ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम: संवृत तंत्र, विशिष्ट ऊष्माएँ और स्थिर-प्रवाह युक्तियाँ

यह अध्याय XE4 ऊष्मागतिकी के अनुभाग XE4.3 “ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम” का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक अनुभागों में से एक है; परीक्षा में अभ्यर्थी इनमें से कोई दो चुनता है: “Concept of energy and various forms of energy; Internal energy, enthalpy; Specific heats; First law applied to elementary processes, closed systems and control volumes, steady flow energy equation applied to simple engineering devices.” इसमें एक निर्धारित चिह्न-परिपाटी के साथ ऊर्जा संतुलन, आंतरिक ऊर्जा, एन्थैल्पी व आदर्श गैस की विशिष्ट ऊष्माएँ (मेयर संबंध), प्राथमिक प्रक्रम, चक्र, तथा नोज़ल, डिफ्यूज़र, टरबाइन, कंप्रेसर, थ्रॉटल, ऊष्मा विनिमायक और मिश्रण कक्ष के लिए स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण पढ़ाए गए हैं। संख्यात्मक प्रश्न हैं: समदाबी तापन, पॉलीट्रॉपिक ऊष्मा अंतरण, नोज़ल निर्गम वेग, टरबाइन शक्ति, कंप्रेसर कार्य और भरे जाते टैंक का अंतिम ताप। हर गुणधर्म-मान कथन में दिया गया है।

1. ऊर्जा के रूप और संवृत तंत्र के लिए प्रथम नियम

ऊर्जा तंत्र में गतिज ऊर्जा KE = ½mV², स्थितिज ऊर्जा PE = mgz और आंतरिक ऊर्जा U के रूप में संचित रहती है; U समस्त सूक्ष्म ऊर्जाओं (अणुओं की स्थानांतरीय, घूर्णी, कंपन, अंतराण्विक व रासायनिक बंध ऊर्जा) का योग है। कुल ऊर्जा E = U + KE + PE है। ऊर्जा परिसीमा केवल ऊष्मा Q या कार्य W के रूप में (और विवृत तंत्र में पार करते द्रव्यमान के साथ) पार करती है। U गुणधर्म और विस्तारी है, E भी विस्तारी है; विशिष्ट मान u = U/m व e = E/m गहन हैं।

संवृत तंत्र के लिए प्रथम नियम। पूरे अध्याय में परिपाटी: Q तब धनात्मक है जब ऊष्मा तंत्र में प्रवेश करे, W तब धनात्मक है जब तंत्र परिवेश पर कार्य करे। तब किसी प्रक्रम के लिए Q − W = ΔU + ΔKE + ΔPE, और चक्र के लिए ∮δQ = ∮δW, क्योंकि E अपने प्रारंभिक मान पर लौटती है। Q और W अलग-अलग पथ पर निर्भर हैं, पर Q − W = ΔE नहीं: इसी से E गुणधर्म बनती है। अवकल रूप में δQ − δW = dE। कुछ पुस्तकें W को तंत्र पर किया कार्य मानकर Q + W = ΔE लिखती हैं; भौतिकी वही है, और कथन में परिपाटी स्पष्ट होनी चाहिए।

⚠️ चिह्न की जाँच
200 kJ कार्य से संपीडित गैस, जिससे 50 kJ ऊष्मा बाहर जाती है, के लिए Q = −50 kJ और W = −200 kJ, अतः ΔU = −50 − (−200) = +150 kJ। स्थिर तंत्र में KE व PE के परिवर्तन प्रायः शून्य होते हैं और ΔE = ΔU; गतिमान या उठाए गए तंत्र में इन्हें न छोड़ें।

2. एन्थैल्पी, विशिष्ट ऊष्माएँ और मेयर संबंध

एन्थैल्पी को H = U + pV, या प्रति इकाई द्रव्यमान h = u + pv, से परिभाषित किया जाता है; यह गुणधर्म है। संवृत तंत्र में, अन्य कार्य के बिना, स्थिर-दाब अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम में W = p ΔV और Q = ΔU + pΔV = ΔH। विशिष्ट ऊष्माएँ c_v = (∂u/∂T)_v और c_p = (∂h/∂T)_p हैं। आदर्श गैस के लिए u और h केवल ताप पर निर्भर करती हैं (जूल का मुक्त-प्रसार प्रयोग निम्न घनत्व गैस में ताप-परिवर्तन नहीं दिखाता), इसलिए उस गैस के किसी भी प्रक्रम में पथ चाहे जो हो, du = c_v dT और dh = c_p dT।

आदर्श गैस के लिए h = u + RT, अतः dh/dT − du/dT से मेयर संबंध c_p − c_v = R मिलता है (प्रति इकाई द्रव्यमान; मोलर रूप में C_p − C_v = R_u)। γ = c_p/c_v लेने पर c_v = R/(γ − 1) और c_p = γR/(γ − 1)। चूँकि c_p, c_v से अधिक है (स्थिर-दाब तापन में प्रसार-कार्य भी होता है), γ > 1। वायु के लिए R = 287 J/kg·K और γ = 1.4 लें, तो c_v = 717.5 और c_p = 1004.5 J/kg·K। एकपरमाणुक गैसों में γ ≈ 1.67 और द्विपरमाणुक गैसों में कक्ष-ताप के निकट γ ≈ 1.4 होता है; ताप बढ़ने पर आंतरिक विधाएँ उत्तेजित होने से γ घटता है। द्रवों व ठोसों के लिए c_p ≈ c_v ≈ c और एक ही c प्रयुक्त होता है।

⚠️ c_v केवल स्थिर आयतन के लिए नहीं
आदर्श गैस के लिए ΔU = m c_v ΔT और ΔH = m c_p ΔT प्रत्येक प्रक्रम (समदाबी व रुद्धोष्म सहित) में सत्य हैं। Q = m c_v ΔT लिखना केवल स्थिर-आयतन प्रक्रम में मान्य है।

3. आदर्श गैस के प्राथमिक प्रक्रम

m kg आदर्श गैस के संवृत तंत्र के लिए, अर्ध-स्थैतिक, जिसमें W गैस द्वारा किया कार्य और Q जोड़ी गई ऊष्मा है, Q − W = ΔU लगाइए, जहाँ ΔU = m c_v (T₂ − T₁)।

प्रक्रमगैस द्वारा कार्य Wजोड़ी गई ऊष्मा Q
समआयतनिक0m c_v (T₂ − T₁)
समदाबीp (V₂ − V₁) = mR (T₂ − T₁)m c_p (T₂ − T₁)
समतापीmRT ln(V₂/V₁) = mRT ln(p₁/p₂)Q = W (ΔU = 0)
उत्क्रमणीय रुद्धोष्म, pVᵞ = CmR (T₁ − T₂)/(γ − 1) = −ΔU0
पॉलीट्रॉपिक, pVⁿ = CmR (T₁ − T₂)/(n − 1)ΔU + W = W (γ − n)/(γ − 1)

पॉलीट्रॉपिक परिणाम के लिए Q = m c_v (T₂ − T₁) + mR (T₁ − T₂)/(n − 1) = mR (T₁ − T₂)[1/(n − 1) − 1/(γ − 1)] = W (γ − n)/(γ − 1)। अतः जब 1 < n < γ हो, तो प्रसारित होती गैस (W > 0) ताप गिरने पर भी ऊष्मा ग्रहण करती है, क्योंकि वह अपनी आंतरिक ऊर्जा के ह्रास से अधिक कार्य करती है। हल किया उदाहरण। 2 kg वायु (R = 0.287 kJ/kg·K, γ = 1.4) n = 1.25 से पॉलीट्रॉपिक रूप में 600 K से 500 K तक फैलती है। W = 2 × 0.287 × 100/0.25 = 229.6 kJ; ΔU = 2 × 0.7175 × (−100) = −143.5 kJ; Q = 229.6 − 143.5 = +86.1 kJ, जो 229.6 × 0.15/0.4 = 86.1 kJ से मेल खाता है।

⚠️ रुद्धोष्म समतापी नहीं है
उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रम में Q = 0 पर T बदलता है, क्योंकि कार्य आंतरिक ऊर्जा से आता है। संबंध pVᵞ = C केवल स्थिर γ वाली आदर्श गैस के उत्क्रमणीय (अर्ध-स्थैतिक, घर्षणरहित) रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए मान्य है।

4. संवृत तंत्र के प्रक्रम और चक्र

संवृत तंत्र में प्रथम नियम तीन अज्ञातों Q, W और ΔU का संतुलन है, जिनमें से सामान्यतः दो दिए होते हैं। R = 0.287 kJ/kg·K और γ = 1.4 वाली आदर्श गैस के 0.5 kg को स्थिर दाब पर गरम करना, 300 K से 450 K तक: c_v = 0.7175, c_p = 1.0045 kJ/kg·K; ΔU = 0.5 × 0.7175 × 150 = 53.8 kJ; W = mRΔT = 0.5 × 0.287 × 150 = 21.5 kJ; Q = ΔU + W = 75.3 kJ, जो m c_p ΔT = 0.5 × 1.0045 × 150 = 75.3 kJ के बराबर है। ऊष्मा का लगभग 29% कार्य में जाता है, जो 1 − 1/γ = R/c_p है।

चक्र के लिए पूरे चक्र में ΔU = 0, अतः नेट ऊष्मा नेट कार्य के बराबर होती है: ΣQ = ΣW। जो चक्र 900 kJ ऊष्मा लेता और 600 kJ त्यागता है, वह 300 kJ नेट कार्य देता है और, यदि वह इंजन है, तो तापीय दक्षता 300/900 = 33.3% होती है। प्रक्रमों की श्रेणी में प्रत्येक चरण के ΔU का योग चक्र में शून्य होता है, जो छूटा पद ढूँढने की उपयोगी जाँच है।

🎯 मुक्त प्रसार
निर्वात, दृढ़, रोधित स्थान में फैलती गैस के लिए Q = 0 और W = 0, अतः ΔU = 0। आदर्श गैस के लिए इसका अर्थ है कि ताप अपरिवर्तित रहता है; वास्तविक गैस में प्रायः थोड़ा बदलता है, इसीलिए आदर्श गैस एक आदर्शीकरण है, नियम नहीं।

5. नियंत्रण आयतन और स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण

नियंत्रण आयतन के लिए द्रव्यमान संरक्षित रहता है: dm_cv/dt = Σṁ_निवेश − Σṁ_निर्गम। प्रवेश करती या निकलती इकाई द्रव्यमान को दाब के विरुद्ध धकेलना भी पड़ता है, जिसके लिए प्रवाह कार्य pv चाहिए, अतः परिसीमा पार प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा u + pv + V²/2 + gz = h + V²/2 + gz होती है। इसीलिए आंतरिक ऊर्जा नहीं, एन्थैल्पी आती है। स्थिर प्रवाह (नियंत्रण आयतन के भीतर समय के साथ परिवर्तन नहीं, अतः ṁ_निवेश = ṁ_निर्गम और E_cv स्थिर) के लिए, Q̇ जोड़ी गई ऊष्मा की दर और Ẇ तरल द्वारा किया शाफ़्ट शक्ति हो तो:

Q̇ − Ẇ = ṁ [ (h₂ − h₁) + (V₂² − V₁²)/2 + g (z₂ − z₁) ], अथवा प्रति इकाई द्रव्यमान q − w = Δh + ΔV²/2 + gΔz। h kJ/kg में और V m/s में हो तो V²/2 को kJ/kg में बदलने के लिए 1000 से भाग दें। यह समीकरण प्रथम नियम ही है, उसी चिह्न-परिपाटी के साथ; यह घर्षण सहित या रहित, किसी भी तरल के लिए सत्य है।

युक्तिसामान्य सरलीकरणपरिणाम
नोज़लw = 0, q ≈ 0, Δz ≈ 0V₂² = V₁² + 2 (h₁ − h₂)
डिफ्यूज़रनोज़ल जैसा, V घटता हैh₂ = h₁ + (V₁² − V₂²)/2 > h₁
टरबाइनq छोटा, Δz = 0w = (h₁ − h₂) + (V₁² − V₂²)/2 − q
कंप्रेसर, पंपq छोटा या हानि−w = (h₂ − h₁) + ΔV²/2 − q
थ्रॉटलq = w = 0, ΔV²/2 छोटाh₂ = h₁ (आदर्श गैस में T अपरिवर्तित)
ऊष्मा विनिमायक (बाहर रोधित)w = 0, दोनों धाराओं पर योगΣṁh निवेश = Σṁh निर्गम
मिश्रण कक्षw = q = 0ṁ₁h₁ + ṁ₂h₂ = (ṁ₁ + ṁ₂) h₃

6. हल किए उदाहरण और भरा जाता टैंक

नोज़ल। वायु (c_p = 1.005 kJ/kg·K) रुद्धोष्म नोज़ल में 600 K और 50 m/s पर प्रवेश करती है और 500 K पर निकलती है: V₂² = V₁² + 2 c_p (T₁ − T₂) × 1000 = 2500 + 2 × 1005 × 100 = 203 500 m²/s², अतः V₂ = 451 m/s। टरबाइन। 5 kg/s भाप h₁ = 3230 kJ/kg और V₁ = 50 m/s पर प्रवेश करती है, h₂ = 2550 kJ/kg और V₂ = 150 m/s पर निकलती है, और 40 kW ऊष्मा खोती है: Ẇ = ṁ[(h₁ − h₂) + (V₁² − V₂²)/2000] + Q̇ = 5 × [680 − 10] − 40 = 3310 kW, जहाँ Q̇ = −40 kW। गतिज पद Δh के सामने छोटा है, जो सामान्य जाँच है।

कंप्रेसर। 2 kg/s वायु 300 K से 440 K तक संपीडित होती है, c_p = 1.005 kJ/kg·K, गतिज ऊर्जा नगण्य, और 30 kW ऊष्मा परिवेश को खोती है: −Ẇ = ṁ c_p ΔT − Q̇ = 2 × 1.005 × 140 + 30 = 311.4 kW कार्य-निवेश, जहाँ Q̇ = −30 kW। ऊष्मा-हानि आवश्यक कार्य को बढ़ाती है।

अस्थिर भराव। दृढ़, रुद्धोष्म, आरंभ में निर्वात टैंक आदर्श गैस की आपूर्ति लाइन से जुड़ा है, जिसका ताप स्थिर T_in है। टैंक को नियंत्रण आयतन मानें: Q = W = 0, गतिज व स्थितिज ऊर्जाएँ उपेक्षणीय, कोई निर्गम नहीं, और आरंभिक ऊर्जा शून्य, अतः ऊर्जा संतुलन m₂u₂ = m_in h_in है जहाँ m₂ = m_in, जिससे c_v T₂ = c_p T_in, अर्थात T₂ = γ T_in। T_in = 300 K और γ = 1.4 पर T₂ = 420 K: गैस लाइन से अधिक गरम है, क्योंकि टैंक में धकेला गया प्रवाह कार्य p v आंतरिक ऊर्जा बन जाता है।

⚠️ गतिज पद की इकाइयाँ
V²/2 की इकाई m²/s² = J/kg है। इसे kJ/kg वाले h में 1000 से भाग दिए बिना जोड़ने पर 1000 गुना त्रुटि आती है। प्रतिस्थापन से पहले Ẇ और Q̇ का चिह्न निर्धारित परिपाटी से मिला लें।

मुख्य बिंदु

  • Q तंत्र में प्रवेश पर और W तंत्र द्वारा धनात्मक लेने पर संवृत तंत्र का प्रथम नियम Q − W = ΔU + ΔKE + ΔPE है; चक्र में ΣQ = ΣW।
  • आदर्श गैस के लिए u और h केवल T पर निर्भर हैं, अतः प्रत्येक प्रक्रम में ΔU = m c_v ΔT और ΔH = m c_p ΔT; c_p − c_v = R, c_v = R/(γ − 1), c_p = γR/(γ − 1)।
  • पॉलीट्रॉपिक pVⁿ = C: W = mR(T₁ − T₂)/(n − 1) और Q = W(γ − n)/(γ − 1); 1 < n < γ पर प्रसारित गैस ठंडी होते हुए ऊष्मा ग्रहण करती है।
  • स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण Q̇ − Ẇ = ṁ[Δh + ΔV²/2 + gΔz] है; एन्थैल्पी इसलिए आती है क्योंकि उसमें प्रवाह कार्य pv सम्मिलित है।
  • मानक युक्तियाँ: नोज़ल V₂² = V₁² + 2 × h-ह्रास; टरबाइन व कंप्रेसर में w, Δh से; थ्रॉटल h₂ = h₁; मिश्रण में Σṁh निवेश = Σṁh निर्गम। kJ/kg के लिए V²/2 को 1000 से भाग दें।
  • आरंभ में निर्वात रुद्धोष्म दृढ़ टैंक, आदर्श गैस लाइन (ताप T_in) से भरने पर T = γ T_in पर पहुँचता है, क्योंकि प्रवाह कार्य आंतरिक ऊर्जा बन जाता है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा निर्भर करती है

    1. केवल ताप पर, दाब व आयतन चाहे जो हों
    2. ताप और दाब दोनों पर
    3. केवल आयतन पर, क्योंकि अणुओं में अन्योन्य क्रिया नहीं होती
    4. केवल दाब पर, क्योंकि यह आण्विक संवेग अंतरण मापता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल ताप पर, दाब व आयतन चाहे जो हों

    अंतराण्विक बलों के अभाव में आदर्श गैस की ऊर्जा केवल अणुओं की गतिज ऊर्जा है, जो T से निर्धारित होती है। इसीलिए प्रत्येक प्रक्रम में du = c_v dT सत्य है, और आदर्श गैस के मुक्त प्रसार में T नहीं बदलता।

  2. किसी आदर्श गैस का R = 287 J/kg·K और γ = c_p/c_v = 1.4 है। उसकी स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा, J/kg·K में, है

    1. 717.5
    2. 287
    3. 410.0
    4. 1004.5
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 1004.5

    c_v = R/(γ − 1) = 287/0.4 = 717.5 और c_p = c_v + R = 1004.5 J/kg·K, जो γR/(γ − 1) = 1.4 × 287/0.4 के बराबर है। मान 717.5 c_v है, और 287 अंतर c_p − c_v है।

  3. इस परिपाटी का प्रयोग कीजिए कि Q तंत्र में प्रवेश पर और W तंत्र द्वारा कार्य पर धनात्मक है। नगण्य गतिज व स्थितिज ऊर्जा वाली संवृत गैस 200 kJ ऊष्मा ग्रहण करती है और परिवेश पर 120 kJ कार्य करती है। उसकी आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है

    1. +320 kJ
    2. +80 kJ
    3. −80 kJ
    4. −320 kJ
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — +80 kJ

    ΔU = Q − W = 200 − 120 = +80 kJ। परिमाणों को जोड़ना (+320 kJ) कार्य को गैस पर किया मानता है, जो विपरीत परिपाटी होगी।

  4. एक ऊष्मा इंजन चक्र (संवृत तंत्र) अपने चार प्रक्रमों में 900 kJ व 300 kJ ऊष्मा ग्रहण करता है और 400 kJ व 500 kJ ऊष्मा त्यागता है। चक्र का नेट कार्य है

    1. 1200 kJ
    2. 900 kJ
    3. 300 kJ
    4. 600 kJ
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 300 kJ

    चक्र में ΔU = 0, अतः W_net = ΣQ = 900 + 300 − 400 − 500 = 300 kJ। 1200 kJ कुल ग्रहण की गई ऊष्मा है, 900 kJ कुल त्यागी गई ऊष्मा है, और 600 kJ 900 kJ में से 300 kJ घटाने से आता है।

  5. एक आदर्श गैस (γ = 1.4) 1 < n < 1.4 के साथ पॉलीट्रॉपिक रूप में उच्च ताप से निम्न ताप तक फैलती है। कौन-सा कथन सही है?

    1. गैस ऊष्मा त्यागती है, क्योंकि उसका ताप गिरता है
    2. प्रक्रम रुद्धोष्म है, क्योंकि ताप बदलता है
    3. ऊष्मा अंतरण तभी शून्य है जब प्रक्रम समतापी भी हो
    4. गैस ऊष्मा ग्रहण करती है, क्योंकि किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा के ह्रास से अधिक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — गैस ऊष्मा ग्रहण करती है, क्योंकि किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा के ह्रास से अधिक है

    Q = W (γ − n)/(γ − 1) धनात्मक है जब W > 0 और n < γ। यहाँ W = −ΔU + Q, −ΔU से अधिक है, अतः T गिरने पर भी ऊष्मा अंदर आती है। ताप का गिरना ऊष्मा त्यागने का सूचक नहीं; Q = 0 के लिए n = γ चाहिए।

  6. एक रुद्धोष्म डिफ्यूज़र स्थिर गैस धारा को 200 m/s से 50 m/s तक मंद करता है, शाफ़्ट कार्य नहीं है और ऊँचाई-परिवर्तन नगण्य है। निवेश की तुलना में निर्गम की विशिष्ट एन्थैल्पी है

    1. अधिक, प्रति इकाई द्रव्यमान (V₁² − V₂²)/2 से
    2. कम, क्योंकि धारा गतिज ऊर्जा खोती है
    3. बराबर, क्योंकि परिसीमा पर कार्य या ऊष्मा नहीं गुज़रती
    4. अधिक, डिफ्यूज़र की दीवारों द्वारा गैस पर किए कार्य से
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अधिक, प्रति इकाई द्रव्यमान (V₁² − V₂²)/2 से

    q = w = 0 पर स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण से h₂ = h₁ + (V₁² − V₂²)/2, अतः एन्थैल्पी खोई गतिज ऊर्जा से बढ़ती है। बराबर एन्थैल्पी थ्रॉटल में होती है, डिफ्यूज़र में नहीं, क्योंकि यहाँ गतिज ऊर्जा काफ़ी बदलती है। दीवारें गैस पर कार्य नहीं करतीं।

  7. एक वास्तविक गैस (आदर्श नहीं मानी गई) रुद्धोष्म थ्रॉटल वाल्व से स्थिर प्रवाह में गुज़रती है, शाफ़्ट कार्य नहीं है और गतिज व स्थितिज ऊर्जाओं के परिवर्तन नगण्य हैं। किस गुणधर्म का मान ऊपर और नीचे की ओर समान है?

    1. दाब, क्योंकि वाल्व केवल प्रवाह को अवरुद्ध करता है
    2. विशिष्ट आयतन, क्योंकि द्रव्यमान प्रवाह दर स्थिर है
    3. विशिष्ट एन्थैल्पी, स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण से
    4. विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा, क्योंकि परिसीमा पर ऊष्मा या कार्य नहीं गुज़रता
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — विशिष्ट एन्थैल्पी, स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण से

    q = w = 0 और नगण्य ΔV²/2 व Δz पर स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण से h₂ = h₁। दाब घटता है और विशिष्ट आयतन बढ़ता है। आंतरिक ऊर्जा संरक्षित नहीं है, क्योंकि प्रवाह कार्य pv में (p₂v₂ − p₁v₁) का परिवर्तन होता है, अतः वास्तविक गैस के लिए u₂ − u₁ उस परिवर्तन का ऋणात्मक होता है।

  8. एक ही आदर्श गैस की, समान दाब व स्थिर c_p वाली, दो धाराएँ रुद्धोष्म मिश्रण कक्ष में प्रवेश करती हैं जो कोई कार्य नहीं करता: 2 kg/s 300 K पर और 1 kg/s 450 K पर। मिश्रित धारा निकलती है

    1. 375 K
    2. 350 K
    3. 400 K
    4. 337.5 K
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 350 K

    h = c_pT के साथ ṁ₁h₁ + ṁ₂h₂ = (ṁ₁ + ṁ₂)h₃ से T₃ = (2 × 300 + 1 × 450)/3 = 1050/3 = 350 K, जो द्रव्यमान-प्रवाह-भारित माध्य है। सरल औसत 375 K असमान प्रवाहों की उपेक्षा करता है।

  9. स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण में आंतरिक ऊर्जा u के स्थान पर एन्थैल्पी h = u + pv आती है, क्योंकि

    1. तरल सदैव स्थिर दाब पर बहता है
    2. प्रत्येक प्रवाह प्रक्रम समएन्ट्रॉपी होता है
    3. प्रत्येक इकाई द्रव्यमान को परिसीमा पार धकेलने में प्रवाह कार्य pv लगता है
    4. बहते तरल की गतिज ऊर्जा की परिभाषा में उसका दाब सम्मिलित होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — प्रत्येक इकाई द्रव्यमान को परिसीमा पार धकेलने में प्रवाह कार्य pv लगता है

    नियंत्रण आयतन में प्रवेश करते तरल को वहाँ के दाब के विरुद्ध धकेलना पड़ता है, और निकलता तरल अपने आगे के तरल पर कार्य करता है। प्रति इकाई द्रव्यमान यह प्रवाह कार्य pv, u के साथ मिलकर h देता है। दाब का स्थिर होना आवश्यक नहीं।

  10. आदर्श गैस की विशिष्ट ऊष्माओं के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. c_p − c_v = R, जहाँ R विशिष्ट गैस स्थिरांक है।
    2. c_p, c_v से अधिक है क्योंकि स्थिर-दाब तापन में प्रसार-कार्य भी होता है।
    3. c_v उस दाब पर निर्भर करता है जिस पर गैस रखी गई है।
    4. अनुपात γ = c_p/c_v प्रत्येक आदर्श गैस के लिए ठीक 1.4 है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — c_p − c_v = R, जहाँ R विशिष्ट गैस स्थिरांक है।; B — c_p, c_v से अधिक है क्योंकि स्थिर-दाब तापन में प्रसार-कार्य भी होता है।

    h = u + RT से मेयर संबंध c_p − c_v = R मिलता है, और c_p का अतिरिक्त भाग प्रति डिग्री किया गया प्रसार-कार्य है। आदर्श गैस के लिए c_v केवल ताप पर निर्भर है, और γ गैसों में भिन्न है (एकपरमाणुक गैसों के लिए लगभग 1.67)।

  11. इस परिपाटी का प्रयोग कीजिए कि Q तंत्र में प्रवेश पर और W तंत्र द्वारा धनात्मक है। संवृत तंत्र के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. दो अवस्थाओं के बीच परिवर्तन Q − W उन्हें जोड़ने वाले प्रत्येक पथ के लिए समान है।
    2. Q और W अलग-अलग लेने पर दो अवस्थाओं के बीच के पथ पर निर्भर हो सकते हैं।
    3. आदर्श गैस के समतापी प्रक्रम में Q, W के बराबर होता है।
    4. आदर्श गैस के रुद्धोष्म प्रक्रम में W शून्य होता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दो अवस्थाओं के बीच परिवर्तन Q − W उन्हें जोड़ने वाले प्रत्येक पथ के लिए समान है।; B — Q और W अलग-अलग लेने पर दो अवस्थाओं के बीच के पथ पर निर्भर हो सकते हैं।; C — आदर्श गैस के समतापी प्रक्रम में Q, W के बराबर होता है।

    Q − W = ΔE पथ-स्वतंत्र है यद्यपि Q और W नहीं हैं; आदर्श गैस के समतापी प्रक्रम में ΔU = 0, अतः Q = W। रुद्धोष्म प्रक्रम में Q = 0 होता है, W नहीं: कार्य −ΔU के बराबर है।

  12. स्थिर-प्रवाह युक्तियों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं (टरबाइन में गतिज ऊर्जा परिवर्तन उपेक्षित हैं)?

    1. रुद्धोष्म टरबाइन में विशिष्ट कार्य h₁ − h₂ के बराबर है।
    2. नगण्य गतिज ऊर्जा परिवर्तन वाले रुद्धोष्म थ्रॉटल में निर्गम व निवेश एन्थैल्पियाँ बराबर होती हैं।
    3. रुद्धोष्म नोज़ल अपने एन्थैल्पी-ह्रास के बराबर शाफ़्ट कार्य देता है।
    4. रोधित ऊष्मा विनिमायक में गरम धारा द्वारा खोई एन्थैल्पी ठंडी धारा द्वारा पाई एन्थैल्पी के बराबर होती है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — रुद्धोष्म टरबाइन में विशिष्ट कार्य h₁ − h₂ के बराबर है।; B — नगण्य गतिज ऊर्जा परिवर्तन वाले रुद्धोष्म थ्रॉटल में निर्गम व निवेश एन्थैल्पियाँ बराबर होती हैं।; D — रोधित ऊष्मा विनिमायक में गरम धारा द्वारा खोई एन्थैल्पी ठंडी धारा द्वारा पाई एन्थैल्पी के बराबर होती है।

    स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण से रुद्धोष्म टरबाइन के लिए w = h₁ − h₂, थ्रॉटल के लिए h₂ = h₁, और ऊष्मा विनिमायक के लिए ṁ_hΔh_h = −ṁ_cΔh_c मिलता है। नोज़ल में शाफ़्ट नहीं होता; उसका एन्थैल्पी-ह्रास धारा की गतिज ऊर्जा बनता है।

  13. एक संवृत पिस्टन–सिलिंडर में R = 0.287 kJ/kg·K और γ = 1.4 वाली आदर्श गैस का 0.5 kg है। इसे स्थिर दाब पर 300 K से 450 K तक गरम किया जाता है। Q को गैस में प्रवेश पर धनात्मक लीजिए। जोड़ी गई ऊष्मा, kJ में, दशमलव के एक स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 75.3

    c_p = γR/(γ − 1) = 1.4 × 0.287/0.4 = 1.0045 kJ/kg·K। Q = m c_p ΔT = 0.5 × 1.0045 × 150 = 75.34 kJ ≈ 75.3 kJ। जाँच: ΔU = 0.5 × 0.7175 × 150 = 53.81 kJ और W = 0.5 × 0.287 × 150 = 21.53 kJ का योग 75.34 kJ है। c_v लेने पर 53.8 kJ आता।

  14. वायु को R = 0.287 kJ/kg·K और γ = 1.4 वाली आदर्श गैस मानिए। 2 kg वायु n = 1.25 से पॉलीट्रॉपिक (pVⁿ = स्थिरांक) रूप में फैलती है और उसका ताप 600 K से 500 K तक गिरता है। Q को गैस में प्रवेश पर धनात्मक लेते हुए ऊष्मा अंतरण, kJ में, दशमलव के एक स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 86.1

    W = mR(T₁ − T₂)/(n − 1) = 2 × 0.287 × 100/0.25 = 229.6 kJ। ΔU = m c_v ΔT = 2 × 0.7175 × (−100) = −143.5 kJ। Q = ΔU + W = 86.1 kJ। जाँच: W(γ − n)/(γ − 1) = 229.6 × 0.15/0.4 = 86.1 kJ। प्रक्रम को रुद्धोष्म मानने पर Q = 0 आता।

  15. वायु (c_p = 1.005 kJ/kg·K, आदर्श गैस) रुद्धोष्म नोज़ल में 600 K पर 50 m/s वेग से प्रवेश करती है और 500 K पर निकलती है। शाफ़्ट कार्य नहीं है और ऊँचाई-परिवर्तन नगण्य है। निर्गम वेग, m/s में, निकटतम पूर्ण संख्या तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 451

    स्थिर-प्रवाह ऊर्जा समीकरण से V₂²/2 = V₁²/2 + c_p(T₁ − T₂)। J/kg में: V₂² = 50² + 2 × 1005 × 100 = 2500 + 201 000 = 203 500 m²/s², अतः V₂ = 451.1 m/s ≈ 451 m/s। kJ और J के बीच 1000 का गुणक भूलने पर वेग बहुत छोटा आता।

  16. एक टरबाइन से 5 kg/s भाप स्थिर प्रवाह में गुज़रती है। निवेश पर h₁ = 3230 kJ/kg और V₁ = 50 m/s; निर्गम पर h₂ = 2550 kJ/kg और V₂ = 150 m/s। टरबाइन परिवेश को 40 kW की दर से ऊष्मा खोता है। ऊँचाई-परिवर्तन उपेक्षित हैं। टरबाइन की शक्ति, kW में, निकटतम पूर्ण संख्या तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3310

    तरल में प्रवेश पर Q̇ = −40 kW धनात्मक लेते हुए: Ẇ = Q̇ − ṁ[(h₂ − h₁) + (V₂² − V₁²)/2000] = −40 − 5 × [−680 + (22 500 − 2500)/2000] = −40 − 5 × (−680 + 10) = −40 + 3350 = 3310 kW। ऊष्मा-हानि छोड़ने पर 3350 kW और गतिज ऊर्जा छोड़ने पर 3360 kW आता।

  17. वायु 2 kg/s की दर से कंप्रेसर से स्थिर प्रवाह में गुज़रती है और संपीडन से 300 K से 440 K तक गरम होती है। वायु को c_p = 1.005 kJ/kg·K वाली आदर्श गैस मानिए, गतिज व स्थितिज ऊर्जा परिवर्तन उपेक्षित हैं, और कंप्रेसर परिवेश को 30 kW ऊष्मा खोता है। शाफ़्ट शक्ति निवेश, kW में, दशमलव के एक स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 311.4

    Ẇ = Q̇ − ṁ c_p ΔT = −30 − 2 × 1.005 × 140 = −30 − 281.4 = −311.4 kW, अतः निवेश 311.4 kW है। ऊष्मा-हानि आवश्यक कार्य बढ़ाती है; उसे घटाने पर 251.4 kW आता।

  18. एक दृढ़, रुद्धोष्म टैंक आरंभ में निर्वात है और वाल्व द्वारा ऐसी लाइन से जुड़ा है जिसमें आदर्श गैस स्थिर 300 K पर है, γ = 1.4 और विशिष्ट ऊष्माएँ स्थिर हैं। वाल्व तब तक खुला रहता है जब तक प्रवाह रुक न जाए। गतिज व स्थितिज ऊर्जाएँ उपेक्षित हैं। टैंक में गैस का अंतिम ताप, K में, निकटतम पूर्ण संख्या तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 420

    टैंक का ऊर्जा संतुलन m₂u₂ = m_in h_in है जहाँ m₂ = m_in, अतः c_v T₂ = c_p T_in और T₂ = γ T_in = 1.4 × 300 = 420 K। T₂ = 300 K की अपेक्षा टैंक में प्रवेश करती गैस पर किए प्रवाह कार्य की उपेक्षा करती है।