सांख्यिकी, अर्थमिति एवं गणितीय अर्थशास्त्र
2. सूचकांक व मूल्य-सूचकांकों का निर्माण
सूचकांक यह अनुरेखित करता है कि संबंधित राशियों का समूह — मूल्य, उत्पादन, निर्वाह-व्यय — किसी आधार अवधि के सापेक्ष कैसे चलता है, जिसे 100 पर रखा जाता है। मूल्य-सूचकांक अनेक मूल्यों को मात्रा-भारों से समूहित करता है। दो परिपाटियाँ इस पर भिन्न हैं कि वे किसकी टोकरी को भारित करती हैं। लास्पेयर सूचकांक आधार-वर्ष मात्राएँ q₀ प्रयोग करता है: L = (Σp₁q₀ / Σp₀q₀) × 100। पाशे सूचकांक चालू-वर्ष मात्राएँ q₁ प्रयोग करता है: P = (Σp₁q₁ / Σp₀q₁) × 100। फ़िशर आदर्श सूचकांक इनका गुणोत्तर माध्य है, F = √(L × P)। लास्पेयर प्रायः निर्वाह-व्यय की वृद्धि को बढ़ा-चढ़ाकर और पाशे घटाकर बताता है, क्योंकि उपभोक्ता महँगी होती वस्तुओं से हटकर प्रतिस्थापन करते हैं।
- काल-प्रतिलोम परीक्षण: उत्तम सूचकांक को P₀₁ × P₁₀ = 1 संतुष्ट करना चाहिए (तिथियाँ पलटने पर सूचकांक प्रतिलोमित हो)। लास्पेयर व पाशे इसमें असफल हैं; फ़िशर उत्तीर्ण है।
- कारक-प्रतिलोम परीक्षण: मूल्य-सूचकांक गुणा मात्रा-सूचकांक मूल्य-अनुपात Σp₁q₁/Σp₀q₀ के बराबर हो। तीनों सूचकांकों में केवल फ़िशर उत्तीर्ण है, इसीलिए उसे आदर्श कहते हैं।
- सामान्य श्रेणियाँ: खुदरा निर्वाह-व्यय हेतु उपभोक्ता मूल्य सूचकांक (CPI), थोक लेनदेन हेतु थोक मूल्य सूचकांक (WPI), तथा GDP अपस्फीतिकारक = (नाममात्र GDP/वास्तविक GDP) × 100, जो समस्त उत्पादन को ढकने वाला अंतर्निहित पाशे-प्रकार सूचकांक है।
3. प्रतिचयन, आकलन व परिकल्पना-परीक्षण
प्रतिदर्श किसी समष्टि का प्रतिनिधित्व करता है। प्रायिकता प्रतिचयन — सरल यादृच्छिक, क्रमबद्ध, स्तरित, गुच्छ — हमें त्रुटि का परिमाणन करने देता है; अप्रायिकता प्रतिचयन (सुविधा, कोटा) नहीं। प्रतिदर्श से गणित सांख्यिकी, जैसे माध्य, का एक प्रतिचयन बंटन होता है; CLT उसका आकार देता है। आकलक को अनभिनत (उसकी प्रत्याशा प्राचल के बराबर), दक्ष (न्यूनतम प्रसरण) व संगत (n बढ़ने पर वह प्राचल की ओर अभिसरित) होना चाहिए। विश्वास अंतराल जैसे x̄ ± 1.96·(σ/√n) 95% अंतराल देता है: बारंबार प्रतिदर्शों में ऐसे 95% अंतराल सच्चे माध्य को ढकते हैं।
परिकल्पना-परीक्षण एक शून्य परिकल्पना H₀ को वैकल्पिक H₁ के विरुद्ध रखता है। एक परीक्षण सांख्यिकी की तुलना चुने गए सार्थकता स्तर α पर क्रांतिक मान से की जाती है (सच्ची H₀ को अस्वीकार करने की प्रायिकता, प्रथम प्रकार की त्रुटि)। द्वितीय प्रकार की त्रुटि असत्य H₀ को अस्वीकार न कर पाना है, प्रायिकता β के साथ; सामर्थ्य = 1 − β। द्वि-पुच्छ परीक्षण α को दोनों पुच्छों में बाँटता है; एक-पुच्छ परीक्षण उसे एक में रखता है। मानक औज़ार: σ ज्ञात होने पर z परीक्षण, σ आकलित होने पर t परीक्षण, सुसंगति व स्वातंत्र्य हेतु काई-वर्ग परीक्षण, तथा प्रसरणों की तुलना व समग्र समाश्रयण सार्थकता हेतु F परीक्षण।
4. समाश्रयण, गाउस–मार्कोव व चिरसम्मत विचलन
सरल रैखिक समाश्रयण मॉडल है Yᵢ = β₀ + β₁Xᵢ + uᵢ। साधारण न्यूनतम वर्ग (OLS) β̂₀, β̂₁ को इस प्रकार चुनता है कि अवशिष्टों के वर्गों का योग न्यूनतम हो, जिससे ढाल β̂₁ = Σ(Xᵢ − X̄)(Yᵢ − Ȳ)/Σ(Xᵢ − X̄)² व अंतःखंड β̂₀ = Ȳ − β̂₁X̄ मिलते हैं। R² Y के विचरण का समझाया गया अंश है। गाउस–मार्कोव प्रमेय कहता है कि उसकी मान्यताओं में — प्राचलों में रैखिकता, शून्य-माध्य त्रुटि E(u)=0, समविचरणता (अचर त्रुटि-प्रसरण), स्वसहसंबंध का अभाव, तथा त्रुटि से असहसंबद्ध समाश्रायक (बहुचर में पूर्ण बहुसहरैखिकता का अभाव सहित) — OLS BLUE है: सर्वोत्तम (न्यूनतम-प्रसरण) रैखिक अनभिनत आकलक। BLUE हेतु त्रुटियों की प्रसामान्यता आवश्यक नहीं, केवल छोटे प्रतिदर्शों में यथार्थ t व F परीक्षणों हेतु।
| समस्या | क्या टूटता है | OLS पर परिणाम व सामान्य उपचार | एक पहचान परीक्षण |
|---|---|---|---|
| विषमविचरणता | त्रुटि-प्रसरण अचर नहीं | फिर भी अनभिनत, पर अदक्ष; SE ग़लत। उपचार: दृढ़ (व्हाइट) SE, या WLS/GLS | ब्रॉयश–पैगन, व्हाइट |
| स्वसहसंबंध | प्रेक्षणों के बीच त्रुटियाँ सहसंबद्ध | फिर भी अनभिनत, अदक्ष; SE ग़लत। उपचार: न्यूई–वेस्ट (HAC) SE, या GLS जैसे कोक्रेन–ऑर्कट | डर्बिन–वॉटसन, ब्रॉयश–गॉडफ़्रे |
| बहुसहरैखिकता | समाश्रायक प्रबल रूप से सहसंबद्ध | फिर भी BLUE पर SE फूले, चिह्न अस्थिर। उपचार: अधिक आँकड़े, या सहरेखीय समाश्रायकों को हटाना/जोड़ना (विनिर्देशन-अभिनति से सावधान) | ऊँचा VIF, ऊँचा R² पर कम सार्थक t |
डमी (सूचक) चर किसी गुणात्मक श्रेणी को 0 या 1 के रूप में कूटबद्ध करते हैं — मान लीजिए नगरीय हेतु D = 1, ग्रामीण हेतु 0। एकल डमी अंतःखंड को खिसकाता है; X से अंतःक्रिया किया डमी ढाल को खिसकाता है। k स्तरों वाली श्रेणी में k − 1 डमी रखें और छूटे स्तर को आधार बनने दें, अन्यथा मॉडल आकलित नहीं हो सकता — सभी k को अंतःखंड सहित रखने से उत्पन्न पूर्ण बहुसहरैखिकता ही डमी-चर जाल है।
5. युगपत् समीकरण, अभिनिर्धारण व काल-श्रेणी
युगपत्-समीकरण मॉडल में चर संयुक्त रूप से निर्धारित होते हैं — मूल्य व मात्रा माँग व पूर्ति द्वारा एक साथ — अतः समाश्रायक त्रुटि से सहसंबद्ध होता है और OLS अभिनत (युगपतता अभिनति) होता है। पुनरावर्ती तंत्र में त्रिकोणीय संरचना होती है (समीकरणों के पार त्रुटियाँ असहसंबद्ध) और वह OLS से एक-एक समीकरण करके आकलित हो सकता है; अपुनरावर्ती तंत्र नहीं, क्योंकि तब OLS अभिनत होता है। अभिनिर्धारण समस्या पूछती है कि किसी समीकरण के प्राचल पुनःप्राप्त हो भी सकते हैं या नहीं। क्रम शर्त (order condition) (आवश्यक, पर्याप्त नहीं): कोई समीकरण तभी अभिनिर्धारित हो सकता है जब बहिष्कृत बहिर्जात चरों की संख्या सम्मिलित अंतर्जात चरों (आश्रित चर सहित गिनकर) की संख्या घटा एक से कम न हो — ठीक बराबर होने पर यथार्थ अभिनिर्धारण, अधिक पर अति-अभिनिर्धारण, कम पर अल्प-अभिनिर्धारण। कोटि शर्त (rank condition) (आवश्यक व पर्याप्त) अपेक्षा करती है कि इस समीकरण से बहिष्कृत चरों के, अन्य समीकरणों में, गुणांकों से बने आव्यूह की कोटि समीकरणों की संख्या घटा एक के बराबर हो। अभिनिर्धारित समीकरण उपकरण चरों जैसे 2SLS से आकलित होते हैं।
कोई काल-श्रेणी स्थिर है यदि उसका माध्य, प्रसरण व स्वसहप्रसरण समय के साथ न बदलें। यादृच्छिक चहलक़दमी Yₜ = Yₜ₋₁ + εₜ अस्थिर है (एकक मूल); उसका एक बार अंतरण स्थिर श्रेणी देता है, अतः वह कोटि 1 पर समाकलित, I(1) है। एक असंबंधित I(1) श्रेणी का दूसरी पर समाश्रयण प्रायः ऊँचा R² व सार्थक t देता है बिना किसी वास्तविक संबंध के — आभासी समाश्रयण — जिसे निम्न डर्बिन–वॉटसन सांख्यिकी उजागर करती है। डिकी–फुलर / ADF परीक्षण एकक मूल जाँचता है (H₀: एकक मूल उपस्थित है)।
- AR, MA, ARMA: AR(p) मॉडल Yₜ का उसके अपने अतीत मानों पर समाश्रयण करता है; MA(q) मॉडल अतीत त्रुटि-पदों पर; ARMA(p, q) दोनों को जोड़ता है, और ARIMA I(d) श्रेणी हेतु d बार अंतरण जोड़ता है। AR(1) स्थिर तभी है जब |φ| < 1 हो (व्यापक रूप में, AR पश्चांतर बहुपद के मूल एकक वृत्त के बाहर होने चाहिए); परिमित MA सदा स्थिर होता है।
- सहसमाकलन व त्रुटि-संशोधन: दो I(1) श्रेणियाँ सहसमाकलित हैं यदि उनका कोई रैखिक संयोजन I(0) हो — एक वास्तविक दीर्घकालिक संतुलन। तब एंगल–ग्रेंजर / त्रुटि-संशोधन मॉडल (ECM) अल्पकालिक परिवर्तनों को उस संतुलन से पश्चगामी विचलन से बाँधता है, एक ऋणात्मक समायोजन गुणांक तंत्र को वापस खींचते हुए।
- कारणता व VAR: ग्रेंजर कारणता कहती है कि X, Y का ग्रेंजर-कारण है यदि अतीत X, Y के अपने अतीत से परे Y के पूर्वानुमान में सहायक हो — पूर्वानुमान, सच्चा कारण नहीं। सदिश स्वसमाश्रयण (VAR) अनेक श्रेणियों को एक साथ मॉडल करता है, प्रत्येक को सबके पश्चांतरालों पर, पूर्वानुमान व आवेग-अनुक्रिया विश्लेषण हेतु।
6. गणितीय अर्थशास्त्र: कलन, आव्यूह, इष्टतमीकरण व गतिकी
अवकल कलन सीमांत विश्लेषण का आधार है: सीमांत लागत dC/dq है, सीमांत उपयोगिता dU/dx, और लोच एक लघुगणकीय अवकलज (dln y/dln x) है। अनिर्बंध इष्टतम हेतु प्रथम अवकलज शून्य (प्रथम-कोटि शर्त) और उच्चिष्ठ हेतु द्वितीय अवकलज ऋणात्मक, निम्निष्ठ हेतु धनात्मक (द्वितीय-कोटि शर्त) चाहिए। निर्बंध इष्टतम एक लाग्रांज फलन L = f(x) + λ[c − g(x)], निर्बंध g(x) = c हेतु प्रयोग करता है, जहाँ गुणक λ छाया मूल्य है — निर्बंध की प्रति इकाई शिथिलता से उद्देश्य में लाभ। ऑयलर प्रमेय कहता है कि कोटि-एक समघात फलन अपने निर्गत को सीमांत उत्पादों पर भुगतान पाने वाले कारकों में निःशेष कर देता है।
रैखिक बीजगणित समीकरण-तंत्र हल करता है। वर्गाकार A वाले AX = B हेतु क्रैमर नियम प्रत्येक अज्ञात को xᵢ = det(Aᵢ)/det(A) देता है, जहाँ Aᵢ, A के स्तंभ i को B से प्रतिस्थापित करता है; इसे det(A) ≠ 0 चाहिए। निवेश–निर्गत (लिओंतिफ़) मॉडल प्रत्येक क्षेत्रक के निर्गत को X = AX + d लिखता है, जहाँ A तकनीकी-गुणांक आव्यूह व d अंतिम माँग है, जो X = (I − A)⁻¹d के रूप में हल होता है; लिओंतिफ़ प्रतिलोम (I − A)⁻¹ दिखाता है कि अंतिम माँग की प्रत्येक इकाई को कुल (प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष) निर्गत कितना चाहिए। हॉकिन्स–साइमन शर्त एक अऋणात्मक व्यवहार्य हल सुनिश्चित करती है।
रैखिक प्रोग्रामन (LP) रैखिक असमिका निर्बंधों के अधीन एक रैखिक उद्देश्य को उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ करता है। उसका सुसंगत क्षेत्र एक उत्तल बहुभुज है, और इष्टतम — यदि विद्यमान हो — किसी शीर्ष (कोने बिंदु) पर होता है, अतः प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य का मूल्यांकन उसे खोज लेता है। प्रत्येक LP का एक द्वैत होता है, और आद्य का इष्टतम हो तो द्वैत का भी होता है, बराबर इष्टतम मान के साथ (प्रबल द्वैत); द्वैत चर छाया मूल्य हैं। गतिकी: एक अंतर समीकरण yₜ = a·yₜ₋₁ + b का स्थिर पथ |a| < 1 होने पर स्थिर अवस्था y* = b/(1 − a) की ओर अभिसरित होता है; एक अवकल समीकरण dy/dt = a·y + b, a < 0 होने पर स्थिर है। अंतर समीकरण कोबवेब मॉडल व असतत-काल ऋण-गतिकी वर्णित करते हैं; अवकल समीकरण सतत वृद्धि-पथ।
मुख्य बिंदु
- प्रत्याशा प्रायिकता-भारित माध्य है और Var(X) = E(X²) − [E(X)]²; द्विपद माध्य np, पॉयसन माध्य व प्रसरण दोनों λ। CLT प्रतिदर्श माध्य को लगभग प्रसामान्य बनाता है, मानक त्रुटि σ/√n के साथ, अतः परिशुद्धता √n के साथ बढ़ती है।
- लास्पेयर आधार-वर्ष मात्राओं से, पाशे चालू-वर्ष से भारित करता है; फ़िशर इनका गुणोत्तर माध्य है और अकेला काल- व कारक-प्रतिलोम परीक्षण उत्तीर्ण करता है। सदैव आधार-वर्ष व किसके भार बताइए।
- परिकल्पना-परीक्षण में α प्रथम-प्रकार त्रुटि दर है, सामर्थ्य 1 − β है, और द्वि-पुच्छ परीक्षण α को दोनों पुच्छों में बाँटता है। p-मान इतने चरम परिणाम की संभावना है यदि H₀ सत्य हो, न कि यह प्रायिकता कि H₀ धारित है।
- गाउस–मार्कोव मान्यताओं में OLS BLUE है। विषमविचरणता व स्वसहसंबंध OLS को अनभिनत रखते हैं पर अदक्ष व ग़लत मानक त्रुटियों के साथ; बहुसहरैखिकता मानक त्रुटियाँ फुलाती है। k श्रेणियों हेतु k − 1 डमी प्रयोग करें।
- यादृच्छिक चहलक़दमी I(1) है; असंबंधित I(1) श्रेणियों का समाश्रयण आभासी समाश्रयण देता है। सहसमाकलित I(1) श्रेणियाँ एक दीर्घकालिक संतुलन साझा करती हैं जिसे त्रुटि-संशोधन मॉडल पकड़ता है; ग्रेंजर कारणता पूर्वानुमानात्मक है, और क्रम शर्त अभिनिर्धारण की केवल एक आवश्यक जाँच है (उसे कोटि शर्त तय करती है)।
- क्रैमर नियम xᵢ = det(Aᵢ)/det(A) देता है; लिओंतिफ़ मॉडल X = (I − A)⁻¹d हल करता है; लाग्रांज गुणक एक छाया मूल्य है; और रैखिक प्रोग्रामन इष्टतम सुसंगत क्षेत्र के किसी शीर्ष पर होता है।
अभ्यास प्रश्न (17)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
2015 को आधार वर्ष मानिए (सूचकांक = 100)। दो वस्तुओं के आधार-वर्ष मूल्य व मात्राएँ तथा चालू-वर्ष मूल्य इस प्रकार हैं। वस्तु A: आधार मूल्य 8, आधार मात्रा 10, चालू मूल्य 10। वस्तु B: आधार मूल्य 5, आधार मात्रा 4, चालू मूल्य 7। चालू वर्ष हेतु लास्पेयर मूल्य-सूचकांक (भार के रूप में आधार-वर्ष मात्राएँ) निकालिए। संख्या निकटतम पूर्णांक में दीजिए।
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उत्तर: 128
लास्पेयर L = (Σp₁q₀ / Σp₀q₀) × 100। Σp₁q₀ = 10×10 + 7×4 = 100 + 28 = 128। Σp₀q₀ = 8×10 + 5×4 = 80 + 20 = 100। L = (128/100) × 100 = 128। इसके बजाय चालू-वर्ष मात्राएँ लेने पर पाशे मिलता, एक भिन्न संख्या, जो प्रचलित भूल है।पाँच प्रेक्षण देते हैं X = 1, 2, 3, 4, 5 व Y = 2, 4, 5, 4, 5। Y का X पर OLS समाश्रयण Yᵢ = β₀ + β₁Xᵢ + uᵢ निकालिए। आकलित ढाल β̂₁ एक दशमलव स्थान तक निकालिए।
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उत्तर: 0.6
X̄ = 3, Ȳ = 4। β̂₁ = Σ(X − X̄)(Y − Ȳ)/Σ(X − X̄)²। अंश = (−2)(−2) + (−1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6। हर = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10। β̂₁ = 6/10 = 0.6। (अंतःखंड Ȳ − β̂₁X̄ = 4 − 1.8 = 2.2 होता, पर केवल ढाल पूछा गया है।)एक समाश्रयण में आकलित गुणांक 2.4 है और उसकी आकलित मानक त्रुटि 0.8। इस शून्य परिकल्पना के परीक्षण हेतु कि सच्चा गुणांक शून्य के बराबर है, t-सांख्यिकी निकालिए।
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उत्तर: 3
H₀: β = 0 हेतु t-सांख्यिकी गुणांक को उसकी मानक त्रुटि से भाग देकर मिलती है, t = β̂/SE(β̂) = 2.4/0.8 = 3। |t| = 3 सामान्य 5% द्वि-पुच्छ क्रांतिक मान (लगभग 1.96–2.0) से अधिक है, अतः गुणांक परंपरागत स्तरों पर सार्थक है।क्रैमर नियम से तंत्र 2x + y = 8 तथा x + 3y = 9 हल कीजिए। x का मान दीजिए।
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उत्तर: 3
गुणांक सारणिक D = |2 1; 1 3| = (2)(3) − (1)(1) = 5। x-स्तंभ को दाएँ पक्ष से प्रतिस्थापित करने पर Dₓ = |8 1; 9 3| = (8)(3) − (1)(9) = 15। अतः x = Dₓ/D = 15/5 = 3 (और y = 2, क्योंकि 2(3) + 2 = 8)।x + y ≤ 4, x ≤ 3, y ≤ 3 तथा x, y ≥ 0 के अधीन Z = 3x + 2y को उच्चिष्ठ कीजिए। Z का उच्चिष्ठ मान दीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 11
रैखिक प्रोग्राम का इष्टतम सुसंगत क्षेत्र के किसी शीर्ष पर होता है। शीर्ष: (0,0) देता है 0; (3,0) देता है 9; (3,1) देता है 11; (1,3) देता है 9; (0,3) देता है 6। कोना (3,1) वहाँ है जहाँ x = 3, x + y = 4 से मिलता है। उच्चिष्ठ Z = 11 है (3, 1) पर।एक दो-क्षेत्रक अर्थव्यवस्था का तकनीकी-गुणांक आव्यूह A है जिसमें a₁₁ = 0.2, a₁₂ = 0.4, a₂₁ = 0.3, a₂₂ = 0.1 (aᵢⱼ क्षेत्रक j के प्रति इकाई निर्गत हेतु क्षेत्रक i से निवेश है)। अंतिम माँग क्षेत्रक 1 हेतु 24 व क्षेत्रक 2 हेतु 12 है। X = (I − A)⁻¹d प्रयोग कर क्षेत्रक 1 से अपेक्षित कुल निर्गत निकालिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 44
I − A = [0.8, −0.4; −0.3, 0.9], सारणिक (0.8)(0.9) − (−0.4)(−0.3) = 0.72 − 0.12 = 0.60। (I − A)X = d हल करते हुए: 0.8X₁ − 0.4X₂ = 24 तथा −0.3X₁ + 0.9X₂ = 12। प्रतिलोम देता है X₁ = (0.9·24 + 0.4·12)/0.60 = (21.6 + 4.8)/0.60 = 26.4/0.60 = 44 (और X₂ = 28)। क्षेत्रक 1 का कुल निर्गत 44 है।प्राचल λ वाले पॉयसन यादृच्छिक चर हेतु उसका माध्य व प्रसरण क्या हैं?
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उत्तर: A — माध्य λ है और प्रसरण भी λ
पॉयसन बंटन की एक परिभाषी विशेषता यह है कि उसका माध्य व प्रसरण बराबर होते हैं, दोनों λ। माध्य np व प्रसरण np(1 − p) द्विपद का है, जिसकी पॉयसन तब सन्निकटि करता है जब n बड़ा व p छोटा हो, np = λ के साथ।केंद्रीय सीमा प्रमेय किस कथन से सबसे सटीक वर्णित होता है?
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उत्तर: B — माध्य का प्रतिचयन बंटन n बढ़ने पर प्रसामान्यता की ओर जाता है, मानक त्रुटि σ/√n के साथ, परिमित प्रसरण वाले किसी भी जनक बंटन हेतु
CLT प्रतिदर्श माध्य के बंटन के बारे में है, कच्चे आँकड़ों के नहीं: बड़े n हेतु माध्य लगभग प्रसामान्य होता है, मानक त्रुटि σ/√n के साथ, जनक आकार चाहे जो हो। कच्चे प्रेक्षण अपना बंटन बनाए रखते हैं; समष्टि-प्रसरण σ² एक अचर प्राचल है; और बड़े प्रतिदर्श हर सांख्यिकी को अनभिनत नहीं बनाते।5% सार्थकता स्तर पर, एक शोधकर्ता H₀: μ = 50 का परीक्षण द्वि-पक्षीय वैकल्पिक H₁: μ ≠ 50 के विरुद्ध करता है। यहाँ 5% सार्थकता स्तर क्या दर्शाता है?
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उत्तर: A — H₀ को अस्वीकार करने की प्रायिकता जबकि वह वस्तुतः सत्य है
सार्थकता स्तर α प्रथम-प्रकार त्रुटि की प्रायिकता है — सच्ची शून्य को अस्वीकार करना — जिसे शोधकर्ता परीक्षण से पूर्व रखता है। आँकड़ों को देखते हुए H₀ की प्रायिकता एक बेज़ीय पश्च है, α नहीं; असत्य शून्य को अस्वीकार न कर पाना द्वितीय-प्रकार त्रुटि β है; और सामर्थ्य 1 − β है।गाउस–मार्कोव मान्यताओं के अंतर्गत, OLS आकलक किस गुण से वर्णित होता है?
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उत्तर: B — यह सर्वोत्तम (न्यूनतम-प्रसरण) रैखिक अनभिनत आकलक है, किसी प्रसामान्यता मान्यता की आवश्यकता बिना
गाउस–मार्कोव OLS को BLUE बनाता है — रैखिक अनभिनत आकलकों के वर्ग में न्यूनतम-प्रसरण आकलक — और प्रसामान्यता उसकी मान्यताओं में नहीं है (प्रसामान्यता केवल यथार्थ लघु-प्रतिदर्श t व F निष्कर्ष हेतु चाहिए)। OLS अनभिनत है, अभिनत नहीं; वह अधिकतम-संभाविता से केवल तभी संपाती होता है जब त्रुटियाँ प्रसामान्य हों, जो गाउस–मार्कोव नहीं मानता; और समाश्रायकों के बीच सामान्य सहसंबंध (पूर्ण सहरैखिकता से कम) अनभिनति को नष्ट नहीं करता।दो आर्थिक रूप से असंबंधित चर प्रत्येक एक यादृच्छिक चहलक़दमी हैं, और एक का दूसरे पर OLS समाश्रयण किया जाता है। समाश्रयण ऊँचा R² व अत्यधिक सार्थक ढाल बताता है, फिर भी डर्बिन–वॉटसन सांख्यिकी बहुत निम्न है। इस प्रतिरूप का सर्वोत्तम स्पष्टीकरण है:
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उत्तर: C — आभासी समाश्रयण, क्योंकि दोनों श्रेणियाँ अस्थिर I(1) प्रक्रियाएँ हैं
एक अस्थिर (एकक-मूल, I(1)) श्रेणी का दूसरी असंबंधित श्रेणी पर समाश्रयण करने से ऊँचा R² के साथ बहुत निम्न डर्बिन–वॉटसन आभासी समाश्रयण का चिरसम्मत चिह्न है: प्रतीत होता मिलान साझा प्रवृत्ति की कृति है, संबंध नहीं। बहुसहरैखिकता एक समीकरण में समाश्रायकों के बीच सहसंबंध से संबंधित है, और विषमविचरणता दक्षता व मानक त्रुटियों को प्रभावित करती है, इस प्रवृत्ति-चालित मिथ्या मिलान को नहीं।एक उपभोक्ता लाग्रांज फलन का प्रयोग कर बजट-निर्बंध के अधीन उपयोगिता उच्चिष्ठ करता है। लाग्रांज गुणक λ का इष्टतम मान सर्वोत्तम रूप से किस रूप में व्याख्यायित होता है?
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उत्तर: B — आय की सीमांत उपयोगिता — बजट की प्रति इकाई शिथिलता से उच्चिष्ठ उपयोगिता में वृद्धि
गुणक निर्बंध का छाया मूल्य है: उपभोक्ता चयन में यह मापता है कि बजट एक इकाई ढीला करने पर उच्चिष्ठ उपयोगिता कितनी बढ़ती है, अर्थात् आय की सीमांत उपयोगिता। यह कुल उपयोगिता नहीं, मूल्य-अनुपात नहीं (वह इष्टतम पर सीमांत उपयोगिताओं के अनुपात के बराबर है), और कोई मात्रा नहीं।अन्यथा सही विनिर्दिष्ट OLS समाश्रयण में विषमविचरणता के परिणामों पर विचार कीजिए। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — OLS गुणांक आकलन अनभिनत बने रहते हैं; B — सामान्य OLS मानक त्रुटियाँ अमान्य हो जाती हैं, अतः t व F परीक्षण भ्रामक हो सकते हैं; C — OLS अब दक्ष नहीं — वह न्यूनतम-प्रसरण रैखिक अनभिनत आकलक नहीं है
विषमविचरणता अचर-प्रसरण मान्यता का उल्लंघन करती है पर ढाल-आकलनों को अनभिनत व संगत रखती है; जो वह नष्ट करती है वह दक्षता व सामान्य मानक त्रुटियों की वैधता है, अतः निष्कर्ष अविश्वसनीय है (उपचार दृढ़ मानक त्रुटियाँ या GLS हैं)। वह गुणांकों को अभिनत नहीं करती, अतः वह दावा ग़लत है।लास्पेयर, पाशे व फ़िशर मूल्य-सूचकांकों के संबंध में, निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — लास्पेयर सूचकांक आधार-वर्ष मात्राओं को भार के रूप में प्रयोग करता है; B — फ़िशर आदर्श सूचकांक लास्पेयर व पाशे सूचकांकों का गुणोत्तर माध्य है; C — फ़िशर सूचकांक काल-प्रतिलोम व कारक-प्रतिलोम दोनों परीक्षण संतुष्ट करता है
लास्पेयर आधार-वर्ष मात्राओं q₀ से भारित करता है, फ़िशर √(L × P) है और तीनों सूचकांकों में अकेला दोनों प्रतिलोम परीक्षण उत्तीर्ण करता है। यह दावा कि पाशे आधार-वर्ष मात्राओं से भारित करता है, ग़लत है: पाशे चालू-वर्ष मात्राएँ q₁ प्रयोग करता है, और यही उसे लास्पेयर से अलग करता है।दो श्रेणियाँ प्रत्येक कोटि एक पर समाकलित, I(1), हैं। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — वे सहसमाकलित हैं यदि उनका कोई रैखिक संयोजन स्थिर, I(0), हो; B — यदि वे सहसमाकलित हों, तो त्रुटि-संशोधन मॉडल अल्पकालिक परिवर्तनों को पश्चगामी संतुलन-त्रुटि से जोड़ता है; C — प्रत्येक श्रेणी का एक बार अंतरण एक स्थिर श्रेणी उत्पन्न करता है
सहसमाकलन ठीक-ठीक I(1) श्रेणियों का एक स्थिर रैखिक संयोजन है, और यह त्रुटि-संशोधन निरूपण को अधिकृत करता है; I(1) श्रेणी का एक बार अंतरण परिभाषा से I(0) श्रेणी देता है। अंतिम दावा असत्य है: सहसमाकलन के बिना, एक I(1) श्रेणी का दूसरी पर समाश्रयण ठीक वही स्थिति है जो आभासी समाश्रयण उत्पन्न करती है।एक यथार्थतः अभिनिर्धारित संरचनात्मक समीकरण में, अभिनिर्धारण हेतु क्रम शर्त (order condition) सर्वोत्तम रूप से किस प्रकार बताई जाती है?
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उत्तर: A — बहिष्कृत बहिर्जात चरों की संख्या सम्मिलित अंतर्जात चरों की संख्या घटा एक के बराबर है
क्रम शर्त (आवश्यक, पर्याप्त नहीं) बहिष्कृत बहिर्जात चरों को सम्मिलित अंतर्जात चरों के विरुद्ध गिनती है: यथार्थ अभिनिर्धारण समानता है (बहिष्कृत बहिर्जात = सम्मिलित अंतर्जात − 1), अधिक पर अति-अभिनिर्धारण। अन्य कथन न क्रम शर्त न अभिनिर्धारण वर्णित करते हैं; त्रुटियों की परस्पर असहसंबद्धता पुनरावर्ती तंत्र की आकलनीयता से संबंधित है, एक अलग विषय।कौन-सी प्रतिचयन विधि इसकी गारंटी देती है कि समष्टि की प्रत्येक इकाई के चयन की एक ज्ञात, शून्येतर प्रायिकता हो?
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उत्तर: D — सरल यादृच्छिक प्रतिचयन
सरल यादृच्छिक प्रतिचयन एक प्रायिकता विधि है: प्रत्येक इकाई के चयन की एक ज्ञात, समान, शून्येतर संभावना होती है, जो प्रतिचयन त्रुटि के परिमाणन को संभव बनाती है। सुविधा, कोटा व उद्देश्यपूर्ण प्रतिचयन अप्रायिकता विधियाँ हैं जिनमें चयन-प्रायिकताएँ अज्ञात हैं और प्रतिदर्श क्रमबद्ध रूप से अभिनत हो सकता है।