मृदा एवं जल संरक्षण हेतु तरल यांत्रिकी व मृदा यांत्रिकी
2. सांतत्य, प्रवाह की शुद्धगतिकी व गतिकी, बर्नूली प्रमेय व नली प्रवाह
प्रवाह स्थायी या अस्थायी, एकसमान या असमान होता है, और धारा-रेखाओं से चित्रित किया जाता है। नाली में असंपीड्य प्रवाह हेतु द्रव्यमान संरक्षण सांतत्य समीकरण A₁V₁ = A₂V₂ = Q है। स्थायी, असंपीड्य, घर्षण-रहित प्रवाह की धारा-रेखा के अनुदिश प्रति इकाई भार ऊर्जा संरक्षित रहती है: p/(ρg) + V²/(2g) + z = स्थिरांक — बर्नूली प्रमेय, जिसके तीन पद दाब, वेग व उन्नयन शीर्ष हैं। वास्तविक तरल हेतु दो काटों के बीच शीर्ष-हानि पद h_L जोड़ा जाता है; वेंचुरीमीटर व द्वारक मीटर नली प्रवाह मापने हेतु निस्सरण गुणांक सहित बर्नूली प्रयोग करते हैं, और पिटो नली वेग शीर्ष सीधे पढ़ती है।
नली प्रवाह स्तरीय है या विक्षुब्ध, यह रेनॉल्ड्स संख्या Re = ρVD/μ = VD/ν तय करती है: लगभग 2000 से नीचे स्तरीय, लगभग 4000 से ऊपर विक्षुब्ध, बीच में संक्रमणकालीन। लंबाई L व व्यास D की नली में घर्षण से खोया शीर्ष डार्सी–वाइसबाख समीकरण h_f = fLV²/(2gD) से मिलता है, जहाँ घर्षण गुणांक स्तरीय प्रवाह में f = 64/Re है और विक्षुब्ध प्रवाह में Re व सापेक्ष खुरदरापन पर निर्भर है (मूडी आरेख)। f = 0.02, L = 100 m, D = 0.1 m व V = 2 m/s हेतु h_f = 0.02 × 1000 × 4/19.62 = 4.08 m। आनुभविक हेज़न–विलियम्स समीकरण, SI इकाइयों में V = 0.849 C R^0.63 S^0.54 (R जलीय त्रिज्या, S घर्षण ढाल, C खुरदरापन गुणांक जो चिकनी नलियों हेतु अधिक है), दाब पाइपलाइनों में जल हेतु प्रयुक्त होता है और सिंचाई मुख्य नलियों के अभिकल्प का सामान्य आधार है।
3. द्वारक, बंधिकाएँ व खाँच, खुली नालिकाएँ व विमीय विश्लेषण
| संरचना | निस्सरण | शीर्ष निर्भरता |
|---|---|---|
| शीर्ष H के नीचे छोटा द्वारक | Q = C_d a √(2gH) | H^(1/2) |
| शिखर लंबाई L की आयताकार बंधिका | Q = (2/3) C_d L √(2g) H^(3/2) | H^(3/2) |
| कोण θ का त्रिकोणीय (V) खाँच | Q = (8/15) C_d tan(θ/2) √(2g) H^(5/2) | H^(5/2) |
| सिपोलेटी (समलंबी, पार्श्व ढाल 1 क्षैतिज : 4 ऊर्ध्वाधर) | बिना अंत-संकुचन वाली आयताकार बंधिका की भाँति | H^(3/2) |
छोटे खेत-प्रवाहों हेतु V-खाँच पसंद किया जाता है क्योंकि उसका निस्सरण H^(5/2) के अनुसार बढ़ता है, अतः छोटा प्रवाह भी पढ़ने योग्य शीर्ष देता है। C_d = 0.6 व H = 0.2 m वाले 90° खाँच हेतु Q = (8/15)(0.6)(1)(4.429)(0.2)^2.5 = 0.0254 m³/s = 25.4 L/s। एकसमान प्रवाह के अंतर्गत खुली नालिकाओं में मैनिंग समीकरण V = (1/n)R^(2/3)S^(1/2) (और शेज़ी का V = C√(RS)) वेग को जलीय त्रिज्या R = A/P, तल ढाल S व खुरदरापन n से जोड़ता है; n = 0.025, R = 0.5 m व S = 0.0004 हेतु V = 40 × 0.630 × 0.02 = 0.504 m/s। फ्रूड संख्या Fr = V/√(gy) उपक्रांतिक (Fr < 1) को अतिक्रांतिक (Fr > 1) प्रवाह से अलग करती है।
विमीय विश्लेषण (बकिंघम π प्रमेय: m मूल विमाओं में n चर, n − m स्वतंत्र विमाहीन समूह बनाते हैं) और समरूपता एक प्रतिरूप को मूलरूप का प्रतिनिधि बनाने देते हैं। समरूपता ज्यामितीय (सभी लंबाइयाँ एक अनुपात में), शुद्धगतिक (वेग एक अनुपात में) और गतिक (बल-अनुपात बराबर) होती है, और गतिक समरूपता नियामक विमाहीन संख्या मिलाकर प्राप्त की जाती है — जहाँ श्यानता प्रभावी हो वहाँ रेनॉल्ड्स संख्या (नलियाँ), जहाँ गुरुत्व प्रभावी हो वहाँ फ्रूड संख्या (उत्प्लव-मार्ग, नालिकाएँ), और जहाँ पृष्ठ तनाव, दाब या संपीड्यता हों वहाँ वेबर, ऑयलर व मैक संख्याएँ।
4. मृदाओं के अभियांत्रिक व सूचक गुण, पारगम्यता व अंतःस्रवण
मृदा ठोस, जल व वायु का त्रि-प्रावस्था तंत्र है। परिभाषाएँ: रिक्ति अनुपात e = V_v/V_s; सरंध्रता n = V_v/V = e/(1 + e); जल अंश w = W_w/W_s (शुष्क भार पर); संतृप्ति की कोटि S = V_w/V_v; ठोसों का विशिष्ट गुरुत्व G। ये Se = wG से और इकाई भारों γ_d = Gγ_w/(1 + e) = γ/(1 + w) व γ_sat = (G + e)γ_w/(1 + e) से जुड़े हैं। G = 2.7 के साथ w = 20 प्रतिशत पर संतृप्त मृदा का e = 0.54 है; w = 20 प्रतिशत पर 19.2 kN/m³ स्थूल इकाई भार वाली मृदा का γ_d = 16.0 kN/m³ है।
सूचक गुण मृदा का वर्गीकरण करते हैं: कण-आकार वितरण (छलनी व हाइड्रोमीटर विश्लेषण; एकरूपता व वक्रता गुणांक), और महीन मृदाओं हेतु ऐटरबर्ग सीमाएँ — द्रव सीमा LL, सुघट्य सीमा PL, संकुचन सीमा — तथा सुघट्यता सूचकांक PI = LL − PL। मृदा में जल डार्सी नियम v = ki (k पारगम्यता गुणांक, i जलीय प्रवणता) से चलता है, और k प्रयोगशाला में मोटी मृदाओं हेतु स्थिर-शीर्ष परीक्षण k = QL/(Aht) और महीन मृदाओं हेतु गिरते-शीर्ष परीक्षण k = (aL/(At)) ln(h₁/h₂) से मापा जाता है। संरचना के नीचे अंतःस्रवण प्रवाह-जाल से हल किया जाता है: प्रति इकाई चौड़ाई q = kH N_f/N_d, N_f प्रवाह नालिकाएँ व N_d समविभव पात। जहाँ अंतःस्रवण ऊपर की ओर बहता है, वहाँ क्रांतिक जलीय प्रवणता i_c = (G − 1)/(1 + e), अधिकांश मृदाओं हेतु लगभग 1, पर प्रभावी प्रतिबल शून्य हो जाता है — वह तीव्र-बालू (उबलती) दशा जो बाँधों व पात-संरचनाओं के पाद को खोखला करती है।
5. संहनन, अपरूपण सामर्थ्य, मृदा दाब, ढलान स्थायित्व व समेकन
संहनन वायु निकालकर मृदा को सघन करता है। प्रॉक्टर परीक्षण मानक साँचे में मानक दुरमुस व प्रहारों की मानक संख्या से जल अंशों की एक शृंखला पर मृदा को संहनित करता है; शुष्क घनत्व बढ़कर शिखर, अधिकतम शुष्क घनत्व, पर इष्टतम नमी अंश (OMC) पर पहुँचता है, फिर घटता है क्योंकि जल ठोसों का स्थान लेता है। वक्र शून्य-वायु-रिक्ति रेखा γ_d = Gγ_w/(1 + wG) के नीचे रहता है, जिसके निकट वह पहुँच सकता है पर कभी पार नहीं करता। अधिक संहनन प्रयास (संशोधित परीक्षण) अधिकतम शुष्क घनत्व बढ़ाता है और OMC घटाता है। मिट्टी के बाँधों व खेत-तालाब तटबंधों को इष्टतम के निकट नमी पर प्रॉक्टर अधिकतम शुष्क घनत्व के प्रतिशत के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।
अपरूपण सामर्थ्य मोर–कूलॉम नियम τ_f = c + σ tan φ का पालन करती है (प्रभावी-प्रतिबल पदों में c′ व φ′)। प्रतिबल के मोर वृत्त पर विफलता आवरण विफलता पर वृत्त को स्पर्श करता है, और विफलता तल मुख्य प्रधान तल से 45° + φ/2 पर झुका होता है; संसंजनहीन मृदा हेतु σ₁ = σ₃ tan²(45° + φ/2)। रैंकिन मृदा दाब गुणांक सक्रिय स्थिति (दीवार मृदा से दूर जाती हुई) हेतु K_a = (1 − sin φ)/(1 + sin φ) = tan²(45° − φ/2) और निष्क्रिय स्थिति हेतु K_p = 1/K_a हैं; शुष्क संसंजनहीन मृदा में H ऊँचाई की चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार पर सक्रिय धक्का P_a = ½K_aγH² है, जो आधार से H/3 ऊपर कार्य करता है। φ = 30° हेतु K_a = 1/3, और 18 kN/m³ मृदा रोकती 6 m दीवार P_a = 108 kN प्रति मीटर वहन करती है। शुष्क संसंजनहीन मृदा के अनंत ढलान का सुरक्षा गुणक FS = tan φ/tan β है, गहराई से स्वतंत्र।
टरज़ागी का एक-विमीय समेकन भार के अंतर्गत जल निचोड़ती संतृप्त मृत्तिका का वर्णन करता है। समय गुणक T_v = c_v t/d² है, d अपवाह पथ — द्वि-अपवाह हेतु परत-मोटाई का आधा, एकल अपवाह हेतु पूरी मोटाई — और समेकन की औसत कोटि U, लगभग 60 प्रतिशत तक, T_v = (π/4)U² से T_v से जुड़ी है। दोनों फलकों पर अपवाहित (d = 2 m) 4 m मृत्तिका परत, c_v = 1.0 m²/वर्ष के साथ, t = (π/4)(0.25)(4)/1.0 = 0.785 वर्ष पर 50 प्रतिशत समेकन पर पहुँचती है। सामान्य समेकित मृत्तिका का अंतिम निपटान S = C_cH/(1 + e₀) log₁₀((σ₀′ + Δσ)/σ₀′) है।
मुख्य बिंदु
- समतल सतह पर बल ρgAh̄ है और दाब केंद्र h̄ + I_G/(Ah̄) पर, केंद्रक से नीचे, कार्य करता है।
- डार्सी–वाइसबाख h_f = fLV²/(2gD), स्तरीय प्रवाह में f = 64/Re; हेज़न–विलियम्स जल मुख्य नलियों हेतु आनुभविक अभिकल्प सूत्र है।
- द्वारक Q ∝ H^(1/2), आयताकार बंधिका ∝ H^(3/2), V-खाँच ∝ H^(5/2); मैनिंग V = (1/n)R^(2/3)S^(1/2)।
- Se = wG व γ_d = γ/(1 + w) अधिकांश प्रावस्था-संबंध प्रश्न ढोते हैं; गिरता-शीर्ष k प्राकृतिक लघुगणक लेता है।
- K_a = (1 − sin φ)/(1 + sin φ), P_a = ½K_aγH²; अनंत शुष्क ढलान FS = tan φ/tan β; T_v = c_v t/d², d अपवाह पथ।
अभ्यास प्रश्न (13)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
0.1 m व्यास व 100 m लंबी नली में 0.02 डार्सी घर्षण गुणांक के साथ जल 2 m/s से बहता है। घर्षण के कारण शीर्ष-हानि, m में (दो दशमलव स्थानों तक), क्या है? g = 9.81 m/s² लें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4.08
h_f = fLV²/(2gD) = 0.02 × 100 × 2²/(2 × 9.81 × 0.1) = 8/1.962 = 4.08 m। 2g छोड़ने पर 80 m आता है; f = 0.02 के साथ फ़ैनिंग गुणांक परिपाटी (4f) लेने पर हानि चार गुना आती।1600 रेनॉल्ड्स संख्या पर नली में स्तरीय प्रवाह हेतु डार्सी घर्षण गुणांक क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.04
स्तरीय (हेगन–पॉइज़ुई) प्रवाह में f = 64/Re = 64/1600 = 0.04, खुरदरेपन से स्वतंत्र। 16/Re = 0.01 फ़ैनिंग गुणांक है, डार्सी मान का चौथाई, और सामान्य जाल है।0.6 निस्सरण गुणांक वाला 90° V-खाँच 0.2 m शीर्ष के अंतर्गत चलता है। निस्सरण, L/s में (एक दशमलव स्थान तक), क्या है? g = 9.81 m/s² लें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 25.4
Q = (8/15)C_d tan(θ/2)√(2g)H^(5/2) = 0.5333 × 0.6 × 1 × 4.429 × 0.2^2.5। 0.2^2.5 = 0.01789 के साथ Q = 0.02536 m³/s = 25.4 L/s। आयताकार-बंधिका घातांक 3/2 लेने पर बहुत भिन्न संख्या आती है, और tan(θ/2) के स्थान पर tan θ, 90° पर अपरिभाषित है।एक नालिका का मैनिंग n = 0.025, जलीय त्रिज्या 0.5 m व तल ढाल 0.0004 है। एकसमान प्रवाह में माध्य वेग, m/s में (तीन दशमलव स्थानों तक), क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.504
V = (1/n)R^(2/3)S^(1/2) = 40 × 0.5^(2/3) × 0.02 = 40 × 0.6300 × 0.02 = 0.504 m/s। घातांक उलटने (R^(1/2)S^(2/3)) पर 0.154 m/s, और ढाल का वर्गमूल भूलने पर 0.0101 m/s आता है।एक संतृप्त मृदा का जल अंश 20 प्रतिशत और ठोसों का विशिष्ट गुरुत्व 2.7 है। उसका रिक्ति अनुपात क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.54
S = 1 के साथ Se = wG, e = 0.20 × 2.7 = 0.54 देता है। इसके बजाय सरंध्रता संबंध n = e/(1 + e) = 0.35 भिन्न प्रश्न का उत्तर है; w = 20 (0.20 नहीं) रखने पर 54 आता है।एक मृदा का 20 प्रतिशत जल अंश पर स्थूल इकाई भार 19.2 kN/m³ है। उसका शुष्क इकाई भार, kN/m³ में, क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 16
γ_d = γ/(1 + w) = 19.2/1.20 = 16.0 kN/m³। 20 प्रतिशत घटाना (19.2 × 0.8 = 15.36) जल अंश को कुल भार का अंश मानता है, परंतु w शुष्क भार पर मापा जाता है।गिरते-शीर्ष पारगम्यता परीक्षण में स्टैंडपाइप क्षेत्रफल 1 cm², नमूना क्षेत्रफल 50 cm² व नमूना लंबाई 10 cm है। शीर्ष 600 s में 60 cm से 30 cm गिरता है। पारगम्यता गुणांक, 10⁻⁴ cm/s की इकाइयों में (दो दशमलव स्थानों तक), क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2.31
k = (aL/(At)) ln(h₁/h₂) = (1 × 10/(50 × 600)) × ln 2 = 3.333 × 10⁻⁴ × 0.6931 = 2.31 × 10⁻⁴ cm/s। 2.303 गुणक के बिना log₁₀ लेने पर 1.00 × 10⁻⁴ आता है, पारंपरिक भूल।6 m ऊँची चिकनी ऊर्ध्वाधर प्रतिधारक दीवार 18 kN/m³ इकाई भार व 30° आंतरिक घर्षण कोण वाली शुष्क संसंजनहीन मृदा रोकती है। रैंकिन सिद्धांत से दीवार की प्रति मीटर लंबाई पर कुल सक्रिय धक्का, kN में, क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 108
K_a = (1 − sin 30°)/(1 + sin 30°) = 0.5/1.5 = 1/3। P_a = ½K_aγH² = 0.5 × (1/3) × 18 × 36 = 108 kN/m, आधार से 2 m ऊपर कार्यरत। K_p = 3 लेने पर निष्क्रिय प्रतिरोध 972 kN/m आता है, नौ गुना।4 m मोटी मृत्तिका परत अपने शीर्ष व तल दोनों पर अपवाहित है और उसका समेकन गुणांक 1.0 m²/वर्ष है। T_v = (π/4)U² प्रयोग करते हुए, 50 प्रतिशत औसत समेकन तक पहुँचने में कितना समय लगता है, वर्षों में (तीन दशमलव स्थानों तक)?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.785
T_v = (π/4)(0.5)² = 0.1963। द्वि-अपवाह के साथ d = 4/2 = 2 m, अतः t = T_v d²/c_v = 0.1963 × 4/1.0 = 0.785 वर्ष। d को पूरे 4 m लेने पर 3.14 वर्ष, और 0.5 के बजाय U = 50 लेने पर निरर्थक परिणाम आता है।35° आंतरिक घर्षण कोण वाली शुष्क संसंजनहीन मृदा का एक अनंत ढलान क्षैतिज से 25° पर खड़ा है। फिसलन के विरुद्ध उसका सुरक्षा गुणक (एक दशमलव स्थान तक) क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1.5
FS = tan φ/tan β = tan 35°/tan 25° = 0.7002/0.4663 = 1.50, प्रत्येक गहराई पर समान। स्वयं कोणों का अनुपात (35/25 = 1.4) लेना लुभावना छोटा मार्ग है और ग़लत है।2 m चौड़ा व 3 m ऊँचा ऊर्ध्वाधर आयताकार द्वार जल रोकता है, उसका ऊपरी किनारा जल सतह पर है। परिणामी द्रवस्थैतिक बल सतह से कितनी गहराई पर कार्य करता है, m में?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2
h̄ = 1.5 m, A = 6 m², I_G = bd³/12 = 2 × 27/12 = 4.5 m⁴। h_cp = h̄ + I_G/(Ah̄) = 1.5 + 4.5/(6 × 1.5) = 1.5 + 0.5 = 2.0 m, अर्थात् ऊँचाई का दो-तिहाई। 1.5 m उत्तर देना बल को केंद्रक पर रखता है, यह भूलते हुए कि दाब गहराई के साथ बढ़ता है।दो बिंदुओं के बीच बर्नूली समीकरण को सरल रूप p/(ρg) + V²/(2g) + z = स्थिरांक में लगाने की शर्तें निम्न में से कौन-सी हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्रवाह स्थायी है; B — तरल असंपीड्य है; C — घर्षण हानियाँ नगण्य हैं
सरल बर्नूली समीकरण बीच में किसी मशीन के बिना, धारा-रेखा के अनुदिश स्थायी, असंपीड्य, घर्षण-रहित प्रवाह मानता है। स्तरीय प्रवाह आवश्यक नहीं — वस्तुतः स्तरीय प्रवाह पर श्यानता का प्रभुत्व है, ठीक वही जिसे समीकरण उपेक्षित करता है, अतः चौथा विकल्प असत्य है।साफ़ काँच की नली में जल का केशिका उन्नयन है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — नली के व्यास के व्युत्क्रमानुपाती
h = 4σ cos θ/(ρgd): व्यास आधा करने पर उन्नयन दोगुना होता है, इसीलिए सबसे संकरे छिद्रों वाली महीन-गठन मृदाओं में केशिका जल सबसे ऊँचा चढ़ता है। "अनुक्रमानुपाती" विकल्प निर्भरता उलट देता है।