सीमा, सांतत्य व अवकलनीयता

यह वह अध्याय है जो तय करता है कि कलन यांत्रिक लगेगा या रहस्यमय। उसका मूल विचार एक भेद है: सीमा पूछती है कि फलन किसकी ओर बढ़ता है, जिसका इससे कोई संबंध नहीं कि फलन उस बिंदु पर क्या है। f(x) = (x² − 1)/(x − 1), x = 1 पर अपरिभाषित है फिर भी वहाँ उसकी सीमा 2 है, और क्यों — यह समझना सांतत्य की सम्पूर्ण विषय-वस्तु है। तत्पश्चात् अध्याय कठोर अनुक्रम बनाता है — अवकलनीय से सतत, सतत से सीमा का अस्तित्व — और उसमें लगभग प्रत्येक प्रश्न यह जानने पर टिकता है कि निष्पत्तियाँ केवल एक दिशा में चलती हैं।

सीमाओं का मूल्यांकन

सीधे जानने योग्य मानक सीमाएँ
x → 0 पर सीमामान
sin x / x1 — आधारभूत
tan x / x1
(1 − cos x)/x²1/2
(eˣ − 1)/x1
log(1 + x)/x1
(1 + x)1/xe

सीमा केवल तब है जब बायाँ व दायाँ पक्ष सीमाएँ बराबर हों। इसीलिए मापांक या महत्तम-पूर्णांक फलन सदा दोनों ओर से जाँचना चाहिए: lim(x→0) |x|/x बाएँ से −1 व दाएँ से +1 है, अतः सीमा नहीं है यद्यपि दोनों एक-पक्षीय सीमाएँ हैं। ल’हॉपिटल नियम — अंश व हर पृथक् रूप से अवकलित करें — अनिर्धार्य रूपों 0/0 व ∞/∞ पर लागू है और किसी अन्य पर नहीं, अतः नियम प्रयोग करने से पूर्व रूप की पुष्टि करनी होगी।

⚠️ सात अनिर्धार्य रूप, और वे जो केवल अनिर्धार्य दिखते हैं
वास्तविक अनिर्धार्य रूप 0/0, ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 0⁰, 1^∞ व ∞⁰ हैं — और केवल इन्हें कार्य चाहिए। जो व्यंजक केवल असुविधाजनक दिखते हैं वे प्रायः निर्धार्य हैं: 0^∞ शून्य है, ∞^∞ अनंत है, और 1/0 अनिर्धार्य के बजाय अपरिबद्ध है। भेद महत्वपूर्ण है क्योंकि जो रूप 0/0 या ∞/∞ नहीं उस पर ल’हॉपिटल लगाना आत्मविश्वास सहित ग़लत उत्तर देता है। चरघातांकी रूपों 1^∞ व 0⁰ हेतु मानक मार्ग लघुगणक लेना है, समस्या को 0 × ∞ में और तत्पश्चात् 0/0 में बदलते हुए, इसीलिए lim (1 + 1/n)ⁿ = e है, 1 नहीं।

सांतत्य

फलन x = a पर सतत है जब तीनों बातें ठीक हों: f(a) परिभाषित है, a पर सीमा है, और दोनों बराबर हैं। किसी एक की विफलता असांतत्य देती है, और प्रकार का नाम है: सीमा हो परंतु f(a) से भिन्न हो तो हटाने योग्य, एक-पक्षीय सीमाएँ भिन्न हों तो उछाल, और कोई अपरिबद्ध हो तो अनंत। खंडशः फलन देकर उसे सतत बनाने वाले अचर का मान पूछते प्रश्न आपसे दोनों एक-पक्षीय सीमाएँ f(a) के बराबर रखने को कह रहे हैं।

🎯 |x| सर्वत्र सतत क्यों है परंतु शून्य पर अवकलनीय नहीं
सांतत्य केवल यह माँगता है कि आलेख में कोई विच्छेद न हो, और |x| का आलेख एकल अखंडित V है — आप उसे कलम उठाए बिना खींच सकते हैं, अतः वह 0 पर सतत है। अवकलनीयता कुछ प्रबलतर माँगती है: कि आलेख में सुपरिभाषित स्पर्श रेखा हो, जिसका अर्थ है बाएँ से आती ढाल दाएँ से आती ढाल से मेल खानी चाहिए। |x| हेतु बाईं ढाल −1 व दाईं ढाल +1 है, अतः कोने पर कोई एकल स्पर्श रेखा नहीं व अवकलज वहाँ नहीं है। यह अनुक्रम का स्वच्छतम उदाहरण है: अवकलनीय ⟹ सतत, परंतु सतत से अवकलनीय नहीं निकलता, और प्रत्येक "तीक्ष्ण कोना" फलन विलोम का प्रत्युदाहरण है।
अनुक्रम, व प्रत्येक निष्पत्ति कहाँ विफल होती है
कथनसत्य?मिथ्या हो तो प्रत्युदाहरण
अवकलनीय ⟹ सततहाँ, सदाकोई नहीं
सतत ⟹ अवकलनीयनहींx = 0 पर |x|
सीमा है ⟹ सततनहींx = 1 पर (x²−1)/(x−1), वहाँ अपरिभाषित
सतत ⟹ सीमा हैहाँकोई नहीं
असतत ⟹ अवकलनीय नहींहाँ — प्रथम पंक्ति का प्रतिधनात्मककोई नहीं
🧠 अवकलन करके नहीं, बाएँ व दाएँ अवकलज मिलाकर अवकलनीयता जाँचें
खंडशः फलन हेतु जोड़-बिंदु पर सुरक्षित परीक्षण है प्रथम सिद्धांतों से बायाँ अवकलज व दायाँ अवकलज निकालकर देखना कि वे सहमत हैं या नहीं। प्रत्येक खंड को पृथक् अवकलित करना व जोड़ पर मूल्यांकन करना प्रायः सही उत्तर देता है परंतु चुपचाप मान लेता है कि अवकलज वहाँ सतत है, जो ठीक वही प्रश्न है। जोड़ पर दो शर्तें ठीक होनी चाहिए: सांतत्य हेतु फलन-मान मेल खाने चाहिए, और अवकलनीयता हेतु अवकलज मेल खाने चाहिए — और दो अचर a व b पूछता प्रश्न प्रायः आपसे प्रत्येक से एक समीकरण लिखने को कह रहा है।

दो नामित प्रमेय अध्याय समाप्त करते हैं और अपने निष्कर्षों के बजाय अपनी परिकल्पनाओं हेतु पूछे जाते हैं। रोल प्रमेय को [a, b] पर f सतत, (a, b) पर अवकलनीय व f(a) = f(b) चाहिए, और तत्पश्चात् वह ऐसा बिंदु सुनिश्चित करता है जहाँ f′ = 0। लाग्रांज माध्यमान प्रमेय अंतिम आवश्यकता छोड़ देता है व ऐसा बिंदु सुनिश्चित करता है जहाँ f′ औसत ढाल (f(b) − f(a))/(b − a) के बराबर हो। [−1, 1] पर |x| देकर रोल प्रमेय लागू है या नहीं पूछता प्रश्न यह जाँच रहा है कि आपने अवकलनीयता जाँची या नहीं: अंत-बिंदु मेल खाते हैं व फलन सतत है, परंतु 0 पर कोना द्वितीय परिकल्पना तोड़ता है, अतः प्रमेय लागू ही नहीं होता।

मुख्य बिंदु

  • सीमा वर्णित करती है कि फलन किसकी ओर बढ़ता है, बिंदु पर उसका मान नहीं — दोनों भिन्न हो सकते हैं।
  • x → 0 पर sin x/x → 1, (1 − cos x)/x² → ½, (eˣ − 1)/x → 1 व (1 + x)1/x → e।
  • सीमा केवल तब है जब बाईं व दाईं सीमाएँ सहमत हों — मापांक फलनों हेतु सदा दोनों जाँचें।
  • ल'हॉपिटल केवल 0/0 व ∞/∞ पर लागू — अवकलन से पूर्व रूप की पुष्टि करें।
  • 0^∞ शून्य है, अनिर्धार्य नहीं; सात सच्चे अनिर्धार्य रूप एक बार सूचीबद्ध करने योग्य हैं।
  • सांतत्य को f(a) परिभाषित, सीमा का अस्तित्व, व दोनों का बराबर होना चाहिए।
  • अवकलनीय से सतत निकलता है, विलोम नहीं — 0 पर |x| मानक प्रत्युदाहरण है।
  • रोल व लाग्रांज अपनी परिकल्पनाओं पर पूछे जाते हैं: किसी को लगाने से पूर्व अवकलनीयता जाँचें।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. lim(x→0) (1 − cos x)/x² बराबर है:

    1. 0
    2. 1/2
    3. 1
    4. 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1/2

    1 − cos x = 2sin²(x/2) प्रयोग करने पर व्यंजक 2sin²(x/2)/x² = ½ · (sin(x/2)/(x/2))² बन जाता है, जो ½ · 1 = ½ की ओर बढ़ता है। ल'हॉपिटल के दो प्रयोग वही मान देते हैं। उत्तर 1 इसे sin x/x सीमा ग़लत याद रखने से आता है, जो भिन्न मानक परिणाम है — वर्गित हर ही ½ को प्रकट करता है।

  2. x = 0 पर फलन f(x) = |x| है:

    1. सतत व अवकलनीय
    2. सतत परंतु अवकलनीय नहीं
    3. अवकलनीय परंतु सतत नहीं
    4. न सतत न अवकलनीय
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सतत परंतु अवकलनीय नहीं

    आलेख अखंडित V है, अतः फलन 0 पर सतत है, परंतु बायाँ अवकलज −1 व दायाँ अवकलज +1 है, अतः कोई एकल स्पर्श रेखा नहीं व अवकलज विफल है। तृतीय विकल्प किसी भी फलन हेतु असंभव है, क्योंकि अवकलनीयता सदा सांतत्य हेतु बाध्य करती है — वह पहचानना उसे किसी भी विकल्प-सूची से तुरंत हटा देता है।

  3. lim(x→0) |x|/x:

    1. 1 के बराबर है
    2. 0 के बराबर है
    3. नहीं है
    4. −1 के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — नहीं है

    दाएँ से |x| = x अतः भागफल +1 है, और बाएँ से |x| = −x अतः वह −1 है। दोनों एक-पक्षीय सीमाएँ हैं परंतु वे असहमत हैं, और सीमा को उनके बराबर होने की आवश्यकता है, अतः सीमा नहीं है। इसीलिए मापांक, चिह्न या महत्तम-पूर्णांक फलन युक्त कोई भी व्यंजक सीधे मूल्यांकित करने के बजाय दोनों ओर से परखना चाहिए।

  4. निम्न में से कौन अनिर्धार्य रूप नहीं है?

    1. 0/0
    2. 1^∞
    3. 0^∞
    4. ∞ − ∞
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 0^∞

    शून्य की ओर बढ़ती राशि, अनंत की ओर बढ़ती घात तक उठाई जाए तो असंदिग्ध रूप से शून्य है, अतः 0^∞ निर्धार्य है व उसे कोई विशेष उपचार नहीं चाहिए। अन्य तीन वास्तव में अनिर्धार्य हैं: 0/0 व ∞ − ∞ को बीजगणितीय कार्य या ल'हॉपिटल चाहिए, और 1^∞ को लघुगणक लेना — ठीक इसीलिए lim (1 + 1/n)ⁿ, e है, 1 नहीं।

  5. f(2) अपरिभाषित सहित f(x) = (x² − 4)/(x − 2) हेतु x = 2 पर असांतत्य है:

    1. उछाल असांतत्य
    2. हटाने योग्य
    3. अनंत असांतत्य
    4. असांतत्य ही नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — हटाने योग्य

    निरसन 2 के अतिरिक्त प्रत्येक x हेतु x + 2 देता है, अतः 2 पर सीमा 4 है व वह है, परंतु फलन वहाँ परिभाषित नहीं — वह अंतराल जो केवल f(2) = 4 परिभाषित करके भरा जा सकता है, वही "हटाने योग्य" का अर्थ है। उछाल हेतु दोनों एक-पक्षीय सीमाओं का भिन्न होना आवश्यक होगा, और अनंत असांतत्य हेतु फलन का असीम बढ़ना, यहाँ कोई नहीं होता।

  6. [−1, 1] पर f(x) = |x| पर रोल प्रमेय लागू नहीं होता क्योंकि:

    1. f(−1) ≠ f(1)
    2. f, x = 0 पर अवकलनीय नहीं
    3. f, [−1, 1] पर सतत नहीं
    4. अंतराल संवृत नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — f, x = 0 पर अवकलनीय नहीं

    अंत-बिंदु मान मेल खाते हैं, क्योंकि f(−1) = f(1) = 1, और फलन सर्वत्र सतत है, अतः प्रथम व तृतीय परिकल्पनाएँ ठीक हैं। जो विफल होती है वह विवृत अंतराल पर अवकलनीयता है, x = 0 पर कोने के कारण — और वस्तुतः निष्कर्ष भी विफल है, क्योंकि जहाँ f′ है वहाँ वह कहीं शून्य नहीं। इस प्रकार के प्रश्न जाँच रहे हैं कि परिकल्पनाएँ मान ली गईं या व्यक्तिगत रूप से जाँची गईं।

  7. यदि फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो उस बिंदु पर वह अनिवार्यतः है:

    1. सतत
    2. सतत नहीं
    3. कोई भी — अवकलनीयता सांतत्य के विषय में कुछ नहीं कहती
    4. परिबद्ध परंतु संभवतः असतत
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सतत

    अवकलनीयता प्रबलतर शर्त है और सदा सांतत्य का आशय रखती है, क्योंकि अवकलज केवल वहाँ हो सकता है जहाँ फलन में कोई विच्छेद न हो। विलोम विफल है, जैसा |x| मूल बिंदु पर दर्शाता है, अतः निष्पत्ति कठोरतः एक दिशा में चलती है — इसीलिए "अवकलनीय परंतु सतत नहीं" कभी वैध विकल्प नहीं व देखते ही हटाया जा सकता है।

  8. खंडशः फलन के जोड़-बिंदु पर अवकलनीय होने हेतु पर्याप्त है कि:

    1. दोनों खंडों के वहाँ मान बराबर हों
    2. वहाँ मान व एक-पक्षीय अवकलज दोनों मेल खाएँ
    3. प्रत्येक खंड अपने प्रांत पर अवकलनीय हो
    4. फलन बिंदु के निकट परिबद्ध हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वहाँ मान व एक-पक्षीय अवकलज दोनों मेल खाएँ

    मान मेल खाना सांतत्य देता है, जो आवश्यक परंतु पर्याप्त नहीं; एकल स्पर्श रेखा के अस्तित्व हेतु एक-पक्षीय अवकलजों का भी सहमत होना आवश्यक है। प्रत्येक खंड का स्वयं पर चिकना होना जोड़ के विषय में कुछ नहीं कहता, ठीक वहीं |x| जैसे उदाहरणों में विफलता होती है। दो अज्ञात अचर देता प्रश्न प्रायः मान-मेल से एक समीकरण व अवकलज-मेल से एक चाहता है।