स्पैन पर दक्षिणावर्त युग्म C लगा है और कोई अन्य भार नहीं है। मध्य-स्पैन परिच्छेद के दोनों ओर अपरूपण बल व बंकन आघूर्ण का व्यवहार है:
1. अपरूपण बल हर जगह शून्य है और आघूर्ण C से छलाँग लेता है
2. अपरूपण बल C से छलाँग लेता है और आघूर्ण सतत है
3. अपरूपण बल पूरे स्पैन में नियत है और युग्म पर बंकन आघूर्ण C से ऊपर की ओर छलाँग लेता है
4. अपरूपण बल व आघूर्ण दोनों सतत हैं पर M की ढाल बदलती है
उत्तर देखें
उत्तर: C — अपरूपण बल पूरे स्पैन में नियत है और युग्म पर बंकन आघूर्ण C से ऊपर की ओर छलाँग लेता है
सरल आधारित बीम पर युग्म समान व विपरीत प्रतिक्रियाएँ C/L देता है, अतः अपरूपण नियत रहता है (युग्म पर V नहीं बदलता क्योंकि वह बल-संतुलन है), जबकि M युग्म के दोनों ओर रैखिक बदलता है और युग्म पर C से छलाँग लेता है, दक्षिणावर्त युग्म के लिए ऊपर की ओर। V को हर जगह शून्य मानना गलत है क्योंकि प्रतिक्रियाएँ C/L शून्येतर हैं, और अपरूपण बल में C की छलाँग युग्म को बिंदु भार से मिला देती है।
5 m स्पैन के सरल आधारित बीम पर बाएँ आधार से 2 m पर एक 30 kN ऊर्ध्वाधर बिंदु भार है और स्वभार नगण्य है। आयताकार परिच्छेद 100 mm चौड़ा व 200 mm गहरा है और अपनी क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के सापेक्ष मुड़ता है। बीम में अधिकतम बंकन प्रतिबल, MPa में, ____ है (एक दशमलव स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 54.0
RA = 30 × 3/5 = 18 kN, अतः भार के नीचे अधिकतम आघूर्ण 18 × 2 = 36 kN·m। Z = bh²/6 = 100 × 200²/6 = 666 667 mm³, अतः σmax = 36 × 10⁶/666 667 = 54.0 MPa। गलत प्रतिक्रिया (दाईं ओर की 12 kN) लेने पर 36.0 MPa आता है।
आयताकार परिच्छेद का एक कैंटिलीवर निश्चित सिरा-भार वहन करता है। यदि चौड़ाई, लंबाई व भार वही रखकर परिच्छेद की गहराई दुगुनी कर दी जाए तो fixed सिरे पर अधिकतम बंकन प्रतिबल हो जाता है:
1. मूल मान का आधा
2. मूल मान का आठवाँ भाग
3. मूल मान का चौथाई भाग
4. अपरिवर्तित, क्योंकि M परिच्छेद पर निर्भर नहीं करता
उत्तर देखें
उत्तर: C — मूल मान का चौथाई भाग
M = PL अपरिवर्तित है और σmax = 6M/(bh²) h² के व्युत्क्रमानुपाती है, अतः h दुगुनी करने पर चौथाई भाग। आठवाँ भाग वह गुणक है जिससे द्वितीय आघूर्ण I, और इसलिए सिरे का विक्षेप, बदलता है; M के अपरिवर्तित होने का अर्थ यह नहीं कि प्रतिबल भी अपरिवर्तित रहे।
आयताकार परिच्छेद के बीम पर अनुप्रस्थ अपरूपण बल V हो तो गहराई के अनुदिश अपरूपण प्रतिबल:
1. हर स्तर पर एकसमान और V/A के बराबर होता है
2. परवलयाकार होता है, ऊपरी व निचली सतहों पर शून्य और उदासीन अक्ष पर 1.5 V/A
3. रैखिक होता है, उदासीन अक्ष पर शून्य और चरम तंतुओं पर अधिकतम
4. परवलयाकार होता है, चरम तंतुओं पर अधिकतम और उदासीन अक्ष पर 0.5 V/A
उत्तर देखें
उत्तर: B — परवलयाकार होता है, ऊपरी व निचली सतहों पर शून्य और उदासीन अक्ष पर 1.5 V/A
τ = VQ/(Ib), जिसमें Q, y का परवलयिक फलन है, मुक्त सतहों पर शून्य और उदासीन अक्ष पर अधिकतम 1.5 V/A देता है। उदासीन अक्ष पर शून्य वाला रैखिक वितरण बंकन प्रतिबल का है, जो भ्रामक उलझन है।
एक सममित I परिच्छेद में फ्लैंज 120 mm चौड़े व 16 mm मोटे हैं और वेब 8 mm मोटा है; कुल गहराई 200 mm है (अतः फ्लैंजों के बीच वेब 168 mm गहरा है)। उस पर 80 kN अनुप्रस्थ अपरूपण बल है। τ = VQ/(Ib) से परिच्छेद में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल, MPa में, ____ है (एक दशमलव स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 57.3
I = 120 × 200³/12 − 112 × 168³/12 = 80.0 × 10⁶ − 44.25 × 10⁶ = 35.74 × 10⁶ mm⁴। उदासीन अक्ष पर Q = 120 × 16 × 92 + 8 × 84 × 42 = 176 640 + 28 224 = 204 864 mm³, b = 8 mm। τmax = 80 × 10³ × 204 864/(35.74 × 10⁶ × 8) = 57.3 MPa। भूल से b = 120 mm लेने पर 3.8 MPa आता है।
सीधे, समांगी, रैखिक प्रत्यास्थ बीम के शुद्ध बंकन के लिए flexure formula σ = My/I के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. P: उदासीन अक्ष परिच्छेद के केंद्रक से गुज़रता है।
2. Q: बंकन प्रतिबल उदासीन अक्ष पर सबसे अधिक होता है।
3. R: समतल परिच्छेद समतल रहते हैं और विकृति y के साथ रैखिक बदलती है।
4. S: प्रतिबल गहराई के अनुदिश परवलयिक रूप से बदलता है।
उत्तर देखें
उत्तर: A — P: उदासीन अक्ष परिच्छेद के केंद्रक से गुज़रता है।; C — R: समतल परिच्छेद समतल रहते हैं और विकृति y के साथ रैखिक बदलती है।
रैखिक विकृति क्षेत्र के साथ शून्य नेट अक्षीय बल उदासीन अक्ष को केंद्रक पर रखता है (P), और समतल परिच्छेदों का समतल रहना मूल मान्यता है (R)। उदासीन अक्ष पर प्रतिबल शून्य होता है, अधिकतम नहीं, और वह रैखिक बदलता है, अतः Q व S गलत हैं।
120 mm गहराई (बंकन के तल में) व 80 mm चौड़ाई के आयताकार परिच्छेद वाले छोटे स्तंभ पर गहराई-अक्ष पर केंद्रक से e उत्केंद्रता पर संपीडक भार लगा है। परिच्छेद में कहीं भी तनन प्रतिबल न हो, इसके लिए e का अधिकतम अनुमेय मान है:
1. 40 mm
2. 13.3 mm
3. 30 mm
4. 20 mm
उत्तर देखें
उत्तर: D — 20 mm
दूर के किनारे पर प्रतिबल P/A − 6Pe/(bh²) = (P/A)(1 − 6e/h) है, जो e ≤ h/6 = 120/6 = 20 mm होने पर ही अऋणात्मक है, यही मध्य-तिहाई नियम है। 13.3 mm चौड़ाई 80 mm को h/6 में लेने (गलत विमा) से आता, और 40 mm, h/3 है।
50 mm व्यास का ठोस वृत्ताकार शाफ़्ट 0.9 kN·m मरोड़ बल-आघूर्ण संचारित करता है और विचाराधीन परिच्छेद पर उस पर 1.2 kN·m बंकन आघूर्ण भी है। अधिकतम बंकन तनन वाले सतह-बिंदु को लें, σ = M/Z, Z = πd³/32 और τ = T/(2Z) के साथ। उस बिंदु पर अधिकतम तल-अंतर्गत अपरूपण प्रतिबल, MPa में, ____ है (एक दशमलव स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 61.1
Z = π × 50³/32 = 12 272 mm³, σ = 1.2 × 10⁶/12 272 = 97.8 MPa और τ = 0.9 × 10⁶/(2 × 12 272) = 36.7 MPa। τmax = √[(σ/2)² + τ²] = √(48.9² + 36.7²) = 61.1 MPa। केवल σ/2 = 48.9 MPa लेना, यानी मरोड़ की उपेक्षा, सामान्य भूल है।
120 mm चौड़े व 200 mm गहरे एक छोटे आयताकार स्तंभ पर 160 kN संपीडक भार गहराई-अक्ष पर केंद्रक से 50 mm उत्केंद्रता पर लगा है। परिच्छेद में अधिकतम संपीडक प्रतिबल, MPa में, ____ है (एक दशमलव स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 16.7
P/A = 160 000/(120 × 200) = 6.667 MPa और बंकन भाग 6Pe/(bh²) = 6 × 160 000 × 50/(120 × 200²) = 10.0 MPa, अतः अधिकतम संपीडन 6.667 + 10.0 = 16.7 MPa (दूर किनारे पर 3.3 MPa तनन है क्योंकि e = 50 mm, h/6 = 33.3 mm से अधिक है)।
L लंबाई, एकसमान EI के एक कैंटिलीवर पर कुल भार W = wL है। जब W पूरी लंबाई में एकसमान फैला हो तब सिरे का विक्षेप और जब वही W मुक्त सिरे पर बिंदु भार हो तब का विक्षेप तुलना करें। अनुपात (एकसमान : बिंदु) है:
1. 3 : 8
2. 8 : 3
3. 1 : 2
4. 5 : 16
उत्तर देखें
उत्तर: A — 3 : 8
एकसमान भार से wL⁴/8EI = WL³/8EI; सिरे के भार से WL³/3EI। अनुपात (1/8)/(1/3) = 3/8। 8:3 इसे उलट देता है, और 1:2 तथा 5:16 इन दोनों स्थितियों से बनने वाले अनुपात नहीं हैं।
4 m स्पैन का सरल आधारित इस्पात बीम (E = 200 GPa, I = 4 × 10⁷ mm⁴) पूरे स्पैन पर 16 kN/m एकसमान वितरित भार वहन करता है, स्वभार नगण्य है। मध्य-स्पैन पर अधिकतम विक्षेप, mm में, ____ है (दो दशमलव स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 6.67
δ = 5wL⁴/(384EI), w = 16 N/mm, L = 4000 mm, EI = 200 000 × 4 × 10⁷ = 8 × 10¹² N·mm²: δ = 5 × 16 × 2.56 × 10¹⁴/(384 × 8 × 10¹²) = 2.048 × 10¹⁶/3.072 × 10¹⁵ = 6.67 mm। wL पर बिंदु-भार गुणांक 1/48 लेने से अलग संख्या आती।
एकसमान EI व 2L लंबाई का बीम अपने दोनों सिरों व मध्य बिंदु पर तीन सरल आधारों पर टिका है और पूरी लंबाई पर एकसमान वितरित भार w वहन करता है। मध्य आधार की प्रतिक्रिया है:
1. wL
2. 3wL/2
3. 3wL/8
4. 5wL/4
उत्तर देखें
उत्तर: D — 5wL/4
मध्य आधार हटाकर 5w(2L)⁴/384EI को R(2L)³/48EI के बराबर रखने पर R = 5wL/4 मिलता है। wL वह मान है जो सातत्य की उपेक्षा करके दो स्वतंत्र सरल आधारित स्पैन देते, जबकि 3wL/8 प्रत्येक सिरे के आधार की प्रतिक्रिया है।
L स्पैन, एकसमान EI का एक propped cantilever एक सिरे पर fixed है और दूसरे पर दृढ़ roller से टिका है, तथा मध्य-स्पैन पर एक बिंदु भार P वहन करता है। roller (prop) की प्रतिक्रिया है:
1. 11P/16
2. P/2
3. 3P/16
4. 5P/16
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उत्तर: D — 5P/16
prop हटाने पर मध्य-स्पैन भार से सिरे का विक्षेप 5PL³/48EI नीचे और prop बल R से RL³/3EI ऊपर होता है, अतः R = 5P/16। 11P/16 fixed सिरे की प्रतिक्रिया (P − 5P/16) है, और P/2 सरल आधारित स्पैन का उत्तर है।
4 m स्पैन का propped cantilever बाएँ सिरे पर fixed और दाएँ सिरे पर दृढ़ roller से टिका है, EI एकसमान है। पूरे स्पैन पर 12 kN/m एकसमान वितरित भार है। स्पैन में अधिकतम sagging बंकन आघूर्ण का परिमाण, kN·m में, ____ है (एक दशमलव स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 13.5
prop प्रतिक्रिया R = 3wL/8 = 3 × 12 × 4/8 = 18 kN। prop से V = 18 − 12x, x = 1.5 m (= 3L/8) पर शून्य है, जहाँ M = 18 × 1.5 − 12 × 1.5²/2 = 27 − 13.5 = 13.5 kN·m (= 9wL²/128)। fixed सिरे का आघूर्ण 24 kN·m hogging है और बड़ा है, पर वह sagging अधिकतम नहीं है।
अनुप्रस्थ अपरूपण बल वहन करते सममित I परिच्छेद के बीम के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. P: अपरूपण बल का कहीं बड़ा भाग वेब वहन करता है।
2. Q: अपरूपण प्रतिबल उदासीन अक्ष पर सबसे अधिक होता है।
3. R: वेब में अपरूपण प्रतिबल ठीक-ठीक एकसमान होता है।
4. S: अपरूपण प्रतिबल सबसे ऊपरी तंतु पर सबसे अधिक होता है।
उत्तर देखें
उत्तर: A — P: अपरूपण बल का कहीं बड़ा भाग वेब वहन करता है।; B — Q: अपरूपण प्रतिबल उदासीन अक्ष पर सबसे अधिक होता है।
Q उदासीन अक्ष की ओर बढ़ता है और वेब पतला है, अतः वेब V का लगभग 90 प्रतिशत वहन करता है और τ उदासीन अक्ष पर शिखर पर होता है। वेब में प्रतिबल मामूली ही सही पर परवलयिक बदलता है, अतः R ठीक नहीं है, और मुक्त ऊपरी सतह पर प्रतिबल शून्य है, अतः S गलत है।
दिए गए ऊर्ध्वाधर भार के अंतर्गत एकसमान EI के propped cantilever के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. P: ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाओं व आधार आघूर्ण के लिए यह प्रथम कोटि का अनिर्धार्य है।
2. Q: प्रतिक्रियाएँ केवल स्थैतिकी के तीन समीकरणों से निकल सकती हैं।
3. R: prop हटाने पर निर्धार्य कैंटिलीवर बचता है, और compatibility शर्त prop पर शून्य विक्षेप है।
4. S: दृढ़ prop होने पर भी प्रतिक्रियाएँ EI के संख्यात्मक मान पर निर्भर करती हैं।
उत्तर देखें
उत्तर: A — P: ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रियाओं व आधार आघूर्ण के लिए यह प्रथम कोटि का अनिर्धार्य है।; C — R: prop हटाने पर निर्धार्य कैंटिलीवर बचता है, और compatibility शर्त prop पर शून्य विक्षेप है।
समतल समस्या में तीन प्रतिक्रियाएँ (दो बल और एक आघूर्ण) हैं जो दो स्वतंत्र ऊर्ध्वाधर व आघूर्ण समीकरणों से अधिक हैं, अतः कोटि एक है (P), और दृढ़ prop पर compatibility शर्त शून्य विक्षेप है (R)। दृढ़ prop व एकल एकसमान-EI बीम में प्रतिक्रियाएँ केवल भारण व ज्यामिति पर निर्भर हैं, अतः S गलत है, और Q इसीलिए असत्य है कि बीम अनिर्धार्य है।
3 m लंबाई के कैंटिलीवर पर पूरी लंबाई में 5 kN/m एकसमान वितरित भार तथा मुक्त सिरे पर 6 kN बिंदु भार है। sagging को धनात्मक लेने पर fixed सिरे पर बंकन आघूर्ण है:
1. −40.5 kN·m, hogging
2. +40.5 kN·m, sagging
3. −22.5 kN·m, hogging
4. −18 kN·m, hogging
उत्तर देखें
उत्तर: A — −40.5 kN·m, hogging
भारों का fixed सिरे के सापेक्ष आघूर्ण 6 × 3 + 5 × 3 × 1.5 = 18 + 22.5 = 40.5 kN·m है, और कैंटिलीवर पर नीचे का भार hogging (ऊपर तनन) करता है, अतः M = −40.5 kN·m। 22.5 व 18 प्रत्येक एक भार छोड़ देते हैं, और धनात्मक चिह्न वक्रता की दिशा की उपेक्षा करता है।