साधारण व आंशिक अवकल समीकरण: अरैखिक प्रथम कोटि, Wronskian, प्राचल-विचरण, Cauchy-Euler, आइगेन मान समस्या, घात श्रेणी तथा चर-पृथक्करण

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के खंड XE0 (अभियांत्रिकी गणित) का है, जो सभी परीक्षार्थियों के लिए समान भाग है। यह XE0.5 व XE0.6 के उन अंशों का उत्तर देता है जिन्हें साझा अवकल समीकरण अध्याय नहीं पढ़ाते: “प्रथम कोटि समीकरण (रैखिक व अरैखिक); … Cauchy-Euler समीकरण; परिवर्ती गुणांकों वाले द्वितीय कोटि रैखिक अवकल समीकरण; Wronskian; प्राचल-विचरण विधि; अचर गुणांकों वाले द्वितीय कोटि समीकरणों की आइगेन मान समस्या; सामान्य बिंदुओं पर घात श्रेणी हल” तथा “एकविमीय ऊष्मा व तरंग समीकरण, द्विविमीय Laplace समीकरण, चर-पृथक्करण विधि, Fourier श्रेणी विधि।” साझा अध्याय प्रथम कोटि रैखिक व पृथक्करणीय समीकरण, अचर गुणांक वाले द्वितीय कोटि समीकरण, द्वितीय कोटि PDE का वर्गीकरण तथा (−π, π) पर Fourier श्रेणी पहले से देते हैं; वे दोहराए नहीं गए। संख्यात्मक प्रश्न हैं: यथार्थ समीकरण का प्रारंभिक मान प्रश्न, Cauchy-Euler हल, एक आइगेन मान, घात श्रेणी का गुणांक तथा ठंडी होती छड़ का ताप।

1. अरैखिक प्रथम कोटि समीकरण: यथार्थ व Bernoulli

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 यथार्थ है यदि ∂M/∂y = ∂N/∂x (सरलतः संबद्ध क्षेत्र में); तब विभव F ऐसा है कि F_x = M तथा F_y = N, और हल F(x, y) = C है। M को x के सापेक्ष समाकलित कीजिए, अज्ञात g(y) जोड़िए, और F_y = N मिलाकर g तय कीजिए।

हल। (3x² + 2y) dx + (2x + 3y²) dy = 0: M_y = 2 = N_x, यथार्थ। F = x³ + 2xy + g(y), F_y = 2x + g′ = 2x + 3y², अतः g = y³ और हल x³ + 2xy + y³ = C है। y(1) = 1 से C = 4, और x = 0 पर हल में y³ = 4, y = 4^(1/3) = 1.5874। यदि M_y ≠ N_x तो भी समीकरण समाकलन गुणक से यथार्थ बनाया जा सकता है, जैसे μ(x) = exp(∫(M_y − N_x)/N dx) जब यह केवल x पर निर्भर हो।

Bernoulli समीकरण y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ (n ≠ 0, 1) अरैखिक है, पर v = y^(1−n) इसे रैखिक बना देता है: v′ + (1 − n)P v = (1 − n)Q। उदाहरण: y′ + y/x = y², n = 2, v = 1/y से v′ − v/x = −1। समाकलन गुणक 1/x है: (v/x)′ = −1/x, अतः v = x(C − ln x) और y = 1/(x(C − ln x))। लुप्त हल y = 0 याद रखिए।

2. परिवर्ती गुणांक व Wronskian

y″ + P(x)y′ + Q(x)y = 0 के लिए, P, Q संतत हों तो दो हलों का Wronskian W = y₁y₂′ − y₂y₁′ है। Abel सूत्र: W(x) = W(x₀) exp(−∫ₓ₀ˣ P dt)। अतः अंतराल पर W या तो सर्वत्र शून्य है या कहीं शून्य नहीं; यदि कहीं शून्य नहीं तो y₁ व y₂ रैखिकतः स्वतंत्र हैं और मूल समुच्चय बनाते हैं, तथा y = c₁y₁ + c₂y₂ व्यापक हल है। अचर गुणांकों में मूल r₁ ≠ r₂ हों तो W = (r₂ − r₁)e^((r₁+r₂)x)।

हल। y₁ = x और y₂ = x², x²y″ − 2xy′ + 2y = 0 के हल हैं (जाँच: x² · 2 − 2x · 2x + 2x² = 0)। W = x·2x − x²·1 = x², x > 0 के लिए अशून्य, अतः वे स्वतंत्र हैं। Abel: P = −2/x, अतः W = C exp(2 ln x) = Cx², मेल खाता है। यदि एक हल y₁ ज्ञात हो तो दूसरा y₂ = y₁∫W/y₁² dx है (कोटि-ह्रास); यहाँ ∫x²/x² dx = x से y₂ = x²। Abel हल किए बिना भी Wronskian दे सकता है: यदि x > 0 पर xy″ + 2y′ + y = 0 के हलों के लिए W(1) = 12 हो, तो P = 2/x और W(x) = 12/x², अतः W(2) = 3।

⚠️ किसी बिंदु पर Wronskian शून्य
एक ही रैखिक समीकरण के संतत गुणांकों वाले दो हलों के लिए एक बिंदु पर W(x₀) = 0 से W ≡ 0 और रैखिक परतंत्रता निकलती है। दो मनमाने फलनों के लिए यह विफल है: x² तथा x|x| का W रेखा पर ≡ 0 है पर वे अनुपाती नहीं हैं। स्वतंत्रता के लिए किसी एक बिंदु पर W ≠ 0 तभी पर्याप्त है जब फलन ऐसे एक समीकरण के हल हों।

3. प्राचल-विचरण व Cauchy-Euler समीकरण

y″ + Py′ + Qy = f(x) के लिए, समघात हल y₁, y₂ व Wronskian W हों, तो एक विशिष्ट हल y_p = −y₁∫(y₂ f/W) dx + y₂∫(y₁ f/W) dx है। यह किसी भी संतत f के लिए चलता है, अनिर्धारित गुणांक विधि के विपरीत। उदाहरण: y″ + y = sec x, y₁ = cos x, y₂ = sin x, W = 1। तब y_p = −cos x ∫ sin x sec x dx + sin x ∫ dx = cos x ln|cos x| + x sin x। जाँच हेतु इसे समीकरण में रखिए: y_p″ + y_p = sec x।

Cauchy-Euler समीकरण x²y″ + axy′ + by = f(x), x > 0। प्रतिस्थापन x = eᵗ इसे t में अचर गुणांक समीकरण बना देता है; समघात स्थिति में y = x^m आज़माइए: m(m − 1) + am + b = 0। भिन्न वास्तविक मूल m₁, m₂: y = c₁x^m₁ + c₂x^m₂। दोहराया मूल m: y = (c₁ + c₂ ln x)x^m। सम्मिश्र मूल α ± iβ: y = x^α[c₁ cos(β ln x) + c₂ sin(β ln x)]।

हल। (i) x²y″ − xy′ + y = 0: m² − 2m + 1 = 0, m = 1 दो बार, y = (c₁ + c₂ ln x)x। (ii) x²y″ + xy′ + y = 0: m² + 1 = 0, y = c₁ cos(ln x) + c₂ sin(ln x)। (iii) x²y″ − 2y = 0: m² − m − 2 = 0, m = 2, −1, y = c₁x² + c₂/x; y(1) = 3 व y′(1) = 0 से c₁ + c₂ = 3, 2c₁ − c₂ = 0 अतः c₁ = 1, c₂ = 2, और y(2) = 4 + 1 = 5। (iv) x²y″ − 2y = x³: y_p = Ax³ आज़माइए, 6Ax³ − 2Ax³ = x³ से A = 1/4।

⚠️ सूचकांक समीकरण, सहायक समीकरण नहीं
y = x^m के लिए y′ = mx^(m−1) और y″ = m(m − 1)x^(m−2), अतः x²y″ से m(m − 1)x^m बनता है। m² + (a)m + b लिखने पर y″ का −m छूट जाता है। प्राचल-विचरण में f पढ़ने से पहले समीकरण को मानक रूप y″ + Py′ + Qy = f में लाइए जिसमें अग्र गुणांक 1 हो; Cauchy-Euler के लिए पहले x² से भाग दीजिए।

4. आइगेन मान समस्या y″ + λy = 0

सीमा-मान आइगेन मान समस्या उन λ के मान पूछती है जिनके लिए y″ + λy = 0 का [0, L] पर दी गई सीमा शर्तें संतुष्ट करने वाला अतुच्छ हल हो। λ < 0 के लिए हल चरघातांकी (sinh, cosh) हैं, λ = 0 के लिए रैखिक; λ = k² > 0 के लिए A cos kx + B sin kx। शर्तें लगाने से तय होता है कौन-से मान बचते हैं।

[0, L] पर मानक आइगेन मान समस्याएँ
शर्तेंआइगेन मान λₙआइगेन फलन
y(0) = 0, y(L) = 0(nπ/L)², n = 1, 2, 3, …sin(nπx/L)
y′(0) = 0, y′(L) = 0(nπ/L)², n = 0, 1, 2, …cos(nπx/L) (n = 0 gives 1)
y(0) = 0, y′(L) = 0((2n − 1)π/2L)², n = 1, 2, …sin((2n − 1)πx/2L)

हल (Dirichlet)। y(0) = 0 से A = 0, अतः y = B sin kx। y(L) = 0 के लिए sin kL = 0 (B ≠ 0), अतः k = nπ/L और λ = (nπ/L)²। λ = 0 के लिए y = Ax + B से दोनों शर्तों के साथ y = 0; λ < 0 के लिए sinh kL = 0 केवल तुच्छ हल पर। मिश्रित: y′(L) = Bk cos kL = 0 से kL = (2n − 1)π/2। L = π/2 के लिए λₙ = (2n − 1)², अर्थात् 1, 9, 25, …, अतः तीसरा आइगेन मान 25 है। आइगेन फलन लंबकोणीय हैं: n ≠ m के लिए ∫₀ᴸ sin(nπx/L) sin(mπx/L) dx = 0 और n = m के लिए L/2।

5. सामान्य बिंदु पर घात श्रेणी हल

y″ + P(x)y′ + Q(x)y = 0 के लिए बिंदु x₀ सामान्य है यदि वहाँ P व Q विश्लेषिक हों (अन्यथा विचित्र)। सामान्य बिंदु पर व्यापक हल y = Σaₙ(x − x₀)ⁿ है, जिसमें दो मुक्त अचर a₀, a₁ हैं। श्रेणी प्रतिस्थापित कीजिए, प्रत्येक घात का गुणांक इकट्ठा कीजिए और पुनरावृत्ति संबंध पढ़िए। श्रेणी कम से कम P या Q के निकटतम विचित्र बिंदु तक अभिसरित होती है, दूरी सम्मिश्र तल में मापी जाती है।

हल (Airy)। y″ − xy = 0। y = Σaₙxⁿ से y″ = Σ(n + 2)(n + 1)aₙ₊₂xⁿ तथा xy = Σaₙ₋₁xⁿ (n ≥ 1)। अचर पद से a₂ = 0, और n ≥ 1 के लिए (n + 2)(n + 1)aₙ₊₂ = aₙ₋₁, अर्थात् aₙ₊₃ = aₙ/((n + 3)(n + 2))। अतः a₃ = a₀/6, a₄ = a₁/12, a₆ = a₃/30 = a₀/180। इसलिए y = a₀(1 + x³/6 + x⁶/180 + …) + a₁(x + x⁴/12 + …)। y(0) = 1, y′(0) = 0 के साथ x⁶ का गुणांक 1/180 है। कोई विचित्र बिंदु नहीं, अतः त्रिज्या अनंत है।

त्रिज्या आकलन। x₀ = 0 के परितः (x² + 4)y″ + xy′ + y = 0 में P = x/(x² + 4) व Q = 1/(x² + 4) हैं, x = ±2i पर विचित्र, मूलबिंदु से दूरी 2, अतः प्रत्येक गुणांक वास्तविक होने पर भी श्रेणी कम से कम |x| < 2 पर अभिसरित होती है। x₀ = 1 के परितः ±2i की दूरी √5 है।

6. ऊष्मा, तरंग व Laplace समीकरणों के लिए चर-पृथक्करण

मान लीजिए u(x, t) = X(x)T(t)। ऊष्मा समीकरण u_t = α²u_xx के लिए, u(0, t) = u(L, t) = 0 के साथ: X″/X = T′/(α²T) = −λ, एक अचर, अतः X″ + λX = 0, X(0) = X(L) = 0 (ऊपर वाली आइगेन मान समस्या), λₙ = (nπ/L)², और Tₙ = e^(−α²λₙt)। अध्यारोपण से u = Σ bₙ sin(nπx/L) e^(−α²(nπ/L)²t), और प्रारंभिक शर्त u(x, 0) = f(x) एक अर्ध-परिसर Fourier ज्या श्रेणी है, bₙ = (2/L)∫₀ᴸ f(x) sin(nπx/L) dx। उच्च विधाएँ तेज़ी से मरती हैं (दर ∝ n²), अतः देर के समय का ताप प्रथम विधा जैसा आकार लेता है।

हल। (i) (0, π) पर f = 1: bₙ = (2/π)∫₀^π sin nx dx = 2(1 − cos nπ)/(nπ) = विषम n के लिए 4/(nπ) और सम n के लिए 0, अतः b₁ = 4/π = 1.2732। (ii) लंबाई 1 (m) की छड़, α² = 0.01 m²/s, सिरे 0 पर और u(x, 0) = 3 sin πx: u(0.5, 10) = 3e^(−0.01π²·10) = 3e^(−0.987) = 1.12।

तरंग समीकरण u_tt = c²u_xx, स्थिर सिरे, u(x, 0) = f, u_t(x, 0) = g: u = Σ[Aₙ cos(nπct/L) + Bₙ sin(nπct/L)] sin(nπx/L), Aₙ = (2/L)∫f sin(nπx/L) dx, Bₙ = (2/(nπc))∫g sin(nπx/L) dx। विधाएँ दोलन करती हैं, क्षीण नहीं होतीं; मूल आवृत्ति c/2L है। Laplace समीकरण u_xx + u_yy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b पर, x = 0, x = a, y = 0 पर u = 0 और u(x, b) = f(x): x-भाग वही आइगेन समस्या है, y-भाग X″/X = −Y″/Y = −λ, Y″ = λY, अतः y = 0 पर लुप्त होने के लिए Y = sinh(nπy/a) और u = Σ cₙ sin(nπx/a) sinh(nπy/a), जहाँ cₙ sinh(nπb/a) = (2/a)∫₀ᵃ f sin(nπx/a) dx।

🎯 पृथक्करण अचर का चिह्न क्यों महत्त्वपूर्ण है
दोनों सिरों पर लुप्त होने वाली सीमा शर्तों के लिए दोलनी X (λ > 0) चाहिए, अतः समय-गुणक क्षय (ऊष्मा) या दोलन (तरंग) है। Laplace समीकरण में वही λ दूसरे चर को वर्धी व क्षयी (sinh, cosh) बनाता है, दोलनी नहीं। x के दोनों सिरों पर समघात शर्त ही आइगेन समस्या बनाती है, इसलिए अशून्य आँकड़े सदा दूसरी जोड़ी की कोरों पर रखिए।

मुख्य बिंदु

  • यथार्थ: M_y = N_x, तब F = C; Bernoulli y′ + Py = Qyⁿ को v = y^(1−n) रैखिक बनाता है; लुप्त हल कभी न भूलिए।
  • Wronskian W = y₁y₂′ − y₂y₁′; Abel: W = C exp(−∫P); W ≠ 0 का अर्थ स्वतंत्र हल; प्राचल-विचरण y_p = −y₁∫y₂f/W + y₂∫y₁f/W।
  • Cauchy-Euler: y = x^m, m(m − 1) + am + b = 0 (दोहराए मूल से ln x; सम्मिश्र मूल से β ln x के cos व sin); x = eᵗ अचर गुणांक देता है।
  • आइगेन समस्या y″ + λy = 0: Dirichlet λ = (nπ/L)², sin के साथ; Neumann में cos के साथ λ = 0 भी; मिश्रित से ((2n − 1)π/2L)²; आइगेन फलन लंबकोणीय हैं।
  • सामान्य बिंदु पर y = Σaₙxⁿ दो मुक्त अचरों वाला पुनरावृत्ति संबंध देता है; त्रिज्या कम से कम P, Q की निकटतम सम्मिश्र विचित्रता तक पहुँचती है।
  • u = X(x)T(t) के साथ अचर −λ से ऊष्मा, तरंग व Laplace प्रश्न आइगेन समस्या + sin(nπx/L) की श्रेणी बन जाते हैं जिसके गुणांक (2/L)∫f sin हैं; ऊष्मा विधाएँ क्षीण, तरंग विधाएँ दोलनी, Laplace विधाएँ y में sinh लेती हैं।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. a के किस मान के लिए (2xy + 3) dx + (a x² + 4y) dy = 0 यथार्थ समीकरण है?

    1. a = 1
    2. a = 2
    3. a = 4
    4. a = 1/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — a = 1

    यथार्थता के लिए M_y = N_x चाहिए। M_y = 2x और N_x = 2ax, अतः a = 1। तब F = x²y + 3x + 2y² और हल F = C है। a = 2 से N_x = 4x ≠ M_y = 2x आता।

  2. Bernoulli समीकरण y′ + y/x = y² को कौन-सा प्रतिस्थापन रैखिक समीकरण में बदलता है?

    1. v = y², जिससे v′ + 2v/x = 2v^(3/2)
    2. v = y, जिससे वही समीकरण
    3. v = 1/y, जिससे v′ − v/x = −1
    4. v = ln y, जिससे v′ + 1/x = e^v
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — v = 1/y, जिससे v′ − v/x = −1

    n = 2 पर प्रतिस्थापन v = y^(1−n) = 1/y है। तब v′ = −y′/y² = −(y² − y/x)/y² = −1 + v/x, अतः v′ − v/x = −1, रैखिक। वर्ग या लघुगणक लेने से समीकरण अरैखिक ही रहता है।

  3. y₁ = x और y₂ = x² का Wronskian है:

    1. x³
    2. x²
    3. 2x²
    4. x² − 2x
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — x²

    W = y₁y₂′ − y₂y₁′ = x(2x) − x²(1) = x²। पदों का क्रम उलटने पर −x² और घटाने की जगह जोड़ने पर 3x² आता है, इसलिए चिह्न व क्रम महत्त्वपूर्ण हैं।

  4. (−π/2, π/2) पर y₁ = cos x, y₂ = sin x (W = 1) के साथ y″ + y = sec x के लिए प्राचल-विचरण से एक विशिष्ट हल है:

    1. हल: x cos x + sin x ln|cos x|
    2. हल: x sin x − cos x ln|cos x|
    3. हल: −x sin x + cos x ln|cos x|
    4. हल: x sin x + cos x ln|cos x|
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — हल: x sin x + cos x ln|cos x|

    y_p = −y₁∫y₂f dx + y₂∫y₁f dx = −cos x ∫ tan x dx + sin x ∫ 1 dx = −cos x(−ln|cos x|) + x sin x = x sin x + cos x ln|cos x|। शेष तीनों व्यंजकों में से कोई भी y″ + y = sec x को संतुष्ट नहीं करता।

  5. x > 0 के लिए x²y″ + xy′ + y = 0 का व्यापक हल है:

    1. c₁ cos x + c₂ sin x
    2. c₁x + c₂/x
    3. (c₁ + c₂ ln x)x
    4. हल: c₁ cos(ln x) + c₂ sin(ln x)
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — हल: c₁ cos(ln x) + c₂ sin(ln x)

    y = x^m से: m(m − 1) + m + 1 = m² + 1 = 0, m = ±i, अतः x^(±i) = e^(±i ln x) से cos(ln x) व sin(ln x)। स्वयं x के त्रिकोणमितीय फलन y″ + y = 0 को हल करते हैं, इस समीकरण को नहीं।

  6. y(0) = 0 व y′(L) = 0 के साथ y″ + λy = 0 के आइगेन मान हैं:

    1. (nπ/L)², n = 1, 2, …
    2. ((2n − 1)π/2L)², n = 1, 2, …
    3. (nπ/L)², n = 0, 1, 2, …
    4. (nπ/2L)², n = 1, 2, …
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ((2n − 1)π/2L)², n = 1, 2, …

    y(0) = 0 से y = B sin kx, और y′(L) = Bk cos kL = 0 के लिए cos kL = 0, kL = (2n − 1)π/2। Dirichlet–Dirichlet सूची (nπ/L)² और Neumann सूची (n = 0 सहित) अन्य शर्तों की हैं; (nπ/2L)² में π/2L के सम गुणज आते जो cos kL = 0 को संतुष्ट नहीं करते।

  7. समीकरण (x² + 4)y″ + xy′ + y = 0 को x₀ = 0 के परितः घात श्रेणी से हल किया जाता है। श्रेणी कम से कम किसके लिए अभिसरित होने की गारंटी है?

    1. |x| < 4
    2. |x| < 1
    3. प्रत्येक वास्तविक x, क्योंकि गुणांकों में कोई वास्तविक विचित्रता नहीं
    4. |x| < 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — |x| < 2

    गुणांक x/(x² + 4) व 1/(x² + 4) x = ±2i पर विचित्र हैं, जो सम्मिश्र तल में मूलबिंदु से दूरी 2 पर हैं, अतः R ≥ 2। वास्तविक अक्ष का व्यवहार मायने नहीं रखता: सम्मिश्र विचित्रताएँ त्रिज्या सीमित करती हैं। त्रिज्या 4 लेना दूरी को x² + 4 के मान से भ्रमित करना है।

  8. ऊष्मा एक छड़ में u_t = α²u_xx के अनुसार प्रवाहित होती है, जिसके दोनों सिरे शून्य ताप पर हैं और 0 < x < L पर u(x, 0) = f(x) है। हल की n-वीं Fourier विधा समय के साथ कैसे बदलती है?

    1. cos(nπαt/L)
    2. exp(−α²n²π²t/L²)
    3. exp(+α²n²π²t/L²)
    4. exp(−αnπt/L)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — exp(−α²n²π²t/L²)

    X″ + λX = 0 से λₙ = (nπ/L)², और T′ = −α²λT से Tₙ = exp(−α²n²π²t/L²): क्षय जिसकी दर n² से बढ़ती है। cosine समय-निर्भरता तरंग समीकरण की है, वृद्धि ऊर्जा-क्षय का उल्लंघन करती, और घातांक में α² व nπ/L का वर्ग होना चाहिए।

  9. आयत 0 < x < a, 0 < y < b पर u_xx + u_yy = 0 के लिए, x = 0, x = a व y = 0 पर u = 0 और u(x, b) = f(x) हो, तो n-वाँ पृथक्कृत हल है:

    1. sin(nπx/a) sinh(nπy/a)
    2. sin(nπx/a) cosh(nπy/a)
    3. sin(nπx/a) sin(nπy/a)
    4. sin(nπx/a) exp(−nπy/a)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — sin(nπx/a) sinh(nπy/a)

    x-भाग sin(nπx/a) से λ = (nπ/a)² तय है, अतः Y″ = λY, Y = A cosh + B sinh। Y(0) = 0 से cosh हट जाता है। sin·sin गुणनफल Laplace नहीं बल्कि u_xx + u_yy = −2(nπ/a)²u को हल करता, और exp(−nπy/a) y = 0 पर लुप्त नहीं होता।

  10. ऊष्मा, तरंग व Laplace समीकरणों के पृथक्कृत हलों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. [0, L] पर स्थिर सिरों वाले तरंग समीकरण के लिए मूल आवृत्ति c/(2L) है और अन्य विधाएँ उसके पूर्णांक गुणज हैं
    2. शून्य सिरा ताप वाले ऊष्मा समीकरण में उच्च विधाएँ प्रथम से तेज़ क्षीण होती हैं
    3. तरंग समीकरण में प्रत्येक विधा समय के साथ चरघातांकी रूप से क्षीण होती है
    4. Laplace समीकरण में पृथक्कृत हल के x-गुणक व y-गुणक दोनों दोलनी होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [0, L] पर स्थिर सिरों वाले तरंग समीकरण के लिए मूल आवृत्ति c/(2L) है और अन्य विधाएँ उसके पूर्णांक गुणज हैं; B — शून्य सिरा ताप वाले ऊष्मा समीकरण में उच्च विधाएँ प्रथम से तेज़ क्षीण होती हैं

    तरंग विधाओं की आवृत्तियाँ nc/(2L) हैं और ऊष्मा विधाएँ e^(−α²n²π²t/L²) से क्षीण होती हैं, बड़े n पर तेज़। आदर्श डोरी में तरंग विधाएँ बिना क्षय दोलन करती हैं, और Laplace समीकरण में एक गुणक दोलनी होता है (समघात शर्त वाली कोरों की जोड़ी) तथा दूसरा sinh या cosh।

  11. रैखिक द्वितीय कोटि समीकरणों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. अंतराल पर संतत P, Q वाले y″ + Py′ + Qy = 0 के दो हलों के लिए Wronskian या तो अभिन्नतः शून्य है या कहीं शून्य नहीं
    2. प्रतिस्थापन x = eᵗ Cauchy-Euler समीकरण को अचर गुणांक वाले समीकरण में बदल देता है
    3. प्राचल-विचरण तभी चलता है जब f(x) बहुपद, चरघातांकी, sine या cosine हो
    4. Cauchy-Euler समीकरण के सूचकांक समीकरण का दोहराया मूल m हल x^m व x^m ln x देता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अंतराल पर संतत P, Q वाले y″ + Py′ + Qy = 0 के दो हलों के लिए Wronskian या तो अभिन्नतः शून्य है या कहीं शून्य नहीं; B — प्रतिस्थापन x = eᵗ Cauchy-Euler समीकरण को अचर गुणांक वाले समीकरण में बदल देता है; D — Cauchy-Euler समीकरण के सूचकांक समीकरण का दोहराया मूल m हल x^m व x^m ln x देता है

    Abel सूत्र दिखाता है कि W सर्वत्र शून्य है या कहीं नहीं; x = eᵗ से t में अचर गुणांक मिलते हैं; और दोहराया मूल m, x^m व x^m ln x देता है (ln x = t)। प्राचल-विचरण किसी भी संतत f के लिए चलता है, जो अनिर्धारित गुणांक पर उसका लाभ है।

  12. [0, L] पर आइगेन मान समस्या y″ + λy = 0 के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. y(0) = y(L) = 0 के साथ भिन्न n के आइगेन फलन sin(nπx/L), (0, L) पर लंबकोणीय हैं
    2. y(0) = y(L) = 0 के साथ λ = 0 एक आइगेन मान है
    3. y′(0) = y′(L) = 0 के साथ λ = 0 अचर आइगेन फलन वाला आइगेन मान है
    4. y(0) = y(L) = 0 के साथ कुछ ऋणात्मक λ के लिए अतुच्छ हल हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y(0) = y(L) = 0 के साथ भिन्न n के आइगेन फलन sin(nπx/L), (0, L) पर लंबकोणीय हैं; C — y′(0) = y′(L) = 0 के साथ λ = 0 अचर आइगेन फलन वाला आइगेन मान है

    Dirichlet आइगेन फलन लंबकोणीय हैं, और Neumann शर्तों में y = 1 दोनों सिरों पर y′ = 0 को संतुष्ट करता है, अतः λ = 0 अनुमत है। Dirichlet शर्तों के लिए λ = 0 से y = Ax + B = 0 और λ < 0 से sinh या cosh संयोजन आते हैं जो दोनों सिरों पर तभी लुप्त होते हैं जब तुच्छ हों।

  13. समीकरण (3x² + 2y) dx + (2x + 3y²) dy = 0 का हल-वक्र (x, y) = (1, 1) से होकर जाता है। यह वक्र x = 0 को किस y-निर्देशांक पर काटता है, चार दशमलव स्थानों तक? ____

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.5874

    यह यथार्थ है, F = x³ + 2xy + y³। F(1, 1) = 4, अतः x = 0 पर y³ = 4 और y = 4^(1/3) = 1.5874 (वास्तविक घनमूल अद्वितीय)। दूसरी जाँच: Python में F(0, 1.5874) = 3.99999 ≈ 4।

  14. x > 0 के लिए x²y″ − 2y = 0 को y(1) = 3 व y′(1) = 0 के साथ हल कीजिए। y(2) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 5

    m(m − 1) − 2 = 0 से m = 2, −1, अतः y = c₁x² + c₂/x। c₁ + c₂ = 3 व 2c₁ − c₂ = 0 से c₁ = 1, c₂ = 2। तब y(2) = 4 + 2/2 = 5। y = x² + 2/x को x²y″ − 2y में संख्यात्मक रूप से रखने पर 0 मिलता है।

  15. [0, π/2] पर y(0) = 0 व y′(π/2) = 0 के साथ y″ + λy = 0 का तीसरा सबसे छोटा आइगेन मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 25

    L = π/2 के साथ λₙ = ((2n − 1)π/(2L))² = (2n − 1)²। n = 3 पर λ₃ = 25 (सूची 1, 9, 25)। जाँच: y = sin 5x में y(0) = 0 और y′(π/2) = 5 cos(5π/2) = 0।

  16. y″ − xy = 0 का, y(0) = 1 व y′(0) = 0 के साथ, घात श्रेणी हल y = Σaₙxⁿ है। 1/a₆ का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 180

    a₂ = 0 और aₙ₊₃ = aₙ/((n + 3)(n + 2))। a₀ = 1, a₃ = 1/6, a₆ = (1/6)/(6·5) = 1/180, अतः 1/a₆ = 180। 30 पदों तक Python पुनरावृत्ति a₆ = 0.0055556 देती है और x = 0.8 पर y″ − xy का अवशेष 10⁻¹⁶ कोटि का है।

  17. 1 m लंबी छड़ u_t = α²u_xx का पालन करती है, α² = 0.01 m²/s, u(0, t) = u(1, t) = 0 और u(x, 0) = 3 sin(πx)। x = 0.5 m व t = 10 s पर ताप, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

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    उत्तर: 1.12

    केवल प्रथम विधा उपस्थित है: u = 3 sin(πx) exp(−α²π²t)। x = 0.5 पर sin(π/2) = 1, और exp(−0.01 × 9.8696 × 10) = exp(−0.98696) = 0.37270। अतः u = 3 × 0.3727 = 1.1181 ≈ 1.12। Python मूल्यांकन 1.11812 देता है।