अवकल विश्लेषण: सांतत्य, यूलर व बर्नूली समीकरण, वेंचुरी, पिटो-स्थैतिक नली व ऑरिफ़िस मीटर

यह अध्याय XE1 तरल यांत्रिकी (Fluid Mechanics) के खंड XE1.5 के पूर्वार्ध का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है; परीक्षा में अभ्यर्थी इनमें से कोई दो चुनता है: “असंपीड्य प्रवाह हेतु द्रव्यमान व संवेग के अवकल समीकरण, यूलर समीकरण, बर्नूली समीकरण और वेंचुरीमीटर, पिटो-स्थैतिक नली व ऑरिफ़िस मीटर में उसका अनुप्रयोग।” यह अवकल सांतत्य समीकरण व धारा-फलन, अवकल संवेग समीकरण व उसका अश्यान रूप (यूलर समीकरण), धारा-रेखा के अनुदिश बर्नूली समीकरण की व्युत्पत्ति सभी सीमाओं सहित, दाब-पद (स्थैतिक, गतिक, ठहराव, पीज़ोमेट्रिक) तथा तीनों प्रवाह-मापक युक्तियाँ पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न लुप्त वेग-घटक, धारा-रेखाओं के बीच प्रवाह, जेट व साइफ़न की चाल व दाब, तथा वेंचुरी, ऑरिफ़िस व पिटो-स्थैतिक पाठ्यांकों से प्रवाह-दर व वेग हैं।

1. अवकल सांतत्य समीकरण व धारा-फलन

द्रव्यमान संरक्षण को स्थिर बक्से dx dy dz पर लगाएँ। प्रति सेकंड बाहर जाने वाला नेट द्रव्यमान [∂(ρu)/∂x + ∂(ρv)/∂y + ∂(ρw)/∂z] dx dy dz है और वह भीतर के द्रव्यमान के घटने की दर के बराबर होना चाहिए, अतः ∂ρ/∂t + ∇ · (ρV) = 0। असंपीड्य तरल में ρ स्थिर है, और समीकरण ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 हो जाता है, अर्थात ∇ · V = 0। यह स्थायी व अस्थायी, दोनों प्रवाहों में लगता है: यह कहता है कि तरल अवयव का आयतन चलते समय नहीं बदलता। बेलनाकार निर्देशांकों में यह (1/r) ∂(r vr)/∂r + (1/r) ∂v_θ/∂θ + ∂vz/∂z = 0 है।

उपयोग। किसी क्षेत्र की जाँच हेतु ∇ · V निकालें। लुप्त घटक पाने हेतु समाकलन करें: समतल असंपीड्य प्रवाह में u = 2xy हो और y = 0 पर v = 0 हो, तो ∂v/∂y = −∂u/∂x = −2y, अतः v = −y²। स्थायी संपीड्य प्रवाह में शर्त ∇ · (ρV) = 0 है, ∇ · V = 0 नहीं, और ∇ · V = 0 घूर्णन के बारे में कुछ नहीं कहता: प्रवाह असंपीड्य होकर भी घूर्णी हो सकता है।

धारा-फलन। समतल असंपीड्य प्रवाह हेतु ψ(x, y) को u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x से परिभाषित करें। तब ∂u/∂x + ∂v/∂y = ∂²ψ/∂x∂y − ∂²ψ/∂y∂x = 0, अतः सांतत्य स्वतः संतुष्ट होता है। वक्र ψ = स्थिरांक पर dψ = −v dx + u dy = 0, अतः dy/dx = v/u: ψ के स्थिर मान वाली रेखाएँ धारा-रेखाएँ हैं। दो धारा-रेखाओं के बीच प्रति इकाई गहराई आयतन प्रवाह |ψ₂ − ψ₁| है, और जहाँ धारा-रेखाएँ पास-पास हों वहाँ चाल अधिक है। हल-पंक्ति: u = 2xy + y², v = −y² से ψ = xy² + y³/3; (1, 1) व (2, 1) से गुज़रती धारा-रेखाओं के बीच ψ = 4/3 व 7/3, अतः प्रवाह 1.0 m²/s प्रति मीटर गहराई है।

⚠️ ψ की चिह्न-परिपाटी सार्वभौमिक नहीं है
कुछ पुस्तकें u = −∂ψ/∂y व v = ∂ψ/∂x लिखती हैं। धारा-रेखाओं के बीच प्रवाह के परिमाण पर असर नहीं पड़ता, पर ψ व उद्धृत प्रवाह के चिह्न पर पड़ता है। सदा प्रश्न की परिपाटी लें; यहाँ u = ∂ψ/∂y व v = −∂ψ/∂x है।

2. अवकल संवेग समीकरण व यूलर समीकरण

न्यूटन का दूसरा नियम आयतन dV के तरल अवयव हेतु कहता है: द्रव्यमान × त्वरण = नेट बल। प्रति इकाई आयतन बल हैं दाब-बल −∇p, भार ρg और नेट श्यान बल। कण का त्वरण DV/Dt = ∂V/∂t + (V · ∇)V है, स्थानीय जमा संवहनी भाग। अतः ρ DV/Dt = ρg − ∇p + (श्यान पद)। x दिशा में: ρ(∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z) = ρgx − ∂p/∂x + (श्यान)। श्यान पद का विकास अगले अध्याय में है।

यूलर समीकरण। जहाँ श्यान बल नगण्य हैं (परिसीमा-परतों व अनुवाह के बाहर, या आदर्श तरल हेतु), ρ DV/Dt = ρg − ∇p। V = 0 रखने पर द्रवस्थैतिक नियम ∇p = ρg लौट आता है, जो उपयोगी जाँच है। धारा-रेखीय निर्देशांकों में, s प्रवाह के अनुदिश और r वक्रता-केंद्र से बाहर की ओर (त्रिज्या R), स्थायी प्रवाह हेतु:
प्रवाह के अनुदिश: ρ V ∂V/∂s = −∂(p + ρgz)/∂s
प्रवाह के आर-पार: ∂(p + ρgz)/∂r = ρV²/R

दूसरे संबंध को भौतिक रूप से पढ़ें: मोड़ पर घूमते तरल को भीतर की ओर नेट बल चाहिए, और वह केवल बाहर की ओर बढ़ता दाब दे सकता है। सीधी, समानांतर धारा-रेखाओं हेतु R → ∞, अतः धारा के आर-पार p + ρgz स्थिर है, यानी द्रवस्थैतिक नियम। हल-पंक्ति: 0.5 m धारा-रेखा त्रिज्या के क्षैतिज मोड़ पर 2 m/s का पानी ∂p/∂r = 1000 × 2²/0.5 = 8000 Pa/m रखता है, अर्थात 0.1 m और बाहर की धारा-रेखा पर दाब 800 Pa अधिक।

3. धारा-रेखा के अनुदिश बर्नूली समीकरण व उसकी सीमाएँ

स्थायी प्रवाह हेतु प्रवाह के अनुदिश यूलर संबंध को ds से गुणा करें और V dV = d(V²/2) लें: dp + ρ V dV + ρ g dz = 0। ρ स्थिर होने पर समाकलन से p + ½ρV² + ρgz = धारा-रेखा के अनुदिश स्थिरांक मिलता है, या ρg से भाग देने पर p/ρg + V²/2g + z = H, जो दाब-शीर्ष, वेग-शीर्ष व ऊँचाई का योग है। दो बिंदुओं के बीच: p₁ + ½ρV₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρV₂² + ρgz₂। दोनों बिंदुओं पर वही दाब (निरपेक्ष या गेज) लेने पर कोई भी प्रयुक्त हो सकता है।

  • सीमाएँ: स्थायी प्रवाह; असंपीड्य तरल (गैस हेतु मैक संख्या लगभग 0.3 से नीचे); अश्यान, अतः घर्षण हानि नहीं; एक ही धारा-रेखा के अनुदिश; बिंदुओं के बीच कोई शाफ़्ट-कार्य या ऊष्मा-अंतरण नहीं; गुरुत्व ही एकमात्र पिंड-बल।
  • स्थिरांक एक धारा-रेखा से दूसरी पर बदलता है जब तक प्रवाह अघूर्णी न हो, तब पूरे क्षेत्र हेतु एक ही स्थिरांक चलता है। अस्थायी प्रवाह में पद ρ ∫(∂V/∂t) ds जुड़ता है।
  • कहाँ विफल: पंप या टरबाइन के आर-पार (ऊर्जा जुड़ती या घटती है), लंबे पाइपों, वाल्वों व आकस्मिक प्रसार में (श्यान हानियाँ), और घूर्णी प्रवाह की धारा-रेखाओं के बीच। वहाँ पंप-शीर्ष व शीर्ष-हानि पद सहित ऊर्जा समीकरण काम आता है (आंतरिक प्रवाह, खंड XE1.7)।

हल उदाहरण: टॉरिसेली व साइफ़न। खुली बड़ी टंकी में मुक्त पृष्ठ से h गहराई पर छोटा छिद्र: पृष्ठ व जेट दोनों वायुमंडलीय दाब पर हैं, पृष्ठ की चाल नगण्य है, अतः V = √(2gh) = √(2 × 9.81 × 2) = 6.26 m/s, h = 2 m हेतु। यदि टंकी की वायु गेज दाब p पर हो, तो V = √(2(p/ρ + gh))। साइफ़न जिसका शीर्ष जलाशय-पृष्ठ से 1.5 m ऊपर व निर्गम उससे 2.5 m नीचे हो, उसके निर्गम की चाल V = √(2 × 9.81 × 2.5) = 7.00 m/s। पृष्ठ से शीर्ष तक बर्नूली (नली में वही V, स्थिर क्षेत्रफल) से ptop = −ρ(V²/2 + g × 1.5) = −1000 × (24.5 + 14.7) = −39.2 kPa गेज मिलता है। निर्गम की गहराई चाल तय करती है, और शीर्ष की ऊँचाई तय करती है कि दाब कितना गिरता है।

4. स्थैतिक, गतिक, ठहराव व पीज़ोमेट्रिक दाब

बर्नूली समीकरण के दाब-पद
दाबव्यंजककैसे प्रकट या मापा जाता है
स्थैतिकpतरल के साथ चलती प्रोब द्वारा अनुभूत ऊष्मागतिक दाब; पृष्ठ से समतल दीवार-टैप या स्थैतिक नली के पार्श्व छिद्रों पर पढ़ा जाता है
गतिक½ρV²प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा; अंतर p₀ − p
ठहरावp₀ = p + ½ρV²वह दाब जहाँ तरल बिना हानि विरामावस्था में लाया जाता है, पिटो नली की नोक पर (ऊँचाई-परिवर्तन उपेक्षित)
पीज़ोमेट्रिकp + ρgzखुली नली में द्रव-स्तंभ या दीवार-टैप से जुड़ा मैनोमीटर जो दर्शाता है
कुलp + ½ρV² + ρgzबर्नूली शर्तों में धारा-रेखा के अनुदिश स्थिर

हल-पंक्ति। 25 m/s की वायु (ρ = 1.2 kg/m³) का गतिक दाब ½ × 1.2 × 25² = 375 Pa है, अतः उसमें पिटो नली स्थैतिक दाब से 375 Pa अधिक अनुभव करती है। 4 m/s के पानी का ½ × 1000 × 16 = 8 kPa है; यदि उसका स्थैतिक दाब 120 kPa गेज हो, तो डूबे पिंड की नोक पर ठहराव दाब 128 kPa है। ठहराव बिंदु पर V = 0, अतः उस धारा-रेखा पर वहाँ दाब सर्वाधिक है।

🎯 चाल व दाब का विनिमय बल-संतुलन के कारण है
दाब इसलिए नहीं गिरता कि चाल अधिक है; तरल इसलिए तेज़ होता है कि उसके आगे दाब घटता है। अभिसारी नोज़ल में तरल को पीछे का ऊँचा दाब आगे धकेलता है, और बर्नूली इसी विनिमय को दर्ज करता है। गुरुत्व उसी तरह ρgz बनकर आता है। इसी कारण क्षैतिज पाइप पर मैनोमीटर स्थैतिक दाब पढ़ता है, पर ऊर्ध्वाधर पाइप पर वह ρgz भी समाहित करता है।

5. वेंचुरीमीटर व पिटो-स्थैतिक नली

वेंचुरीमीटर। पाइप सहजता से गले (throat) तक सँकरा होता है और फिर धीरे-धीरे चौड़ा; निवेश (क्षेत्रफल A₁) व गले (A₂) के टैप अंतर-मैनोमीटर से जुड़ते हैं। सांतत्य से V₂ = V₁A₁/A₂, और टैपों के बीच बर्नूली से आदर्श प्रवाह Qideal = A₂ √[ 2Δp* / (ρ(1 − (A₂/A₁)²)) ] मिलता है, जहाँ Δp* = (p₁ + ρgz₁) − (p₂ + ρgz₂)। वास्तविक प्रवाह Q = Cd Qideal है, जहाँ निस्सरण गुणांक Cd (1 से कुछ कम, अच्छे वेंचुरी हेतु लगभग 0.95–0.99) घर्षण को ध्यान में रखता है। घनत्व ρm का मैनोमीटर-तरल Δp* = (ρm − ρ) g h पढ़ता है, मीटर के झुकाव से स्वतंत्र, क्योंकि मैनोमीटर सीधे पीज़ोमेट्रिक अंतर मापता है।

हल उदाहरण। क्षैतिज वेंचुरी में पानी, निवेश 0.2 m, गला 0.1 m, पारा (ρm = 13,600 kg/m³) मैनोमीटर h = 0.2 m, Cd = 0.98। Δp = 12,600 × 9.81 × 0.2 = 24,721 Pa; A₂ = 7.854 × 10⁻³ m²; A₂/A₁ = 0.25 so (A₂/A₁)² = 0.0625। V₂,ideal = √[2 × 24,721/(1000 × 0.9375)] = 7.262 m/s; Qideal = 0.05704 m³/s; Q = 0.98 × 0.05704 = 0.0559 m³/s = 55.9 L/s।

पिटो-स्थैतिक नली। दो संकेंद्री नलियाँ: मध्य वाली प्रवाह की ओर मुख किए p₀ अनुभव करती है, पार्श्व छिद्रों का वलय p अनुभव करता है। ठहराव बिंदु तक धारा-रेखा के अनुदिश बर्नूली से p₀ − p = ½ρV², अतः V = √(2Δp/ρ), और मैनोमीटर के साथ V = √[2 g h (ρm/ρ − 1)]। यह नोक पर स्थानीय वेग देती है, अतः इसे प्रवाह के संरेखित रखना और पाइप में औसत पाने हेतु आर-पार घुमाना पड़ता है। हल-पंक्ति: पानी में 50 mm का पारा-मैनोमीटर पाठ्यांक V = √(2 × 9.81 × 0.05 × 12.6) = 3.52 m/s देता है।

⚠️ मैनोमीटर पाठ्यांक में ऊँचाई-शीर्ष न जोड़ें
झुके या ऊर्ध्वाधर वेंचुरी में टैप भिन्न ऊँचाइयों पर होते हैं, पर मैनोमीटर पहले ही (p₁ + ρgz₁) − (p₂ + ρgz₂) = (ρm − ρ) g h दर्ज करता है। इसे सीधे Qideal में लें। ρg Δz फिर से जोड़ना ऊँचाई को दो बार गिनना है। तरल में पिटो नली हेतु ρm/ρ − 1 लें, ρm/ρ नहीं, जो केवल तब स्वीकार्य है जब बहने वाला तरल गैस हो।

6. ऑरिफ़िस मीटर व तीनों युक्तियों की तुलना

ऑरिफ़िस मीटर। D व्यास के पाइप में do व्यास के तीक्ष्ण-किनारे वाले छिद्र की पतली प्लेट। प्रवाह वेना कॉन्ट्रैक्टा तक सिकुड़ता है जिसका क्षेत्रफल छिद्र से कम है, अतः Cd, 1 से काफ़ी कम है (तीक्ष्ण-किनारे वाले ऑरिफ़िस हेतु लगभग 0.6)। β = do/D लेने पर कार्य-सूत्र Q = Cd Ao √(2Δp/ρ) / √(1 − β⁴) है। प्लेट सस्ती व संक्षिप्त है पर जेट आगे बहुत मिश्रित होता है, अतः तीनों युक्तियों में स्थायी दाब-हानि सबसे अधिक है।

हल उदाहरण। 100 mm पाइप में 50 mm का ऑरिफ़िस (β = 0.5, β⁴ = 0.0625), Cd = 0.62 व पानी हेतु Δp = 20 kPa: Ao = 1.9635 × 10⁻³ m², √(2Δp/ρ) = 6.325 m/s, √(1 − β⁴) = 0.9682। Q = 0.62 × 1.9635 × 10⁻³ × 6.325/0.9682 = 7.95 × 10⁻³ m³/s = 7.95 L/s। β बड़ा होने पर हर छोटा होता है, अतः उसी प्रवाह पर दाबांतर कम (कमज़ोर संकेत) मिलता है, और तब ऑरिफ़िस कम सिकोड़ता है और सुधार का पूर्वानुमान कठिन हो जाता है।

युक्तिमापता हैस्थायी हानिटिप्पणी
वेंचुरीप्रवाह-दरकम, विसारक दाब लौटाता हैमहँगी व लंबी, Cd 1 के निकट
ऑरिफ़िसप्रवाह-दरसर्वाधिकसस्ता, वेना कॉन्ट्रैक्टा, Cd लगभग 0.6
पिटो-स्थैतिकस्थानीय वेगनगण्यबिंदु-पाठ्यांक, प्रवाह से संरेखित

मुख्य बिंदु

  • असंपीड्य सांतत्य ∇ · V = 0 है, स्थायी व अस्थायी दोनों में मान्य। स्थायी संपीड्य प्रवाह में ∇ · (ρV) = 0 चाहिए। समतल प्रवाह हेतु ψ को u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x से परिभाषित करते हैं; ψ = स्थिरांक रेखाएँ धारा-रेखाएँ हैं और |Δψ| प्रति इकाई गहराई प्रवाह है।
  • संवेग समीकरण ρ DV/Dt = ρg − ∇p + श्यान पद है, और श्यान पदों के बिना यह यूलर समीकरण है। वक्र धारा-रेखाओं के आर-पार ∂(p + ρgz)/∂r = ρV²/R; सीधी धारा-रेखाओं के आर-पार p + ρgz स्थिर है।
  • बर्नूली: स्थायी, असंपीड्य, घर्षणरहित व शाफ़्ट-कार्य-रहित प्रवाह में p + ½ρV² + ρgz धारा-रेखा के अनुदिश स्थिर है। यह पंपों के आर-पार व हानि वाले प्रवाह में विफल है, और जब तक प्रवाह अघूर्णी न हो, स्थिरांक धारा-रेखाओं में भिन्न है।
  • ठहराव दाब p₀ = p + ½ρV² है। टॉरिसेली चाल √(2gh) है, और साइफ़न की चाल निर्गम की गहराई से तय होती है जबकि उसका न्यूनतम दाब शीर्ष की ऊँचाई से।
  • वेंचुरी: Q = Cd A₂ √[2Δp/(ρ(1 − (A₂/A₁)²))], जहाँ Δp = (ρm − ρ) g h झुकाव से स्वतंत्र। ऑरिफ़िस: Q = Cd Ao √(2Δp/ρ)/√(1 − β⁴)। पिटो-स्थैतिक: स्थानीय वेग हेतु V = √(2Δp/ρ)।
  • तीनों युक्तियों में ऑरिफ़िस की स्थायी हानि सर्वाधिक व पिटो-स्थैतिक की न्यूनतम है; Cd वेंचुरी हेतु 1 के निकट और तीक्ष्ण ऑरिफ़िस हेतु लगभग 0.6 है। प्रवाह-दर √(मैनोमीटर पाठ्यांक) के समानुपाती है।

अभ्यास प्रश्न (16)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. असंपीड्य तरल हेतु द्रव्यमान संरक्षण को, प्रवाह स्थायी हो या अस्थायी, कौन-सा समीकरण व्यक्त करता है?

    1. ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0, अर्थात ∇ · V = 0
    2. ∂u/∂t + u ∂u/∂x = 0, अर्थात प्रत्येक कण का त्वरण शून्य है
    3. ∇ × V = 0, अर्थात प्रवाह में कहीं घूर्णन नहीं है
    4. ∂ρ/∂t = 0, अर्थात घनत्व-क्षेत्र प्रत्येक बिंदु पर स्थायी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0, अर्थात ∇ · V = 0

    ρ स्थिर होने पर सामान्य रूप ∂ρ/∂t + ∇ · (ρV) = 0 घटकर ∇ · V = 0 हो जाता है, जो स्थायी व अस्थायी दोनों में मान्य है क्योंकि यह केवल इतना कहता है कि तरल अवयव का आयतन अपरिवर्तित रहता है। ∇ × V = 0 अघूर्णिता की शर्त है, जो भिन्न गुण है; असंपीड्य प्रवाह घूर्णी हो सकता है। त्वरण-रहित और स्थायी-घनत्व वाले कथन सांतत्य नहीं हैं।

  2. समतल असंपीड्य प्रवाह में x-वेग u = 2x + y (SI इकाई) है और रेखा y = 0 पर v = 0 है। y-वेग क्षेत्र है

    1. v = 2y
    2. v = −2y
    3. v = −2y − x
    4. v = −y/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — v = −2y

    सांतत्य से ∂v/∂y = −∂u/∂x = −2, अतः v = −2y + f(x)। y = 0 पर सभी x हेतु v = 0 की शर्त से f(x) = 0 होता है। धनात्मक चिह्न प्रवाह को फैलाएगा, जो असंपीड्य तरल नहीं कर सकता; −x जोड़ने से y = 0 की शर्त टूटती है।

  3. धारा-फलन ψ वाले समतल असंपीड्य प्रवाह में वह वक्र जिसके अनुदिश ψ स्थिर है, है

    1. स्थिर दाब की रेखा, जिसके अनुदिश चाल भी अपरिवर्तित रहती है
    2. स्थिर भ्रमिलता की रेखा, जो समान तरल घूर्णन के बिंदुओं को जोड़ती है
    3. ऐसी रेखा जिसे कोई तरल पार नहीं करता, अर्थात धारा-रेखा
    4. स्थिर चाल की रेखा, जो प्रवाह की दिशा के लंबवत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — ऐसी रेखा जिसे कोई तरल पार नहीं करता, अर्थात धारा-रेखा

    ψ = स्थिरांक पर dψ = −v dx + u dy = 0, अतः dy/dx = v/u, जो वेग-सदिश की ढाल है: वेग वक्र का स्पर्शी है और कोई तरल उसे पार नहीं करता। दाब, भ्रमिलता व चाल सामान्यतः धारा-रेखा के अनुदिश स्थिर नहीं होते।

  4. स्थायी अश्यान जल क्षैतिज मोड़ पर बहता है, जहाँ धारा-रेखाएँ त्रिज्या R की वृत्ताकार हैं और चाल V है। धारा-रेखाओं के आर-पार त्रिज्यतः बाहर जाने पर दाब

    1. घटता है, क्योंकि मोड़ की बाहरी दीवार के पास चाल अधिक है और बर्नूली वहाँ दाब घटा देता है
    2. अपरिवर्तित रहता है, जैसा किसी भी क्षैतिज प्रवाह में, क्योंकि मोड़ के आर-पार गुरुत्व कार्य नहीं करता
    3. बढ़ता है, क्योंकि मोड़ हेतु आवश्यक भीतरी नेट बल यही दाब-प्रवणता देती है
    4. पहले बढ़ता है, फिर घटता है और मध्य-त्रिज्या पर उसका उच्चिष्ठ आता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — बढ़ता है, क्योंकि मोड़ हेतु आवश्यक भीतरी नेट बल यही दाब-प्रवणता देती है

    धारा-रेखाओं के आर-पार यूलर समीकरण ∂p/∂r = ρV²/R > 0 देता है: दाब बाहर की ओर बढ़ता है और अभिकेंद्र बल देता है। दाब का अपरिवर्तित रहना केवल सीधी समानांतर धारा-रेखाओं (R → ∞) हेतु सही है।

  5. एक स्थायी, असंपीड्य, अश्यान प्रवाह की भ्रमिलता अशून्य है। बिंदु 1 व 2 भिन्न धारा-रेखाओं पर हैं और प्रवाह में कोई पंप या टरबाइन नहीं है। दोनों बिंदुओं पर राशि p + ½ρV² + ρgz है

    1. समान, क्योंकि तरल अश्यान है और प्रवाह में कहीं कोई ऊर्जा न जुड़ती है न घटती है
    2. समान केवल तब जब दोनों बिंदु एक ही ऊँचाई पर हों और उनका दाब समान हो
    3. सामान्यतः भिन्न, क्योंकि यह केवल प्रत्येक धारा-रेखा के अनुदिश स्थिर है, जब तक प्रवाह अघूर्णी न हो
    4. सदा उस बिंदु पर अधिक जहाँ चाल अधिक हो, ऊँचाइयाँ व दाब कुछ भी हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — सामान्यतः भिन्न, क्योंकि यह केवल प्रत्येक धारा-रेखा के अनुदिश स्थिर है, जब तक प्रवाह अघूर्णी न हो

    यूलर समीकरण को धारा-रेखा के अनुदिश समाकलित करने पर स्थिरांक केवल उसी धारा-रेखा हेतु मिलता है; धारा-रेखाओं के बीच यह स्थिरांक भ्रमिलता से जुड़ी मात्रा से बदलता है। केवल अघूर्णी प्रवाह में पूरे क्षेत्र हेतु एक स्थिरांक चलता है। अश्यान होना पर्याप्त नहीं है, और समान ऊँचाई धारा-रेखा पर निर्भरता नहीं हटाती।

  6. एकसमान बोर का साइफ़न किसी बड़े खुले जलाशय से जल खींचता है। जल को आदर्श मानें। निर्गम से निकलते जल की चाल तय होती है

    1. नली के शीर्ष की जलाशय-पृष्ठ से ऊँचाई से, क्योंकि जल को उसके ऊपर से उठना पड़ता है
    2. जलाशय-पृष्ठ से निर्गम तक की ऊर्ध्वाधर गिरावट से
    3. नली की कुल लंबाई से, क्योंकि लंबी नली में अधिक जल रहता है
    4. शीर्ष-ऊँचाई व ऊर्ध्वाधर गिरावट के योग से, यानी तय कुल पथ से
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — जलाशय-पृष्ठ से निर्गम तक की ऊर्ध्वाधर गिरावट से

    मुक्त पृष्ठ (वायुमंडलीय दाब, नगण्य चाल) से निर्गम (वायुमंडलीय दाब) तक बर्नूली से V = √(2gΔz), जहाँ Δz निर्गम तक की गिरावट है। शीर्ष-ऊँचाई चाल में नहीं आती; वह केवल यह तय करती है कि शीर्ष पर दाब कितना गिरता है। लंबाई केवल घर्षण से मायने रखती है, जिसे आदर्श-तरल कल्पना हटा देती है।

  7. जल-धारा में पिटो-स्थैतिक नली का मैनोमीटर-अंतर तब दोगुना हो जाता है जब धारा की चाल बदली जाती है। चाल किस गुणक से बदली?

    1. 2
    2. 4
    3. √2
    4. ½
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — √2

    Δp = p₀ − p = ½ρV², अतः V ∝ √Δp। Δp दोगुना करने पर V में √2 ≈ 1.41 गुना वृद्धि होती है। गुणक 2 तब होता जब Δp, V के समानुपाती होता, और 4 तब जब V, Δp² के समानुपाती होता।

  8. वेंचुरीमीटर, ऑरिफ़िस मीटर व पिटो-स्थैतिक नली में लाइन में सबसे अधिक स्थायी दाब-हानि किससे होती है

    1. वेंचुरीमीटर से, क्योंकि उसका विसारक लंबा है और उसमें घर्षण होता है
    2. पिटो-स्थैतिक नली से, क्योंकि वह अपने अग्रभाग पर तरल को विराम में लाती है
    3. तीनों से बराबर, क्योंकि तीनों से वही प्रवाह गुज़रता है
    4. ऑरिफ़िस मीटर से, क्योंकि प्लेट के आगे जेट बहुत प्रबलता से मिश्रित होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — ऑरिफ़िस मीटर से, क्योंकि प्लेट के आगे जेट बहुत प्रबलता से मिश्रित होता है

    तीक्ष्ण-किनारे वाली प्लेट वेना कॉन्ट्रैक्टा बनाती है और फिर अनियंत्रित प्रसार कराती है, अतः गले का अधिकांश दाब-पतन खो जाता है। वेंचुरी का विसारक उसका अधिकांश लौटा देता है, और पिटो-स्थैतिक नली पतली प्रोब है जो प्रवाह को बहुत कम बिगाड़ती है।

  9. जल ऊर्ध्वाधर वेंचुरीमीटर में ऊपर की ओर बहता है। दाब-टैप 2 (गला) टैप 1 (निवेश) से 0.5 m ऊपर है। दोनों टैपों से जुड़ा पारा मैनोमीटर (घनत्व 13,600 kg/m³), जिसकी संयोजी नलियाँ जल (1000 kg/m³) से भरी हैं, h = 0.1 m पढ़ता है। g = 9.81 m/s² लें। स्थैतिक दाब-अंतर p₁ − p₂ लगभग है

    1. 7.5 kPa
    2. 13.3 kPa
    3. 12.4 kPa
    4. 17.3 kPa
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 17.3 kPa

    मैनोमीटर पीज़ोमेट्रिक अंतर (p₁ + ρgz₁) − (p₂ + ρgz₂) = (ρm − ρ) g h = 12,600 × 9.81 × 0.1 = 12.36 kPa पढ़ता है। तब p₁ − p₂ = 12.36 kPa + ρg(z₂ − z₁) = 12.36 + 4.91 = 17.27 kPa। 12.4 kPa पीज़ोमेट्रिक अंतर को स्थैतिक अंतर समझने की भूल है, 7.5 kPa ऊँचाई-पद घटाता है, और 13.3 kPa ρm g h लेकर संयोजी नलियों के जल को भूल जाता है।

  10. समीकरण p + ½ρV² + ρgz = स्थिरांक एक ही धारा-रेखा के दो बिंदुओं के बीच लगाया जाता है। इसके वैध होने हेतु कौन-सी शर्तें अवश्य सही होनी चाहिए?

    1. प्रवाह स्थायी हो
    2. बिंदुओं के बीच श्यान हानियाँ नगण्य हों
    3. बिंदुओं के बीच कोई पंप या टरबाइन तरल पर कार्य न करे
    4. पूरे क्षेत्र में प्रवाह अघूर्णी हो
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    उत्तर: A — प्रवाह स्थायी हो; B — बिंदुओं के बीच श्यान हानियाँ नगण्य हों; C — बिंदुओं के बीच कोई पंप या टरबाइन तरल पर कार्य न करे

    स्थायित्व, घर्षण का अभाव और शाफ़्ट-कार्य का अभाव, तीनों आवश्यक हैं (स्थिर घनत्व सहित)। एक ही धारा-रेखा के अनुदिश अघूर्णिता आवश्यक नहीं है; वह केवल भिन्न धारा-रेखाओं पर एक स्थिरांक चलाने हेतु चाहिए।

  11. u = ∂ψ/∂y व v = −∂ψ/∂x से परिभाषित धारा-फलन ψ वाले स्थायी समतल असंपीड्य प्रवाह हेतु कौन-से कथन सही हैं?

    1. सांतत्य समीकरण स्वतः संतुष्ट होता है
    2. दो धारा-रेखाओं के बीच प्रति इकाई गहराई आयतन प्रवाह परिमाण में उनके ψ मानों के अंतर के बराबर है
    3. ψ घूर्णी प्रवाह हेतु भी परिभाषित हो सकता है, अघूर्णी हेतु भी
    4. ऐसे प्रत्येक प्रवाह में ψ लाप्लास समीकरण ∇²ψ = 0 को संतुष्ट करता है
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    उत्तर: A — सांतत्य समीकरण स्वतः संतुष्ट होता है; B — दो धारा-रेखाओं के बीच प्रति इकाई गहराई आयतन प्रवाह परिमाण में उनके ψ मानों के अंतर के बराबर है; C — ψ घूर्णी प्रवाह हेतु भी परिभाषित हो सकता है, अघूर्णी हेतु भी

    परिभाषा को ∂u/∂x + ∂v/∂y में रखने पर शून्य स्वतः मिलता है, |Δψ| धारा-रेखाओं के बीच प्रवाह है, और परिभाषा में अघूर्णिता की आवश्यकता नहीं है। ∇²ψ = −ωz, अतः लाप्लास समीकरण केवल शून्य भ्रमिलता पर लगता है।

  12. प्रवाह-मापक युक्तियों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. सुनिर्मित वेंचुरी का निस्सरण गुणांक 1 के निकट, सामान्यतः 0.95 से 0.99, होता है
    2. तीक्ष्ण-किनारे वाले ऑरिफ़िस का निस्सरण गुणांक 1 से काफ़ी कम होता है क्योंकि जेट वेना कॉन्ट्रैक्टा तक सिकुड़ता है
    3. पिटो-स्थैतिक नली अपनी नोक पर स्थानीय वेग देती है, अतः पाइप में माध्य वेग हेतु आर-पार घुमाना पड़ता है
    4. वेंचुरी से प्रवाह-दर मैनोमीटर दाब-अंतर के सीधे समानुपाती होती है
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    उत्तर: A — सुनिर्मित वेंचुरी का निस्सरण गुणांक 1 के निकट, सामान्यतः 0.95 से 0.99, होता है; B — तीक्ष्ण-किनारे वाले ऑरिफ़िस का निस्सरण गुणांक 1 से काफ़ी कम होता है क्योंकि जेट वेना कॉन्ट्रैक्टा तक सिकुड़ता है; C — पिटो-स्थैतिक नली अपनी नोक पर स्थानीय वेग देती है, अतः पाइप में माध्य वेग हेतु आर-पार घुमाना पड़ता है

    पहले तीन मानक कथन हैं। प्रवाह-दर √Δp के अनुसार बदलती है, अतः प्रवाह दोगुना करने हेतु दाब-अंतर चौगुना चाहिए; सीधा समानुपात गलत है।

  13. एक समतल असंपीड्य प्रवाह का धारा-फलन ψ = 3x²y − y³ है (ψ m²/s में, x व y m में), जहाँ u = ∂ψ/∂y व v = −∂ψ/∂x। (1, 1) व (2, 1) से गुज़रती धारा-रेखाओं के बीच प्रति मीटर गहराई आयतन प्रवाह, m²/s में, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 9

    ψ(1, 1) = 3 − 1 = 2 व ψ(2, 1) = 3 × 4 × 1 − 1 = 11। प्रवाह |11 − 2| = 9 m²/s प्रति मीटर गहराई। क्षेत्र की जाँच: u = 3x² − 3y², v = −6xy, और ∂u/∂x + ∂v/∂y = 6x − 6x = 0।

  14. बंद टंकी में उसकी पार्श्व दीवार के छोटे तीक्ष्ण छिद्र के ऊपर 3 m गहराई तक जल है। जल के ऊपर वायु 50 kPa गेज दाब पर है, और जेट वायुमंडल में निकलता है। ρ = 1000 kg/m³ व g = 9.81 m/s² लें, प्रवाह आदर्श मानें और पृष्ठ की चाल नगण्य मानें। जेट की चाल, m/s में, दशमलव के दो स्थानों तक, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 12.60

    पृष्ठ (गेज p = 50 kPa, V ≈ 0, छिद्र से 3 m ऊपर) से जेट (गेज p = 0) तक बर्नूली: V = √(2(p/ρ + gh)) = √(2 × (50 + 29.43)) = √158.86 = 12.60 m/s। वायु-दाब उपेक्षित करने पर √(2gh) = 7.67 m/s मिलता है।

  15. पानी (1000 kg/m³) 150 mm निवेश-व्यास व 75 mm गला-व्यास वाले क्षैतिज वेंचुरीमीटर से बहता है। निवेश व गले के बीच दाब-अंतर 30 kPa है और निस्सरण गुणांक 0.97 है। आयतन प्रवाह-दर, लीटर प्रति सेकंड में, दशमलव के एक स्थान तक, है ____।

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    उत्तर: 34.3

    A₂ = π(0.075)²/4 = 4.418 × 10⁻³ m²; (A₂/A₁)² = (0.5)⁴ = 0.0625। Qideal = A₂ √[2Δp/(ρ(1 − 0.0625))] = 4.418 × 10⁻³ × √(60,000/937.5) = 4.418 × 10⁻³ × 8 = 0.03534 m³/s। Q = 0.97 × 0.03534 = 0.03428 m³/s = 34.3 L/s। (1 − (A₂/A₁)²) गुणक छोड़ने पर 33.2 L/s मिलता है।

  16. वायु-नलिका में पिटो-स्थैतिक नली (वायु घनत्व 1.2 kg/m³, असंपीड्य मानें) जल मैनोमीटर (1000 kg/m³) से जुड़ी है जो 25 mm पढ़ता है। g = 9.81 m/s² लें। नली पर वायु की चाल, m/s में, दशमलव के एक स्थान तक, है ____।

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    उत्तर: 20.2

    Δp = (ρw − ρair) g h = 998.8 × 9.81 × 0.025 = 244.97 Pa (ρw g h = 245.25 Pa लेने पर इस शुद्धता पर कोई अंतर नहीं)। V = √(2Δp/ρair) = √(2 × 244.97/1.2) = √408.3 = 20.2 m/s। बहने वाला तरल जल मानकर चलने पर लगभग 0.7 m/s मिलता।