प्रायिकता के अभिगृहीत, प्रसामान्य बंटन, सहसंबंध व समाश्रयण, अंतर्वेशन तथा Simpson का 3/8 नियम

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के खंड XE0 (अभियांत्रिकी गणित) का है, जो 15 अंकों का समान भाग है। यह XE0.7 व XE0.8 पूरा करता है: “प्रायिकता के अभिगृहीत; … द्विपद, प्वासों व प्रसामान्य बंटन; सहसंबंध व रैखिक समाश्रयण” तथा “Lagrange व Newton अंतर्वेशन; … समलंबी नियम व Simpson के 1/3 व 3/8 नियमों से संख्यात्मक समाकलन।” साझा प्रायिकता अध्याय सप्रतिबंध प्रायिकता, कुल प्रायिकता, Bayes, माध्य व प्रसरण तथा द्विपद व प्वासों कुल देते हैं, और साझा संख्यात्मक अध्याय द्विभाजन, Newton-Raphson, समलंबी व 1/3 नियम तथा Euler विधि देता है। यह अध्याय वह जोड़ता है जो वे छोड़ते हैं: तीन अभिगृहीत व उनसे निकले परिणाम, प्रसामान्य बंटन के मानकीकरण व सारणी सहित द्विपद का प्रसामान्य सन्निकटन, Pearson सहसंबंध व दो समाश्रयण रेखाएँ, Lagrange व Newton अंतर्वेशन तथा 3/8 नियम। संख्यात्मक प्रश्न हैं: संघ प्रायिकता, प्रसामान्य प्रायिकता, समाश्रयण पूर्वानुमान, अंतर्वेशित मान तथा 3/8 नियम समाकल।

1. प्रायिकता के अभिगृहीत व उनके परिणाम

प्रायिकता P प्रत्येक घटना को एक संख्या देती है जो तीन अभिगृहीतों (Kolmogorov) को संतुष्ट करती है:
(1) P(A) ≥ 0;
(2) प्रतिदर्श समष्टि S के लिए P(S) = 1;
(3) परस्पर अपवर्जी घटनाओं A₁, A₂, … के लिए P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ) (गणनीय योज्यता)। शेष सब इन्हीं से व्युत्पन्न होता है।

  • P(∅) = 0, और P(Aᶜ) = 1 − P(A) (क्योंकि A व Aᶜ अपवर्जी हैं और S को पूरा करते हैं)।
  • यदि A ⊂ B तो P(A) ≤ P(B) (एकदिष्टता), अतः प्रत्येक P(A) ≤ 1।
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); तीन घटनाओं के लिए P(A ∪ B ∪ C) = ΣP(A) − ΣP(युग्म) + P(A ∩ B ∩ C)।
  • संघ-सीमा: P(∪Aᵢ) ≤ ΣP(Aᵢ)। सीमाएँ: max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))।

हल। (i) P(A) = 0.6, P(B) = 0.7: चूँकि P(A ∪ B) ≤ 1, P(A ∩ B) ≥ 0.6 + 0.7 − 1 = 0.3, और अधिकतम min = 0.6। (ii) P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(C) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.2, P(A ∩ C) = 0.1, P(B ∩ C) = 0.15, P(A ∩ B ∩ C) = 0.05: P(A ∪ B ∪ C) = 1.2 − 0.45 + 0.05 = 0.80। (iii) अपवर्जी घटनाएँ P(A) = 0.3, P(B) = 0.5: P(कोई नहीं) = 1 − 0.8 = 0.2।

⚠️ अपवर्जी का अर्थ स्वतंत्र नहीं
धनात्मक प्रायिकता वाली अपवर्जी घटनाएँ (A ∩ B = ∅) प्रबल रूप से आश्रित हैं: A का घटना जानने से B का न घटना निश्चित हो जाता है। स्वतंत्रता का अर्थ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ≠ 0 है। अतिव्यापन घटाए बिना प्रायिकताएँ जोड़ना केवल अपवर्जी घटनाओं के लिए वैध है।

2. प्रसामान्य बंटन

X ~ N(μ, σ²) का घनत्व (1/(σ√(2π))) exp(−(x − μ)²/(2σ²)) है, μ पर केंद्रित, फैलाव σ वाली घंटी। मानकीकरण: Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1), और P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), जहाँ Φ सारणीबद्ध मानक प्रसामान्य CDF है, Φ(−z) = 1 − Φ(z)। उपयोगी मान: Φ(1) = 0.8413, Φ(1.645) = 0.95, Φ(1.96) = 0.975, Φ(2) = 0.9772। रैखिक फलन aX + b, N(aμ + b, a²σ²) है; स्वतंत्र प्रसामान्यों का योग प्रसामान्य है, माध्य व प्रसरण जुड़ते हैं।

हल। X ~ N(50, 16), σ = 4: P(46 < X < 58) = Φ(2) − Φ(−1) = 0.9772 − (1 − 0.8413) = 0.8185। छड़ की लंबाई N(100, 25) mm के लिए: P(95 < L < 110) वही मानकीकृत अंतराल (−1, 2) है, अतः भी 0.8185।

द्विपद का प्रसामान्य सन्निकटन। यदि np और n(1 − p) दोनों लगभग 5 (या 10) से कम न हों तो Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p))। सातत्य संशोधन लगाइए: P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0.5)। Bin(100, 0.5) के लिए: μ = 50, σ = 5, अतः P(X ≥ 60) ≈ 1 − Φ((59.5 − 50)/5) = 1 − Φ(1.9) = 1 − 0.9713 = 0.0287 (यथार्थ मान 0.0284 है; संशोधन के बिना 0.0228 मिलता)।

⚠️ प्रसरण, मानक विचलन नहीं
N(μ, σ²) प्रसरण के साथ लिखा जाता है। N(50, 16) में σ = 4 है, 16 नहीं। सतत चर के किसी एक यथार्थ मान की प्रायिकता शून्य है, अतः P(X < a) = P(X ≤ a); सातत्य संशोधन केवल तब लगता है जब असतत चर का सन्निकटन हो।

3. सहसंबंध

सहप्रसरण Cov(X, Y) = E[(X − μₓ)(Y − μᵧ)] = E[XY] − E[X]E[Y] है। Pearson सहसंबंध गुणांक r = Cov(X, Y)/(σₓσᵧ) है, आँकड़ों के लिए Sₓᵧ/√(SₓₓSᵧᵧ), जहाँ Sₓᵧ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)। सदा −1 ≤ r ≤ 1; |r| = 1 का अर्थ यथार्थ रैखिक निर्भरता है, और r², y के प्रसरण का वह अंश है जिसे रेखा समझाती है।

  • मूलबिंदु खिसकाने या x व y को धनात्मक अचर से गुणा करने पर r नहीं बदलता; एक चर को ऋणात्मक अचर से गुणा करने पर r का चिह्न पलट जाता है।
  • स्वतंत्र चरों के लिए r = 0, पर r = 0 से स्वतंत्रता नहीं निकलती: 0 के परितः सममित X और Y = X² के लिए Cov(X, Y) = E[X³] − 0 = 0, फिर भी Y, X से निर्धारित है।
  • सहसंबंध केवल रैखिक संबंध मापता है, और वह कार्य-कारण नहीं है।

4. रैखिक समाश्रयण

x पर y की समाश्रयण रेखा Σ(yᵢ − a − bxᵢ)² न्यूनतम करती है, जिससे ŷ = ȳ + b_yx(x − x̄) मिलती है, जहाँ b_yx = Sₓᵧ/Sₓₓ = r σᵧ/σₓ। y पर x की रेखा x̂ = x̄ + b_xy(y − ȳ) है, b_xy = Sₓᵧ/Sᵧᵧ = r σₓ/σᵧ। तथ्य: दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) से जाती हैं; b_yx·b_xy = r², अतः दोनों गुणांकों का चिह्न r जैसा है, और रेखाएँ केवल |r| = 1 पर संपाती हैं; r → 0 पर वे लंबवत हो जाती हैं (एक क्षैतिज, एक ऊर्ध्वाधर)।

हल। x = 1, 2, 3, 4, 5 व y = 2, 4, 5, 4, 5: x̄ = 3, ȳ = 4, Sₓₓ = 10, Sₓᵧ = (−2)(−2) + (−1)(0) + 0 + 0 + 2(1) = 6, Sᵧᵧ = 4 + 0 + 1 + 0 + 1 = 6। अतः b_yx = 0.6, ŷ = 4 + 0.6(x − 3) = 2.2 + 0.6x, x = 6 पर पूर्वानुमान 5.8, और r = 6/√60 = 0.775। यदि b_yx = 0.4 और b_xy = 0.9 दोनों धनात्मक हों तो r = +√(0.36) = 0.6। यदि रेखाएँ 3x + 2y = 26 व 6x + y = 31 हों तो दोनों माध्यों से जाती हैं: हल करने पर x̄ = 4, ȳ = 7।

⚠️ कौन-सा चर किस ओर है
b_yx = Sₓᵧ/Sₓₓ, x से y का पूर्वानुमान देता है और b_xy = Sₓᵧ/Sᵧᵧ, y से x का। वे परस्पर व्युत्क्रम नहीं हैं जब तक |r| = 1 न हो: (x, y) तल में खींची y पर x की रेखा की ढाल 1/b_xy है, जो |r| < 1 पर b_yx से अधिक तीखी है। आँकड़ों के परिसर के बाहर पूर्वानुमान (बहिर्वेशन) अविश्वसनीय है।

5. Lagrange व Newton अंतर्वेशन

भिन्न x₀, …, xₙ वाले n + 1 बिंदुओं से घात अधिकतम n का ठीक एक बहुपद गुज़रता है। Lagrange रूप P(x) = Σ yᵢLᵢ(x) है, Lᵢ(x) = Πj≠i(x − xⱼ)/(xᵢ − xⱼ), अतः i = j पर Lᵢ(xⱼ) = 1 और अन्यथा 0। Newton विभाजित-अंतर रूप P(x) = f[x₀] + f[x₀, x₁](x − x₀) + f[x₀, x₁, x₂](x − x₀)(x − x₁) + … है, जहाँ f[xᵢ, xᵢ₊₁] = (yᵢ₊₁ − yᵢ)/(xᵢ₊₁ − xᵢ) और प्रत्येक उच्च अंतर निम्न अंतरों से बनता है। वे एक ही बहुपद के भिन्न लेखन हैं, पर नया बिंदु जोड़ना Newton रूप में सरल है।

हल। बिंदु (1, 1), (2, 8), (4, 64) (y = x³ से)। x = 3 पर Lagrange: L₀ = (3 − 2)(3 − 4)/((1 − 2)(1 − 4)) = −1/3, L₁ = (3 − 1)(3 − 4)/((2 − 1)(2 − 4)) = 1, L₂ = (3 − 1)(3 − 2)/((4 − 1)(4 − 2)) = 1/3, अतः P(3) = −1/3 + 8 + 64/3 = 29। Newton: f[1, 2] = 7, f[2, 4] = 28, f[1, 2, 4] = (28 − 7)/3 = 7, अतः P(x) = 1 + 7(x − 1) + 7(x − 1)(x − 2) और P(3) = 1 + 14 + 14 = 29। वास्तविक मान 27 है; त्रुटि सूत्र f‴(ξ)/3!·(x − 1)(x − 2)(x − 4) = 1·(2)(1)(−1) = −2 मेल खाता है (27 − 29)।

समान अंतराल (Newton अग्र अंतर)। पद-माप h व s = (x − x₀)/h के साथ P = y₀ + sΔy₀ + s(s − 1)Δ²y₀/2! + s(s − 1)(s − 2)Δ³y₀/3! + …, जहाँ Δyᵢ = yᵢ₊₁ − yᵢ। n + 1 बिंदुओं के बाद त्रुटि f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n + 1)! · Π(x − xᵢ) है, जो बिंदुओं के मध्य के निकट छोटी और बहिर्वेशन में बड़ी होती है।

6. Simpson का 3/8 नियम

चार समदूरस्थ बिंदुओं से घन बहुपद फिट करके समाकलन कीजिए: तीन उपअंतरालों वाले एक पैनल पर ∫ f dx ≈ (3h/8)[f₀ + 3f₁ + 3f₂ + f₃]। n उपअंतरालों (n तीन का गुणज) के लिए संयुक्त नियम (3h/8)[f₀ + 3f₁ + 3f₂ + 2f₃ + 3f₄ + 3f₅ + 2f₆ + … + fₙ] है: भार 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, …, 3, 3, 1। यह घात 3 तक के बहुपदों के लिए यथार्थ है, और प्रति पैनल त्रुटि −(3/80)h⁵f⁗(ξ) है, 1/3 नियम के समान कोटि, जिसे सम n चाहिए।

हल। (i) n = 3, h = 1/3 के साथ ∫₀¹ x³ dx: (1/8)[0 + 3/27 + 24/27 + 1] = (1/8)(2) = 0.25, यथार्थ। (ii) n = 3 के साथ ∫₀¹ dx/(1 + x²) = π/4 = 0.785398: f = 1, 0.9, 0.692308, 0.5, अतः I ≈ (1/8)[1 + 2.7 + 2.076923 + 0.5] = 6.276923/8 = 0.7846।

🧠 कौन-सा नियम किस n पर
n = 6, 1/3 नियम (सम) व 3/8 नियम (तीन का गुणज) दोनों के लिए चलता है। n = 9 पर अकेला केवल 3/8 नियम प्रयुक्त होता है; n = 8 पर केवल 1/3 नियम। सात जैसी विषम गिनती पर पहले तीन उपअंतरालों पर 3/8 नियम और शेष चार पर 1/3 नियम लगाइए।

मुख्य बिंदु

  • अभिगृहीत: P ≥ 0, P(S) = 1, योज्यता; इनसे P(Aᶜ) = 1 − P(A), समावेशन-अपवर्जन व max(0, P(A) + P(B) − 1) ≤ P(A ∩ B) ≤ min।
  • प्रसामान्य: Z = (X − μ)/σ से मानकीकरण करके Φ लगाइए; σ प्रसरण का वर्गमूल है; Bin(n, p) ≈ N(np, npq), सातत्य संशोधन k ± 0.5 के साथ।
  • r = Sₓᵧ/√(SₓₓSᵧᵧ), [−1, 1] में रहता है, धनात्मक पैमाने व विस्थापन से अपरिवर्तित; r = 0 का अर्थ स्वतंत्रता नहीं।
  • समाश्रयण: b_yx = Sₓᵧ/Sₓₓ = rσᵧ/σₓ, b_xy = rσₓ/σᵧ, b_yx·b_xy = r², दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) से जाती हैं।
  • n + 1 बिंदु घात ≤ n का एक ही बहुपद देते हैं; Lagrange व Newton विभाजित-अंतर वही बहुपद हैं; त्रुटि f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)Π(x − xᵢ)/(n + 1)! है।
  • Simpson 3/8: (3h/8)[f₀ + 3f₁ + 3f₂ + 2f₃ + … + fₙ], n तीन का गुणज; घन तक यथार्थ; 1/3 नियम को n सम चाहिए।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. P(A) = 0.6 और P(B) = 0.7 वाली घटनाओं A व B के लिए P(A ∩ B) किस अंतराल में अवश्य होगा?

    1. [0.3, 0.6]
    2. [0, 0.6]
    3. [0.42, 0.42]
    4. [0.6, 0.7]
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [0.3, 0.6]

    P(A ∪ B) = 1.3 − P(A ∩ B) ≤ 1 से P(A ∩ B) ≥ 0.3, और P(A ∩ B) ≤ min(0.6, 0.7) = 0.6। मान 0.42 केवल A व B स्वतंत्र होने पर होता, जो दिया नहीं है, और निचला सिरा 0 इसे अनदेखा करता है कि संघ 1 से अधिक नहीं हो सकता।

  2. परस्पर अपवर्जी घटनाओं A व B के लिए P(A) = 0.3 और P(B) = 0.5 है। दोनों के न घटने की प्रायिकता है:

    1. 0.35
    2. 0.65
    3. 0.15
    4. 0.2
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 0.2

    अपवर्जी घटनाओं के लिए P(A ∪ B) = 0.3 + 0.5 = 0.8, अतः P(कोई नहीं) = 1 − 0.8 = 0.2। गुणनफल 0.7 × 0.5 = 0.35 स्वतंत्र घटनाओं का उत्तर होता, जो धनात्मक प्रायिकता वाली अपवर्जी घटनाएँ नहीं हैं।

  3. X ~ N(μ, σ²) और Φ(1.96) = 0.975 है। तब P(X > μ + 1.96σ) बराबर है:

    1. 0.95
    2. 0.975
    3. 0.05
    4. 0.025
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 0.025

    मानकीकरण से P(Z > 1.96) = 1 − Φ(1.96) = 0.025। 0.95 द्विपक्षीय प्रायिकता P(|Z| < 1.96) है, और 0.975 निचली पूँछ P(Z < 1.96) है, दोनों भिन्न घटनाएँ हैं।

  4. X ~ Bin(100, 0.5)। सातत्य संशोधन सहित प्रसामान्य सन्निकटन से, Φ(1.9) = 0.9713, Φ(2.0) = 0.9772 के साथ P(X ≥ 60) का मान किसके निकटतम है?

    1. 0.0228
    2. 0.0287
    3. 0.0179
    4. 0.0359
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.0287

    μ = 50, σ = √25 = 5। P(X ≥ 60) = P(X > 59.5) ≈ 1 − Φ(1.9) = 0.0287। संशोधन के बिना z = 2 से 0.0228 आता है, संशोधन गलत दिशा (60.5) में लगाने पर z = 2.1 और लगभग 0.018 की छोटी पूँछ आती है।

  5. X व Y का सहसंबंध गुणांक 0.8 है। U = 2X + 3 और V = −5Y + 1 के लिए U व V का सहसंबंध गुणांक है:

    1. 0.8
    2. −0.8
    3. −4
    4. −10
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — −0.8

    विस्थापन से r नहीं बदलता और 2 व 5 से गुणा परिमाण नहीं बदलता, पर ऋणात्मक गुणक −5 चिह्न पलट देता है, अतः r = −0.8। सहप्रसरण 2 × (−5) = −10 से बदलता, पर सहसंबंध मानक विचलनों से प्रसामान्यीकृत है।

  6. एक द्विचर प्रतिदर्श के दो समाश्रयण गुणांक b_yx = 0.4 और b_xy = 0.9 हैं। सहसंबंध गुणांक है:

    1. 0.36
    2. 0.6
    3. −0.6
    4. 0.65
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0.6

    b_yx·b_xy = r², अतः r² = 0.36 और |r| = 0.6। दोनों गुणांक धनात्मक हैं, अतः r का चिह्न भी धनात्मक: r = +0.6। 0.36, r² है r नहीं, और 0.65 गुणांकों का माध्य है, जिसका यहाँ कोई अर्थ नहीं।

  7. एक प्रतिदर्श की दो समाश्रयण रेखाएँ 3x + 2y = 26 और 6x + y = 31 हैं। माध्य x̄ व ȳ हैं:

    1. x̄ = 5, ȳ = 1
    2. x̄ = 4, ȳ = 7
    3. x̄ = 7, ȳ = 4
    4. x̄ = 2, ȳ = 10
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — x̄ = 4, ȳ = 7

    दोनों समाश्रयण रेखाएँ माध्यों के बिंदु से जाती हैं, अतः उन्हें साथ हल कीजिए: y = 31 − 6x से 3x + 62 − 12x = 26, x = 4, y = 7। जाँच: 3(4) + 2(7) = 26 और 6(4) + 7 = 31। बिंदु (5, 1) केवल दूसरी रेखा को संतुष्ट करता है, और युग्म (2, 10) केवल पहली को।

  8. बिंदुओं (1, 1), (2, 8), (4, 64) के लिए द्वितीय विभाजित अंतर f[1, 2, 4] है:

    1. 28
    2. 21
    3. 7
    4. 3
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 7

    f[1, 2] = (8 − 1)/(2 − 1) = 7 और f[2, 4] = (64 − 8)/(4 − 2) = 28, अतः f[1, 2, 4] = (28 − 7)/(4 − 1) = 7। विस्तार 4 − 1 = 3 से भाग दिए बिना अंश 21 रखना सामान्य चूक है।

  9. [0, 9] पर किसी फलन पर समान उपअंतरालों के साथ संयुक्त Simpson 3/8 नियम लगाया जाता है। 3/8 नियम अकेले किस उपअंतराल संख्या के लिए प्रयुक्त हो सकता है?

    1. n = 4
    2. n = 7
    3. n = 9
    4. n = 10
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — n = 9

    संयुक्त 3/8 नियम में n तीन का गुणज होना चाहिए, अतः n = 9 (तीन पैनल) योग्य है। n = 4 व n = 10, 1/3 नियम (सम) के लिए ठीक हैं, और n = 7 को दोनों नियमों का मिश्रण चाहिए।

  10. घटनाओं A, B, C की प्रायिकताओं के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. P(A ∪ B ∪ C) ≤ P(A) + P(B) + P(C)
    2. P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B)
    3. P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1
    4. यदि A ⊂ B तो P(A) ≥ P(B)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P(A ∪ B ∪ C) ≤ P(A) + P(B) + P(C); C — P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1

    संघ-सीमा और Bonferroni निचली सीमा P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1 दोनों P(A ∪ B) ≤ 1 से निकलती हैं। P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) असत्य है (बायाँ पक्ष अधिकतम min(P(A), P(B)) है), और एकदिष्टता से A ⊂ B होने पर P(A) ≤ P(B)।

  11. सहसंबंध व समाश्रयण के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. x व y का मूलबिंदु खिसकाने पर r नहीं बदलता
    2. r = 0 से X व Y का स्वतंत्र होना निकलता है
    3. |r| = 1 होने पर दोनों समाश्रयण रेखाएँ संपाती हैं
    4. b_yx और b_xy सदा बराबर होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x व y का मूलबिंदु खिसकाने पर r नहीं बदलता; C — |r| = 1 होने पर दोनों समाश्रयण रेखाएँ संपाती हैं

    मूलबिंदु खिसकाने से माध्यों से विचलन अपरिवर्तित रहते हैं, और पूर्ण रैखिक निर्भरता दोनों रेखाओं को एक कर देती है (b_yx·b_xy = 1)। r = 0 का अर्थ केवल रैखिक संबंध का अभाव है (X सममित व Y = X² प्रतिउदाहरण), और b_yx = rσᵧ/σₓ, b_xy = rσₓ/σᵧ से भिन्न है जब तक σₓ = σᵧ न हो।

  12. अंतर्वेशन व Simpson नियमों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. समान बिंदुओं से Lagrange व Newton विभाजित-अंतर रूप एक ही बहुपद देते हैं
    2. Simpson का 3/8 नियम घात अधिकतम 3 के प्रत्येक बहुपद के लिए यथार्थ है
    3. Simpson का 3/8 नियम केवल घात अधिकतम 2 के बहुपदों के लिए यथार्थ है
    4. n + 1 बिंदुओं से गुज़रने वाले अंतर्वेशी बहुपद का घात सदा ठीक n होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — समान बिंदुओं से Lagrange व Newton विभाजित-अंतर रूप एक ही बहुपद देते हैं; B — Simpson का 3/8 नियम घात अधिकतम 3 के प्रत्येक बहुपद के लिए यथार्थ है

    n + 1 भिन्न बिंदुओं से घात अधिकतम n का अंतर्वेशी बहुपद अद्वितीय है, अतः दोनों रूप संपाती हैं, और 3/8 नियम घन बहुपदों का यथार्थ समाकलन करता है ([0, 1] पर x³ से 0.25 मिलता है)। घात n से कम हो सकता है (तीन संरेख बिंदु रेखा देते हैं), और यथार्थता घात 3 तक है, केवल 2 तक नहीं।

  13. घटनाओं A, B, C के लिए P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(C) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.2, P(A ∩ C) = 0.1, P(B ∩ C) = 0.15 तथा P(A ∩ B ∩ C) = 0.05 है। तब P(A ∪ B ∪ C) = ____ (दो दशमलव स्थान)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.8

    समावेशन-अपवर्जन: 0.5 + 0.4 + 0.3 − (0.2 + 0.1 + 0.15) + 0.05 = 1.2 − 0.45 + 0.05 = 0.80। Python में यथार्थ भिन्नों से दूसरी जाँच 4/5 देती है।

  14. एक शाफ़्ट का व्यास माध्य 100 mm और प्रसरण 25 mm² वाला प्रसामान्य है। Φ(1) = 0.8413 और Φ(2) = 0.9772 दिए हैं, तो उसके 95 mm और 110 mm के बीच होने की प्रायिकता, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.82

    σ = 5 mm। z-सीमाएँ: (95 − 100)/5 = −1 और (110 − 100)/5 = 2। P = Φ(2) − Φ(−1) = 0.9772 − (1 − 0.8413) = 0.9772 − 0.1587 = 0.8185 ≈ 0.82। Python में यथार्थ त्रुटि-फलन मूल्यांकन 0.81859 देता है, जो भी 0.82 पूर्णांकित होता है।

  15. आँकड़ों x = 1, 2, 3, 4, 5 व y = 2, 4, 5, 4, 5 के लिए x पर y की न्यूनतम वर्ग समाश्रयण रेखा x = 6 पर y का पूर्वानुमान ____ देती है (एक दशमलव स्थान)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 5.8

    x̄ = 3, ȳ = 4, Sₓₓ = 10, Sₓᵧ = 6, अतः ढाल 0.6 और अंतःखंड 4 − 0.6 × 3 = 2.2। x = 6 पर: 2.2 + 3.6 = 5.8। Python में सामान्य-समीकरण गणना वही ढाल व अंतःखंड देती है।

  16. (1, 1), (2, 8) तथा (4, 64) से गुज़रने वाले द्विघात बहुपद से f(3) का आकलन किया जाता है। आकलन ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 29

    Newton रूप: f[1, 2] = 7, f[1, 2, 4] = 7, अतः P(x) = 1 + 7(x − 1) + 7(x − 1)(x − 2) और P(3) = 1 + 14 + 14 = 29। Lagrange भार −1/3, 1, 1/3 से भी −1/3 + 8 + 64/3 = 29।

  17. n = 3 उपअंतरालों के साथ Simpson के 3/8 नियम से ∫₀¹ dx/(1 + x²) का मान निकालिए। उत्तर चार दशमलव स्थानों तक दीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.7846

    h = 1/3, f(0) = 1, f(1/3) = 0.9, f(2/3) = 9/13 = 0.692308, f(1) = 0.5। I ≈ (3h/8)[1 + 3(0.9) + 3(0.692308) + 0.5] = (1/8)(6.276923) = 0.784615 ≈ 0.7846। यथार्थ मान π/4 = 0.7854 है, जो इस नियम के लिए अपेक्षित 8 × 10⁻⁴ से भिन्न है।