विश्लेषणात्मक तर्क: संबंध, निगमन व वैध निष्कर्ष निकालना

यह मानविकी एवं सामाजिक विज्ञान (XH) पेपर का पहला अध्याय है, XH0 तर्क एवं अवबोधन के खंड XH0.3 हेतु, वह भाग जिसे प्रत्येक XH अभ्यर्थी हल करता है। यह शीर्षक “खंड XH0.3: विश्लेषणात्मक तर्क — कथनों या छोटे अनुच्छेदों में संबंध समझने और उनसे उचित निष्कर्ष/अनुमान निकालने की क्षमता” का उत्तर देता है। विश्लेषणात्मक तर्क कुछ बताए गए संबंधों के छोटे समुच्चय से आरंभ होता है — कौन अधिक लंबा, कौन किसके बाद, यदि-यह-तो-वह — और पूछता है कि क्या बाध्य है। कौशल यह है कि जो आवश्यक रूप से सत्य हो उसे उससे अलग किया जाए जो मात्र संभवतः सत्य हो, और उसे अनुमान के बजाय स्वच्छ रूप से पढ़ लिया जाए। यह अध्याय वर्गीय कथन, क्रम व पदानुक्रम, समूहन व नियतन, सप्रतिबंध निगमन, तथा संबंध-पहेलियाँ जैसे नातेदारी व दिशा पढ़ाता है, हल किए संख्यात्मक उदाहरणों सहित। कुछ प्रश्न संख्यात्मक पहेलियाँ हैं जिनका उत्तर एक सादी संख्या है। प्रत्येक हल किया गया प्रश्न अपने संबंध प्रश्न-कथन के भीतर बताता है।

1. निगमन: जो आवश्यक रूप से निकले उसे पढ़ना

विश्लेषणात्मक तर्क निगमन है: दिए गए संबंधों के समुच्चय से आप वह सब निकालते हैं जिसे वे बाध्य करते हैं और वह कुछ नहीं जिसे वे नहीं करते। सबसे उपयोगी आदत यह है कि हर संभावित निष्कर्ष को तीन कोष्ठों में छाँटा जाए। कोई निष्कर्ष आवश्यक रूप से सत्य है यदि ऐसा कोई तरीक़ा न हो कि सभी संबंध टिके रहें और वह असत्य हो। वह सत्य नहीं हो सकता यदि संबंध उसे वर्जित करते हैं। और वह सत्य हो सकता है यदि संबंध उसे न बाध्य करें न वर्जित — जो, ‘क्या निकलता है’ पूछने वाले प्रश्न में, ग़लत उत्तर गिना जाता है। ‘हो सकता है’ ‘आवश्यक रूप से है’ नहीं है।

🧠 तीन कोष्ठ: आवश्यक, असंभव, संभव
हर विकल्प के लिए ऐसा दृश्य बनाने का प्रयास कीजिए जो सभी दिए गए संबंधों को संतुष्ट करे फिर भी विकल्प को असत्य बनाए। यदि आप सफल होते हैं, तो विकल्प केवल ‘हो सकता है’ है और ‘अवश्य निकलता है’ प्रश्न का उत्तर नहीं। यदि नहीं कर पाते — यदि हर अनुमत दृश्य उसे सत्य बनाए — तो वह आवश्यक रूप से सत्य है। यही एक परख अधिकांश विश्लेषणात्मक प्रश्नों को निपटा देती है।

एक हल किया उदाहरण। कथन: “अभिलेख-कार्यालय का हर लिपिक टंकण-परीक्षा पास कर चुका है। टंकण-परीक्षा पास करने वालों में से कुछ रात्रि-पाली के कर्मचारी भी हैं।” संभावित निष्कर्ष: “कुछ लिपिक रात्रि-पाली के कर्मचारी हैं।” इसे तोड़ने का प्रयास कीजिए। मान लीजिए रात्रि-पाली के वे सभी लोग जिन्होंने टंकण-परीक्षा पास की लेखाकार हैं, लिपिक नहीं: दोनों कथन फिर भी टिकते हैं, पर निष्कर्ष असत्य है। अतः वह केवल ‘हो सकता है’ है। अब “हर लिपिक टंकण-परीक्षा पास कर चुका है” को परखिए: यह ठीक दिया गया नियम ही है, अतः आवश्यक रूप से सत्य है। विधि कभी यह नहीं पूछती कि निष्कर्ष संभावित लगता है या नहीं, केवल यह कि कोई संगत संसार उसे असत्य कर सकता है या नहीं।

तर्क से पहले, शब्दों को किसी सघन रूप में बदलिए: क्रम के लिए एक शृंखला (D > A > B), शर्तों के लिए यदि-तो तीरों की छोटी सूची, या नियतन के लिए एक छोटा ग्रिड। यह रूपांतरण भाषा का कोलाहल हटाकर संरचना छोड़ देता है, और अधिकांश भूलें रूपांतरण में होती हैं, उसके बाद के तर्क में नहीं।

2. वर्गीय कथन: सभी, कुछ व कोई नहीं

चार कथन-रूप अधिकांश वर्गीय तर्क ढोते हैं: ‘सभी A, B हैं’, ‘कोई A, B नहीं’, ‘कुछ A, B हैं’, व ‘कुछ A, B नहीं’। ‘सभी A, B हैं’ आपको किसी भी A से B तक जाने देता है, पर वापस नहीं: यह ‘सभी B, A हैं’ नहीं देता। ‘कोई A, B नहीं’ दोनों ओर चलता है (कोई B, A नहीं)। ‘कुछ A, B हैं’ भी दोनों ओर चलता है (कुछ B, A हैं), पर यह शेष के बारे में कुछ नहीं बताता, और यह ‘कुछ A, B नहीं’ का अर्थ नहीं देता। ‘कुछ’ में ‘कम से कम एक’ से अधिक पढ़ना सबसे आम वर्गीय भूल है।

प्रत्येक वर्गीय रूप क्या देता है और क्या नहीं
कथनवैध तात्कालिक अनुमानआम ग़लत चाल
सभी A, B हैंकोई भी विशेष A एक B हैयह निष्कर्ष कि सभी B, A हैं
कोई A, B नहींकोई B, A नहीं (उलटकर भी सही रहता है)यह निष्कर्ष कि कुछ A, B हैं
कुछ A, B हैंकुछ B, A हैं (उलटकर भी सही रहता है)यह निष्कर्ष कि कुछ A, B नहीं
कुछ A, B नहींकम से कम एक A, B के बाहर हैयह निष्कर्ष कि कुछ B, A नहीं
⚠️ मध्य पद एक बार पूर्णतः साझा होना चाहिए
‘सभी गायक-मंडल सदस्य संगीत पढ़ते हैं’ व ‘संगीत पढ़ने वालों में से कुछ वायलिन बजाते हैं’ से आप यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि कोई गायक-मंडल सदस्य वायलिन बजाता है: संगीत पढ़ने वालों में से वायलिन बजाने वाले सभी गायक-मंडल के बाहर हो सकते हैं। दो ‘कुछ’, या साझा वर्ग के ग़लत भाग पर पड़ता एक ‘कुछ’, कोई वैध निष्कर्ष नहीं देते।

3. क्रम, पदानुक्रम व विन्यास गिनना

तुलनात्मक संबंध संक्रामकता (transitivity) से क्रम बनाते हैं: यदि A, B से लंबा है और B, C से लंबा है, तो A, C से लंबा है, अतः तीनों एक रेखा A – B – C पर पड़ते हैं। रेखा खींचिए, हर नए तथ्य को उस पर रखिए, और उन अंतरालों पर ध्यान दीजिए जो तथ्य खुले छोड़ते हैं। यदि संकेत सबको एक ही शृंखला में जोड़ दें, तो क्रम पूर्णतः निश्चित है; यदि दो व्यक्ति, शृंखला से भी, कभी तुलित न हों, तो उनका सापेक्ष क्रम अनिर्धारित रह सकता है।

विन्यास गिनना कुछ नियम प्रयोग करता है। n भिन्न वस्तुओं को एक पंक्ति में सजाने से n! क्रम मिलते हैं (n क्रमगुणित: 4! = 24)। यदि दो वस्तुओं को साथ बैठना हो, तो उन्हें एक खंड में बाँध दीजिए — खंड को शेष के बीच सजाइए, फिर उसके भीतर सजाइए। हल उदाहरण: पंक्ति में चार पुस्तकें जहाँ दो विशेष पुस्तकें सटी हों, तीन इकाइयों के लिए 3! तरीक़े गुणा खंड के भीतर 2! तरीक़े, यानी 6 × 2 = 12। यदि एक वस्तु किसी छोर पर नियत हो, तो केवल शेष वस्तुएँ सजाइए। पहले संरचना गिनिए, फिर गुणा कीजिए।

⚠️ असंबद्ध युग्म क्रमित नहीं होता
यदि संकेत A > B व C > B बताएँ पर A की C से कभी तुलना न करें, तो A व C का कोई बाध्य क्रम नहीं, और ‘A, C से लंबा है’ केवल ‘हो सकता है’ है। ‘दूसरा कौन है’ उत्तर देने से पहले जाँचिए कि शृंखला वस्तुतः उस स्थान तक बिना अंतराल पहुँचती है; अन्यथा ईमानदार उत्तर यह हो सकता है कि निर्धारित नहीं किया जा सकता।

4. समूहन, मिलान व नियतन

जब कई व्यक्तियों में से हर एक कई विकल्पों में से एक लेता है — पेय, सीट, दिन — तो ग्रिड स्वच्छ उपकरण है: व्यक्ति किनारे नीचे, विकल्प ऊपर आड़े, हर कोष्ठ में सही या ग़लत का चिह्न। हर बताया संकेत कोष्ठ चिह्नित करता है। जिस पंक्ति में एक को छोड़ हर कोष्ठ काट दिया गया हो वह बचे हुए को बाध्य करती है, और वह सही-चिह्न लगाने पर उसके स्तंभ का शेष कट जाता है, जो प्रायः शृंखलाबद्ध रूप से आगे बढ़ता है। सबसे प्रतिबंधक संकेत पहले लगाइए, क्योंकि वह एक साथ सर्वाधिक संभावनाएँ हटाता है।

एक हल किया ग्रिड। तीन सहकर्मी — आशा, बिनु व चित्रा — तीन मेज़ों (खिड़की, बीच, द्वार) पर बैठते हैं। संकेत: आशा द्वार पर नहीं है; बिनु खिड़की पर नहीं है; चित्रा न खिड़की पर है न बीच में। चित्रा की पंक्ति में दो कोष्ठ कटे हैं, अतः वह द्वार पर है। तब आशा, जो द्वार पर नहीं हो सकती, के पास खिड़की या बीच है, और बिनु, जो खिड़की पर नहीं हो सकता, निष्कासन से बीच लेता है, जिससे खिड़की आशा के लिए बचती है। हर संकेत ने एक कोष्ठ हटाया, और अंतिम अनकटा कोष्ठ बाध्य था। ध्यान दीजिए कि किसी संकेत ने नहीं कहा कि आशा कहाँ बैठती है; ग्रिड ने वह दे दिया।

अतिव्यापी समूह समावेशन–अपवर्जन से गिने जाते हैं। दो समूहों के लिए, कम से कम एक में रहने वालों की संख्या n(A) + n(B) − n(A और B) है, क्योंकि दोनों आकार जोड़ने से अतिव्यापन दो बार गिना जाता है। किसी में नहीं रहने वालों की संख्या कुल घटा वह संख्या है। हल उदाहरण: 40 सदस्यों में, 22 शतरंज खेलते हैं और 18 कैरम, और 6 दोनों। कम से कम एक खेल: 22 + 18 − 6 = 34, अतः 40 − 34 = 6 कोई नहीं खेलते। केवल शतरंज 22 − 6 = 16 और केवल कैरम 18 − 6 = 12; जाँच: 16 + 12 + 6 + 6 = 40।

🎯 निष्कासन ही काम करता है
किसी को रखने के लिए यह सिद्ध करने की विरले ही आवश्यकता होती है कि वह कहाँ जाता है; यह सरल है कि जहाँ-जहाँ वह नहीं जा सकता वहाँ तब तक काटते जाएँ जब तक एक कोष्ठ बचे। ‘X मंगलवार को नहीं’ जैसी बाधा सीधे एक कोष्ठ हटाती है, और ‘यदि R तो S’ वह दृश्य हटाती है जहाँ R चुना जाए पर S नहीं। किसी पंक्ति या स्तंभ में अंत में बचा कोष्ठ बाध्य नियतन है।

5. सप्रतिबंध: यदि-तो, आवश्यक व पर्याप्त

सप्रतिबंध ‘यदि P तो Q’ ठीक दो चालों की अनुमति देता है। P दिए जाने पर, Q निष्कर्ष कीजिए (सीधा पाठ)। not-Q दिए जाने पर, not-P निष्कर्ष कीजिए — यह प्रतिधनात्मक (contrapositive) है, और सदैव वैध है। दो लुभावनी चालें अवैध हैं: Q से आप P नहीं निकाल सकते (अनुवर्ती (consequent) की पुष्टि), और not-P से आप not-Q नहीं निकाल सकते (पूर्ववर्ती (antecedent) का निषेध)। यदि अलार्म सेट होने पर गेट लॉक होता है, तो अनलॉक गेट बताता है कि अलार्म सेट नहीं था; लॉक गेट अलार्म के बारे में कुछ नहीं बताता।

आवश्यक को पर्याप्त से अलग कीजिए। यदि Y हेतु X अपेक्षित है, तो X आवश्यक है: X बिना, कोई Y नहीं, अतः Y आपको X निकालने देता है। पर X का आवश्यक होना उसे पर्याप्त नहीं बनाता: X होने पर भी Y न मिले, क्योंकि अन्य अपेक्षाएँ शेष रह सकती हैं। ‘चढ़ने हेतु आरक्षित टिकट चाहिए’ का अर्थ है टिकट नहीं तो चढ़ना नहीं — फिर भी टिकट होना अपने आप सिद्ध नहीं करता कि चढ़ा जा सकता है। आवश्यक शर्त को पर्याप्त मान लेना एक आम (क्लासिक) जाल है।

⚠️ आवश्यक पर्याप्त नहीं, और उलटा नियम नहीं
दो विभाजन स्पष्ट रखिए। पहला, आवश्यक शर्त पूरी करना परिणाम की गारंटी नहीं देता। दूसरा, ‘यदि P तो Q’ ‘यदि Q तो P’ के समान नहीं; एकमात्र उलटाव जो आप प्रयोग कर सकते हैं वह प्रतिधनात्मक ‘यदि not-Q तो not-P’ है। अधिकांश ग़लत सप्रतिबंध उत्तर निष्कर्ष के वेश में एक उलटा किया हुआ सप्रतिबंध या पूर्ववर्ती का निषेध होते हैं।

6. संबंध-पहेलियाँ: नातेदारी व दिशा

नातेदारी-पहेली के लिए एक छोटा वंश-वृक्ष खींचिए और वर्णन को वक्ता से बाहर की ओर, एक-एक कड़ी, पढ़िए। ‘मेरी माता की इकलौती बहन का बेटा’ है: माता, फिर उसकी बहन (वक्ता की मौसी), फिर उस मौसी का बेटा — वक्ता का मौसेरा भाई। जोड़ने से पहले हर पदबंध को ठीक उस संबंधी से बदलिए जिसका वह नाम लेता है, और शब्दों द्वारा तय लिंग स्थिर रखिए। जिस भूल से बचना है वह दो कड़ियों को एक में समेट देना है, जो मौसेरे भाई को भाई या मौसी को माता बना देती है।

⚠️ कड़ी पढ़िए, पूरा परिवार नहीं
“मेरे पिता के भाई की बेटी” चचेरी बहन है, सगी बहन नहीं: कड़ी पिता के भाई से होकर जाती है, पिता से नहीं। “मेरी माता का भाई” मामा है, जबकि “मेरी माता की बहन का पति” मौसा है। जब प्रश्न-कथन केवल कुछ तथ्य तय करता है, तो ऐसा उत्तर जिसे किसी अनकहे तथ्य की आवश्यकता हो — जैसे उस व्यक्ति का लिंग जिसे कथन ने कभी नहीं बताया — कुंजी नहीं हो सकता।

दिशा-पहेली के लिए पथ को एक मानसिक ग्रिड पर खींचिए, उत्तर ऊपर। दायाँ मोड़ आपको दक्षिणावर्त घुमाता है (उत्तर से पूर्व से दक्षिण से पश्चिम), बायाँ मोड़ वामावर्त। हर मोड़ के बाद मुख-दिशा का हिसाब रखिए, और अंतिम स्थिति हेतु उत्तर–दक्षिण चालें व पूर्व–पश्चिम चालें अलग-अलग जोड़िए। कुल उत्तर घटा दक्षिण ऊर्ध्वाधर विस्थापन देता है, कुल पूर्व घटा पश्चिम क्षैतिज, और इन दोनों से सीधी-रेखा दूरी निकलती है।

मुख्य बिंदु

  • हर संभावित निष्कर्ष को आवश्यक-सत्य, असंभव व संभव में छाँटिए; ‘क्या निकलता है’ प्रश्न का उत्तर केवल बाध्य निष्कर्ष देता है, और ‘हो सकता है’ ग़लत उत्तर है।
  • ‘सभी A, B हैं’ ‘सभी B, A हैं’ नहीं देता; ‘कोई A, B नहीं’ व ‘कुछ A, B हैं’ दोनों उलटकर भी सही रहते हैं; ‘कुछ’ का अर्थ कम से कम एक है और वह कभी ‘कुछ नहीं’ का अर्थ नहीं देता।
  • संक्रामकता क्रम बनाती है; संकेतों से कभी न जुड़ा युग्म बाध्य क्रम नहीं रखता। विन्यास n! से गिनिए, सटी वस्तुओं को एक खंड में बाँधिए, और किसी भी छोर-बाधा को पहले नियत कीजिए।
  • नियतन के लिए ग्रिड प्रयोग कीजिए और निष्कासन को काम करने दीजिए: किसी पंक्ति या स्तंभ में अंतिम अनकटा कोष्ठ बाध्य है; सबसे प्रतिबंधक संकेत पहले लगाइए।
  • ‘यदि P तो Q’ P से Q और not-Q से not-P (प्रतिधनात्मक) देता है; यह Q से P या not-P से not-Q कभी नहीं देता। आवश्यक शर्त पर्याप्त शर्त नहीं होती।
  • नातेदारी को कड़ी-दर-कड़ी पढ़े वंश-वृक्ष से हल कीजिए, और दिशा को एक ग्रिड से जहाँ दायाँ मोड़ दक्षिणावर्त जाता है; मुख-दिशा व उत्तर–दक्षिण बनाम पूर्व–पश्चिम चालें अलग रखिए।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. पूर्वी खंड की सभी पेंटिंग जल-रंग (watercolour) हैं। ‘Dawn’ शीर्षक वाली पेंटिंग पूर्वी खंड में टँगी है। निश्चय के साथ कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?

    1. ‘Dawn’ पेंटिंग एक जल-रंग है।
    2. गैलरी का हर जल-रंग पूर्वी खंड में टँगा है।
    3. पूर्वी खंड की कुछ पेंटिंग जल-रंग नहीं हैं।
    4. ‘Dawn’ पूर्वी खंड की एकमात्र जल-रंग पेंटिंग है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ‘Dawn’ पेंटिंग एक जल-रंग है।

    चूँकि पूर्वी खंड की सभी पेंटिंग जल-रंग हैं और ‘Dawn’ पूर्वी खंड में है, ‘Dawn’ एक जल-रंग है। यह निष्कर्ष कि हर जल-रंग पूर्वी खंड में टँगा है ‘सभी A, B हैं’ को ‘सभी B, A हैं’ में उलट देता है। यह कहना कि कुछ पूर्वी-खंड पेंटिंग जल-रंग नहीं, इस दिए गए नियम का खंडन करता है कि वे सब जल-रंग हैं, और ‘Dawn’ को एकमात्र जल-रंग कहना बिना दी जानकारी जोड़ता है।

  2. कुछ स्वयंसेवक विद्यार्थी भी हैं। सभी विद्यार्थी 25 वर्ष से कम आयु के हैं। कौन-सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?

    1. हर स्वयंसेवक 25 से कम आयु का है।
    2. कम से कम एक स्वयंसेवक 25 से कम आयु का है।
    3. कोई स्वयंसेवक 25 वर्ष से अधिक आयु का नहीं है।
    4. सभी विद्यार्थी भी स्वयंसेवक हैं।
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कम से कम एक स्वयंसेवक 25 से कम आयु का है।

    जो स्वयंसेवक विद्यार्थी हैं वे 25 से कम हैं, अतः कम से कम एक स्वयंसेवक 25 से कम है। यह दावा कि हर स्वयंसेवक 25 से कम है, या कोई 25 से अधिक नहीं, विद्यार्थी-स्वयंसेवकों से आगे बढ़कर सभी स्वयंसेवकों तक जाता है, जो बाध्य नहीं। ‘सभी विद्यार्थी स्वयंसेवक हैं’ ‘कुछ स्वयंसेवक विद्यार्थी हैं’ को उलट देता है।

  3. बिना बराबरी वाली एक दौड़ में, अनिल बेला से आगे रहा, बेला चेतन से आगे रही, और दीपा अनिल से आगे रही। इन चारों में अंतिम कौन रहा?

    1. बेला
    2. अनिल
    3. चेतन
    4. दी गई जानकारी से निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — चेतन

    शृंखला है दीपा, अनिल से आगे, अनिल बेला से आगे, बेला चेतन से आगे, अतः पूरा क्रम दीपा, अनिल, बेला, चेतन है और चेतन अंतिम है। बेला व अनिल दोनों के पीछे कोई है, और संकेत चारों को एक ही शृंखला में जोड़ते हैं, अतः परिणाम पूर्णतः निर्धारित है, अनिर्धारित नहीं।

  4. पाँच मित्रों की ऊँचाइयाँ भिन्न हैं। रवि सीता से लंबा है; सीता मीना से लंबी है; तारा मीना से छोटी है; और उदय पाँचों में सबसे लंबा है। सबसे लंबे को स्थान 1 मानकर गिनने पर, सीता का स्थान क्या है? केवल संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    उदय सबसे लंबा है, अतः वह स्थान 1 पर है। शृंखला रवि > सीता > मीना > तारा, जिसमें रवि के ऊपर केवल उदय है, पूरा क्रम उदय, रवि, सीता, मीना, तारा देती है। अतः सीता स्थान 3 पर है। सामान्य भूल यह भूल जाना है कि उदय रवि के ऊपर बैठता है और सीता को दूसरे स्थान पर रख देना।

  5. एक घर में, जब भी रात में अलार्म सेट होता है, गेट स्वयं लॉक हो जाता है। एक विशेष रात गेट स्वयं लॉक नहीं हुआ। कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?

    1. उस रात अलार्म निश्चित रूप से सेट किया गया था।
    2. गेट का लॉक-तंत्र स्थायी रूप से ख़राब है।
    3. जब भी गेट लॉक नहीं होता, अलार्म में ख़राबी आई होती है।
    4. उस रात अलार्म सेट नहीं किया गया था।
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — उस रात अलार्म सेट नहीं किया गया था।

    ‘अलार्म सेट तो गेट लॉक’ के प्रतिधनात्मक से, जो गेट लॉक नहीं हुआ उसका अर्थ है उस रात अलार्म सेट नहीं था। यह निष्कर्ष कि अलार्म सेट था इसका खंडन करता है: सेट होता तो गेट लॉक हो जाता। जानकारी में कहीं नहीं कहा गया कि तंत्र ख़राब है, क्योंकि अलार्म का सेट न होना ही गेट के खुले रहने की व्याख्या कर देता है, और हर लॉक-विफलता के बारे में सामान्य दावा असमर्थित सामान्यीकरण है।

  6. एक्सप्रेस ट्रेन में चढ़ने के लिए यात्री के पास आरक्षित टिकट होना चाहिए। विजय के पास आरक्षित टिकट है। कौन-सा निष्कर्ष उचित है?

    1. दिया गया नियम यह तय नहीं करता कि विजय चढ़ सकता है या नहीं।
    2. विजय निश्चय ही एक्सप्रेस ट्रेन में चढ़ सकता है।
    3. विजय निश्चय ही एक्सप्रेस ट्रेन में नहीं चढ़ सकता।
    4. बिना आरक्षित टिकट वाला यात्री फिर भी ट्रेन में चढ़ सकता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दिया गया नियम यह तय नहीं करता कि विजय चढ़ सकता है या नहीं।

    आरक्षित टिकट केवल आवश्यक शर्त के रूप में बताया गया है। टिकट होने से एक बाधा हटती है, पर नियम में कहीं नहीं कहा गया कि वही एकमात्र अपेक्षा है, अतः वह न यह गारंटी देता है कि विजय चढ़ सकता है और न यह वर्जित करता है। यह निष्कर्ष कि वह निश्चय ही चढ़ सकता है आवश्यक शर्त को पर्याप्त मान लेता है। यह कि वह निश्चय ही नहीं चढ़ सकता एक ऐसी बाधा गढ़ लेता है जिसका नियम में कहीं उल्लेख नहीं। बिना टिकट यात्री के चढ़ने का कथन आवश्यक शर्त का खंडन करता है।

  7. 50 विद्यार्थियों की एक कक्षा में, 30 फ़्रेंच पढ़ते हैं और 25 जर्मन। यदि 10 विद्यार्थी फ़्रेंच व जर्मन दोनों पढ़ते हैं, तो कितने कोई भी भाषा नहीं पढ़ते? केवल संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    कम से कम एक भाषा पढ़ने वालों की संख्या 30 + 25 − 10 = 45 है (दोनों समूह जोड़ने पर दोनों पढ़ने वाले 10 दो बार गिने जाते हैं, अतः उन्हें एक बार घटाइए)। कोई नहीं = 50 − 45 = 5। अतिव्यापन घटाना भूलने पर 55 आता है, जो कक्षा के आकार से ही अधिक है और भूल की ओर संकेत करता है।

  8. दिया है: कोई सरीसृप गर्म-रक्त वाला नहीं; सभी साँप सरीसृप हैं; कुछ पालतू साँप हैं। निम्न में से कौन-से निष्कर्ष आवश्यक रूप से निकलते हैं?

    1. कोई साँप गर्म-रक्त वाला नहीं
    2. कुछ पालतू सरीसृप हैं
    3. कुछ पालतू गर्म-रक्त वाले नहीं हैं
    4. सभी सरीसृप साँप हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कोई साँप गर्म-रक्त वाला नहीं; B — कुछ पालतू सरीसृप हैं; C — कुछ पालतू गर्म-रक्त वाले नहीं हैं

    सभी साँप सरीसृप हैं और कोई सरीसृप गर्म-रक्त वाला नहीं, अतः कोई साँप गर्म-रक्त वाला नहीं। कुछ पालतू साँप हैं और हर साँप सरीसृप है, अतः कुछ पालतू सरीसृप हैं, और वे पालतू गर्म-रक्त वाले नहीं। ‘सभी सरीसृप साँप हैं’ ‘सभी साँप सरीसृप हैं’ को उलट देता है, जिसकी अनुमति आधार-कथन नहीं देते।

  9. तीन मित्रों — X, Y व Z — में से प्रत्येक ने चाय, कॉफ़ी व जूस में से एक अलग पेय मँगाया। X ने चाय नहीं मँगाई, और Z ने जूस मँगाया। चाय किसने मँगाई?

    1. X
    2. Y
    3. Z
    4. दी गई जानकारी से निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Y

    Z ने जूस लिया, अतः चाय X या Y के लिए बची। X ने चाय नहीं ली, अतः X ने कॉफ़ी ली, जिससे चाय Y के लिए बचती है। नियतन पूर्णतः बाध्य है: Z जूस, X कॉफ़ी, Y चाय, अतः यह निर्धारित है और Z ने चाय नहीं मँगाई।

  10. चार पुस्तकें — एक उपन्यास, एक शब्दकोश, एक एटलस व एक डायरी — एक शेल्फ़ पर एक पंक्ति में रखनी हैं। शब्दकोश व एटलस को एक-दूसरे के बगल में खड़ा होना चाहिए। चारों पुस्तकें कितने भिन्न क्रमों में सजाई जा सकती हैं? केवल संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 12

    शब्दकोश व एटलस को एक खंड में बाँधिए, जिससे सजाने हेतु तीन इकाइयाँ मिलती हैं: खंड, उपन्यास व डायरी। ये तीन 3! = 6 तरीक़ों में सजती हैं, और खंड के भीतर दोनों पुस्तकें 2! = 2 क्रमों में हो सकती हैं, अतः कुल 6 × 2 = 12। भीतरी 2 भूलने पर 6 आता है; चारों को मुक्त मानने पर 24।

  11. एक तस्वीर में एक पुरुष की ओर संकेत करते हुए, नेहा ने कहा, “वह मेरी माता की इकलौती बहन का बेटा है।” वह पुरुष नेहा से किस प्रकार संबंधित है?

    1. उसका भाई (उसकी माता का बेटा)
    2. उसका मामा (उसकी माता का भाई)
    3. उसका मौसेरा भाई (उसकी मौसी का बेटा)
    4. उसका भतीजा या भांजा (उसके भाई या बहन का बेटा)
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — उसका मौसेरा भाई (उसकी मौसी का बेटा)

    नेहा की माता की इकलौती बहन नेहा की मौसी है, और उस मौसी का बेटा नेहा का मौसेरा भाई है। वह उसका भाई तभी होता जब वह उसकी अपनी माता का बेटा होता; उसका मामा उसकी माता का भाई होता, मौसी का बेटा नहीं; और उसका भतीजा या भांजा उसके अपने भाई या बहन का बेटा होता।

  12. एक व्यक्ति एक बिंदु से आरंभ कर ठीक उत्तर की ओर 3 km चलती है। फिर वह दाएँ मुड़कर 4 km चलती है, फिर दोबारा दाएँ मुड़कर 3 km चलती है। अब वह अपने आरंभ-बिंदु के सापेक्ष कहाँ है?

    1. आरंभ-बिंदु के 4 km पश्चिम में
    2. आरंभ-बिंदु के 6 km उत्तर में
    3. आरंभ-बिंदु के 5 km उत्तर-पूर्व में
    4. आरंभ-बिंदु के 4 km पूर्व में
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — आरंभ-बिंदु के 4 km पूर्व में

    उत्तर 3 km से (0, 3) पर पहुँचती है। दायाँ मोड़ पूर्व की ओर करता है; 4 km से (4, 3)। दूसरा दायाँ मोड़ दक्षिण की ओर करता है; 3 km से वापस (4, 0)। उत्तर व दक्षिण चालें रद्द हो जाती हैं, जिससे वह आरंभ के ठीक 4 km पूर्व रहती है। 6 km उत्तर व 5 km उत्तर-पूर्व वाले उत्तर इस तथ्य को अनदेखा करते हैं कि दक्षिण-चरण उत्तर-चरण को निरस्त कर देता है।

  13. पाँच बक्सों के भार भिन्न हैं। लाल बक्सा नीले से भारी है; नीला हरे से भारी है; पीला हरे से हल्का है; और सफ़ेद लाल से भारी है। निम्न में से क्या आवश्यक रूप से सत्य है?

    1. सफ़ेद बक्सा सबसे भारी है
    2. हरा बक्सा पीले से भारी है
    3. नीला बक्सा सबसे हल्का है
    4. लाल बक्सा हरे से भारी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सफ़ेद बक्सा सबसे भारी है; B — हरा बक्सा पीले से भारी है; D — लाल बक्सा हरे से भारी है

    संबंध शृंखलाबद्ध होकर सफ़ेद > लाल > नीला > हरा > पीला बनते हैं। अतः सफ़ेद सबसे भारी है, हरा पीले से भारी है, और लाल हरे से भारी है। नीला सबसे हल्का नहीं है, क्योंकि हरा और पीला दोनों उससे हल्के हैं।

  14. एक कार्यालय में, हर अत्यावश्यक फ़ाइल लाल चिह्नित की जाती है, और हर लाल-चिह्नित फ़ाइल उसी दिन निपटाई जाती है। एक फ़ाइल उसी दिन नहीं निपटाई गई। निश्चय के साथ कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?

    1. वह फ़ाइल अत्यावश्यक नहीं थी।
    2. वह फ़ाइल अत्यावश्यक थी पर अनदेखी रह गई।
    3. वह फ़ाइल लाल चिह्नित की गई थी।
    4. हर ग़ैर-अत्यावश्यक फ़ाइल इसके बजाय अगले दिन निपटाई जाती है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वह फ़ाइल अत्यावश्यक नहीं थी।

    अत्यावश्यक का अर्थ लाल, लाल का अर्थ उसी-दिन; प्रतिधनात्मक से, उसी-दिन-नहीं का अर्थ लाल-नहीं, लाल-नहीं का अर्थ अत्यावश्यक-नहीं, अतः फ़ाइल अत्यावश्यक नहीं थी। यह कहना कि वह अत्यावश्यक थी पर अनदेखी रही शृंखला का खंडन करता है, और यह कि वह लाल थी ‘लाल का अर्थ उसी-दिन’ का खंडन करता है। हर ग़ैर-अत्यावश्यक फ़ाइल अगले दिन निपटने का दावा ऐसा नियम जोड़ता है जो कभी बताया ही नहीं गया।

  15. चार व्यक्तियों P, Q, R व S में से ठीक दो की एक समिति चुननी है, दो नियमों के अधीन: P व Q दोनों इसमें नहीं हो सकते; और यदि R इसमें है, तो S भी इसमें होना चाहिए। निम्न में से कौन-सी समितियाँ अनुमत हैं?

    1. P और Q
    2. P और R
    3. R और S
    4. Q और S
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    उत्तर: C — R और S; D — Q और S

    P व Q की समिति उस नियम को तोड़ती है कि दोनों सेवा नहीं कर सकते। P व R की समिति में R है पर S नहीं, जो ‘यदि R तो S’ तोड़ती है। R व S की समिति में R के साथ S है और कोई P–Q टकराव नहीं, तथा Q व S की समिति में ‘यदि R तो S’ नियम सक्रिय करने वाला कोई R नहीं और कोई P–Q टकराव नहीं, अतः वे दोनों अनुमत हैं।

  16. गायक-मंडल के सभी सदस्य संगीत पढ़ सकते हैं, और संगीत पढ़ सकने वाले कुछ लोग वायलिन बजाते हैं। क्या यह निकलता है कि गायक-मंडल के कुछ सदस्य वायलिन बजाते हैं?

    1. हाँ; यह निकलता है कि गायक-मंडल के कुछ सदस्य अवश्य वायलिन बजाते हैं।
    2. नहीं; यह नहीं निकलता कि कोई गायक-मंडल सदस्य वायलिन बजाता है।
    3. हाँ; वास्तव में यह निकलता है कि गायक-मंडल के सभी सदस्य वायलिन बजाते हैं।
    4. नहीं; यह निकलता है कि कोई गायक-मंडल सदस्य वायलिन नहीं बजा सकता।
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    उत्तर: B — नहीं; यह नहीं निकलता कि कोई गायक-मंडल सदस्य वायलिन बजाता है।

    गायक-मंडल सदस्य संगीत पढ़ने वालों में से हैं, पर संगीत पढ़ने वालों में जो वायलिन बजाते हैं वे सभी गायक-मंडल के बाहर के लोग हो सकते हैं, अतः कोई अतिव्यापन बाध्य नहीं; निष्कर्ष नहीं निकलता। ‘कुछ सदस्य अवश्य बजाते हैं’ व ‘सभी बजाते हैं’ दोनों एक बाध्य अतिव्यापन का दावा करते हैं जो आधार-कथन नहीं देते, और ‘कोई सदस्य नहीं बजा सकता’ अतिव्यापन को पूरी तरह ग़लत ढंग से वर्जित कर देता है।

  17. पाँच विद्यार्थियों P, Q, R, S व T को पाँच कुर्सियों की एक पंक्ति में बैठना है। P व Q एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठने चाहिए। पाँचों विद्यार्थी कितने भिन्न तरीक़ों से बैठाए जा सकते हैं? केवल संख्या लिखिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 72

    सभी बैठकें: 5! = 120। P व Q के सटे होने वाली बैठकें: उन्हें एक खंड में बाँधिए, 4 इकाइयाँ 4! = 24 तरीक़ों से सजाइए और खंड के भीतर जोड़ी 2 तरीक़ों से, जिससे 24 × 2 = 48। सटे नहीं = 120 − 48 = 72। खंड के भीतर के 2 क्रम भूलने पर 120 − 24 = 96 आता है, और घटाना भूलने पर 120।

  18. पाँच सहकर्मी A, B, C, D व E बाएँ से दाएँ 1 से 5 तक क्रमांकित पाँच सीटों की एक पंक्ति में बैठते हैं, अतः ऊँचा सीट-क्रमांक अधिक दाईं ओर का है। B ठीक A से दो सीट दाईं ओर बैठता है। D ठीक E के बाईं ओर बैठता है। C न सीट 1 पर बैठता है न सीट 5 पर। A सीट 1 पर नहीं बैठता। C के ठीक दाईं ओर कौन बैठता है?

    1. A
    2. D
    3. B
    4. E
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    उत्तर: C — B

    B व A में दो सीट का अंतर है, अतः A सीट 1, 2 या 3 पर है, और सीट 1 पर नहीं। यदि A सीट 2 पर और B सीट 4 पर हो, तो C को सीट 3 लेनी होगी (छोर नहीं), जिससे सीट 1 व 5 D व E के लिए बचती हैं, जो सटी नहीं हैं, अतः यह विफल है। अतः A सीट 3 पर और B सीट 5 पर है। C सीट 1 पर नहीं हो सकता, और यदि C सीट 2 पर हो तो D व E के लिए सीट 1 व 4 बचती हैं, जो सटी नहीं हैं। अतः C सीट 4 पर है, और D व E सीट 1 व 2 पर D फिर E के क्रम में हैं। पंक्ति है D, E, A, C, B, और B ठीक C के दाईं ओर बैठता है।