द्रव्य के ऊष्मीय गुण — प्रसार, ऊष्मामिति, चालन व विकिरण

ऊष्मागतिकी का अध्याय गैस में ऊर्जा का अनुसरण करता है; यह अध्याय साधारण द्रव्य में ऊष्मा का। चार विचार इसे वहन करते हैं: गर्म करने पर पिंड बढ़ते हैं, और एक पूर्वानुमेय अंश से; मिश्रण में एक पिंड द्वारा खोई ऊष्मा दूसरे द्वारा पाई ऊष्मा है, और अवस्था-परिवर्तन नियत ताप पर अपना भाग लेते हैं; पट्टिका से ऊष्मा तापांतर के अनुपात में बहती है, ठीक वैसे जैसे प्रतिरोधक से धारा; और प्रत्येक पृष्ठ विकिरण करता है, ऐसी दर से जो उसके परम ताप की चौथी घात के साथ बढ़ती है। प्रत्येक विचार एक समीकरण है, और कठिन प्रश्न इनमें से दो को जोड़ने से बनते हैं — ऐसी छड़ जो चालन भी करे और विकिरण भी, ऐसा मिश्रण जिसमें शायद सारी बर्फ़ न पिघले।

ऊष्मीय प्रसार — प्रति केल्विन एक नियत अंश

छड़ को गर्म कीजिए और उसके परमाणु थोड़ी अधिक दूर स्थितियों के परितः कंपन करने लगते हैं, क्योंकि अंतरापरमाणुक विभव संपीडन की ओर खिंचाव की ओर से अधिक तीव्र है। परिणाम, छोटे ताप-परिवर्तनों हेतु, लंबाई में ऐसा परिवर्तन है जो लंबाई और ताप-वृद्धि दोनों के समानुपाती है: ΔL = αL ΔT, जहाँ α रैखिक प्रसार गुणांक है। क्षेत्रफल ΔA = βA ΔT और आयतन ΔV = γV ΔT के अनुसार बढ़ता है। समदैशिक ठोस में हर दिशा समान फैलती है, अतः प्रथम कोटि तक β = 2α और γ = 3α — भुजा L का घन L³(1 + αΔT)³ ≈ L³(1 + 3αΔT) हो जाता है।

दो परिणाम बार-बार पूछे जाते हैं। छिद्र ऐसे फैलता है मानो वह आसपास के पदार्थ से बना हो — वृत्ताकार छिद्र वाली गर्म प्लेट का छिद्र बड़ा होता है, छोटा नहीं, क्योंकि प्लेट की हर लंबाई, छिद्र के व्यास सहित, एक ही गुणक से बढ़ती है। और फैलने से रोकी गई छड़ में संपीडक ऊष्मीय प्रतिबल उत्पन्न होता है: उसे जो विकृति नहीं मिलती वह αΔT है, अतः प्रतिबल Y α ΔT है, छड़ की लंबाई या अनुप्रस्थ-काट से स्वतंत्र।

⚠️ 0 °C और 4 °C के बीच जल
जल 0 °C से 4 °C तक गर्म करने पर सिकुड़ता है और लगभग 4 °C पर सबसे सघन होता है। इसीलिए झील ऊपर से जमती है: 4 °C का जल नीचे बैठता है और ठंडा, हल्का जल सतह पर रहकर जमता है। हिमांक के निकट जल हेतु "गर्म यानी बड़ा" मानने वाला कोई भी प्रश्न आपको फँसाने के लिए है।

ऊष्मामिति व गुप्त ऊष्मा — खोई ऊष्मा बराबर पाई ऊष्मा

अवस्था-परिवर्तन के बिना द्रव्यमान m का ताप ΔT बढ़ाने में Q = m c ΔT लगता है, जहाँ c विशिष्ट ऊष्मा-धारिता है। अवस्था-परिवर्तन नियत ताप पर Q = m L लेता है, जहाँ L गुप्त ऊष्मा है — बर्फ़ पिघलाने हेतु 80 cal g⁻¹ (लगभग 336 J g⁻¹) और जल उबालने हेतु लगभग 540 cal g⁻¹। ऊष्मारोधी मिश्रण में ऊष्मामिति का सिद्धांत कहता है कि गर्म भागों द्वारा दी गई ऊष्मा ठंडे भागों द्वारा ली गई ऊष्मा के बराबर है।

🎯 हल किया तर्क: एक समीकरण लिखने से पहले अवस्था-परिवर्तन जाँचें
0 °C की 50 g बर्फ़ को 30 °C के 100 g जल में मिलाइए। एक ही अंतिम ताप T वाला एक समीकरण लिखने पर 50 × 80 + 50 × T = 100 × (30 − T), अतः T = −6.7 °C — असंभव, क्योंकि बर्फ़-जल 0 °C से नीचे नहीं हो सकता। ईमानदार विधि पहले बजट की तुलना है: जल 0 °C तक ठंडा होकर अधिकतम 100 × 30 = 3000 cal दे सकता है, जबकि सारी बर्फ़ पिघलाने हेतु 4000 cal चाहिए। अतः मिश्रण 0 °C पर रुकता है, 3000/80 = 37.5 g पिघलती है और 12.5 g बर्फ़ बचती है। ऋणात्मक या असंभव उत्तर विधि बदलने का संकेत है, उसे लिख देने का नहीं।

चालन — ऊष्मा-प्रवाह धारा की तरह व्यवहार करता है

मोटाई L, क्षेत्रफल A और ऊष्मा-चालकता k वाली पट्टिका से, जिसके फलक T₁ और T₂ पर रखे हों, ऊष्मा-प्रवाह की स्थायी दर H = dQ/dt = kA(T₁ − T₂)/L है (फ़ूरिये नियम)। इसे ओम नियम की तरह पढ़िए: तापांतर "वोल्टता" है, H "धारा" है, और R_th = L/(kA) ऊष्मीय प्रतिरोध है। एक के बाद एक पट्टिकाएँ श्रेणी प्रतिरोधकों की तरह जुड़ती हैं (प्रत्येक से समान H); साथ-साथ पट्टिकाएँ समांतर प्रतिरोधकों की तरह (प्रत्येक पर समान ΔT)।

ऊष्मीय–वैद्युत सादृश्य
ऊष्मा चालनविद्युत परिपथ
तापांतर ΔTविभवांतर ΔV
ऊष्मा-धारा Hविद्युत धारा I
R_th = L/(kA)R = ρL/A = L/(σA)
दो पट्टिकाओं के बीच संधि-तापदो प्रतिरोधकों के बीच नोड का विभव
🎯 हल किया तर्क: संधि-ताप
समान लंबाई व क्षेत्रफल की दो छड़ें, चालकताएँ 2k और k, सिरे से सिरा जोड़ी गई हैं; बेहतर चालक का मुक्त सिरा 100 °C पर और दूसरा 0 °C पर है। श्रेणी में दोनों से समान H बहता है, अतः 2k(100 − T) = k(T − 0), जिससे T = 200/3 ≈ 66.7 °C। संधि गर्म सिरे के निकट है, क्योंकि बेहतर चालक को समान ऊष्मा वहन करने हेतु कम ताप-पतन चाहिए — ठीक वैसे जैसे छोटा प्रतिरोधक वोल्टता का छोटा भाग लेता है।

संवहन, विकिरण व न्यूटन का शीतलन नियम

संवहन तरल की स्थूल गति से ऊष्मा ले जाता है — गर्म तरल कम सघन होकर ऊपर उठता है — अतः इसे गुरुत्व और तरल चाहिए, और इसका केवल गुणात्मक अध्ययन होता है। विकिरण को किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं। परम ताप T, पृष्ठ-क्षेत्रफल A और उत्सर्जकता e वाला पिंड शक्ति P = eσAT⁴ विकिरित करता है (स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान नियम, σ = 5.67 × 10⁻⁸ W m⁻² K⁻⁴), और T₀ ताप के परिवेश में वह eσAT₀⁴ अवशोषित करता है, अतः नेट हानि eσA(T⁴ − T₀⁴) है। पूर्ण कृष्णिका का e = 1।

किरखॉफ़ नियम: किसी दिए ताप व तरंगदैर्घ्य पर उत्सर्जन-क्षमता और अवशोषण-क्षमता का अनुपात हर पिंड हेतु समान है और कृष्णिका की उत्सर्जन-क्षमता के बराबर है — अतः अच्छा अवशोषक अच्छा उत्सर्जक होता है। वीन विस्थापन नियम: कृष्णिका-स्पेक्ट्रम जिस तरंगदैर्घ्य पर शिखर पर होता है वह ताप के व्युत्क्रम खिसकता है, λ_max T = b ≈ 2.9 × 10⁻³ m K; लगभग 5800 K का पृष्ठ 500 nm के निकट शिखर देता है। न्यूटन का शीतलन नियम: कम अतिरिक्त ताप हेतु शीतलन-दर परिवेश से अधिकता के समानुपाती है, dT/dt = −k(T − T₀), अतः अधिकता चरघातांकी रूप से घटती है, (T − T₀) = (T₁ − T₀)e^(−kt)।

⚠️ T⁴ के भीतर सदा केल्विन
ताप को 27 °C से 54 °C करना विकिरित शक्ति को 16 गुना नहीं करता: केल्विन में यह 300 K से 327 K है, गुणक (327/300)⁴ ≈ 1.41। स्टीफ़न और वीन नियमों में केवल परम ताप आता है। सेल्सियस वहीं सुरक्षित है जहाँ ताप का अंतर आता है, जैसे चालन और न्यूटन नियम में।

मुख्य बिंदु

  • ΔL = αLΔT, और समदैशिक ठोस हेतु β = 2α व γ = 3α; गर्म प्लेट का छिद्र बढ़ता है, और जकड़ी छड़ पर ऊष्मीय प्रतिबल YαΔT लगता है।
  • ऊष्मामिति में एक-ताप समीकरण लिखने से पहले ऊष्मा-बजट की तुलना करें; यदि सारी बर्फ़ नहीं पिघल सकती, तो मिश्रण 0 °C पर रहता है।
  • चालन छद्म रूप में ओम नियम है: H = ΔT/R_th, जहाँ R_th = L/(kA), और श्रेणी व समांतर पट्टिकाएँ प्रतिरोधकों की तरह जुड़ती हैं।
  • विकिरित शक्ति eσAT⁴ है, T केल्विन में; अच्छे अवशोषक अच्छे उत्सर्जक हैं; λ_max T ≈ 2.9 × 10⁻³ m K।
  • न्यूटन का शीतलन नियम अतिरिक्त ताप को चरघातांकी रूप से घटाता है; समान समय अधिकता को समान गुणकों से घटाते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक समदैशिक ठोस का रैखिक प्रसार गुणांक α है। प्रथम कोटि तक इसका आयतन प्रसार गुणांक है:

    1. 3α
    2. α
    3. 2α
    4. α³
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 3α

    तीनों विमाओं में से प्रत्येक (1 + αΔT) गुणक से बढ़ती है, अतः आयतन (1 + αΔT)³ ≈ 1 + 3αΔT से बढ़ता है, जिससे γ = 3α। 2α क्षेत्रफल गुणांक β है, और α³ वृद्धि-गुणक के स्थान पर गुणांक का घन लेता है — एक छोटी संख्या को और बहुत छोटा कर देता है।

  2. एक इस्पात की छड़ दो दीवारों के बीच दृढ़ता से जकड़ी है और 50 K गर्म की जाती है। Y = 2 × 10¹¹ Pa और α = 1.2 × 10⁻⁵ K⁻¹ के साथ छड़ में ऊष्मीय प्रतिबल है:

    1. 2.4 × 10⁶ Pa
    2. 1.2 × 10⁸ Pa
    3. 6 × 10⁻⁴ Pa
    4. यह छड़ की लंबाई पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1.2 × 10⁸ Pa

    रोकी गई विकृति αΔT = 1.2 × 10⁻⁵ × 50 = 6 × 10⁻⁴ है, अतः प्रतिबल Y αΔT = 2 × 10¹¹ × 6 × 10⁻⁴ = 1.2 × 10⁸ Pa। लंबाई कट जाती है — लंबी छड़ अधिक फैलती, पर प्रतिबल विकृति, एक अनुपात, तय करती है। 6 × 10⁻⁴ स्वयं विकृति है, प्रतिबल नहीं।

  3. नगण्य ऊष्मा-धारिता वाले ऊष्मारोधी पात्र में 60 °C का 100 g जल 30 °C के 50 g जल से मिलाया जाता है। अंतिम ताप है:

    1. 45 °C
    2. 40 °C
    3. 50 °C
    4. 55 °C
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 50 °C

    खोई ऊष्मा = पाई ऊष्मा: 100(60 − T) = 50(T − 30), अतः 6000 + 1500 = 150T और T = 50 °C — द्रव्यमान-भारित माध्य। 45 °C दोनों तापों का साधारण औसत है, जो केवल समान द्रव्यमानों हेतु सही होता।

  4. c(बर्फ़) = 0.5 cal g⁻¹ °C⁻¹, L(गलन) = 80 cal g⁻¹ और c(जल) = 1 cal g⁻¹ °C⁻¹ के साथ, −10 °C की 10 g बर्फ़ को 20 °C के जल में बदलने हेतु आवश्यक ऊष्मा है:

    1. 1000 cal
    2. 300 cal
    3. 1100 cal
    4. 1050 cal
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 1050 cal

    तीन चरण: बर्फ़ को 0 °C तक गर्म करना, 10 × 0.5 × 10 = 50 cal; पिघलाना, 10 × 80 = 800 cal; जल को 20 °C तक गर्म करना, 10 × 1 × 20 = 200 cal। कुल 1050 cal। बर्फ़ वाले चरण में जल की विशिष्ट ऊष्मा लेने से 1100 cal आता है, और गुप्त ऊष्मा छोड़ देने से सबसे बड़े पद की ही उपेक्षा हो जाती है।

  5. छड़ें A और B समान लंबाई व अनुप्रस्थ-काट की हैं; A की ऊष्मा-चालकता B की दोगुनी है। उन्हें सिरे से सिरा जोड़ा गया है, A का मुक्त सिरा 100 °C पर और B का 0 °C पर रखा है। स्थायी अवस्था में संधि-ताप है:

    1. 50 °C
    2. 200/3 °C
    3. 100/3 °C
    4. 75 °C
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 200/3 °C

    श्रेणी में दोनों छड़ों में ऊष्मा-धारा समान है: 2k(100 − T) = k(T − 0), अतः 200 = 3T और T = 200/3 ≈ 66.7 °C। बेहतर चालक का ऊष्मीय प्रतिरोध कम है, अतः वह 100 °C पतन का छोटा भाग लेता है। 100/3 °C संधि को ठंडे सिरे के पास रखता है, जो चालकताओं को गलत छड़ों से जोड़ने पर मिलता है।

  6. एक कृष्णिका परम ताप T पर शक्ति P विकिरित करती है। यदि इसका परम ताप दोगुना कर दिया जाए, परिवेश नगण्य मानकर, तो यह विकिरित करती है:

    1. 2P
    2. 4P
    3. 16P
    4. 8P
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 16P

    स्टीफ़न–बोल्ट्ज़मान से P ∝ T⁴, अतः T दोगुना करने पर P, 2⁴ = 16 गुना होता है। 4P, T² नियम होता और 2P रैखिक। यहाँ परम ताप दोगुना हुआ है; सेल्सियस पाठ्यांक दोगुना करने से 16 नहीं आता।

  7. वीन नियतांक 2.9 × 10⁻³ m K लेकर, 5800 K पर एक कृष्णिका-पृष्ठ का स्पेक्ट्रमी शिखर लगभग किस तरंगदैर्घ्य पर है:

    1. 500 nm
    2. 5 μm
    3. 50 nm
    4. 17 m
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 500 nm

    λ_max = b/T = 2.9 × 10⁻³/5800 = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm, दृश्य क्षेत्र में। दस-गुणक वाले विकल्प भाग में दस की घात फिसलने से आते हैं, और 17 m, b को T से भाग देने के स्थान पर गुणा करता है (2.9 × 10⁻³ × 5800 ≈ 16.8)।

  8. 20 °C के परिवेश में एक पिंड 10 मिनट में 80 °C से 60 °C तक ठंडा होता है। न्यूटन के शीतलन नियम का यथार्थ चरघातांकी रूप लेकर, फिर 60 °C से 40 °C तक ठंडा होने में लगभग कितना समय लगता है:

    1. 10 मिनट
    2. 15 मिनट
    3. 20 मिनट
    4. 17.1 मिनट
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 17.1 मिनट

    20 °C से अधिकता 10 मिनट में 60 से 40 होती है, गुणक 2/3, अतः e^(−10k) = 2/3 और k = ln(1.5)/10। 60 °C से 40 °C तक ठंडा होना अधिकता को 40 से 20 करता है, गुणक 1/2, अतः t = ln 2/k = 10 × 0.693/0.405 ≈ 17.1 मिनट। 10 मिनट उत्तर देना मानता है कि समान ताप-पतन समान समय लेते हैं; परिवेश के निकट आते-आते पिंड धीमे ठंडा होता है।