सर्वेक्षण व तलमापन: जरीब, चंक्रमण, समतल पटल, तल, समोच्च रेखाएँ, टोटल स्टेशन, GPS, क्षेत्रफल व आयतन

GATE कृषि अभियांत्रिकी (AG) पेपर के खंड 4, मृदा एवं जल संरक्षण अभियांत्रिकी, का तीसरा अध्याय: उप-शीर्षक सर्वेक्षण व तलमापन। प्रत्येक संरक्षण संरचना एक सर्वेक्षण के रूप में आरंभ होती है — बाँध (बंड) बनाने हेतु समोच्च रेखा, जलमार्ग को ढाल देने हेतु अनुदैर्ध्य काट, बाँध के मिट्टी-कार्य के आकलन हेतु अनुप्रस्थ काट। अध्याय दूरी व क्षेत्रफल का मापन, सर्वेक्षण व तलमापन के उपकरण, जरीब सर्वेक्षण, चंक्रमण की विधियाँ, कोणों व दिक्मानों का मापन, समतल-पटल सर्वेक्षण, तलमापन के प्रकार, थियोडोलाइट चंक्रमण, समोच्च-रेखण, टोटल स्टेशन व GPS सर्वेक्षण का परिचय, तथा क्षेत्रफलों व आयतनों की गणना समेटता है।

1. दूरी मापन; जरीब सर्वेक्षण

दूरियाँ मीट्रिक जरीबों (20 m व 30 m, प्रत्येक मीटर या 5 m पर टैली सहित), फ़ीतों (इस्पात, परिशुद्धता हेतु इनवार, स्थूल कार्य हेतु कृत्रिम) से, और टोटल स्टेशन में इलेक्ट्रॉनिक रूप से EDM (विद्युतचुंबकीय दूरी मापन) से ली जाती हैं। जरीब सर्वेक्षण छोटी, खुली, लगभग समतल भूमि हेतु उपयुक्त है: क्षेत्र को त्रिभुजों के जाल में बाँटा जाता है जिनकी भुजाएँ मापी जाती हैं, और विवरण जरीब रेखाओं से अंतर्लंबों (offsets) (लंबवत या तिरछे) द्वारा स्थिर किया जाता है। त्रिभुज सुप्रतिबंधित होने चाहिए — कोई कोण लगभग 30° से कम या 120° से अधिक नहीं — ताकि लंबाई की छोटी त्रुटियाँ आलेखित बिंदुओं को अधिक न खिसकाएँ। रेखांकन (ranging) जरीब को स्टेशनों के बीच सीधी रेखा पर रखता है, प्रत्यक्ष रूप से या, जब छोर परस्पर दृश्य न हों, पारस्परिक रेखांकन से।

बहुत लंबी जरीब कम पढ़ती है। यदि L नाममात्र लंबाई की जरीब वास्तव में L′ हो, तो मापी गई लंबाई l वास्तविक लंबाई l × L′/L के संगत है: 0.1 m अधिक लंबी 20 m जरीब से 500 m मापी गई लंबाई वास्तव में 500 × 20.1/20 = 502.5 m है, और क्षेत्रफल अनुपात के वर्ग से मापित होते हैं। फ़ीता संशोधन उसी प्रकार जुड़ते हैं — ताप, खिंचाव, झोल व ढाल हेतु; h ऊँचाई-अंतर वाली ढाल पर मापी गई लंबाई l लगभग h²/(2l) से क्षैतिज में घटाई जाती है।

⚠️ लंबी जरीब कम पढ़ती है — अतः संशोधन जुड़ता है
रखी गई प्रत्येक "20 m" वास्तव में 20.1 m है, अतः रेखा में जितनी जरीब-लंबाइयाँ होनी चाहिए उससे कम हैं, और वास्तविक दूरी पाठ से अधिक है। इसके बजाय 20/20.1 से गुणा करने पर 497.5 m आता है, उलटी दिशा में।

2. कोण व दिक्मान; दिक्सूचक व थियोडोलाइट से चंक्रमण

दिक्मान किसी संदर्भ याम्योत्तर से रेखा का क्षैतिज कोण है। पूर्ण-वृत्त दिक्मान (WCB) उत्तर से दक्षिणावर्त 0° से 360° तक चलता है; चतुर्थांश (लघुकृत) दिक्मान (QB) उत्तर या दक्षिण से पूर्व या पश्चिम की ओर मापा जाता है, कभी 90° से अधिक नहीं। WCB 210° = S30°W, WCB 120° = S60°E, WCB 300° = N60°W। पश्च दिक्मान अग्र दिक्मान से ठीक 180° भिन्न होता है: WCB 75° वाली रेखा का पश्च दिक्मान 255° है। जब दिक्सूचक रेखा के अग्र व पश्च दिक्मान 180° से भिन्न न हों, तो कोई स्टेशन निकट के लोहे या विद्युत लाइनों से स्थानीय आकर्षण में होता है; किसी स्टेशन पर दिक्मानों से निकाले गए अंतर्गत कोण अप्रभावित रहते हैं, यही त्रुटियों को ठीक करने का ढंग है।

चंक्रमण (traverse) जुड़ी रेखाओं की शृंखला है जिनकी लंबाइयाँ व दिशाएँ मापी जाती हैं — स्थूल कार्य हेतु दिक्सूचक से, परिशुद्ध कार्य हेतु थियोडोलाइट से (अंशांकित वृत्तों पर क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर कोण पढ़े जाते हैं, केंद्रण, समतलन व फ़ोकसन के अस्थायी समायोजनों सहित, और उपकरण त्रुटियाँ निरस्त करने हेतु वाम-मुख व दक्षिण-मुख पाठों का औसत)। यह बंद होता है जब अपने आरंभ पर लौटे या किसी ज्ञात बिंदु पर समाप्त हो। प्रत्येक रेखा का अक्षांतर (latitude) L cos θ और प्रस्थान (departure) L sin θ है (θ दिक्मान): WCB 60° पर 100 m रेखा का अक्षांतर 50 m व प्रस्थान 86.6 m है। बंद चंक्रमण में ΣL व ΣD शून्य होने चाहिए; उनके अवशेष समापन त्रुटि e = √((ΣL)² + (ΣD)²) देते हैं, और सापेक्ष परिशुद्धता e बटा परिधि है। त्रुटि बोडिच (दिक्सूचक) नियम से, प्रत्येक रेखा को उसकी लंबाई के अनुपात में संशोधित करके, या ट्रांज़िट नियम से बाँटी जाती है। n भुजाओं वाले बंद बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग (2n − 4) × 90° होना चाहिए।

3. समतल-पटल सर्वेक्षण

समतल पटलन में नक्शा खेत में ही तिपाई पर लगे ड्रॉइंग बोर्ड पर बनाया जाता है, दृष्टि लेने व किरणें खींचने हेतु ऐलिडेड, स्पिरिट लेवल, अभिविन्यास हेतु ट्रफ़ दिक्सूचक, और पटल को भू-बिंदु के ऊपर केंद्रित करने हेतु साहुल काँटे के साथ। चूँकि आलेखन व प्रेक्षण साथ होते हैं, कुछ छूटता नहीं और त्रुटियाँ तुरंत दिखती हैं; मूल्य है कम यथार्थता, मौसम पर निर्भरता व भारी उपकरण। अभिविन्यास — बोर्ड को ऐसे स्थापित करना कि कागज़ पर प्रत्येक रेखा भूमि पर अपनी रेखा के समांतर हो — किसी ज्ञात रेखा के अनुदिश पश्च-दृष्टि से या ट्रफ़ दिक्सूचक से किया जाता है।

समतल पटलन की चार विधियाँ
विधिक्या किया जाता हैकिस हेतु प्रयुक्त
विकिरणएक स्टेशन से किरणें खींची जाती हैं और उनके अनुदिश दूरियाँ मापी जाती हैंएक बिंदु से दिखने वाले छोटे क्षेत्र
प्रतिच्छेदनदो स्टेशनों से किसी बिंदु की ओर किरणें उसकी स्थिति पर कटती हैंअगम्य बिंदु, ऊबड़-खाबड़ भूमि
चंक्रमणपटल को स्टेशन-दर-स्टेशन ले जाया जाता है, हर बार पश्च-दृष्टि लेते हुएसड़कें, नाले, लंबी संकरी पट्टियाँ
पश्चच्छेदनपहले से आलेखित बिंदुओं की ओर दृष्टियों से पटल की अपनी स्थिति निकाली जाती है (द्वि-बिंदु व त्रि-बिंदु समस्याएँ)नए स्टेशन की शीघ्र स्थिति निकालना

4. तलमापन: प्रकार, लघुकरण व संशोधन

तलमापन किसी आधार-तल के सापेक्ष ऊँचाइयाँ निकालता है। डम्पी या स्वचालित तलमापी क्षैतिज दृष्टि-रेखा देता है, और उस पर अंशांकित दंड पढ़ा जाता है। स्थापना के बाद पहला पाठ ज्ञात तल वाले बिंदु (तलचिह्न, benchmark) पर पश्च दृष्टि (BS) है; हटने से पहले अंतिम अग्र दृष्टि (FS) है; बीच के पाठ मध्यवर्ती दृष्टियाँ (IS) हैं। जिस बिंदु पर FS व BS दोनों लिए जाएँ वह परिवर्तन बिंदु है। लघुकृत तल उपकरण-ऊँचाई विधि — HI = RL + BS, फिर RL = HI − FS (या − IS) — या चढ़ाव-उतार विधि से निकाले जाते हैं, जो पूर्ण अंकगणितीय जाँच देती है। दोनों ही प्रकार ΣBS − ΣFS = अंतिम RL − प्रथम RL। 100.000 m के तलचिह्न से 1.525 m का BS, HI = 101.525 m देता है, और 2.340 m का FS अगले बिंदु को 99.185 m पर रखता है।

तलमापन के प्रकार हैं सरल (एक स्थापना), अवकलीय (दूर बिंदुओं के बीच स्थापनाओं की शृंखला), उड़ान (fly) तलमापन (तलचिह्न तक वापस शीघ्र जाँच), नालिकाओं व बंडों हेतु परिच्छेदिका (अनुदैर्ध्य काट) व अनुप्रस्थ-काट तलमापन, नदी या घाटी के पार पारस्परिक तलमापन, तथा ऊर्ध्वाधर कोणों से त्रिकोणमितीय तलमापन। लंबी दृष्टियों पर तल-रेखा क्षैतिज से हट जाती है: वक्रता संशोधन −0.0785d² m और अपवर्तन संशोधन +0.0112d² m (वक्रता का सातवाँ भाग) है, जिससे d km में होने पर संयुक्त संशोधन −0.0673d² m मिलता है — 2 km पर 0.269 m। पारस्परिक तलमापन, दोनों तटों से पाठ लेकर औसत करते हुए, वक्रता, अपवर्तन (यदि दोनों बार वायु समान हो) और उपकरण की किसी भी संधान त्रुटि को निरस्त करता है।

🧠 संशोधन किस दिशा में जाता है
पृथ्वी क्षैतिज दृष्टि-रेखा से दूर मुड़ती है, अतः दंड अधिक पढ़ता है और वक्रता घटाई जाती है; अपवर्तन किरण को पृथ्वी की ओर नीचे मोड़ता है और उसका सातवाँ भाग लौटा देता है। अतः संयुक्त संशोधन सदा ऋणात्मक है।

5. समोच्च-रेखण, टोटल स्टेशन, GPS, तथा क्षेत्रफलों व आयतनों की गणना

समोच्च रेखा समान उन्नयन वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा है; समोच्च अंतराल क्रमिक समोच्च रेखाओं के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी है और नक्शे पर स्थिर होता है। समोच्च रेखाएँ स्वयं में बंद होती हैं, कभी नहीं कटतीं (लटकन को छोड़कर), तीखी ढालों पर पास-पास और धीमी ढालों पर दूर-दूर होती हैं, कटकों व घाटियों को समकोण पर काटती हैं, और घाटियों में ऊपर की ओर तथा कटकों पर नीचे की ओर इंगित V-आकार बनाती हैं। इनका सर्वेक्षण प्रत्यक्ष (खेत में प्रत्येक समोच्च पर बिंदु स्थित करके — धीमा पर यथार्थ) या अप्रत्यक्ष (जाल या त्रिज्य रेखाओं का तलमापन कर अंतर्वेशन से) होता है। समोच्च नक्शे समोच्च बंडों व ढलवाँ नालियों का संरेखण और तालाबों की क्षमता देते हैं।

टोटल स्टेशन इलेक्ट्रॉनिक थियोडोलाइट, EDM व आँकड़ा अभिलेखी को जोड़ता है: यह प्रिज़्म की ओर एक दृष्टि में क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर कोण तथा ढाल दूरी मापता है और सीधे निर्देशांक व उन्नयन निकालता है, जिससे विवरण व समोच्च सर्वेक्षण तेज़ व अंकीय हो जाते हैं। GPS (GNSS) उपग्रह दूरियों से त्रिपार्श्वीकरण द्वारा स्थिति निकालता है; चूँकि तीन निर्देशांकों के साथ अभिग्राही घड़ी भी अज्ञात है, त्रि-विमीय स्थिति हेतु कम से कम चार उपग्रह चाहिए। एकल अभिग्राही मीटरों तक यथार्थ है; ज्ञात स्थिति वाले आधार स्टेशन के सापेक्ष संशोधन करने वाले अवकलीय GPS व RTK सेंटीमीटरों तक पहुँचते हैं, जो भूमि समतलन व अभिन्यास हेतु पर्याप्त है।

क्षेत्रफलों व आयतनों की गणना
नियमसूत्र (समान अंतराल d)शर्त
समलंब (क्षेत्रफल)d[(O₁ + Oₙ)/2 + O₂ + … + Oₙ₋₁]कितने भी अंतर्लंब
सिम्पसन एक-तिहाई (क्षेत्रफल)(d/3)[(O₁ + Oₙ) + 4(सम-क्रमांकित) + 2(शेष विषम-क्रमांकित)]अंतर्लंबों की विषम संख्या
निर्देशांकA = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|ज्ञात निर्देशांकों वाला बंद चंक्रमण
समलंब (अंत-क्षेत्रफल) आयतनd[(A₁ + Aₙ)/2 + A₂ + … + Aₙ₋₁]अंतराल d पर अनुप्रस्थ-काट
प्रिज़्माभ आयतन(d/3)[(A₁ + Aₙ) + 4(सम-क्रमांकित) + 2(शेष विषम-क्रमांकित)]काटों की विषम संख्या

10 m अंतराल पर 3, 5, 6, 4 व 2 m के अंतर्लंबों हेतु सिम्पसन नियम (10/3)[(3 + 2) + 4(5 + 4) + 2(6)] = (10/3)(53) = 176.7 m² देता है, समलंब नियम के 175 m² के विरुद्ध; सिम्पसन परवलयिक चापों से बनी सीमा हेतु यथार्थ है और कोटियों की विषम संख्या चाहता है। 10 m अंतराल पर 20, 30 व 44 m² के अनुप्रस्थ-काट (10/3)(20 + 4 × 30 + 44) = 613.3 m³ का प्रिज़्माभ आयतन देते हैं।

मुख्य बिंदु

  • बहुत लंबी जरीब कम पढ़ती है: वास्तविक लंबाई = मापी गई × (वास्तविक जरीब लंबाई/नाममात्र लंबाई)।
  • पश्च दिक्मान = अग्र दिक्मान ± 180°; अक्षांतर = L cos θ, प्रस्थान = L sin θ; समापन त्रुटि = √(ΣL² + ΣD²)।
  • पश्चच्छेदन — द्वि- व त्रि-बिंदु समस्याएँ — आलेखित बिंदुओं से स्वयं समतल पटल की स्थिति निकालता है।
  • HI = RL + BS, RL = HI − FS; जाँच ΣBS − ΣFS = अंतिम RL − प्रथम RL; संयुक्त वक्रता व अपवर्तन = −0.0673d² m (d km में)।
  • सिम्पसन नियम व प्रिज़्माभ सूत्र को कोटियों या काटों की विषम संख्या चाहिए; GPS को त्रि-विमीय स्थिति हेतु चार उपग्रह चाहिए।

अभ्यास प्रश्न (12)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक रेखा का पूर्ण-वृत्त दिक्मान 210° है। उसका चतुर्थांश दिक्मान और उसका पश्च दिक्मान (पूर्ण-वृत्त दिक्मान के रूप में) हैं:

    1. S30°W and 30°
    2. S30°W and 390°
    3. N30°E and 30°
    4. S60°W and 30°
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — S30°W and 30°

    210° तीसरे चतुर्थांश में है, दक्षिण से पश्चिम की ओर 30° आगे, अतः QB = S30°W; पश्च दिक्मान 210° − 180° = 30° है। S60°W दक्षिण के बजाय पश्चिम से मापता है, और 390° यह भूल जाता है कि अग्र दिक्मान 180° से अधिक होने पर जोड़ने के बजाय घटाना है।

  2. एक तलमापी स्थापित कर 100.000 m लघुकृत तल वाले तलचिह्न पर 1.525 m की पश्च दृष्टि ली जाती है। फिर बिंदु A पर 2.340 m की अग्र दृष्टि ली जाती है। A का लघुकृत तल, m में (तीन दशमलव स्थानों तक), क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 99.185

    HI = 100.000 + 1.525 = 101.525 m; A का RL = 101.525 − 2.340 = 99.185 m। A तलचिह्न से नीचा है क्योंकि उसका दंड-पाठ अधिक है। अग्र दृष्टि जोड़ना (103.865 m) चिह्न परिपाटी उलट देता है।

  3. 2 km की दृष्टि हेतु वक्रता व अपवर्तन का संयुक्त संशोधन, m में (तीन दशमलव स्थानों तक, परिमाण के रूप में), क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.269

    संयुक्त संशोधन = 0.0673d² = 0.0673 × 2² = 0.2692 m, दंड-पाठ से घटाया गया। केवल वक्रता पद, 0.0785 × 4 = 0.314 m, लेना भूल जाता है कि अपवर्तन सातवाँ भाग लौटा देता है।

  4. 20 m जरीब से मापी गई एक रेखा 500 m दर्ज की गई। बाद में जरीब 0.1 m अधिक लंबी पाई गई। रेखा की वास्तविक लंबाई, m में, क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 502.5

    वास्तविक लंबाई = मापी गई × L′/L = 500 × 20.1/20 = 502.5 m। जरीब हर बार 20.1 m रखी गई जबकि 20 m गिनी गई, अतः वास्तविक दूरी अधिक है। 20/20.1 से गुणा करने पर 497.5 m आता है, उलटी दिशा में संशोधन।

  5. जरीब रेखा से अनियमित सीमा तक 10 m अंतराल पर 3, 5, 6, 4 व 2 m के अंतर्लंब लिए गए हैं। सिम्पसन एक-तिहाई नियम से जरीब रेखा व सीमा के बीच क्षेत्रफल, m² में (एक दशमलव स्थान तक), क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 176.7

    A = (d/3)[(O₁ + O₅) + 4(O₂ + O₄) + 2O₃] = (10/3)[5 + 4 × 9 + 2 × 6] = (10/3)(53) = 176.7 m²। समलंब नियम 175 m² देता है; भार 4 व 2 उलटने पर (10/3)(5 + 18 + 24) = 156.7 m² आता है।

  6. 100 m लंबी चंक्रमण रेखा का पूर्ण-वृत्त दिक्मान 60° है। उसका प्रस्थान, m में (एक दशमलव स्थान तक), क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 86.6

    प्रस्थान = L sin θ = 100 × sin 60° = 86.6 m (पूर्व की ओर); अक्षांतर = L cos θ = 50 m। साइन व कोसाइन उलटने पर प्रस्थान 50 m आता है, सामान्य भूल।

  7. एक बंद चंक्रमण में अक्षांतरों का योग +0.3 m और प्रस्थानों का योग −0.4 m है। समापन त्रुटि, m में, क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.5

    e = √((ΣL)² + (ΣD)²) = √(0.09 + 0.16) = √0.25 = 0.5 m। दोनों योगों को जोड़ना (−0.1) या उनके परिमाणों को (0.7) सदिश त्रुटि को अदिश मानना है।

  8. किसी तटबंध के तीन अनुप्रस्थ-काट, 10 m दूर, 20, 30 व 44 m² क्षेत्रफल के हैं। प्रिज़्माभ सूत्र से मिट्टी-कार्य का आयतन, m³ में (एक दशमलव स्थान तक), क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 613.3

    V = (d/3)[A₁ + 4A₂ + A₃] = (10/3)(20 + 120 + 44) = (10/3)(184) = 613.3 m³। अंत-क्षेत्रफल नियम 10[(20 + 44)/2 + 30] = 620 m³ देता है, थोड़ा अधिक, क्योंकि वह प्रिज़्माभ का अधि-आकलन करता है।

  9. समतल-पटल सर्वेक्षण में त्रि-बिंदु समस्या किसकी विधि है?

    1. पश्चच्छेदन — तीन आलेखित बिंदुओं से पटल का अपना स्टेशन स्थित करना
    2. प्रतिच्छेदन — तीन स्टेशनों से किसी अगम्य बिंदु को स्थित करना
    3. तीन किरणों से विकिरण
    4. तीन स्टेशनों के बीच चंक्रमण
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पश्चच्छेदन — तीन आलेखित बिंदुओं से पटल का अपना स्टेशन स्थित करना

    त्रि-बिंदु समस्या कागज़ पर पहले से स्थित तीन बिंदुओं की ओर दृष्टियों से यह निकालती है कि पटल कहाँ खड़ा है, और उसे अभिविन्यस्त करती है — पश्चच्छेदन। प्रतिच्छेदन ज्ञात स्टेशनों से किसी दूर बिंदु को स्थिर करता है, उलटी स्थिति।

  10. त्रि-विमीय स्थिति निकालने हेतु GPS अभिग्राही को न्यूनतम कितने उपग्रह चाहिए?

    1. 3
    2. 4
    3. 5
    4. 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4

    चार अज्ञात हैं — तीन निर्देशांक और अभिग्राही घड़ी का विचलन — अतः चार उपग्रह दूरियाँ चाहिए। तीन तभी पर्याप्त होते जब घड़ी पूर्ण होती, जो कम लागत के अभिग्राही में नहीं होती।

  11. चौड़ी नदी के पार पारस्परिक तलमापन किन त्रुटियों को निरस्त करता है?

    1. पृथ्वी की वक्रता
    2. वायुमंडलीय अपवर्तन, यदि दोनों पाठ-समुच्चयों हेतु दशाएँ समान हों
    3. संधान-रेखा का अपूर्ण समायोजन
    4. दंड का ग़लत पाठ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पृथ्वी की वक्रता; B — वायुमंडलीय अपवर्तन, यदि दोनों पाठ-समुच्चयों हेतु दशाएँ समान हों; C — संधान-रेखा का अपूर्ण समायोजन

    दोनों तटों से पाठ लेने पर वक्रता, अपवर्तन व संधान त्रुटियाँ विपरीत चिह्नों के साथ आती हैं, अतः दोनों आभासी अंतरों का माध्य वास्तविक अंतर है। दंड का ग़लत पाठ एक भूल है जिसे उपकरण की कोई व्यवस्था निरस्त नहीं करती।

  12. छह भुजाओं वाले बंद चंक्रमण के आंतरिक कोणों का योग, अंशों में, क्या होना चाहिए?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 720

    योग = (2n − 4) × 90° = (12 − 4) × 90° = 720°। बाहरी कोणों का योग (2n + 4) × 90° = 1440° होता; 360° लेना चंक्रमण को विक्षेप कोणों से भ्रमित करना है, जिनका बीजीय योग 360° है।