एन्ट्रॉपी: क्लॉज़ियस असमिका, एन्ट्रॉपी उत्पादन, समएन्ट्रॉपिक युक्तियाँ तथा द्वितीय नियम विश्लेषण
2. एन्ट्रॉपी उत्पादन, वृद्धि का सिद्धांत तथा अनुत्क्रमणीयता के कारण
संतुलन को किसी तंत्र पर उन सभी पिंडों सहित लगाएँ जिनसे वह ऊष्मा का आदान-प्रदान करता है। एक भाग से निकली ऊष्मा दूसरे में जाती है, अतः कुल में ∫δQ/T पद कट जाते हैं और ΔS_total = ΔS_sys + ΔS_surr = S_gen ≥ 0। यह एन्ट्रॉपी वृद्धि का सिद्धांत है: विलगित तंत्र (या ब्रह्मांड) की एन्ट्रॉपी कभी घटती नहीं, और केवल उत्क्रमणीय प्रक्रमों में स्थिर रहती है। यह तय करता है कि प्रक्रम किस दिशा में जा सकता है, और S_gen की मात्रा बताती है कि वह कितना अनुत्क्रमणीय है। एन्ट्रॉपी संरक्षित नहीं है। किसी भाग की एन्ट्रॉपी घट सकती है, पर केवल ऊष्मा बाहर भेजकर, अतः ΔS_sys < 0 हेतु नेट ऊष्मा-त्याग चाहिए।
| कारण | स्थिति | उत्पन्न एन्ट्रॉपी |
|---|---|---|
| परिमित ΔT पर ऊष्मा-स्थानांतरण | Q, T_H वाले पिंड से T_L वाले को जाती है | Q(1/T_L − 1/T_H); 600 K से 300 K को 600 kJ पर 1.0 kJ/K |
| अनियंत्रित प्रसार | आदर्श गैस के n mol, निर्वात में आयतन V₁ से V₂ | nR ln(V₂/V₁); 1 mol के दुगुने होने पर 5.76 J/K |
| घर्षण, प्रतिरोध | कार्य W ताप T पर ऊष्मा में क्षयित | W/T |
| अवमंदन (throttling) | आदर्श गैस, p₁ से p₂, प्रति इकाई द्रव्यमान | R ln(p₁/p₂) |
| मिश्रण | समान T व p की भिन्न आदर्श गैसें | −R_u Σ n_i ln x_i, धनात्मक |
3. गैसों, द्रवों, ठोसों व भंडारों की एन्ट्रॉपी-परिवर्तन; T-s आरेख
T ds = du + p dv = dh − v dp से, स्थिर विशिष्ट ऊष्मा वाली आदर्श गैस हेतु, प्रति इकाई द्रव्यमान,
- s₂ − s₁ = c_v ln(T₂/T₁) + R ln(v₂/v₁)
- s₂ − s₁ = c_p ln(T₂/T₁) − R ln(p₂/p₁)
मोलर आधार हेतु मोलर c_p, c_v और R_u = 8.314 J/mol·K लें। असंपीड्य द्रव या ठोस में c_p ≈ c_v = c और s₂ − s₁ = c ln(T₂/T₁) होता है। स्थिर T वाला भंडार जो ऊष्मा Q ग्रहण करे, उसमें ΔS = Q/T। T_sat पर प्रावस्था-परिवर्तन में Δs = h_fg/T_sat। हल उदाहरण: 2 kg वायु (c_p = 1.005 kJ/kg·K, R = 0.287 kJ/kg·K) 300 K, 100 kPa से 600 K, 400 kPa तक जाती है। Δs = 1.005 ln 2 − 0.287 ln 4 = 0.6966 − 0.3979 = 0.2987 kJ/kg·K, अतः ΔS = 0.597 kJ/K। संपीडन दाब-पद से एन्ट्रॉपी घटाता है और तापन ताप-पद से बढ़ाता है; चिह्न इसी प्रतिस्पर्धा से तय होता है।
T-s आरेख। उत्क्रमणीय प्रक्रम में δq = T ds, अतः पथ के नीचे का क्षेत्रफल प्रति इकाई द्रव्यमान स्थानांतरित ऊष्मा है; उत्क्रमणीय चक्र में घिरा क्षेत्रफल नेट ऊष्मा है, जो नेट कार्य के बराबर है। उत्क्रमणीय रुद्धोष्म (समएन्ट्रॉपिक) प्रक्रम ऊर्ध्वाधर रेखा, उत्क्रमणीय समतापी प्रक्रम क्षैतिज रेखा, और कार्नो चक्र आयत है। आदर्श गैस हेतु (∂T/∂s)_v = T/c_v तथा (∂T/∂s)_p = T/c_p, अतः एक ही अवस्था से गुज़रती स्थिर-आयतन रेखा स्थिर-दाब रेखा से अधिक तीव्र होती है, क्योंकि c_v < c_p। आर्द्र क्षेत्र में समदाब रेखाएँ क्षैतिज होती हैं। अनुत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रम दाईं ओर बढ़ता है (s बढ़ती है), इसीलिए टर्बाइन या संपीडक की वास्तविक निकास अवस्था समएन्ट्रॉपिक अवस्था के दाईं ओर होती है।
4. समएन्ट्रॉपिक प्रक्रम तथा समएन्ट्रॉपिक दक्षता
दोनों आदर्श-गैस रूपों में Δs = 0 रखने पर, स्थिर विशिष्ट ऊष्मा व γ = c_p/c_v हेतु, T₂/T₁ = (v₁/v₂)^(γ−1) = (p₂/p₁)^((γ−1)/γ) तथा p v^γ = स्थिरांक मिलते हैं। ये केवल स्थिर विशिष्ट ऊष्मा वाली आदर्श गैस के उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रम पर लागू हैं। हल उदाहरण: वायु (γ = 1.4) को 100 kPa व 300 K से 800 kPa तक समएन्ट्रॉपिक रूप से दबाने पर T₂ = 300 × 8^(0.2857) = 543 K, जो समतापी संपीडन के 300 K से बहुत अधिक है, अतः समएन्ट्रॉपिक संपीडन में अधिक कार्य लगता है।
वास्तविक रुद्धोष्म मशीनें अनुत्क्रमणीय हैं, अतः s₂ > s₁ और उसी निकास दाब पर निकास अवस्था समएन्ट्रॉपिक निकास अवस्था 2s से भिन्न होती है। समएन्ट्रॉपिक दक्षता वास्तविक युक्ति की तुलना उस आदर्श युक्ति से करती है जिसकी निवेश अवस्था व निकास दाब वही है (स्थिर प्रवाह, रुद्धोष्म, नोज़ल को छोड़ गतिज व स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन उपेक्षित):
| युक्ति | परिभाषा | व्यंजक |
|---|---|---|
| टर्बाइन | वास्तविक कार्य / समएन्ट्रॉपिक कार्य | (h₁ − h₂)/(h₁ − h₂s) |
| संपीडक | समएन्ट्रॉपिक कार्य / वास्तविक कार्य | (h₂s − h₁)/(h₂ − h₁) |
| पंप (द्रव) | समएन्ट्रॉपिक कार्य / वास्तविक कार्य | v(p₂ − p₁)/(h₂ − h₁) |
| नोज़ल | वास्तविक निकास गतिज ऊर्जा / समएन्ट्रॉपिक निकास गतिज ऊर्जा | (h₁ − h₂)/(h₁ − h₂s) |
हल उदाहरण (टर्बाइन)। वायु 1000 K पर टर्बाइन में प्रवेश करती है और निवेश दाब के छठे भाग तक प्रसारित होती है, c_p = 1.005 kJ/kg·K, γ = 1.4 व η_T = 0.85। T₂s = 1000 × (1/6)^0.2857 = 599.3 K। T₂ = 1000 − 0.85 × (1000 − 599.3) = 659.4 K। वास्तविक कार्य = 1.005 × 340.6 = 342.3 kJ/kg, जबकि समएन्ट्रॉपिक 402.7 kJ/kg। उत्पन्न एन्ट्रॉपी c_p ln(T₂/T₂s) = 0.096 kJ/kg·K है, क्योंकि निकास दाब वही है।
5. एन्ट्रॉपी संतुलन: तंत्र व नियंत्रण आयतन का द्वितीय नियम विश्लेषण
संवृत तंत्र: ΔS = Σ Q_k/T_k + S_gen, जहाँ T_k उस सीमा का ताप है जिससे Q_k प्रवेश करती है। नियंत्रण आयतन (दर रूप): dS_cv/dt = Σ Q̇_k/T_k + Σ ṁ_i s_i − Σ ṁ_e s_e + Ṡ_gen, Ṡ_gen ≥ 0 सहित। एक निवेश व एक निकास वाले स्थिर अवस्था में Ṡ_gen = ṁ(s_e − s_i) − Σ Q̇_k/T_k। रुद्धोष्म स्थिर युक्ति हेतु Ṡ_gen = ṁ(s_e − s_i) ≥ 0, अतः निकास एन्ट्रॉपी कभी निवेश एन्ट्रॉपी से कम नहीं हो सकती; समता उत्क्रमणीय (समएन्ट्रॉपिक) सीमा है।
- विधि। तंत्र व उसकी सीमा चुनें, द्रव्यमान, ऊर्जा व एन्ट्रॉपी संतुलन लिखें, गुणधर्म आँकड़ों से अवस्थाएँ तय करें, और हल करें। जाँचें कि S_gen ≥ 0 है: ऋणात्मक आए तो आँकड़े या माना गया दिशा असंभव है।
- संभाव्यता परीक्षण। एक आविष्कारक दावा करता है कि रुद्धोष्म वायु संपीडक 300 K, 100 kPa की वायु लेकर उसे 400 K, 400 kPa पर देता है। c_p = 1.005 व R = 0.287 kJ/kg·K से s₂ − s₁ = 1.005 ln(400/300) − 0.287 ln 4 = 0.2891 − 0.3979 = −0.109 kJ/kg·K < 0, अतः दावा असंभव है।
- आदर्श गैस का अवमंदन। स्थिर, रुद्धोष्म, कार्य-रहित: h₁ = h₂, अतः T₂ = T₁ और Ṡ_gen/ṁ = −R ln(p₂/p₁) = R ln(p₁/p₂)। 800 kPa से 200 kPa की वायु हेतु 0.287 ln 4 = 0.398 kJ/kg·K।
6. द्वितीय नियम दक्षता
प्रथम नियम (तापीय) दक्षता सारी ऊर्जा को समान गिनती है, इसलिए बुरे प्रक्रम व अच्छे प्रक्रम में भेद नहीं कर पाती। द्वितीय नियम दक्षता निष्पादन की तुलना उन्हीं परिस्थितियों में संभव सर्वोत्तम से करती है: इंजन हेतु η_II = η_th/η_th,rev, प्रशीतक या ऊष्मा पंप हेतु η_II = COP/COP_rev, कार्य-उत्पादक युक्ति हेतु w_actual/w_rev और कार्य-ग्राही हेतु w_rev/w_actual। यह अधिकतम 1 है और केवल उत्क्रमणीय युक्ति में 1 होती है। अनुत्क्रमणीयता से खोया कार्य W_lost = T₀ S_gen है, जहाँ T₀ परिवेश का ताप है, अतः S_gen घटाना बेहतर डिज़ाइन का मार्ग है।
हल उदाहरण। विद्युत प्रतिरोध हीटर 1 kW कार्य को 1 kW ऊष्मा में बदलता है, यानी प्रथम नियम दक्षता 100%। जब बाहर की हवा 275 K हो और कमरा 295 K पर रखना हो तो उत्क्रमणीय ऊष्मा पंप का COP_rev = 295/20 = 14.75 होगा, जबकि हीटर का COP = 1 है। अतः η_II = 1/14.75 = 6.8%। हीटर उच्च-श्रेणी विद्युत कार्य की बाहर से ऊष्मा खींचने की क्षमता व्यर्थ करता है। उसी प्रकार 1000 K व 300 K के बीच η_th = 0.35 वाले इंजन की η_II = 0.35/0.70 = 0.50 है।
7. ऊष्मागतिकी का तृतीय नियम
तृतीय नियम (नेर्न्स्ट प्रमेय, प्लांक के रूप में कथित) कहता है कि शुद्ध, पूर्ण क्रिस्टलीय पदार्थ की एन्ट्रॉपी परम शून्य पर शून्य होती है। पहले दो नियम केवल एन्ट्रॉपी के अंतर तय करते हैं, इसीलिए भाप सारणियाँ मनमाना संदर्भ अवस्था लेती हैं। तृतीय नियम निरपेक्ष एन्ट्रॉपी देता है, s(T) = ∫₀ᵀ (c_p/T′) dT′ तथा ऊपर चढ़ते हुए प्रत्येक प्रावस्था-परिवर्तन हेतु h/T, और इसी से पदार्थों की निरपेक्ष एन्ट्रॉपियाँ 298 K पर सारणीबद्ध होती हैं।
- ∫ c_p/T dT के T = 0 के निकट परिमित रहने हेतु, क्रिस्टलीय ठोस की विशिष्ट ऊष्माओं को T → 0 पर शून्य की ओर जाना होगा।
- किसी भी प्रक्रम से परम शून्य परिमित चरणों में प्राप्त नहीं किया जा सकता; T घटने पर प्रत्येक चरण कम एन्ट्रॉपी व ऊष्मा हटाता है। यह केल्विन पैमाने के उस तर्क से मेल खाता है कि 0 K का भंडार 100% दक्ष इंजन दे देता।
मुख्य बिंदु
- क्लॉज़ियस असमिका: ∮δQ/T ≤ 0, उत्क्रमणीय चक्रों में समता। एन्ट्रॉपी dS = (δQ/T)_rev से परिभाषित गुणधर्म है, और किसी भी प्रक्रम हेतु ΔS = ∫δQ/T + S_gen, S_gen ≥ 0; केवल समाकल रूप उत्क्रमणीय पथों पर ही सत्य है।
- ब्रह्मांड की एन्ट्रॉपी कभी नहीं घटती (ΔS_sys + ΔS_surr = S_gen ≥ 0)। तंत्र की एन्ट्रॉपी तभी घटती है जब ऊष्मा बाहर जाए। S_gen के कारण: परिमित-ΔT ऊष्मा-स्थानांतरण, मुक्त प्रसार, घर्षण, मिश्रण, अवमंदन, प्रतिरोध, अभिक्रिया।
- आदर्श गैस: Δs = c_p ln(T₂/T₁) − R ln(p₂/p₁) = c_v ln(T₂/T₁) + R ln(v₂/v₁); द्रव या ठोस: c ln(T₂/T₁); भंडार: Q/T। T-s आरेख पर क्षेत्रफल ऊष्मा है, समएन्ट्रॉपिक रेखाएँ ऊर्ध्वाधर हैं, और स्थिर-v रेखाएँ स्थिर-p रेखाओं से अधिक तीव्र हैं।
- समएन्ट्रॉपिक आदर्श गैस (स्थिर विशिष्ट ऊष्मा): T₂/T₁ = (p₂/p₁)^((γ−1)/γ) तथा p v^γ = स्थिरांक। समएन्ट्रॉपिक दक्षता टर्बाइन व नोज़ल हेतु वास्तविक/आदर्श और संपीडक व पंप हेतु आदर्श/वास्तविक है; वास्तविक निकास एन्ट्रॉपी निवेश से अधिक होती है।
- एन्ट्रॉपी संतुलन: Ṡ_gen = Σṁ_e s_e − Σṁ_i s_i − ΣQ̇/T_b ≥ 0। रुद्धोष्म स्थिर युक्ति में s_exit ≥ s_inlet आवश्यक है; ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है दावा की गई युक्ति असंभव है। द्वितीय नियम दक्षता वास्तविक व उत्क्रमणीय निष्पादन का अनुपात है, और W_lost = T₀ S_gen।
- तृतीय नियम: शुद्ध पूर्ण क्रिस्टल की एन्ट्रॉपी 0 K पर शून्य है, अतः निरपेक्ष एन्ट्रॉपियाँ होती हैं; क्रिस्टलों की विशिष्ट ऊष्माएँ T → 0 पर शून्य की ओर जाती हैं, और परम शून्य परिमित चरणों में अप्राप्य है।
अभ्यास प्रश्न (17)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
किसी चक्रीय प्रक्रम हेतु क्लॉज़ियस असमिका कहती है कि
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उत्तर: C — ∮ δQ/T ≤ 0, उत्क्रमणीय चक्र में समता सहित
δQ/T का चक्रीय समाकल उत्क्रमणीय चक्र में शून्य और अनुत्क्रमणीय में ऋणात्मक होता है, अर्थात ∮ δQ/T ≤ 0। यह प्रत्येक चक्र हेतु शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि केवल उत्क्रमणीय रूप δQ_rev/T किसी गुणधर्म का अवकल है। ∮ δQ = 0 कथन भी गलत है: चक्र में ∮ δQ नेट कार्य के बराबर होता है, शून्य के नहीं।निम्नलिखित में से किसमें संवृत तंत्र की एन्ट्रॉपी घट सकती है?
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उत्तर: D — ठंडे परिवेश को ऊष्मा त्यागकर तंत्र का शीतलन
संवृत तंत्र हेतु ΔS = ∫δQ/T + S_gen और S_gen ≥ 0। घटने हेतु ∫δQ/T < 0 चाहिए, अर्थात तंत्र से नेट ऊष्मा बाहर जाए। तीनों रुद्धोष्म स्थितियों में δQ = 0, अतः ΔS = S_gen ≥ 0 और एन्ट्रॉपी घट नहीं सकती। परिवेश की एन्ट्रॉपी कम से कम उतनी बढ़ती है, अतः ब्रह्मांड फिर भी लाभ में रहता है।आदर्श गैस का एक मोल स्थिर ताप पर V से 2V तक दो प्रकार से फैलता है: (X) गैस के ताप वाले भंडार के संपर्क में उत्क्रमणीय रूप से, और (Y) विभाजक टूटने पर निर्वातित, ऊष्मारोधी कक्ष में मुक्त रूप से। एन्ट्रॉपी-परिवर्तनों के बारे में कौन-सा कथन सही है?
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उत्तर: A — X और Y में गैस का ΔS समान है, पर ब्रह्मांड की एन्ट्रॉपी केवल Y में बदलती है
एन्ट्रॉपी गुणधर्म है और दोनों पथ समान सिरों की अवस्थाओं को जोड़ते हैं, अतः दोनों में गैस का ΔS = R ln 2 = 5.76 J/K है। X में भंडार ऊष्मा RT ln 2 देता है और 5.76 J/K खोता है, अतः ब्रह्मांड का परिवर्तन शून्य है। Y में बाहर कुछ नहीं बदलता, अतः ब्रह्मांड 5.76 J/K पाता है। ΔS = 0 हेतु रुद्धोष्म तर्क भ्रामक भूल है: अनुत्क्रमणीय प्रक्रम में δQ = 0 से ΔS के बारे में कुछ पता नहीं चलता।आदर्श गैस के T-s आरेख पर एक ही अवस्था से दो रेखाएँ गुज़रती हैं: स्थिर-आयतन रेखा और स्थिर-दाब रेखा। कौन-सा सही है?
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उत्तर: C — स्थिर-आयतन रेखा अधिक तीव्र है, जिसकी ढाल T/c_v है जबकि T/c_p दूसरी की है
उत्क्रमणीय स्थिर-आयतन पथ पर T ds = c_v dT, अतः ढाल (∂T/∂s)_v = T/c_v है। स्थिर दाब पर यह T/c_p है। c_v < c_p होने से स्थिर-आयतन रेखा की ढाल बड़ी है। स्थिर दाब पर प्रति केल्विन अधिक ऊष्मा चाहिए, अतः उतने ही ds पर ताप कम बढ़ता है, जो पहले दावे का उलटा है।वायु, γ = 1.4 वाली आदर्श गैस मानते हुए, 100 kPa से अपने आरंभिक आयतन के आठवें भाग तक उत्क्रमणीय व रुद्धोष्म रूप से दबाई जाती है। अंतिम दाब निकटतम है
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उत्तर: B — 1840 kPa
p v^γ = स्थिरांक से p₂ = p₁ (v₁/v₂)^γ = 100 × 8^1.4 = 100 × 18.38 = 1838 kPa। 800 kPa समतापी संपीडन हेतु है, p₂ = p₁ × 8। रुद्धोष्म दाब अधिक है क्योंकि संपीडन में गैस गर्म भी होती है।एक गैस टर्बाइन में p₁ से p₂ तक रुद्धोष्म रूप से फैलती है। उसी निवेश अवस्था व उसी p₂ के बीच उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रसार की तुलना में वास्तविक निकास अवस्था में
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उत्तर: C — ताप अधिक व एन्ट्रॉपी अधिक होती है, और टर्बाइन कम कार्य देती है
अनुत्क्रमणीयता एन्ट्रॉपी उत्पन्न करती है, अतः s₂ > s₂s। स्थिर-दाब रेखा पर एन्ट्रॉपी व ताप (और एन्थैल्पी) साथ-साथ बढ़ते हैं, अतः T₂ > T₂s। तब कार्य w = h₁ − h₂ समएन्ट्रॉपिक कार्य h₁ − h₂s से कम होता है। निकास पर कम एन्ट्रॉपी रुद्धोष्म युक्ति हेतु द्वितीय नियम के विरुद्ध होती, जिससे कम एन्ट्रॉपी वाले अन्य विकल्प कट जाते हैं।एक स्थिर रुद्धोष्म भाप टर्बाइन में भाप की विशिष्ट एन्थैल्पी 3200 kJ/kg है। निकास दाब तक प्रसार में समएन्ट्रॉपिक निकास एन्थैल्पी 2400 kJ/kg होती, और समएन्ट्रॉपिक दक्षता 0.85 है। गतिज व स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन नगण्य हैं। वास्तविक निकास एन्थैल्पी है
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उत्तर: D — 2520 kJ/kg
η_T = (h₁ − h₂)/(h₁ − h₂s), अतः h₂ = 3200 − 0.85 × (3200 − 2400) = 3200 − 680 = 2520 kJ/kg। 2259 समएन्ट्रॉपिक कार्य को दक्षता से भाग देने पर आता है, जो संपीडक का सूत्र है, और 2824 h₂s को 0.85 से भाग देने पर। 2400 उत्क्रमणीय स्थिति होती। वास्तविक निकास एन्थैल्पी समएन्ट्रॉपिक से ऊपर होती है।एक विद्युत प्रतिरोध हीटर कमरे को 295 K पर रखता है जबकि परिवेश 275 K पर है। वह 1 kW विद्युत कार्य को पूरा 1 kW ऊष्मा में बदलता है। ताप-युक्ति की द्वितीय नियम दक्षता को उसके COP का उन्हीं तापों के बीच उत्क्रमणीय ऊष्मा पंप के COP से भागफल लें। हीटर की द्वितीय नियम दक्षता निकटतम है
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उत्तर: D — 6.8%
हीटर का COP = 1 है। 295 K व 275 K के बीच उत्क्रमणीय ऊष्मा पंप का COP = 295/(295 − 275) = 14.75। अतः η_II = 1/14.75 = 0.068, यानी 6.8%। प्रथम नियम दक्षता 100% भ्रामक पर अप्रासंगिक संख्या है। 93% मान 1 − 0.068 है, और 20% ताप-अंतर 20 K को प्रतिशत मान लेने से आता है।एक निवेश व एक निकास वाली स्थिर-प्रवाह रुद्धोष्म युक्ति हेतु, द्वितीय नियम के अनुसार विशिष्ट एन्ट्रॉपियों को कौन-सी शर्त संतुष्ट करनी होगी?
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उत्तर: A — s_exit ≥ s_inlet, उत्क्रमणीय युक्ति में समता सहित
Q̇ = 0 पर एन्ट्रॉपी संतुलन Ṡ_gen = ṁ(s_exit − s_inlet) ≥ 0 है, अतः किसी भी रुद्धोष्म युक्ति में, चाहे वह कार्य दे या सोखे, s_exit ≥ s_inlet। समता केवल उत्क्रमणीय युक्ति में है। s_exit = s_inlet का दावा रुद्धोष्म को समएन्ट्रॉपिक से मिला देता है: अनुत्क्रमणीय रुद्धोष्म मशीन में s_exit > s_inlet होता है।निम्नलिखित में से कौन-से प्रक्रम एन्ट्रॉपी उत्पन्न करते हैं (S_gen > 0)?
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उत्तर: A — आदर्श गैस का निर्वात में रुद्धोष्म मुक्त प्रसार; B — 500 K के पिंड से 300 K के पिंड को ऊष्मा का चालन; D — दाब-पतन सहित वाल्व से आदर्श गैस का स्थिर रुद्धोष्म अवमंदन
मुक्त प्रसार, परिमित ताप-अंतर पर चालन और अवमंदन स्वतः क्षयकारी प्रक्रम हैं; इनका एन्ट्रॉपी उत्पादन क्रमशः nR ln(V₂/V₁), Q(1/T_L − 1/T_H) और R ln(p₁/p₂) है, सभी धनात्मक। गैस के ताप वाले भंडार के विरुद्ध उत्क्रमणीय समतापी प्रसार में क्षय नहीं है: गैस एन्ट्रॉपी पाती है, पर भंडार ठीक उतनी खोता है, अतः S_gen = 0।ऊष्मागतिकी के तृतीय नियम के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — शुद्ध, पूर्ण क्रिस्टलीय पदार्थ की एन्ट्रॉपी परम शून्य पर शून्य होती है; C — क्रिस्टलीय ठोस की विशिष्ट ऊष्मा T → 0 पर शून्य की ओर जाती है, ताकि ∫ c_p/T dT परिमित रहे
तृतीय नियम का प्लांक रूप शुद्ध पूर्ण क्रिस्टलों पर लागू है, और निरपेक्ष एन्ट्रॉपी समाकल का परिमित रहना T → 0 पर c_p → 0 को बाध्य करता है। जमी हुई अव्यवस्था वाले पदार्थ, काँच व मिश्रण अवशिष्ट एन्ट्रॉपी रखते हैं, अतः प्रत्येक पदार्थ की शून्य एन्ट्रॉपी का दावा असत्य है। 0 K तक पहुँचने का दावा भी असत्य है: कोई प्रक्रम परिमित चरणों में वहाँ नहीं पहुँचता।संवृत तंत्र की एन्ट्रॉपी के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — दो अवस्थाओं के बीच एन्ट्रॉपी-परिवर्तन उन्हें जोड़ने वाले प्रत्येक पथ हेतु समान होता है; B — रुद्धोष्म संवृत तंत्र की एन्ट्रॉपी कभी घटती नहीं; C — तंत्र की एन्ट्रॉपी तभी घट सकती है जब उससे ऊष्मा बाहर जाए
एन्ट्रॉपी गुणधर्म है, अतः ΔS पथ-स्वतंत्र है। ΔS = ∫δQ/T + S_gen, S_gen ≥ 0 से, रुद्धोष्म तंत्र में ΔS ≥ 0 है, और घटने हेतु नेट ऊष्मा-त्याग चाहिए। समाकल रूप ΔS = ∫δQ/T केवल उत्क्रमणीय पथों पर सत्य है; अनुत्क्रमणीय में ΔS समाकल से अधिक होता है।दो किलोग्राम वायु, c_p = 1.005 kJ/kg·K व R = 0.287 kJ/kg·K (स्थिर विशिष्ट ऊष्माएँ) वाली आदर्श गैस, 300 K व 100 kPa से 600 K व 400 kPa तक ले जाई जाती है। वायु की एन्ट्रॉपी-परिवर्तन ____ kJ/K है (दो दशमलव स्थान)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.60
Δs = c_p ln(T₂/T₁) − R ln(p₂/p₁) = 1.005 ln 2 − 0.287 ln 4 = 0.6966 − 0.3979 = 0.2987 kJ/kg·K। 2 kg हेतु ΔS = 0.5975 kJ/K, यानी 0.60। दाब-पद भूल जाने पर 1.39 आता है, और दाब-पद के साथ c_v लेना असंगत होता।एक धातु की छड़ 500 K पर रखे एक सिरे से 300 K पर रखे दूसरे सिरे तक 5 kW ऊष्मा स्थिर रूप से चालित करती है। छड़ अपनी लंबाई पर रोधित है और उसकी अपनी अवस्था समय के साथ नहीं बदलती। छड़ में एन्ट्रॉपी उत्पादन की दर ____ W/K है (दो दशमलव स्थान)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 6.67
छड़ को स्थिर अवस्था में नियंत्रण आयतन लेने पर, ऊष्मा के साथ प्रवेश करने वाली एन्ट्रॉपी Q̇/T_hot है और बाहर जाने वाली Q̇/T_cold, छड़ की अपनी एन्ट्रॉपी बदले बिना। Ṡ_gen = Q̇/T_cold − Q̇/T_hot = 5000 × (1/300 − 1/500) = 16.667 − 10.0 = 6.67 W/K।वायु 300 K पर एक स्थिर रुद्धोष्म संपीडक में प्रवेश करती है और निवेश दाब के आठ गुना तक दबाई जाती है। वायु को c_p = 1.005 kJ/kg·K व γ = 1.4 वाली आदर्श गैस मानें; गतिज व स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन नगण्य हैं। समएन्ट्रॉपिक दक्षता 0.80 हो तो वास्तविक कार्य निवेश ____ kJ/kg है (निकटतम पूर्णांक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 306
T₂s = 300 × 8^(0.4/1.4) = 300 × 1.8114 = 543.4 K। समएन्ट्रॉपिक कार्य = 1.005 × (543.4 − 300) = 244.6 kJ/kg। संपीडक हेतु η_C = w_s/w_a, अतः w_a = 244.6/0.80 = 305.8 kJ/kg, यानी 306। 0.80 से गुणा करने पर 196 आता है, जो सबसे प्रचलित भूल है। वास्तविक निकास ताप 300 + 243.4/0.8 = 604 K है।80 °C का दो किलोग्राम जल, स्थिर दाब पर रुद्धोष्म रूप से व कार्य-रहित, 20 °C के तीन किलोग्राम जल से मिलाया जाता है। जल को c = 4.18 kJ/kg·K वाला असंपीड्य मानें और T(K) = t(°C) + 273 लें। मिश्रण से उत्पन्न एन्ट्रॉपी ____ J/K है (निकटतम पूर्णांक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 88
ऊर्जा संतुलन: T_f = (2 × 353 + 3 × 293)/5 = 317 K। तंत्र की एन्ट्रॉपी: ΔS = 2 × 4.18 ln(317/353) + 3 × 4.18 ln(317/293) = −0.8995 + 0.9873 = 0.0880 kJ/K। तंत्र रुद्धोष्म है, अतः S_gen = ΔS = 88 J/K। गर्म जल उतनी एन्ट्रॉपी नहीं खोता जितनी ठंडा जल पाता है, जो अनुत्क्रमणीय प्रक्रम का लक्षण है।एक ऊष्मा इंजन 800 K के स्रोत से 500 kW ऊष्मा लेता है और 300 K के पर्यावरण को ऊष्मा त्यागता है, तथा 200 kW नेट शक्ति देता है। द्वितीय नियम दक्षता को तापीय दक्षता का, उन्हीं दो भंडारों के बीच उत्क्रमणीय इंजन की तापीय दक्षता से भागफल परिभाषित करें। इंजन की द्वितीय नियम दक्षता ____ % है (निकटतम पूर्णांक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 64
तापीय दक्षता η = 200/500 = 0.40। उत्क्रमणीय इंजन: 1 − 300/800 = 0.625। η_II = 0.40/0.625 = 0.64, यानी 64%। सेल्सियस ताप लेने पर उत्क्रमणीय सीमा गलत आती।