परमाणु संरचना व आवर्तिता: क्वांटा, द्रव्य-तरंगें, हाइड्रोजन परमाणु, इलेक्ट्रॉनिक विन्यास व आवर्ती प्रवृत्तियाँ

यह अध्याय जीवन विज्ञान (XL) पेपर के XL0 रसायन विज्ञान के खंड XL0.1 का उत्तर देता है, वह भाग जिसे प्रत्येक XL अभ्यर्थी हल करता है: “प्लांक का क्वांटम सिद्धांत, तरंग-कण द्वैत, अनिश्चितता सिद्धांत, हाइड्रोजन परमाणु के बोर मॉडल व क्वांटम यांत्रिक मॉडल की तुलना, परमाणुओं व आयनों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास। हुंड का नियम व पाउली का अपवर्जन सिद्धांत। आवर्त सारणी व आवर्ती गुण: आयनन ऊर्जा, इलेक्ट्रॉन बंधुता, विद्युतऋणात्मकता व परमाणु आकार।” अध्याय परमाणु को ऊर्जा के क्वांटम से ऊपर की ओर गढ़ता है: फ़ोटॉन व प्रकाश-विद्युत प्रभाव, दे ब्रॉग्ली तरंगें व अनिश्चितता की सीमा, हाइड्रोजन परमाणु जैसा बोर ने सोचा और जैसा क्वांटम यांत्रिकी उसे हल करती है, परमाणुओं व आयनों में कक्षकों को भरने के नियम, तथा प्रभावी नाभिकीय आवेश से निकलने वाली आवर्ती प्रवृत्तियाँ। संख्यात्मक प्रश्न फ़ोटॉन ऊर्जा, प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा, दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, न्यूनतम अनिश्चितता, बोर ऊर्जाएँ व स्पेक्ट्रमी तरंगदैर्ध्य, तथा क्वांटम संख्याओं से इलेक्ट्रॉनों की गिनती हैं।

1. प्लांक का क्वांटम सिद्धांत व फ़ोटॉन

चिरसम्मत भौतिकी विकिरण ऊर्जा को सतत मानती थी और तप्त कृष्णिका (black body) का स्पेक्ट्रम नहीं समझा सकी: उसने लघु तरंगदैर्ध्य पर असीमित रूप से बढ़ती तीव्रता की भविष्यवाणी की, जो प्रेक्षित नहीं होती। 1900 में मैक्स प्लांक ने प्रस्ताव रखा कि ऊर्जा केवल असतत पैकेटों, क्वांटा, में उत्सर्जित या अवशोषित होती है, जिनमें प्रत्येक का मान E = hν है, जहाँ h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s प्लांक स्थिरांक और ν आवृत्ति है। चूँकि c = νλ, अतः E = hc/λ: तरंगदैर्ध्य जितना छोटा, क्वांटम उतना बड़ा, और ऊर्जा केवल क्वांटा की पूर्ण संख्या में बदलती है (E = nhν)। 1905 में आइंस्टाइन ने यह विचार स्वयं प्रकाश पर लागू किया: प्रकाश फ़ोटॉनों के रूप में चलता है, प्रत्येक hν ऊर्जा लिए हुए।

हल किया उदाहरण। 500 nm के फ़ोटॉन की ऊर्जा E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.00 × 10⁸)/(500 × 10⁻⁹) = 3.98 × 10⁻¹⁹ J है, जो 2.48 eV है (1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J)। ऐसे फ़ोटॉनों का एक मोल 3.98 × 10⁻¹⁹ × 6.022 × 10²³ = 2.39 × 10⁵ J, अर्थात 239 kJ mol⁻¹, ले जाता है, जो आबंध ऊर्जाओं की कोटि का है। इसी कारण दृश्य व पराबैंगनी प्रकाश प्रकाश-रासायनिक अभिक्रियाएँ चला सकता है: प्रकाश-संश्लेषण, दृष्टि और DNA को UV क्षति। उपयोगी शॉर्टकट है E (eV) ≈ 1240/λ (nm)।

प्रकाश-विद्युत प्रभाव ने प्रश्न सुलझा दिया। प्रकाश किसी धातु से इलेक्ट्रॉन तभी निकालता है जब उसकी आवृत्ति धातु के कार्य-फलन φ = hν₀ से तय देहली आवृत्ति ν₀ से अधिक हो, और तब KE(max) = hν − φ होती है। तीव्रता बढ़ाने से इलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ती है, उनकी ऊर्जा नहीं, और उत्सर्जन तत्क्षण होता है। तरंग मॉडल ने हर बिंदु पर उलटी भविष्यवाणी की थी। उदाहरण: φ = 2.00 eV वाली धातु पर 500 nm प्रकाश (2.48 eV) KE(max) = 0.48 eV देता है, अतः 0.48 V का निरोधी विभव धारा रोक देता है।

⚠️ तीव्रता आवृत्ति नहीं है
देहली से नीचे कितनी भी तीव्रता इलेक्ट्रॉन नहीं निकालती। उसके ऊपर तीव्रता दोगुनी करने से प्रकाश-धारा दोगुनी होती है पर KE(max) वही रहती है; केवल अधिक आवृत्ति KE(max) बढ़ाती है। φ घटाने से पहले λ को सदैव जूल या eV में बदलें, और दोनों एक ही इकाई में रखें।

2. तरंग-कण द्वैत व अनिश्चितता सिद्धांत

प्रकाश तरंग व्यवहार (व्यतिकरण, विवर्तन) और कण व्यवहार (प्रकाश-विद्युत व कॉम्पटन प्रभाव) दोनों दिखाता है। 1924 में दे ब्रॉग्ली ने इसका विलोम प्रस्तावित किया: प्रत्येक गतिमान कण के साथ एक तरंग होती है जिसका तरंगदैर्ध्य λ = h/p = h/mv है। आवेश e वाले कण को विराम से विभवांतर V द्वारा त्वरित करने पर उसकी गतिज ऊर्जा eV होती है, अतः p = √(2meV) और λ = h/√(2meV)। 100 V से त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए: λ = 6.626 × 10⁻³⁴/√(2 × 9.109 × 10⁻³¹ × 1.602 × 10⁻¹⁹ × 100) = 1.23 × 10⁻¹⁰ m = 123 pm, जो क्रिस्टल में परमाणुओं की दूरी के तुल्य है। इसलिए इलेक्ट्रॉन पुंज क्रिस्टलों से विवर्तित होते हैं (डेविसन व जर्मर, 1927), और इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी प्रकाश सूक्ष्मदर्शी से कहीं महीन विवरण दिखाता है क्योंकि उसका तरंगदैर्ध्य बहुत छोटा है। 40 m s⁻¹ से चलती 0.15 kg की गेंद का λ ≈ 1.1 × 10⁻³⁴ m है, जो मापने के लिए अत्यंत छोटा है; इसीलिए द्वैत केवल अति सूक्ष्म द्रव्यमानों के लिए मायने रखता है।

तरंग फैली हुई होती है, अतः स्थिति व संवेग दोनों एक साथ सटीक नहीं हो सकते। हाइज़ेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत (1927) कहता है Δx · Δp ≥ h/4π, जहाँ Δp = mΔv। यह प्रकृति का गुण है, कमज़ोर उपकरणों का दोष नहीं। लगभग परमाणु के आकार, Δx = 0.1 nm, में सीमित इलेक्ट्रॉन के लिए Δv ≥ h/(4π m Δx) = 6.626 × 10⁻³⁴/(4π × 9.109 × 10⁻³¹ × 1.0 × 10⁻¹⁰) = 5.8 × 10⁵ m s⁻¹, जो परमाणु में इलेक्ट्रॉनों की चाल जितना बड़ा है, अतः सुनिश्चित कक्षा की बात अर्थहीन है। 1 µm तक स्थित 1 g के मनके के लिए Δv लगभग 5 × 10⁻²⁶ m s⁻¹ है, जो पूर्णतः नगण्य है।

⚠️ असमिका का कौन-सा रूप?
Δx · Δp ≥ h/4π वही है जो ≥ ħ/2; कुछ पुरानी पुस्तकें h/2π या केवल ≈ h लिखती हैं, जिससे उत्तर 2 या 4π के गुणक से बदल जाता है। प्रश्न में दिया रूप ही प्रयोग करें। द्रव्यमान किलोग्राम में और लंबाई मीटर में रखें; ग्राम में द्रव्यमान लेने पर उत्तर हज़ार गुना बड़ा आता है।

3. हाइड्रोजन परमाणु: बोर मॉडल व क्वांटम यांत्रिक मॉडल

बोर (1913) ने अभिधारणा दी कि इलेक्ट्रॉन वृत्ताकार स्थिर कक्षाओं में बिना विकिरण किए घूमता है, उसका कोणीय संवेग क्वांटित है, mvr = nh/2π, और प्रकाश केवल कक्षाओं के बीच छलाँग पर उत्सर्जित या अवशोषित होता है, जहाँ ΔE = hν। नाभिकीय आवेश Z वाली एक-इलेक्ट्रॉन स्पीशीज़ के लिए इससे rₙ = 52.9 n²/Z pm तथा Eₙ = −13.6 Z²/n² eV (−2.18 × 10⁻¹⁸ Z²/n² J) मिलते हैं। स्पेक्ट्रमी रेखाएँ 1/λ = R_H Z² (1/n₁² − 1/n₂²) का पालन करती हैं, जहाँ R_H = 1.097 × 10⁷ m⁻¹: लाइमन श्रेणी n₁ = 1 पर समाप्त होती है (पराबैंगनी), बामर n₁ = 2 पर (दृश्य) और पाशन n₁ = 3 पर (अवरक्त)। हल किया उदाहरण: H में n = 3 → 2 के लिए 1/λ = 1.097 × 10⁷ × (1/4 − 1/9) = 1.524 × 10⁶ m⁻¹, अतः λ = 656 nm, जो लाल Hα रेखा है। आयनन ऊर्जा H के लिए 13.6 eV, He⁺ के लिए 54.4 eV और Li²⁺ के लिए 122.4 eV है, और स्तर n से मूल अवस्था तक गिरते इलेक्ट्रॉन अधिकतम n(n − 1)/2 भिन्न रेखाएँ दे सकते हैं।

श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिक मॉडल कक्षा के स्थान पर तरंग-फलन ψ, अर्थात कक्षक, रखता है, जिसका वर्ग ψ² इलेक्ट्रॉन मिलने का प्रायिकता घनत्व देता है। हाइड्रोजन के लिए तरंग-समीकरण हल करने पर तीन क्वांटम संख्याएँ (n, l, m_l) निकलती हैं, और चौथी के रूप में चक्रण (m_s) जोड़ी जाती है। हाइड्रोजन में ऊर्जा फिर भी केवल n पर निर्भर करती है और −13.6/n² eV ही होती है, अतः बोर मॉडल चित्र गलत रखते हुए भी हाइड्रोजन का स्पेक्ट्रम सही देता है।

हाइड्रोजन के बोर मॉडल व क्वांटम यांत्रिक मॉडल की तुलना
लक्षणबोर मॉडलक्वांटम यांत्रिक मॉडल
इलेक्ट्रॉन कहाँ हैनिश्चित त्रिज्या की नियत वृत्ताकार कक्षा परप्रायिकता मेघ (कक्षक) के रूप में फैला; 52.9 pm केवल 1s की सर्वाधिक प्रायिक दूरी है
क्वांटम संख्याएँएक (n), अभिधारणा के रूप में थोपी गईतरंग-समीकरण से n, l, m_l, साथ में चक्रण m_s
हाइड्रोजन की ऊर्जा−13.6/n² eV−13.6/n² eV, वही; एक n के सभी कक्षक समभ्रंश हैं
मूल अवस्था का कोणीय संवेगh/2πशून्य, क्योंकि 1s में l = 0
अनिश्चितता सिद्धांतउल्लंघित: सटीक त्रिज्या व सटीक वेग एक साथपालन होता है
बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु, रेखाओं की तीव्रता, चुंबकीय क्षेत्र में विभाजनअसफलस्पष्ट (बहु-इलेक्ट्रॉन हेतु सन्निकटनों सहित)

4. क्वांटम संख्याएँ, पाउली, हुंड व इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

  • मुख्य, n = 1, 2, 3 …: कोश, आकार और (हाइड्रोजन में) ऊर्जा। एक कोश में n² कक्षक और 2n² इलेक्ट्रॉन होते हैं।
  • दिगंशी, l = 0 से n − 1 (s, p, d, f): उपकोश का आकार; एक कक्षक में l कोणीय नोड होते हैं।
  • चुंबकीय, m_l = −l से +l: अभिविन्यास; एक उपकोश में 2l + 1 कक्षक होते हैं।
  • चक्रण, m_s = +½ या −½। त्रिज्य नोड = n − l − 1 और कुल नोड = n − 1; अतः 2s में एक त्रिज्य नोड, 3p में एक त्रिज्य व एक कोणीय, 3d में कोई त्रिज्य नहीं और दो कोणीय नोड होते हैं।

तीन नियम कक्षकों को भरते हैं। (n + l) नियम सहित ऑफ़बाउ सिद्धांत कम n + l वाले कक्षक पहले भरता है, और n + l समान हो तो कम n वाला पहले: 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p। पाउली का अपवर्जन सिद्धांत: किसी परमाणु में दो इलेक्ट्रॉनों की चारों क्वांटम संख्याएँ समान नहीं हो सकतीं, अतः एक कक्षक में अधिकतम दो इलेक्ट्रॉन, विपरीत चक्रण के साथ, होते हैं। हुंड का अधिकतम बहुलता नियम: समभ्रंश कक्षकों में इलेक्ट्रॉन युग्मन से पहले समांतर चक्रण के साथ एक-एक करके प्रवेश करते हैं, अतः C (2p²) में दो, N (2p³) में तीन और O (2p⁴) में दो अयुग्मित इलेक्ट्रॉन होते हैं। समांतर चक्रण इलेक्ट्रॉनों को दूर रखते हैं, जिससे प्रतिकर्षण घटता है और विनिमय ऊर्जा मिलती है; इसी कारण अर्ध-पूर्ण व पूर्ण उपकोश अतिरिक्त स्थायी होते हैं।

3d पंक्ति के दो अपवाद इसी स्थायित्व से निकलते हैं: Cr = [Ar] 3d⁵ 4s¹ और Cu = [Ar] 3d¹⁰ 4s¹। आयनों में इलेक्ट्रॉन सबसे अधिक n वाले कक्षक से पहले निकलते हैं, अतः संक्रमण धातुएँ 3d से पहले 4s खोती हैं: Fe [Ar] 3d⁶ 4s² से Fe²⁺ [Ar] 3d⁶ और Fe³⁺ [Ar] 3d⁵ बनते हैं; Cu²⁺ [Ar] 3d⁹ और Zn²⁺ [Ar] 3d¹⁰ है। ऋणायन अगले रिक्त स्थान में इलेक्ट्रॉन जोड़ते हैं: Cl⁻ = [Ne] 3s² 3p⁶, जो Ar का समइलेक्ट्रॉनी है। अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या (Fe³⁺ व Mn²⁺ में पाँच, Cu²⁺ में एक) चुंबकीय व्यवहार तय करती है, जिसका उपयोग खंड XL0.3 करता है।

⚠️ 4s पहले भरता है और पहले ही खाली होता है
Fe²⁺ = [Ar] 3d⁶ है, कभी [Ar] 3d⁴ 4s² नहीं। जब 3d में इलेक्ट्रॉन आ जाते हैं तो वह ऊर्जा में 4s से नीचे होता है, अतः आयनन 4s इलेक्ट्रॉनों को पहले हटाता है। प्रत्येक आयन जाँचने से पहले Cr व Cu के अपवादों सहित उदासीन परमाणु का विन्यास लिखें, फिर इलेक्ट्रॉन हटाएँ।

5. आवर्त सारणी व आवर्ती गुण

दीर्घ रूप सारणी में 18 वर्ग और 7 आवर्त हैं, जो s (वर्ग 1–2), p (13–18), d (3–12) और f ब्लॉकों में व्यवस्थित हैं। गुण इसलिए दोहराते हैं क्योंकि संयोजकता विन्यास दोहराते हैं। मूल कारक प्रभावी नाभिकीय आवेश Z(eff) = Z − S है, जहाँ S अन्य इलेक्ट्रॉनों का परिरक्षण है। आवर्त में बाएँ से दाएँ Z हर चरण में एक बढ़ता है पर एक ही कोश के इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे का परिरक्षण कमज़ोर करते हैं, अतः Z(eff) बढ़ता है और बाहरी इलेक्ट्रॉन अधिक कसकर बँधते हैं; वर्ग में नीचे एक नया, बड़ा कोश जुड़ता है।

चार आवर्ती गुण एक दृष्टि में
गुणआवर्त में बाएँ से दाएँवर्ग में नीचेजानने योग्य अपवाद
परमाणु आकारघटता हैबढ़ता हैलैंथेनाइड आकुंचन के कारण Zr व Hf लगभग समान आकार के हैं
प्रथम आयनन ऊर्जाबढ़ती हैघटती हैBe > B, N > O, Mg > Al तथा P > S
इलेक्ट्रॉन बंधुता (मुक्त ऊर्जा)बढ़ती है, हैलोजनों में अधिकतमसामान्यतः घटती हैCl > F; उत्कृष्ट गैसें, Be व N लगभग शून्य या प्रतिकूल
विद्युतऋणात्मकताबढ़ती हैघटती हैF उच्चतम (पॉलिंग पैमाने पर लगभग 4.0)

आयनन ऊर्जा (IE)। प्रथम IE, kJ mol⁻¹ में: Li 520, Be 899, B 801, C 1086, N 1402, O 1314, F 1681, Ne 2081। B का मान Be से कम है क्योंकि उसका इलेक्ट्रॉन 2p का है, जो ऊर्जा में ऊँचा है और 2s² द्वारा परिरक्षित है; O का मान N से कम है क्योंकि उसके चौथे 2p इलेक्ट्रॉन को युग्मित होना पड़ता है, जिससे प्रतिकर्षण बढ़ता है, जबकि N का अर्ध-पूर्ण 2p³ स्थायी है। क्रमागत IE सदैव बढ़ती हैं, और बड़ी छलाँग उत्कृष्ट गैस कोर से निकाले गए पहले इलेक्ट्रॉन को दर्शाती है: मैग्नीशियम के 738, 1451 व 7733 kJ mol⁻¹ दो संयोजी इलेक्ट्रॉन प्रकट करते हैं।

इलेक्ट्रॉन बंधुता, विद्युतऋणात्मकता व आकार। इलेक्ट्रॉन बंधुता वह ऊर्जा है जो गैसीय परमाणु के एक इलेक्ट्रॉन ग्रहण करने पर मुक्त होती है; इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी का चिह्न इसके विपरीत होता है। Cl (349 kJ mol⁻¹) का मान F (328) से अधिक है क्योंकि फ़्लुओरीन के छोटे, भीड़ भरे 2p कोश में आने वाला इलेक्ट्रॉन प्रबल प्रतिकर्षण झेलता है, और किसी भी ऋणायन में दूसरा इलेक्ट्रॉन जोड़ना (O⁻ → O²⁻) ऊष्माशोषी है। विद्युतऋणात्मकता, अर्थात आबंधित परमाणु का साझा इलेक्ट्रॉनों पर खिंचाव, सीधे नहीं मापी जाती: पॉलिंग ने इसे आबंध ऊर्जाओं से निकाला (F ≈ 4.0, O ≈ 3.4, N ≈ 3.0, C ≈ 2.5, H ≈ 2.2), मुलिकेन ने औसत (IE + EA)/2 लिया, और ऑलरेड व रोचो ने Z(eff)/r² का उपयोग किया। धनायन अपने परमाणु से छोटा और ऋणायन बड़ा होता है; समइलेक्ट्रॉनी श्रेणी में अधिक प्रोटॉन उन्हीं इलेक्ट्रॉनों को पास खींचते हैं, अतः O²⁻ > F⁻ > Na⁺ > Mg²⁺ > Al³⁺।

🎯 जीव वैज्ञानिक को ये प्रवृत्तियाँ क्यों चाहिए
O या N और H के बीच विद्युतऋणात्मकता का अंतर O–H व N–H आबंधों को ध्रुवीय बनाता है, और जल, प्रोटीन व DNA के हाइड्रोजन आबंध इसी ध्रुवता पर टिके हैं। आयनिक आकार तय करता है कि कोई बंधन-स्थल या चैनल कौन-सा आयन स्वीकार करे: पोटैशियम चैनल K⁺ को जाने देता है पर छोटे Na⁺ को रोकता है।

मुख्य बिंदु

  • ऊर्जा क्वांटा E = hν = hc/λ में आती है। प्रकाश-विद्युत प्रभाव में KE(max) = hν − φ: आवृत्ति इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा तय करती है, तीव्रता केवल इलेक्ट्रॉनों की संख्या।
  • द्रव्य-तरंगों का λ = h/mv है, या V से त्वरण के बाद h/√(2meV); अनिश्चितता सिद्धांत Δx · Δp ≥ h/4π सुनिश्चित इलेक्ट्रॉन कक्षा को अर्थहीन बनाता है पर दैनिक द्रव्यमानों के लिए नगण्य है।
  • एक-इलेक्ट्रॉन स्पीशीज़ के लिए Eₙ = −13.6 Z²/n² eV और 1/λ = R_H Z²(1/n₁² − 1/n₂²)। बोर व तरंग यांत्रिकी इन ऊर्जाओं पर सहमत हैं पर कक्षा बनाम कक्षक, क्वांटम संख्याओं की संख्या और मूल अवस्था के कोणीय संवेग (h/2π बनाम शून्य) पर भिन्न हैं।
  • एक कक्षक में n − l − 1 त्रिज्य व l कोणीय नोड होते हैं; एक कोश में n² कक्षक और 2n² इलेक्ट्रॉन। पाउली प्रति कक्षक दो विपरीत चक्रण वाले इलेक्ट्रॉन की अनुमति देता है; हुंड समभ्रंश कक्षकों को पहले समांतर चक्रण से एक-एक करके भरता है।
  • Cr का विन्यास 3d⁵4s¹ और Cu का 3d¹⁰4s¹ है; संक्रमण धातु आयन 3d से पहले 4s इलेक्ट्रॉन खोते हैं, अतः Fe²⁺ 3d⁶ और Fe³⁺ 3d⁵ है।
  • आवर्त में बढ़ता Z(eff) परमाणुओं को छोटा करता है और IE, इलेक्ट्रॉन बंधुता व विद्युतऋणात्मकता बढ़ाता है; अपवाद Be > B, N > O व Cl > F, क्रमागत IE की छलाँग और समइलेक्ट्रॉनी त्रिज्याएँ सबसे प्रिय प्रश्न हैं।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. प्लांक के क्वांटम सिद्धांत के अनुसार विकिरण के एक क्वांटम की ऊर्जा किस राशि के अनुक्रमानुपाती होती है?

    1. उसके तरंगदैर्ध्य के, क्योंकि लंबी तरंगें प्रत्येक क्वांटम में अधिक ऊर्जा ले जाती हैं
    2. पुंज की तीव्रता के, क्योंकि अधिक चमकीला पुंज अधिक ऊर्जा पहुँचाता है
    3. उसकी आवृत्ति के, E = hν द्वारा, जहाँ h प्लांक स्थिरांक है
    4. तरंग आयाम के वर्ग के, जैसा चिरसम्मत तरंग चित्र कहता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — उसकी आवृत्ति के, E = hν द्वारा, जहाँ h प्लांक स्थिरांक है

    प्लांक का क्वांटम E = hν = hc/λ है, अतः एक क्वांटम की ऊर्जा आवृत्ति के साथ बढ़ती है और तरंगदैर्ध्य बढ़ने पर घटती है। तीव्रता भ्रामक उत्तर है, पर वह यह तय करती है कि प्रति सेकंड कितने फ़ोटॉन आते हैं, प्रत्येक की ऊर्जा नहीं; आयाम का वर्ग उसी तीव्रता का चिरसम्मत माप है।

  2. एक इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान 9.109 × 10⁻³¹ kg, आवेश 1.602 × 10⁻¹⁹ C), जो आरंभ में विराम में है, 150 V के विभवांतर से त्वरित किया जाता है। h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s लेकर और आपेक्षिकीय प्रभावों की उपेक्षा कर, उसका दे ब्रॉग्ली तरंगदैर्ध्य, pm में निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 100

    गतिज ऊर्जा = eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ × 150 = 2.403 × 10⁻¹⁷ J। संवेग p = √(2 × 9.109 × 10⁻³¹ × 2.403 × 10⁻¹⁷) = 6.617 × 10⁻²⁴ kg m s⁻¹। λ = h/p = 6.626 × 10⁻³⁴/6.617 × 10⁻²⁴ = 1.001 × 10⁻¹⁰ m = 100 pm। वर्गमूल के भीतर गुणक 2 भूलना, या 150 × 1.602 × 10⁻¹⁹ J के स्थान पर 150 लेना, सामान्य भूलें हैं।

  3. 400 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश एक धातु सतह पर पड़ता है जिसका कार्य-फलन 2.25 eV है। h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s, c = 3.00 × 10⁸ m s⁻¹ और 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J लेकर, उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा, eV में दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.85

    फ़ोटॉन ऊर्जा E = hc/λ = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.00 × 10⁸)/(400 × 10⁻⁹) = 4.970 × 10⁻¹⁹ J = 4.970 × 10⁻¹⁹/1.602 × 10⁻¹⁹ = 3.102 eV। KE(max) = hν − φ = 3.102 − 2.25 = 0.852 eV, जो दो दशमलव स्थानों तक 0.85 है। जूल में फ़ोटॉन ऊर्जा से eV में कार्य-फलन घटाना सामान्य भूल है।

  4. निम्नलिखित में से कौन-से प्रेक्षण या तो प्रकाश की कण प्रकृति या द्रव्य की तरंग प्रकृति दर्शाते हैं?

    1. काँच का प्रिज़्म श्वेत प्रकाश को रंगों के स्पेक्ट्रम में विभक्त करता है
    2. पतले क्रिस्टल से गुज़रता इलेक्ट्रॉन पुंज विवर्तन प्रतिरूप बनाता है
    3. देहली आवृत्ति से नीचे कोई प्रकाश-इलेक्ट्रॉन नहीं निकलता, प्रकाश कितना भी तीव्र हो
    4. दो संकीर्ण झिरियों से गुज़रता प्रकाश बारी-बारी से चमकीली व काली फ्रिंजें बनाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — पतले क्रिस्टल से गुज़रता इलेक्ट्रॉन पुंज विवर्तन प्रतिरूप बनाता है; C — देहली आवृत्ति से नीचे कोई प्रकाश-इलेक्ट्रॉन नहीं निकलता, प्रकाश कितना भी तीव्र हो

    क्रिस्टल द्वारा इलेक्ट्रॉन विवर्तन दर्शाता है कि इलेक्ट्रॉन, जो द्रव्य हैं, तरंग जैसा व्यवहार करते हैं (दे ब्रॉग्ली)। प्रकाश-विद्युत प्रभाव की देहली आवृत्ति तभी समझ आती है जब प्रकाश hν ऊर्जा के फ़ोटॉनों के रूप में आए, अतः यह प्रकाश की कण प्रकृति दर्शाती है। प्रिज़्म द्वारा वर्ण-विक्षेपण और दो-झिरी फ्रिंजें प्रकाश का सामान्य तरंग व्यवहार हैं, जिसे चिरसम्मत प्रकाशिकी पहले ही समझा चुकी थी; ये पूछे गए दोनों गुणों में से कोई नहीं दिखातीं।

  5. एक प्रोटॉन (द्रव्यमान 1.673 × 10⁻²⁷ kg) की चाल Δv = 500 m s⁻¹ की सीमा तक ज्ञात है। Δx · Δp ≥ h/4π और h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s का प्रयोग कर, उसकी स्थिति में न्यूनतम अनिश्चितता, pm में निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 63

    Δp = mΔv = 1.673 × 10⁻²⁷ × 500 = 8.365 × 10⁻²⁵ kg m s⁻¹। Δx = h/(4π Δp) = 6.626 × 10⁻³⁴/(12.566 × 8.365 × 10⁻²⁵) = 6.30 × 10⁻¹¹ m = 63 pm। h/4π के स्थान पर h/2π लेने से उत्तर दोगुना, 126 pm, हो जाता है, जो सामान्य भूल है।

  6. हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था के लिए क्वांटम यांत्रिक मॉडल किस राशि का मान बोर मॉडल से भिन्न बताता है?

    1. कक्षीय कोणीय संवेग, जो बोर के लिए h/2π पर 1s इलेक्ट्रॉन के लिए शून्य है
    2. आयनन ऊर्जा, जिसे बोर 13.6 eV मानते हैं पर तरंग यांत्रिकी उससे काफ़ी अधिक
    3. स्तर की ऊर्जा, जिसे तरंग यांत्रिकी हाइड्रोजन में n के साथ l पर भी निर्भर बनाती है
    4. 52.9 pm की दूरी, जिसके बारे में तरंग यांत्रिकी दिखाती है कि वह कभी सर्वाधिक प्रायिक दूरी नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कक्षीय कोणीय संवेग, जो बोर के लिए h/2π पर 1s इलेक्ट्रॉन के लिए शून्य है

    बोर mvr = nh/2π को क्वांटित करते हैं, अतः n = 1 इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग h/2π है, जबकि 1s कक्षक में l = 0 है और कक्षीय कोणीय संवेग √(l(l + 1)) h/2π = 0 है। दोनों मॉडल हाइड्रोजन के लिए Eₙ = −13.6/n² eV देते हैं, अतः आयनन ऊर्जा भी समान 13.6 eV है, और 1s इलेक्ट्रॉन की त्रिज्य प्रायिकता 52.9 pm, बोर त्रिज्या, पर शिखर पर होती है। ऊर्जा की l पर निर्भरता केवल बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं में वास्तविक है, इसलिए हाइड्रोजन के लिए वह भ्रामक पर गलत विकल्प है।

  7. 1/λ = R_H Z² (1/n₁² − 1/n₂²) और R_H = 1.097 × 10⁷ m⁻¹ का प्रयोग कर, He⁺ (Z = 2) का इलेक्ट्रॉन n = 4 से n = 2 पर गिरने पर उत्सर्जित फ़ोटॉन का तरंगदैर्ध्य, nm में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 121.5

    1/λ = 1.097 × 10⁷ × 2² × (1/4 − 1/16) = 1.097 × 10⁷ × 4 × 3/16 = 8.228 × 10⁶ m⁻¹, अतः λ = 1.2154 × 10⁻⁷ m = 121.5 nm। यह हाइड्रोजन की लाइमन-α रेखा (n = 2 → 1) से मेल खाता है क्योंकि Z²(1/4 − 1/16) = 3/4 = 1 − 1/4। Z² भूलने पर 486.2 nm आता है, जो हाइड्रोजन की Hβ रेखा है।

  8. कक्षकों व क्वांटम संख्याओं के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. 3p कक्षक में एक त्रिज्य नोड और एक कोणीय नोड होता है
    2. 4d कक्षक में तीन कोणीय नोड होते हैं
    3. हाइड्रोजन परमाणु में 3s, 3p व 3d कक्षकों की ऊर्जा समान होती है
    4. n = 3 वाले कोश में 18 कक्षक होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 3p कक्षक में एक त्रिज्य नोड और एक कोणीय नोड होता है; C — हाइड्रोजन परमाणु में 3s, 3p व 3d कक्षकों की ऊर्जा समान होती है

    3p में l = 1 एक कोणीय नोड देता है और n − l − 1 = 1 त्रिज्य नोड। हाइड्रोजन में ऊर्जा केवल n पर निर्भर है, अतः 3s, 3p व 3d समभ्रंश हैं। 4d कक्षक में l = 2 कोणीय नोड (और एक त्रिज्य नोड) होते हैं, तीन नहीं। n = 3 कोश में n² = 9 कक्षक हैं, जिनमें 18 इलेक्ट्रॉन आते हैं; 18 इलेक्ट्रॉनों की संख्या है, कक्षकों की नहीं।

  9. क्रोमियम परमाणु (Z = 24) का मूल अवस्था इलेक्ट्रॉनिक विन्यास क्या है?

    1. [Ar] 3d⁴ 4s²
    2. [Ar] 3d⁶
    3. [Ar] 3d³ 4s² 4p¹
    4. [Ar] 3d⁵ 4s¹
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — [Ar] 3d⁵ 4s¹

    क्रोमियम [Ar] 3d⁵ 4s¹ है: एक इलेक्ट्रॉन 4s से 3d में जाने पर समांतर चक्रण वाले छह अयुग्मित इलेक्ट्रॉन और अर्ध-पूर्ण 3d उपकोश मिलता है, जिससे विनिमय ऊर्जा का लाभ होता है। [Ar] 3d⁴ 4s² वह है जो केवल (n + l) क्रम बताता है, इसीलिए वह लुभाता है; [Ar] 3d⁶ और 4p इलेक्ट्रॉन वाले विन्यास दोनों ऊर्जा में कहीं ऊँचे हैं।

  10. निम्नलिखित में से किस आयन का मूल अवस्था विन्यास [Ar] 3d⁵ है?

    1. Fe²⁺ (आयरन, Z = 26)
    2. Fe³⁺ (आयरन, Z = 26)
    3. Co²⁺ (कोबाल्ट, Z = 27)
    4. Cr²⁺ (क्रोमियम, Z = 24)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Fe³⁺ (आयरन, Z = 26)

    आयरन [Ar] 3d⁶ 4s² है। आयन पहले 4s इलेक्ट्रॉन खोते हैं, अतः Fe²⁺ = [Ar] 3d⁶ और Fe³⁺, जो एक 3d इलेक्ट्रॉन भी खोता है, [Ar] 3d⁵ है। Fe²⁺ सामान्य गलत चुनाव है: केवल दो 4s इलेक्ट्रॉन हटाने पर 3d⁶ बचता है, 3d⁵ नहीं। Cr²⁺ उन्हें लुभाता है जिन्हें क्रोमियम का अर्ध-पूर्ण 3d⁵ याद है, पर क्रोमियम [Ar] 3d⁵ 4s¹ है, अतः Cr²⁺ एक 4s और एक 3d इलेक्ट्रॉन खोकर [Ar] 3d⁴ बनता है। Co²⁺ = [Ar] 3d⁷ है।

  11. नाइट्रोजन परमाणु के तीन 2p इलेक्ट्रॉनों के चार वर्णन दिए गए हैं। कौन-सा हुंड के नियम का उल्लंघन करता है पर पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करता है?

    1. तीनों 2p कक्षकों में एक-एक इलेक्ट्रॉन, तीनों के चक्रण समांतर
    2. एक 2p कक्षक में समान चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉन, एक अन्य कक्षक में
    3. एक 2p कक्षक में विपरीत चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉन, एक अन्य कक्षक में
    4. तीनों इलेक्ट्रॉन एक ही 2p कक्षक में, अन्य दो कक्षक खाली
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — एक 2p कक्षक में विपरीत चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉन, एक अन्य कक्षक में

    रिक्त समभ्रंश 2p कक्षक उपलब्ध रहते दो विपरीत चक्रण वाले इलेक्ट्रॉनों को युग्मित करना हुंड का नियम तोड़ता है, फिर भी किन्हीं दो इलेक्ट्रॉनों की चारों क्वांटम संख्याएँ समान नहीं, अतः पाउली का पालन होता है। एक कक्षक में समान चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉन, और एक कक्षक में तीन इलेक्ट्रॉन, दोनों पाउली को तोड़ते हैं। प्रत्येक कक्षक में समांतर चक्रण वाला एक-एक इलेक्ट्रॉन वास्तविक मूल अवस्था है और कोई नियम नहीं तोड़ता।

  12. क्वांटम संख्याओं के अनुमत मानों और पाउली अपवर्जन सिद्धांत का प्रयोग कर, किसी परमाणु में n = 4 और m_l = −1 वाले इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    n = 4 के लिए l = 0, 1, 2 या 3 हो सकता है। m_l = −1 के लिए l ≥ 1 चाहिए, अतः यह 4p, 4d व 4f में एक-एक बार आता है: तीन कक्षक। प्रत्येक कक्षक में विपरीत चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉन, अतः 3 × 2 = 6। चक्रण भूलने पर 3 आता है; n = 4 के सभी कक्षक गिनने पर 32 इलेक्ट्रॉन।

  13. द्वितीय आवर्त के तत्वों B, Be, C, N व O की प्रथम आयनन ऊर्जाओं का सही क्रम कौन-सा है?

    1. Be < B < C < N < O
    2. B < Be < C < N < O
    3. Be < B < C < O < N
    4. B < Be < C < O < N
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — B < Be < C < O < N

    मान B 801, Be 899, C 1086, O 1314 व N 1402 kJ mol⁻¹ हैं। बोरॉन का इलेक्ट्रॉन 2p है, जो ऊर्जा में ऊँचा और 2s² द्वारा परिरक्षित है, अतः उसे बेरिलियम के 2s इलेक्ट्रॉन से आसानी से हटाया जाता है। ऑक्सीजन का चौथा 2p इलेक्ट्रॉन युग्मित होकर प्रतिकर्षण झेलता है, अतः वह नाइट्रोजन के अर्ध-पूर्ण 2p³ के इलेक्ट्रॉन से आसानी से निकलता है। केवल B < Be अपवाद पकड़ने वाला क्रम भ्रामक निकट-उत्तर है।

  14. एक तत्व X की क्रमागत आयनन ऊर्जाएँ 738, 1451, 7733 व 10540 kJ mol⁻¹ हैं। X आवर्त सारणी के किस वर्ग में होने की सर्वाधिक संभावना है?

    1. वर्ग 2, क्योंकि बड़ी छलाँग दूसरे इलेक्ट्रॉन के हटने के बाद आती है
    2. वर्ग 1, क्योंकि दिए गए चारों मानों में पहला मान सबसे छोटा है
    3. वर्ग 13, क्योंकि चौथे मान के बढ़ने से पहले तीन इलेक्ट्रॉन निकलते हैं
    4. वर्ग 14, क्योंकि इस तत्व की चार आयनन ऊर्जाएँ दी गई हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वर्ग 2, क्योंकि बड़ी छलाँग दूसरे इलेक्ट्रॉन के हटने के बाद आती है

    IE₂/IE₁ लगभग 2 है, पर IE₃/IE₂ लगभग 5.3 है। तीसरा इलेक्ट्रॉन उत्कृष्ट गैस कोर से निकलना पड़ता है, अतः X में दो संयोजी इलेक्ट्रॉन हैं और वह वर्ग 2 में है (ये मैग्नीशियम के मान हैं)। प्रथम IE किसी श्रेणी में सदैव सबसे छोटी होती है, अतः यह तथ्य वर्ग 1 के बारे में कुछ नहीं बताता, और दिए गए मानों की संख्या संयोजी इलेक्ट्रॉनों की संख्या नहीं है।

  15. इलेक्ट्रॉन ग्रहण करने पर गैसीय क्लोरीन परमाणु गैसीय फ़्लुओरीन परमाणु से अधिक ऊर्जा मुक्त करता है, यद्यपि फ़्लुओरीन अधिक विद्युतऋणात्मक है। कौन-सी व्याख्या सही है?

    1. फ़्लुओरीन के बाहरी इलेक्ट्रॉन क्लोरीन से अधिक दूर हैं, अतः वह कमज़ोर आकर्षण करता है
    2. जुड़ा इलेक्ट्रॉन फ़्लुओरीन के छोटे, भीड़ भरे 2p कोश में जाता है, जहाँ प्रतिकर्षण प्रबल है
    3. फ़्लुओरीन में जुड़े इलेक्ट्रॉन को नाभिक से दूर स्थित नए 3s कोश में जाना पड़ता है
    4. क्लोरीन अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन को रिक्त 3d कक्षक में रखता है, जो उसे अधिक दृढ़ता से बाँधता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — जुड़ा इलेक्ट्रॉन फ़्लुओरीन के छोटे, भीड़ भरे 2p कोश में जाता है, जहाँ प्रतिकर्षण प्रबल है

    फ़्लुओरीन छोटा है, अतः आने वाला इलेक्ट्रॉन पहले से पाँच इलेक्ट्रॉन वाले संकुचित 2p कोश में जाता है और प्रबल इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण झेलता है; क्लोरीन के बड़े 3p कोश में यह प्रतिकर्षण बँट जाता है। फ़्लुओरीन के इलेक्ट्रॉन नाभिक के अधिक पास हैं, दूर नहीं; उसका जुड़ा इलेक्ट्रॉन 3s में नहीं जाता बल्कि 2p⁶ पूरा करता है; और क्लोरीन का जुड़ा इलेक्ट्रॉन 3p में जाता है, रिक्त 3d में नहीं, अतः d-कक्षक वाली व्याख्या भ्रामक पर गलत है।

  16. समइलेक्ट्रॉनी आयनों O²⁻, F⁻, Na⁺, Mg²⁺ व Al³⁺ की आयनिक त्रिज्याओं का कौन-सा क्रम सही है?

    1. Al³⁺ > Mg²⁺ > Na⁺ > F⁻ > O²⁻, क्योंकि अधिक आवेश आयन को बड़ा बनाता है
    2. O²⁻ > F⁻ > Mg²⁺ > Na⁺ > Al³⁺, क्योंकि Mg²⁺ में Na⁺ से अधिक इलेक्ट्रॉन हैं
    3. O²⁻ > F⁻ > Na⁺ > Mg²⁺ > Al³⁺, क्योंकि नाभिकीय आवेश बढ़ने पर त्रिज्या घटती है
    4. F⁻ > O²⁻ > Na⁺ > Mg²⁺ > Al³⁺, क्योंकि फ़्लुओरीन ऑक्सीजन से अधिक विद्युतऋणात्मक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — O²⁻ > F⁻ > Na⁺ > Mg²⁺ > Al³⁺, क्योंकि नाभिकीय आवेश बढ़ने पर त्रिज्या घटती है

    पाँचों आयनों में 10 इलेक्ट्रॉन, [Ne] विन्यास, हैं जबकि नाभिकीय आवेश 8 (O) से 13 (Al) तक बढ़ता है। अधिक प्रोटॉन उसी इलेक्ट्रॉन मेघ को पास खींचते हैं, अतः त्रिज्या O²⁻ से Al³⁺ तक लगातार घटती है। पूरा उलटा क्रम यह मानने से आता है कि अधिक आवेश का अर्थ बड़ा आयन है। समइलेक्ट्रॉनी आयनों में इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान होती है, अतः Mg²⁺ में Na⁺ से अधिक इलेक्ट्रॉन नहीं हो सकते, और विद्युतऋणात्मकता आबंधित परमाणुओं का गुण है जो इन आयनों का आकार तय नहीं करता; केवल नाभिकीय आवेश भिन्न है।

  17. आवर्ती गुणों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. इलेक्ट्रॉन जुड़ने के साथ लिथियम से फ़्लुओरीन तक परमाणु त्रिज्या लगातार बढ़ती है
    2. लैंथेनाइड आकुंचन के कारण ज़र्कोनियम व हैफ़्नियम की परमाणु त्रिज्या लगभग समान है
    3. गैसीय O⁻ आयन में दूसरा इलेक्ट्रॉन जोड़ने पर ऊर्जा मुक्त होती है
    4. मुलिकेन पैमाने पर विद्युतऋणात्मकता आयनन ऊर्जा व इलेक्ट्रॉन बंधुता का औसत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — लैंथेनाइड आकुंचन के कारण ज़र्कोनियम व हैफ़्नियम की परमाणु त्रिज्या लगभग समान है; D — मुलिकेन पैमाने पर विद्युतऋणात्मकता आयनन ऊर्जा व इलेक्ट्रॉन बंधुता का औसत है

    Zr (4d) और Hf (5d) के बीच भरने वाले 4f इलेक्ट्रॉनों का कमज़ोर परिरक्षण अपेक्षित आकार-वृद्धि को निष्फल कर देता है, अतः दोनों की त्रिज्या लगभग समान है। मुलिकेन ने विद्युतऋणात्मकता को (IE + EA)/2 परिभाषित किया। Li से F तक परमाणु त्रिज्या बढ़ती नहीं, घटती है, क्योंकि आवर्त में Z(eff) बढ़ता है। ऋणात्मक O⁻ आयन में इलेक्ट्रॉन जोड़ने का प्रतिकर्षण विरोध करता है और ऊर्जा अवशोषित होती है, अतः दूसरा चरण ऊष्माशोषी है।