The incompressible Navier-Stokes equation ρ DV/Dt = ρg − ∇p + μ∇²V is obtained for a fluid that is

Newtonian, of constant density and constant viscosity

inviscid and of constant density

compressible, with viscosity that varies strongly with temperature

non-Newtonian, with a shear-rate-dependent viscosity

Newtonian, of constant density and constant viscosity

A Newtonian fluid fills the gap between a fixed lower plate and an upper plate moving at constant speed, with zero pressure gradient and laminar flow. Across the gap

the velocity is linear and the shear stress is uniform

the velocity is parabolic and the shear stress is linear, zero at the mid-gap

the velocity is linear and the shear stress rises linearly towards the moving plate

the velocity is uniform at the plate speed and the shear stress is zero

In plane Couette flow the upper plate (gap h) moves at U and the lower plate is fixed, with viscosity μ and a constant pressure gradient dp/dx. Reverse flow first appears at the stationary wall when

dp/dx exceeds 2μU/h², an adverse gradient

dp/dx exceeds μU/h², an adverse gradient

dp/dx is more negative than −2μU/h², a favourable gradient

dp/dx exceeds 4μU/h², an adverse gradient

A mass of fluid rotates like a rigid body with constant angular velocity Ω. The vorticity everywhere in it is

zero, because there is no deformation

A free vortex has v_θ = K/r (K constant) about the origin. Which statement is correct?

The vorticity is zero for r > 0, yet the circulation is 2πK on every circle enclosing the origin

The vorticity is non-zero at every r, and the circulation grows with r

The vorticity is zero for r > 0, yet the circulation is 2πK on every circle enclosing the origin

The vorticity is zero for r > 0, so the circulation is zero on every circle

The vorticity is 2K for r > 0, and the circulation falls as 1/r

A velocity field is u = a y, v = 0 with a > 0, in SI units. Which description is correct?

rotational with ζ_{z} = −a, and with a shear rate of magnitude a

irrotational, because the streamlines are straight and parallel

irrotational, because the flow is incompressible

rotational with ζ_{z} = −a, and with a shear rate of magnitude a

rotational with ζ_{z} = +a, and with no shear deformation

A plane flow has u = x² and v = −2xy. Which statement is correct?

It is incompressible and rotational

It is compressible and irrotational

It is compressible and rotational

It is incompressible and irrotational

It is incompressible and rotational

For steady, fully developed laminar flow of a Newtonian fluid in a circular pipe of radius R, which statements are correct?

The velocity is largest on the axis, where it is twice the mean velocity

The shear stress increases linearly from zero on the axis to its maximum at the wall

At a fixed pressure gradient, the flow rate is proportional to R⁴

The velocity is largest on the axis, where it is twice the mean velocity

The shear stress increases linearly from zero on the axis to its maximum at the wall

At a fixed pressure gradient, the flow rate is proportional to R⁴

The wall shear stress equals μ u_{max}/R

Plane Couette flow: a fixed lower plate, an upper plate moving at U at gap h, no pressure gradient. Which statements are correct?

The velocity profile is linear in y

The shear stress is the same at every y, equal to μU/h

The flow rate per unit width is Uh/2

The velocity profile is linear in y

The shear stress is the same at every y, equal to μU/h

The flow rate per unit width is Uh/2

The flow is irrotational, since the streamlines are straight and parallel

Which statements about circulation and vorticity are correct?

By Stokes’ theorem, the circulation round a closed curve equals the integral of the vorticity over a smooth region it encloses

If a flow is irrotational everywhere in a simply connected region, the circulation round every closed curve in it is zero

A loop around the centre of a free vortex has non-zero circulation even though the vorticity is zero at every point of the fluid

By Stokes’ theorem, the circulation round a closed curve equals the integral of the vorticity over a smooth region it encloses

If a flow is irrotational everywhere in a simply connected region, the circulation round every closed curve in it is zero

A loop around the centre of a free vortex has non-zero circulation even though the vorticity is zero at every point of the fluid

The vorticity of a fluid element equals its angular velocity

नेवियर-स्टोक्स समीकरण व उसके यथातथ हल; भ्रमिलता, धारा-फलन व परिसंचरण

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर में XE1 तरल यांत्रिकी के खंड XE1.5 के उत्तरार्ध का उत्तर देता है: “नेवियर-स्टोक्स समीकरण और कूएट प्रवाह व पॉइज़ेल प्रवाह हेतु उसके यथातथ हल। तरल घूर्णन, भ्रमिलता, धारा-फलन और परिसंचरण की अवधारणा।” यह असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण, पूर्णतः विकसित समानांतर प्रवाह हेतु उसका सरलीकरण, दाब-प्रवणता सहित व रहित समतल कूएट (Couette) प्रवाह, समतल व पाइप पॉइज़ेल (Poiseuille) प्रवाह (वेग-वितरण, प्रवाह-दर, दीवार अपरूपण, माध्य व अधिकतम वेग का अनुपात, हेगन-पॉइज़ेल नियम), फिर घूर्णन, भ्रमिलता, विरूपण दर, धारा-फलन और स्टोक्स प्रमेय सहित परिसंचरण पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न गतिशील प्लेट पर बल, स्तरीय पाइपों में दाब-पतन व दीवार अपरूपण, स्थिर प्लेटों के बीच प्रवाह और भँवर में परिसंचरण हैं।

1. नेवियर-स्टोक्स समीकरण

पिछले अध्याय के संवेग समीकरण में न्यूटनी तरल के श्यान प्रतिबल रखें। स्थिर घनत्व व स्थिर श्यानता हेतु प्रति इकाई आयतन श्यान बल सरल होकर μ∇²V हो जाता है, और परिणाम असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण है:
ρ (∂V/∂t + (V · ∇)V) = ρg − ∇p + μ∇²V, साथ में ∇ · V = 0।
x घटक ρ(∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z) = ρg_x − ∂p/∂x + μ(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²) है। चार अज्ञात (u, v, w, p) हेतु चार समीकरण हैं, अतः परिसीमा-शर्तों सहित समस्या बंद है। μ = 0 पर यह यूलर समीकरण बन जाता है।

परिसीमा-शर्तें। ठोस दीवार पर तरल फिसलता नहीं: उसका वेग दीवार के वेग के बराबर है (no-slip)। (V · ∇)V के कारण समीकरण अरैखिक है, अतः यथातथ हल वहीं हैं जहाँ यह पद लुप्त हो, जो पूर्णतः विकसित समानांतर प्रवाह V = (u(y), 0, 0) में होता है। तब सांतत्य से ∂u/∂x = 0, y संवेग समीकरण कहता है कि p + ρgz प्रवाह के आर-पार नहीं बदलता, और x संवेग समीकरण सिमटकर
μ d²u/dy² = d(p + ρgz)/dx
हो जाता है, जिसका दायाँ पक्ष स्थिरांक है। नीचे के सभी हल इस समीकरण के दो समाकलन हैं। गुरुत्व दाब में समा जाता है, अतः क्षैतिज प्रवाह हेतु यह केवल dp/dx है।

⚠️ स्थिर श्यानता कल्पना है, नियम नहीं

μ∇²V रूप हेतु स्थिर μ व न्यूटनी तरल चाहिए। यदि श्यानता ताप या स्थान के साथ बदले, या तरल अन्यूटनी हो, तो श्यान पद में अतिरिक्त अंश आते हैं और नीचे के वितरण लागू नहीं होते। यह भी याद रखें कि “पूर्णतः विकसित” का अर्थ है कि वितरण प्रवाह के अनुदिश नहीं बदलता, अतः लंबी सीधी वाहिका चाहिए।

2. समतल कूएट प्रवाह

तरल स्थिर निचली प्लेट (y = 0) व x दिशा में चाल U से चलती ऊपरी प्लेट (y = h) के बीच के अंतराल h को भरता है। दाब-प्रवणता न होने पर समीकरण d²u/dy² = 0 है, और no-slip शर्तों u(0) = 0, u(h) = U से रैखिक वितरण u = U y/h मिलता है। अपरूपण प्रतिबल τ = μ du/dy = μU/h अंतराल में एकसमान है, इसीलिए क्षेत्रफल A की प्लेट पर बल F = μUA/h है। प्रति इकाई चौड़ाई प्रवाह-दर q = Uh/2 है।

दाब-प्रवणता सहित G = dp/dx हो तो समीकरण μu″ = G है, और
u = U y/h − (G/2μ) y(h − y)
अनुकूल प्रवणता (G < 0) प्लेट की दिशा में परवलयिक उभार जोड़ती है; प्रतिकूल प्रवणता (G > 0) उसे घटाती है। प्रवाह-दर q = Uh/2 − G h³/(12μ) है। स्थिर प्लेट पर दीवार अपरूपण τ(0) = μU/h − G h/2 है, अतः वह शून्य (उस दीवार पर प्रतिप्रवाह का आरंभ) तब होता है जब G = 2μU/h²। इससे बड़ी प्रतिकूल प्रवणता स्थिर दीवार के पास तरल को पीछे बहाती है। सुविधाजनक समूह P = −(h²/2μU)(dp/dx) है: u/U = y/h + P (y/h)(1 − y/h)।

हल उदाहरण। श्यानता 0.08 Pa·s का तेल 2 mm अंतराल भरता है और 0.5 m² की प्लेट 1.5 m/s से सरकती है। अपरूपण प्रतिबल = 0.08 × 1.5/0.002 = 60 Pa, अतः F = 60 × 0.5 = 30 N। अंतराल आधा करने पर बल दोगुना होता है; यह रैखिक-वितरण का परिणाम है और केवल स्तरीय व दाब-प्रवणता-रहित प्रवाह में लागू है।

3. स्थिर प्लेटों के बीच समतल पॉइज़ेल प्रवाह

दोनों प्लेटें y = 0 व y = h पर स्थिर (U = 0) हैं और प्रवाह दाब-पतन G = dp/dx < 0 से चलता है। u(0) = u(h) = 0 के साथ μu″ = G का समाकलन:
u = −(G/2μ) y(h − y)
वितरण परवलय है जिसका उच्चिष्ठ मध्य-तल पर है। Δp/L = −G लिखने पर:
u_max = (h²/8μ)(Δp/L); माध्य वेग V = (h²/12μ)(Δp/L); प्रति इकाई चौड़ाई प्रवाह q = (h³/12μ)(Δp/L)।
अतः V/u_max = 2/3। अपरूपण प्रतिबल τ = μ du/dy रैखिक बदलता है, मध्य-तल पर शून्य और प्रत्येक दीवार पर τ_w = (h/2)(Δp/L), जो दीवारों के बीच के तरल पर बल-संतुलन से मिलता है और वितरण के बिना भी सही है।

⚠️ अंतराल h बनाम अर्ध-अंतराल

जो पुस्तकें y = 0 मध्य-रेखा पर रखती हैं वे अर्ध-ऊँचाई b = h/2 लेती हैं, जिससे u_max = b²/(2μ)(Δp/L) व q = 2b³/(3μ)(Δp/L) मिलता है। ये ऊपर के सूत्रों से मेल खाते हैं, क्योंकि b²/2 = h²/8। प्रश्न जिसे h कहे वही लंबाई लें और दोनों को न मिलाएँ।

हल उदाहरण। 4 mm दूरी की स्थिर प्लेटों के बीच तेल (μ = 0.05 Pa·s), Δp/L = 2000 Pa/m: u_max = (0.004)² × 2000/(8 × 0.05) = 0.08 m/s, V = 0.0533 m/s, q = (0.004)³ × 2000/(12 × 0.05) = 2.13 × 10⁻⁴ m²/s, और τ_w = 0.002 × 2000 = 4 Pa। उसी प्रवणता पर अंतराल दोगुना करने से प्रवाह 8 गुना हो जाता है।

4. पाइप पॉइज़ेल प्रवाह व हेगन-पॉइज़ेल नियम

त्रिज्या R के वृत्ताकार पाइप में स्थायी, पूर्णतः विकसित स्तरीय प्रवाह हेतु बेलनाकार रूप में x संवेग समीकरण (μ/r) d(r du/dr)/dr = dp/dx है। r = 0 पर du/dr परिमित और u(R) = 0 के साथ दो बार समाकलन:
u = (Δp/4μL)(R² − r²), अक्ष पर u_max = Δp R²/(4μL)।
क्षेत्रफल पर समाकलन से Q = πR⁴Δp/(8μL) = πD⁴Δp/(128μL) (हेगन-पॉइज़ेल नियम) मिलता है, अतः माध्य वेग V = R²Δp/(8μL) और V/u_max = 1/2। अपरूपण प्रतिबल τ = μ(−du/dr) = (Δp/2L) r है, अक्ष पर शून्य से रैखिक बढ़कर τ_w = RΔp/(2L) = 4μV/R = 8μV/D।

परिणाम। स्थिर Δp/L पर प्रवाह D⁴ के अनुसार चलता है, अतः स्थिर Q पर दाब-पतन D⁻⁴ के अनुसार: व्यास आधा करने पर Δp सोलह गुना हो जाता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 8τ_w/(ρV²) लिखने पर f = 64/Re मिलता है, जहाँ Re = ρVD/μ, जो स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2300 से नीचे) हेतु मान्य है। इस वितरण का गतिज-ऊर्जा फ्लक्स उसी माध्य चाल के एकसमान प्रवाह से दोगुना है, जो स्तरीय पाइपों हेतु ऊर्जा-समीकरण लिखते समय मायने रखता है।

हल उदाहरण। तेल (μ = 0.12 Pa·s, ρ = 900 kg/m³) 10 m लंबे 20 mm पाइप में 0.2 L/s से बहता है। V = 2 × 10⁻⁴/(3.1416 × 10⁻⁴) = 0.637 m/s और Re = 900 × 0.637 × 0.02/0.12 = 95, अतः प्रवाह स्तरीय है। Δp = 128 × 0.12 × 10 × 2 × 10⁻⁴/(π × (0.02)⁴) = 61.1 kPa। दीवार अपरूपण से जाँच: τ_w = 8 × 0.12 × 0.637/0.02 = 30.56 Pa, और Δp = 4τ_wL/D = 4 × 30.56 × 10/0.02 = 61.1 kPa।

5. तरल घूर्णन, भ्रमिलता व विरूपण दर

समतल प्रवाह में तरल अवयव स्थानांतरित, घूर्णित व विकृत होता है। z अक्ष के गिर्द उसका कोणीय वेग Ω_z = ½(∂v/∂x − ∂u/∂y) है, जो आरंभ में लंबवत दो रेखाओं का माध्य घूर्णन है। भ्रमिलता ζ = ∇ × V = 2Ω है, अतः ζ_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y। जिस प्रवाह में सर्वत्र ζ = 0 हो वह अघूर्णी है। बेलनाकार निर्देशांकों में शुद्ध वृत्तीय प्रवाह हेतु ζ_z = (1/r) d(r v_θ)/dr है।

विरूपण दर का एक रैखिक भाग है, ε_xx = ∂u/∂x (व ε_yy = ∂v/∂y), जिनका योग आयतनी प्रसार-दर है, असंपीड्य प्रवाह में शून्य, और एक अपरूपण भाग, γ̇_xy = ∂u/∂y + ∂v/∂x, जिसके समानुपाती अपरूपण प्रतिबल है, τ_xy = μγ̇_xy। घूर्णन व अपरूपण-दर एक ही वेग-प्रवणताओं से आते हैं पर भिन्न संयोजन हैं: घूर्णन हेतु अंतर, विरूपण हेतु योग।

मानक प्रवाहों की भ्रमिलता
प्रवाह	वेग क्षेत्र	भ्रमिलता ζ_z	टिप्पणी
सरल अपरूपण (कूएट)	u = a y, v = 0	−a	घूर्णी, यद्यपि धारा-रेखाएँ सीधी हैं
दृढ़-पिंड घूर्णन	v_θ = Ω r	2Ω	घूर्णी, कोई विरूपण नहीं
मुक्त भँवर	v_θ = K/r	r > 0 पर 0	अघूर्णी, केंद्र पर विचित्र

ψ व बर्नूली से संबंध। पिछले अध्याय के धारा-फलन हेतु ζ_z = −∇²ψ, अतः अघूर्णी समतल असंपीड्य प्रवाह में ∇²ψ = 0 होता है। अघूर्णी प्रवाह में बर्नूली स्थिरांक सभी धारा-रेखाओं पर समान है। हल-पंक्ति: u = x², v = −2xy से ∂u/∂x + ∂v/∂y = 2x − 2x = 0, और ζ_z = −2y − 0 = −2y, अतः यह असंपीड्य व घूर्णी है, घूर्णन केवल y = 0 पर शून्य है।

6. परिसंचरण व स्टोक्स प्रमेय

बंद वक्र C के गिर्द परिसंचरण Γ = ∮ V · dl है, वामावर्त लेकर। स्टोक्स प्रमेय उसे घिरे पृष्ठ पर भ्रमिलता से जोड़ता है: Γ = ∬ (∇ × V) · dA, जो समतल में Γ = ∬ ζ_z dA है। अतः परिसंचरण घिरी कुल भ्रमिलता है: छोटे लूप हेतु Γ ≈ ζ_z × क्षेत्रफल। यदि C के भीतर सर्वत्र प्रवाह अघूर्णी हो, तो Γ = 0।

दृढ़ घूर्णन: Γ = (Ω r)(2πr) = 2Ω × πr², अर्थात भ्रमिलता 2Ω गुणा क्षेत्रफल, अतः 120 rpm (Ω = 12.57 rad/s) से घूमती तरल-चक्रिका का 0.3 m त्रिज्या के वृत्त पर Γ = 7.11 m²/s है। मुक्त भँवर: केंद्र के गिर्द प्रत्येक वृत्त पर Γ = (K/r)(2πr) = 2πK, r से स्वतंत्र, यद्यपि प्रत्येक r > 0 पर ζ_z = 0: सारी भ्रमिलता विचित्र केंद्र पर संकेंद्रित है। केंद्र को न घेरने वाले लूप का Γ = 0। सरल अपरूपण u = a y: क्षेत्रफल A के वामावर्त आयत के गिर्द Γ = −aA, जो ζ_z = −a से मेल खाता है।

⚠️ शून्य भ्रमिलता का अर्थ सदा शून्य परिसंचरण नहीं

स्टोक्स प्रमेय हेतु ऐसा क्षेत्र चाहिए जिसमें वेग-क्षेत्र समतल (smooth) हो। मुक्त भँवर के केंद्र को घेरते लूप का Γ = 2πK ≠ 0 है, यद्यपि तरल के प्रत्येक बिंदु पर ζ = 0, क्योंकि क्षेत्र में विचित्रता है। इसी प्रकार सीधी धारा-रेखाओं से अघूर्णिता नहीं निकलती, जैसा सरल अपरूपण दिखाता है।

मुख्य बिंदु

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण ρ DV/Dt = ρg − ∇p + μ∇²V व ∇ · V = 0 है, स्थिर ρ व μ हेतु। पूर्णतः विकसित समानांतर प्रवाह में यह μ d²u/dy² = d(p + ρgz)/dx हो जाता है, जिसका दायाँ पक्ष स्थिरांक है, दीवारों पर no-slip के साथ।
दाब-प्रवणता रहित समतल कूएट प्रवाह में u = Uy/h व एकसमान अपरूपण τ = μU/h है। प्रवणता सहित u = Uy/h − (G/2μ) y(h − y), और स्थिर दीवार पर प्रतिप्रवाह तब शुरू होता है जब dp/dx = 2μU/h²।
h दूरी की स्थिर प्लेटों के बीच u_max = h²Δp/(8μL), V = (2/3) u_max, q = h³Δp/(12μL), τ_w = hΔp/(2L)।
स्तरीय वृत्ताकार पाइप में u = (Δp/4μL)(R² − r²), V = u_max/2, Q = πD⁴Δp/(128μL), τ_w = 8μV/D व f = 64/Re। स्थिर Q पर Δp, D⁻⁴ के अनुसार बदलता है।
भ्रमिलता ζ_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = कोणीय वेग की दोगुनी है, और ζ_z = −∇²ψ। दृढ़ घूर्णन में ζ = 2Ω, मुक्त भँवर में केंद्र से दूर ζ = 0, और सरल अपरूपण घूर्णी है यद्यपि उसकी धारा-रेखाएँ सीधी हैं।
परिसंचरण Γ = ∮ V · dl = ∬ ζ_z dA (स्टोक्स)। मुक्त भँवर का केंद्र के गिर्द किसी भी लूप पर Γ = 2πK है और उसे न घेरने वाले लूप पर शून्य।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण ρ DV/Dt = ρg − ∇p + μ∇²V उस तरल हेतु प्राप्त होता है जो
1. अश्यान व स्थिर घनत्व का हो
2. संपीड्य हो, और जिसकी श्यानता ताप से प्रबल रूप से बदलती हो
3. अन्यूटनी हो, जिसकी श्यानता अपरूपण-दर पर निर्भर हो
4. न्यूटनी हो, स्थिर घनत्व व स्थिर श्यानता का
उत्तर देखें
उत्तर: D — न्यूटनी हो, स्थिर घनत्व व स्थिर श्यानता का
श्यान पद μ∇²V तक तभी सरल होता है जब प्रतिबल न्यूटनी हो और ρ व μ दोनों स्थिर हों। μ = 0 रखने पर यूलर समीकरण मिलता है; परिवर्ती श्यानता व अन्यूटनी व्यवहार अतिरिक्त पद जोड़ते हैं।
न्यूटनी तरल एक स्थिर निचली प्लेट व स्थिर चाल से चलती ऊपरी प्लेट के बीच के अंतराल में भरा है, दाब-प्रवणता शून्य और प्रवाह स्तरीय है। अंतराल के आर-पार
1. वेग रैखिक है और अपरूपण प्रतिबल एकसमान
2. वेग परवलयिक है और अपरूपण प्रतिबल रैखिक, मध्य-अंतराल पर शून्य
3. वेग रैखिक है और अपरूपण प्रतिबल गतिशील प्लेट की ओर रैखिक बढ़ता है
4. वेग प्लेट की चाल पर एकसमान है और अपरूपण प्रतिबल शून्य
उत्तर देखें
उत्तर: A — वेग रैखिक है और अपरूपण प्रतिबल एकसमान
d²u/dy² = 0 होने पर वितरण रैखिक है, अतः du/dy और इसलिए τ = μ du/dy प्रत्येक ऊँचाई पर समान है। मध्य-अंतराल पर शून्य प्रतिबल वाला परवलयिक वितरण स्थिर प्लेटों के बीच दाब-चालित प्रवाह का है; तीसरा वर्णन असंगत है क्योंकि रैखिक वितरण की ढाल स्थिर होती है।
दो स्थिर समानांतर प्लेटों के बीच दाब-प्रवणता से चालित न्यूटनी तरल के स्थायी, पूर्णतः विकसित स्तरीय प्रवाह में माध्य वेग व अधिकतम वेग का अनुपात है
1. 1/2
2. 2/3
3. 3/4
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: B — 2/3
वितरण u = u_max × 4(y/h)(1 − y/h) है, जिसका माध्य (2/3) u_max है। मान 1/2 वृत्ताकार पाइप का है, जहाँ परवलय अक्ष के गिर्द घुमाया जाता है, और 1 एकसमान वितरण का होता।
तेल एक लंबे वृत्ताकार पाइप में स्तरीय रूप से बहता है। प्रवाह-दर स्थिर रखी जाती है, और पाइप को उसी लंबाई व आधे व्यास वाले पाइप से बदला जाता है, तरल वही है। दाब-पतन में गुणक है
1. 4
2. 8
3. 16
4. 32
उत्तर देखें
उत्तर: C — 16
हेगन-पॉइज़ेल नियम से Δp = 128μLQ/(πD⁴), अतः Δp ∝ D⁻⁴ और D आधा करने पर Δp का गुणक 2⁴ = 16 है। गुणक 4 केवल क्षेत्रफल-प्रभाव गिनने पर आता, और 8 D⁻³ नियम से।
समतल कूएट प्रवाह में ऊपरी प्लेट (अंतराल h) चाल U से चलती है और निचली स्थिर है, श्यानता μ व स्थिर दाब-प्रवणता dp/dx है। स्थिर दीवार पर प्रतिप्रवाह पहली बार तब प्रकट होता है जब
1. dp/dx, 2μU/h² से अधिक हो, अर्थात प्रतिकूल प्रवणता
2. dp/dx, μU/h² से अधिक हो, अर्थात प्रतिकूल प्रवणता
3. dp/dx, −2μU/h² से अधिक ऋणात्मक हो, अर्थात अनुकूल प्रवणता
4. dp/dx, 4μU/h² से अधिक हो, अर्थात प्रतिकूल प्रवणता
उत्तर देखें
उत्तर: A — dp/dx, 2μU/h² से अधिक हो, अर्थात प्रतिकूल प्रवणता
u = Uy/h − (G/2μ) y(h − y) से y = 0 पर ढाल U/h − Gh/(2μ) है। यह G = 2μU/h² पर शून्य और उससे आगे ऋणात्मक हो जाती है, जो स्थिर दीवार के पास प्रवाह-उलटाव है। यह केवल प्रतिकूल (धनात्मक) प्रवणता कर सकती है; अनुकूल प्रवणता दीवार की ढाल को तीखा करती है।
तरल का पिंड स्थिर कोणीय वेग Ω से दृढ़ पिंड की भाँति घूमता है। उसमें सर्वत्र भ्रमिलता है
1. शून्य, क्योंकि कोई विरूपण नहीं है
2. Ω
3. Ω/2
4. 2Ω
उत्तर देखें
उत्तर: D — 2Ω
भ्रमिलता स्थानीय कोणीय वेग की दोगुनी होती है। v_θ = Ωr हेतु (1/r) d(r × Ωr)/dr = 2Ω। विरूपण न होने का अर्थ अपरूपण-दर शून्य है, घूर्णन शून्य नहीं।
मूल-बिंदु के गिर्द मुक्त भँवर का v_θ = K/r (K स्थिर) है। कौन-सा कथन सही है?
1. भ्रमिलता प्रत्येक r पर अशून्य है, और परिसंचरण r के साथ बढ़ता है
2. r > 0 पर भ्रमिलता शून्य है, फिर भी मूल-बिंदु को घेरने वाले प्रत्येक वृत्त पर परिसंचरण 2πK है
3. r > 0 पर भ्रमिलता शून्य है, अतः प्रत्येक वृत्त पर परिसंचरण शून्य है
4. r > 0 पर भ्रमिलता 2K है, और परिसंचरण 1/r के अनुसार घटता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — r > 0 पर भ्रमिलता शून्य है, फिर भी मूल-बिंदु को घेरने वाले प्रत्येक वृत्त पर परिसंचरण 2πK है
r > 0 पर (1/r) d(r × K/r)/dr = 0, अतः वहाँ प्रवाह अघूर्णी है। पर Γ = (K/r)(2πr) = 2πK, मूल-बिंदु के गिर्द प्रत्येक वृत्त हेतु स्थिर, क्योंकि सारी भ्रमिलता विचित्र केंद्र पर है। विचित्रता के आर-पार स्टोक्स प्रमेय नहीं लग सकता, इसी कारण यहाँ शून्य भ्रमिलता से शून्य परिसंचरण नहीं निकलता।
वेग क्षेत्र u = a y, v = 0 है, a > 0, SI इकाई में। कौन-सा वर्णन सही है?
1. अघूर्णी, क्योंकि धारा-रेखाएँ सीधी व समानांतर हैं
2. अघूर्णी, क्योंकि प्रवाह असंपीड्य है
3. घूर्णी, ζ_z = −a के साथ और परिमाण a की अपरूपण-दर के साथ
4. घूर्णी, ζ_z = +a के साथ और बिना अपरूपण विरूपण के
उत्तर देखें
उत्तर: C — घूर्णी, ζ_{z} = −a के साथ और परिमाण a की अपरूपण-दर के साथ
ζ_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = −a और अपरूपण-दर ∂u/∂y + ∂v/∂x = a। सीधी धारा-रेखाओं से अघूर्णी प्रवाह नहीं निकलता, और असंपीड्यता (∇ · V = 0) ∇ × V = 0 से भिन्न शर्त है।
एक समतल प्रवाह में u = x² व v = −2xy है। कौन-सा कथन सही है?
1. यह संपीड्य व अघूर्णी है
2. यह संपीड्य व घूर्णी है
3. यह असंपीड्य व अघूर्णी है
4. यह असंपीड्य व घूर्णी है
उत्तर देखें
उत्तर: D — यह असंपीड्य व घूर्णी है
∂u/∂x + ∂v/∂y = 2x − 2x = 0, अतः यह असंपीड्य है। ζ_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = −2y − 0 = −2y, जो y = 0 को छोड़कर अशून्य है, अतः यह घूर्णी है।
त्रिज्या R के वृत्ताकार पाइप में न्यूटनी तरल के स्थायी, पूर्णतः विकसित स्तरीय प्रवाह हेतु कौन-से कथन सही हैं?
1. वेग अक्ष पर सर्वाधिक है, जहाँ वह माध्य वेग का दोगुना है
2. अपरूपण प्रतिबल अक्ष पर शून्य से दीवार पर अधिकतम तक रैखिक बढ़ता है
3. स्थिर दाब-प्रवणता पर प्रवाह-दर R⁴ के समानुपाती है
4. दीवार अपरूपण प्रतिबल μ u_max/R के बराबर है
उत्तर देखें
उत्तर: A — वेग अक्ष पर सर्वाधिक है, जहाँ वह माध्य वेग का दोगुना है; B — अपरूपण प्रतिबल अक्ष पर शून्य से दीवार पर अधिकतम तक रैखिक बढ़ता है; C — स्थिर दाब-प्रवणता पर प्रवाह-दर R⁴ के समानुपाती है
वितरण u_max(1 − r²/R²) का माध्य u_max/2 है, अपरूपण प्रतिबल (Δp/2L) r है, और Q ∝ R⁴। दीवार पर ढाल |du/dr| = 2u_max/R, अतः τ_w = 2μ u_max/R; गुणक 2 के बिना रूप गलत है।
समतल कूएट प्रवाह: स्थिर निचली प्लेट, अंतराल h पर चाल U से चलती ऊपरी प्लेट, दाब-प्रवणता नहीं। कौन-से कथन सही हैं?
1. वेग-वितरण y में रैखिक है
2. अपरूपण प्रतिबल प्रत्येक y पर समान और μU/h के बराबर है
3. प्रति इकाई चौड़ाई प्रवाह-दर Uh/2 है
4. प्रवाह अघूर्णी है, क्योंकि धारा-रेखाएँ सीधी व समानांतर हैं
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उत्तर: A — वेग-वितरण y में रैखिक है; B — अपरूपण प्रतिबल प्रत्येक y पर समान और μU/h के बराबर है; C — प्रति इकाई चौड़ाई प्रवाह-दर Uh/2 है
पहले तीन u = Uy/h से निकलते हैं। भ्रमिलता −U/h है, एकसमान व अशून्य, अतः प्रवाह घूर्णी है; सीधी धारा-रेखाएँ अघूर्णिता की गारंटी कभी नहीं देतीं।
परिसंचरण व भ्रमिलता के बारे में कौन-से कथन सही हैं?
1. स्टोक्स प्रमेय से, बंद वक्र के गिर्द परिसंचरण उसके घेरे समतल क्षेत्र पर भ्रमिलता के समाकल के बराबर है
2. यदि प्रवाह किसी सरल-संबद्ध क्षेत्र में सर्वत्र अघूर्णी हो, तो उसमें प्रत्येक बंद वक्र के गिर्द परिसंचरण शून्य है
3. मुक्त भँवर के केंद्र के गिर्द लूप का परिसंचरण अशून्य है, यद्यपि तरल के प्रत्येक बिंदु पर भ्रमिलता शून्य है
4. तरल अवयव की भ्रमिलता उसके कोणीय वेग के बराबर है
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उत्तर: A — स्टोक्स प्रमेय से, बंद वक्र के गिर्द परिसंचरण उसके घेरे समतल क्षेत्र पर भ्रमिलता के समाकल के बराबर है; B — यदि प्रवाह किसी सरल-संबद्ध क्षेत्र में सर्वत्र अघूर्णी हो, तो उसमें प्रत्येक बंद वक्र के गिर्द परिसंचरण शून्य है; C — मुक्त भँवर के केंद्र के गिर्द लूप का परिसंचरण अशून्य है, यद्यपि तरल के प्रत्येक बिंदु पर भ्रमिलता शून्य है
पहले तीन स्टोक्स प्रमेय और मुक्त-भँवर विचित्रता के सही कथन हैं। भ्रमिलता कोणीय वेग की दोगुनी होती है, अतः दोनों को बराबर कहना 2 के गुणक से गलत है।
श्यानता 0.08 Pa·s का तेल एक स्थिर सतह और उसके समानांतर 1.5 m/s से सरकती 0.5 m² क्षेत्रफल की समतल प्लेट के बीच 2 mm अंतराल में भरा है। रैखिक वेग-वितरण व दाब-प्रवणता का अभाव मानें। प्लेट को चलाने हेतु आवश्यक बल, N में, है ____।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 30
τ = μU/h = 0.08 × 1.5/0.002 = 60 Pa; F = τA = 60 × 0.5 = 30 N। h को mm में बिना रूपांतरण लेने पर परिणाम 1000 गुना छोटा आता।
तेल (श्यानता 0.12 Pa·s, घनत्व 900 kg/m³) 20 mm व्यास व 10 m लंबाई के क्षैतिज वृत्ताकार पाइप में 0.2 L/s से स्थायी रूप से बहता है; प्रवाह पूर्णतः विकसित व स्तरीय है। पाइप की लंबाई पर दाब-पतन, kPa में, दशमलव के एक स्थान तक, है ____।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 61.1
Q = 2 × 10⁻⁴ m³/s। Δp = 128μLQ/(πD⁴) = 128 × 0.12 × 10 × 2 × 10⁻⁴/(π × 1.6 × 10⁻⁷) = 0.03072/5.0265 × 10⁻⁷ = 61,115 Pa = 61.1 kPa। जाँच: V = 0.637 m/s, Re = 900 × 0.637 × 0.02/0.12 = 95, अतः स्तरीय नियम लागू है। Δp हेतु घनत्व आवश्यक नहीं।
श्यानता 0.2 Pa·s का तेल 50 mm व्यास के वृत्ताकार पाइप में पूर्णतः विकसित स्तरीय प्रवाह में बहता है। अक्षीय वेग 0.8 m/s है। पाइप की दीवार पर अपरूपण प्रतिबल, Pa में, दशमलव के एक स्थान तक, है ____।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 12.8
u = u_max(1 − r²/R²), अतः दीवार पर |du/dr| = 2u_max/R = 2 × 0.8/0.025 = 64 s⁻¹। τ_w = 0.2 × 64 = 12.8 Pa। जाँच: V = u_max/2 = 0.4 m/s और 8μV/D = 8 × 0.2 × 0.4/0.05 = 12.8 Pa। μu_max/R लेने पर 6.4 Pa मिलता है, जो गुणक 2 कम है।
श्यानता 0.05 Pa·s का तेल 4 mm दूरी की दो स्थिर समानांतर प्लेटों के बीच −2000 Pa/m की दाब-प्रवणता से बहता है; प्रवाह स्तरीय व पूर्णतः विकसित है। प्लेट की प्रति मीटर चौड़ाई आयतन प्रवाह-दर, 10⁻⁴ m²/s की इकाई में, दशमलव के दो स्थानों तक, है ____।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2.13
q = h³/(12μ) × |dp/dx| = (0.004)³ × 2000/(12 × 0.05) = 6.4 × 10⁻⁸ × 2000/0.6 = 2.133 × 10⁻⁴ m²/s, अर्थात पूछी इकाई में 2.13। मध्य-तल से दीवार तक के अर्ध-अंतराल को h लेने पर इसका आठवाँ भाग आता।
जल की वृत्ताकार टंकी अपने ऊर्ध्वाधर अक्ष के गिर्द 120 परिक्रमण प्रति मिनट से घूमती है और जल दृढ़ पिंड की भाँति घूमता है। π = 3.14159 लें। अक्ष पर केंद्रित 0.3 m त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त के गिर्द परिसंचरण, m²/s में, दशमलव के दो स्थानों तक, है ____।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 7.11
Ω = 120 × 2π/60 = 12.566 rad/s। Γ = ∮ V · dl = (Ωr)(2πr) = 2π Ω r² = 2π × 12.566 × 0.09 = 7.106 m²/s। स्टोक्स से: भ्रमिलता 2Ω = 25.13 s⁻¹ गुणा क्षेत्रफल π(0.3)² = 0.2827 m² वही 7.106 देता है, अर्थात 7.11।