चुंबकीय, ऊष्मीय व प्रकाशिक गुण: चुंबकत्व, शैथिल्य, ऊष्मा-धारिता, चालन, ऊष्मविद्युत तथा प्रकाश

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के वैकल्पिक खंड XE2 पदार्थ विज्ञान के खंड XE2.3 (पदार्थों के गुण एवं अनुप्रयोग) के तीसरे से पाँचवें अनुच्छेदों का उत्तर देता है: “चुंबकीय गुण: पदार्थों में चुंबकत्व की उत्पत्ति, चुंबकत्व के प्रकार: प्रतिचुंबकत्व, अनुचुंबकत्व, लौह-चुंबकत्व, फ़ेरी-चुंबकत्व व प्रति-लौहचुंबकत्व, चुंबकीय डोमेन व शैथिल्य, कठोर व मृदु चुंबकीय पदार्थ। ऊष्मीय गुण: विशिष्ट ऊष्मा, चिरसम्मत डूलॉन्ग-पेती नियम, वीडमान-फ़्रांज़ नियम, धातुओं व अचालकों की ऊष्मा-चालकता (इलेक्ट्रॉनों व फ़ोनॉनों की भूमिका), आइंस्टाइन व डिबाई मॉडल, ऊष्मा-चालन, ऊष्मीय विसरणशीलता, ऊष्मीय प्रसार तथा ऊष्मविद्युत। प्रकाशिक गुण: अपवर्तनांक, विद्युत-चुंबकीय विकिरण का अवशोषण व पारगमन।” यह चुंबकीय अनुक्रिया के पाँच वर्ग, डोमेन व B-H पाश, ऊष्मा-धारिता मॉडल, ऊष्मीय चालन व प्रसार, सीबेक व पेल्टियर प्रभाव, तथा अपवर्तन, बीयर-लैम्बर्ट अवशोषण व बैंड-अंतराल किनारा पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न वीडमान-फ़्रांज़ चालकता, डूलॉन्ग-पेती ऊष्मा-धारिता, डिबाई T³ नियम, ऊष्मीय विसरणशीलता, मोटाई से अवशोषण तथा कट-ऑफ़ तरंगदैर्ध्य हैं।

1. चुंबकत्व की उत्पत्ति और चुंबकीय अनुक्रिया के पाँच वर्ग

चुंबकत्व इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति व चक्रण (spin) से आता है। इलेक्ट्रॉन के आघूर्ण की स्वाभाविक इकाई बोर मैग्नेटॉन μ_B = eħ/2m = 9.27 × 10⁻²⁴ A·m² है; चक्रण लगभग 1 μ_B देता है। पूर्ण कोश में चक्रण युग्मित होकर निरस्त हो जाते हैं, अतः शुद्ध परमाण्वीय आघूर्ण हेतु अयुग्मित इलेक्ट्रॉन चाहिए, जैसे Fe, Co व Ni के 3d कोश में। पदार्थ की अनुक्रिया चुंबकन M, प्रवृत्ति χ = M/H, और B = μ₀(H + M) = μ₀μ_rH से वर्णित होती है, जहाँ μ_r = 1 + χ।

चुंबकत्व के पाँच वर्ग
वर्गउद्गम व आघूर्ण-विन्यासχ व ताप व्यवहार
प्रतिचुंबकत्वप्रेरित कक्षीय धाराएँ क्षेत्र का विरोध करती हैं (लेंज़); सभी पदार्थों में होता हैऋणात्मक, लगभग −10⁻⁵; T से स्वतंत्र; अतिचालक में χ = −1
अनुचुंबकत्वअयुग्मित, अन-अंतर्क्रियी आघूर्ण ऊष्मीय विक्षोभ के विरुद्ध आंशिक संरेखितछोटी धनात्मक; क्यूरी नियम χ = C/T
लौह-चुंबकत्वविनिमय अंतर्क्रिया पड़ोसी आघूर्णों को समांतर संरेखित करती है: डोमेनों में बड़ा स्वतः M (Fe, Co, Ni)बहुत बड़ी व क्षेत्र-निर्भर; T_C से ऊपर अनुचुंबकीय, χ = C/(T − T_C)
प्रति-लौहचुंबकत्वपड़ोसी आघूर्ण बराबर व प्रतिसमांतर: शुद्ध M शून्य (जैसे MnO)छोटी धनात्मक; नील ताप T_N पर अधिकतम, उससे ऊपर क्यूरी-वाइस
फ़ेरी-चुंबकत्वअसमान आघूर्ण के प्रतिसमांतर उपजालक शुद्ध M छोड़ते हैं (फ़ेराइट, जैसे Fe₃O₄)बड़ी, शैथिल्ययुक्त; T_C से ऊपर लुप्त; सिरेमिक, अतः विद्युतरोधी
⚠️ केवल चिह्न न पढ़ें
प्रति-लौहचुंबक व अनुचुंबक दोनों में छोटी धनात्मक χ होती है; अंतर ताप-निर्भरता में है (प्रति-लौहचुंबक में χ, T_N पर शिखर पर होती है, अनुचुंबक में 1/T की भाँति एकदिष्ट घटती है)। शैथिल्य पाश में फ़ेरी-चुंबक लौह-चुंबक जैसे दिखते हैं पर इनका M_s कम होता है और ये विद्युतरोधी हैं, इसीलिए फ़ेराइट उच्च-आवृत्ति क्रोडों हेतु उपयुक्त हैं।

2. डोमेन, शैथिल्य, कठोर व मृदु चुंबकीय पदार्थ

T_C से नीचे लौह-चुंबक प्रत्येक छोटे क्षेत्र, डोमेन, में संतृप्त होता है, पर डोमेन भिन्न दिशाओं में होते हैं ताकि विक्षेपित-क्षेत्र (चुंबकस्थैतिक) ऊर्जा घटे और पिंड में कोई शुद्ध आघूर्ण न दिखे। पड़ोसी डोमेन ब्लॉख भित्तियों से पृथक होते हैं, जो पतली परतें हैं जिनमें आघूर्ण की दिशा धीरे-धीरे घूमती है। क्षेत्र पिंड को पहले भित्ति-गति (अनुकूल अभिविन्यास वाले डोमेनों की वृद्धि, सरल व आंशिक उत्क्रमणीय) से, फिर शेष डोमेनों के क्षेत्र-दिशा में घूर्णन से चुंबकित करता है, जब तक संतृप्त चुंबकन M_s न आ जाए।

H को शून्य करने पर पदार्थ अवशेषी चुंबकत्व (M_r या B_r) रखता है क्योंकि भित्तियाँ दोषों, अंतर्वेशनों व कण-सीमाओं से अटकी रहती हैं; B को शून्य करने हेतु विपरीत क्षेत्र, निग्राहिता H_c, चाहिए। बार-बार चक्रण शैथिल्य पाश बनाता है। पाश का क्षेत्रफल ∮H dB (J/m³ प्रति चक्र) प्रति इकाई आयतन प्रति चक्र क्षयित ऊर्जा है, अतः शैथिल्य शक्ति = क्षेत्रफल × आवृत्ति। उदाहरण: 50 Hz पर 500 J/m³ का पाश-क्षेत्रफल 25 kW/m³ देता है, जो घनत्व 7650 kg/m³ के इस्पात हेतु 25000/7650 = 3.27 W/kg है।

मृदु बनाम कठोर चुंबकीय पदार्थ
विशेषतामृदुकठोर
निग्राहिता H_cनिम्नउच्च
पाश-आकार व हानिसंकरा, छोटा क्षेत्रफल, प्रति चक्र कम हानिचौड़ा, बड़ा क्षेत्रफल
सूक्ष्म संरचनाकम अटकाव-स्थल, भित्ति-गति सरलअनेक अटकाव-स्थल, सूक्ष्म अवक्षेप, उच्च विषमदैशिकता
विशिष्ट उपयोगट्रांसफ़ॉर्मर व मोटर क्रोड (सिलिकन इस्पात), उच्च आवृत्ति पर मृदु फ़ेराइटस्थायी चुंबक (NdFeB, SmCo, Alnico, कठोर फ़ेराइट); गुणता-माप (BH)max

3. विशिष्ट ऊष्मा: डूलॉन्ग-पेती, आइंस्टाइन व डिबाई मॉडल

ठोस की ऊष्मा-धारिता मुख्यतः जालक कंपनों (फ़ोनॉन) में संचित होती है। डूलॉन्ग-पेती (चिरसम्मत): प्रत्येक परमाणु तीन दोलित्र है जिनमें प्रत्येक की ऊर्जा k_BT है, अतः C_V = 3R = 24.9 J/mol·K (R = 8.314 J/mol·K), जो पदार्थ व T से स्वतंत्र है। यह उच्च ताप पर मान्य है, अधिकांश धात्विक तत्वों हेतु कक्ष ताप के आसपास या ऊपर, पर निम्न T पर विफल है जहाँ C_V शून्य की ओर गिरती है। ऐलुमिनियम (M = 27.0 g/mol) हेतु यह प्रति किलोग्राम 24.94/0.0270 = 924 J/kg·K देता है।

  • आइंस्टाइन मॉडल: सभी परमाणु एक आवृत्ति ν_E पर कंपित होते हैं, आइंस्टाइन ताप θ_E = hν_E/k_B। C_V = 3R (θ_E/T)² e^(θ_E/T)/(e^(θ_E/T) − 1)²। यह उच्च T पर 3R की ओर जाता है और निम्न T की गिरावट समझाता है, पर यह चरघातांकी रूप से घटता है, मापे व्यवहार से तेज़।
  • डिबाई मॉडल: कट-ऑफ़ ν_D तक की आवृत्तियों वाले फ़ोनॉन विधाओं का सतत, θ_D = hν_D/k_B। T ≪ θ_D पर C_V = (12π⁴/5) R (T/θ_D)³ ≈ 1944 (T/θ_D)³ J/mol·K, T³ नियम, जो प्रयोग से मेल खाता है; T ≫ θ_D पर यह 3R देता है। θ_D = 400 K व T = 10 K हेतु C_V = 1944/40³ = 0.0304 J/mol·K।
  • धातुएँ: निम्न T पर C = γT + βT³, रैखिक पद E_F के निकट के इलेक्ट्रॉनों से और घन पद फ़ोनॉनों से; कुछ केल्विन से नीचे इलेक्ट्रॉनिक पद प्रबल होता है।
⚠️ प्रति मोल परमाणु
3R प्रति मोल परमाणु है, प्रति मोल सूत्र-इकाई नहीं। प्रति सूत्र-इकाई p परमाणुओं वाले यौगिक हेतु डूलॉन्ग-पेती प्रति मोल सूत्र-इकाई 3pR देता है (जैसे NaCl-प्रकार MX हेतु 6R)। J/kg·K में कहने हेतु परमाण्वीय (या सूत्र) द्रव्यमान kg/mol में चाहिए।

4. ऊष्मीय चालन, वीडमान-फ़्रांज़ नियम, विसरणशीलता व प्रसार

फ़ूरियर नियम ऊष्मा-अभिवाह q = −κ dT/dx (W/m²) देता है, अतः मोटाई L की पट्टिका में ताप-अंतर ΔT हो तो स्थायी q = κΔT/L। गतिज चित्र में κ = (1/3) C_v v ℓ, जहाँ C_v प्रति इकाई आयतन ऊष्मा-धारिता, v वाहक की चाल व ℓ उसका माध्य मुक्त पथ। धातुएँ ऊष्मा मुख्यतः इलेक्ट्रॉनों से ले जाती हैं, अतः अच्छे विद्युत चालक अच्छे ऊष्मीय चालक होते हैं। वीडमान-फ़्रांज़ नियम कहता है κ_e/(σT) = L, लोरेंज़ संख्या L = (π²/3)(k_B/e)² = 2.44 × 10⁻⁸ W·Ω/K², जो लगभग सभी धातुओं हेतु समान है। उदाहरण: 300 K पर σ = 3.5 × 10⁷ S/m से κ_e = 2.44 × 10⁻⁸ × 3.5 × 10⁷ × 300 = 256 W/m·K।

अचालकों में मुक्त इलेक्ट्रॉन नहीं होते; ऊष्मा फ़ोनॉन ले जाते हैं। उच्च T पर फ़ोनॉन-फ़ोनॉन (अपवर्त) प्रकीर्णन से ℓ ∝ 1/T, अतः κ, 1/T के अनुसार घटता है; निम्न T पर ℓ नमूने के आकार से तय होता है और κ ∝ C ∝ T³; इसलिए κ का किसी मध्यवर्ती T पर अधिकतम होता है। दोष, कण-सीमाएँ व मिश्रधातुकरण ℓ घटाते हैं और κ कम करते हैं; दृढ़, हल्का, व्यवस्थित जालक (हीरा) ऊष्मा अत्यंत अच्छी चलाता है। धातु में इलेक्ट्रॉन व फ़ोनॉन दोनों ऊष्मा ले जाते हैं पर इलेक्ट्रॉनिक भाग प्रमुख है।

ऊष्मीय विसरणशीलता α_th = κ/(ρ c_p) (m²/s) क्षणिक चालन नियंत्रित करती है: लंबाई L में ताप समान होने का समय L²/α_th के अनुसार बदलता है। उदाहरण: κ = 400 W/m·K, ρ = 8960 kg/m³, c_p = 385 J/kg·K से α_th = 400/(8960 × 385) = 1.16 × 10⁻⁴ m²/s। ऊष्मीय प्रसार आबंध-विभव की असममिति (अनहार्मोनिसिटी) से आता है: कंपन-ऊर्जा बढ़ने पर माध्य दूरी बढ़ती है, ΔL = αLΔT। पूर्णतः सममित (हार्मोनिक) कूप शून्य प्रसार देता, और गहरा संकरा कूप (प्रबल आबंध, उच्च गलनांक) छोटा α देता है। छड़ दृढ़तापूर्वक जकड़ी हो तो ऊष्मीय प्रतिबल σ = EαΔT; E = 200 GPa, α = 12 × 10⁻⁶ K⁻¹ व ΔT = 100 K हेतु यह 240 MPa है।

🎯 लोरेंज़ संख्या कब विफल हो सकती है
वीडमान-फ़्रांज़ हेतु ऊष्मा व आवेश दोनों को वही प्रकीर्णन सीमित करे यह आवश्यक है। यह उच्च T तथा बहुत निम्न T (प्रत्यास्थ अपद्रव्य प्रकीर्णन) पर लागू है पर मध्यवर्ती T पर विचलित होता है, जहाँ अप्रत्यास्थ इलेक्ट्रॉन-फ़ोनॉन संघट्ट इलेक्ट्रॉन की दिशा अधिक बदले बिना उसकी ऊर्जा बदल देते हैं। यह केवल इलेक्ट्रॉनिक κ_e देता है: मिश्रधातु या अचालक में फ़ोनॉन भाग जोड़ना होगा।

5. ऊष्मविद्युत: सीबेक, पेल्टियर व थॉमसन प्रभाव

सीबेक प्रभाव: चालक के आर-पार ताप-अंतर ΔT वाहकों को तप्त सिरे से शीतल सिरे की ओर चलाता है (उच्च ऊष्मीय ऊर्जा उन्हें उच्च माध्य चाल देती है), जिससे वोल्टता V = SΔT बनती है, जहाँ सीबेक गुणांक S V/K में है। भिन्न तापों पर संधियों वाले दो पदार्थों A व B के ताप-युग्म हेतु विद्युत वाहक बल V = (S_B − S_A)ΔT है। n-प्रकार पदार्थ में इलेक्ट्रॉन शीतल सिरे पर एकत्र होते हैं, अतः तप्त टर्मिनल धनात्मक होता है; p-प्रकार में होल शीतल सिरे पर एकत्र होते हैं और तप्त टर्मिनल ऋणात्मक होता है। इस प्रकार S का चिह्न वाहक-प्रकार पहचानता है। धातुओं में S छोटा (कुछ µV/K) होता है, जबकि अपमिश्रित अर्धचालकों में सैकड़ों µV/K।

पेल्टियर प्रभाव इसका उलटा है: A व B की संधि से धारा I गुज़रने पर दर Q = Π_AB I से ऊष्मा अवशोषित या उत्सर्जित होती है, पेल्टियर गुणांक Π = S T (केल्विन संबंध, जहाँ S दोनों पदार्थों का अंतर लिया जाता है)। धारा उलटने पर तापन व शीतलन आपस में बदल जाते हैं, जो ठोस-अवस्था प्रशीतकों का आधार है। थॉमसन प्रभाव ताप-प्रवणता में धारावाही समांगी चालक के अनुदिश ऊष्मा का अवशोषण या उत्सर्जन है। उदाहरण: 300 K पर S = 40 µV/K से Π = 40 × 10⁻⁶ × 300 = 12 mV, अतः 2.0 A संधि पर 24 mW पंप करती है। अच्छे ऊष्मविद्युत पदार्थ को बड़ा S, उच्च σ व निम्न κ एक साथ चाहिए, जिन्हें गुणता-माप ZT = S²σT/κ समेटता है; प्रबल अपमिश्रित अर्धचालक सर्वोत्तम समझौता देते हैं।

6. प्रकाशिक गुण: अपवर्तनांक, परावर्तन व पारगमन

अपवर्तनांक n = c/v है, निर्वात में प्रकाश की चाल का ठोस में चाल से अनुपात। अचुंबकीय पदार्थ हेतु प्रकाश की आवृत्ति पर n = √ε_r, अतः यह इलेक्ट्रॉनिक ध्रुवण से तय होता है और परमाणुओं के घनत्व व ध्रुवणीयता के साथ बढ़ता है। सतह पर पड़ने वाला प्रकाश आंशिक परावर्तित, आंशिक अवशोषित व आंशिक पारगमित होता है, R + A + T = 1। वायु से अभिलंब आपतन हेतु परावर्तकता R = ((n − 1)/(n + 1))² है: n = 1.5 हेतु यह 0.04 (प्रति काँच सतह 4 प्रतिशत) और n = 3.5 (अर्धचालक) हेतु 0.31 है।

ठोस के भीतर तीव्रता बीयर-लैम्बर्ट नियम, I = I₀ exp(−αx), से घटती है, जहाँ α (m⁻¹) अवशोषण गुणांक है और 1/α भेदन-गहराई। दो सतहों वाली मोटाई x की पट्टिका हेतु, बहुल परावर्तन उपेक्षित करने पर, पारगमित अंश T = (1 − R)² exp(−αx) है। उदाहरण: α = 2.0 × 10⁴ m⁻¹ व परावर्तन उपेक्षित हो तो 20 प्रतिशत गुज़रने देने वाली मोटाई x = ln 5/α = 1.609/(2.0 × 10⁴) = 80.5 µm है। धातुएँ अपारदर्शी व चमकीली होती हैं क्योंकि उनके मुक्त इलेक्ट्रॉन क्षेत्र पर अनुक्रिया कर दृश्य प्रकाश को प्रबल परावर्तित करते हैं।

7. अवशोषण किनारा, रंग व पारदर्शिता

ऊर्जा hν का फ़ोटॉन इलेक्ट्रॉन को अंतराल के पार तभी उठाता है जब hν ≥ E_g। अंतराल से कम वाले फ़ोटॉन अंतर्बैंड संक्रमण से अवशोषित नहीं हो सकते, अतः वहाँ शुद्ध क्रिस्टल पारदर्शी है, और अवशोषण अवशोषण किनारे पर तीव्रता से आरंभ होता है, तरंगदैर्ध्य λ_c = hc/E_g ≈ 1240/E_g(eV) nm। उदाहरण: GaAs, E_g = 1.42 eV, का λ_c = 873 nm, निकट अवरक्त में; सिलिकन, 1.12 eV, 1107 nm। दृश्य प्रकाश लगभग 400 से 700 nm (3.1 से 1.8 eV) में फैला है, अतः E_g > 3.1 eV होने पर शुद्ध पदार्थ रंगहीन व पारदर्शी है (हीरा, नीलम, सिलिका), E_g < 1.8 eV होने पर अपारदर्शी व गहरा, और बीच में रंगीन (CdS नीला सिरा अवशोषित करने से पीला-नारंगी दिखता है)।

  • अपद्रव्य रंग: अंतराल के भीतर स्तर बनाने वाला अपमिश्रक कम फ़ोटॉन ऊर्जा पर अवशोषण जोड़ता है, इसी प्रकार क्रोमियम की सूक्ष्म मात्रा ऐलुमिना को लाल (माणिक) बनाती है।
  • अर्धपारदर्शिता: एकल क्रिस्टल के रूप में पारदर्शी शुद्ध ऑक्साइड, छिद्रों या द्वितीय प्रावस्थाओं वाला बहुक्रिस्टल होने पर सफ़ेद या अर्धपारदर्शी दिख सकता है, क्योंकि भिन्न n की अंतरापृष्ठों पर प्रकीर्णन प्रकाश को बिना अवशोषित किए विचलित करता है।
⚠️ किनारे की तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति नहीं
लंबी तरंगदैर्ध्य का अर्थ कम ऊर्जा है: पदार्थ λ_c से लंबी तरंगदैर्ध्य पारगमित करता है और छोटी अवशोषित। सिलिकन वेफ़र दृश्य प्रकाश हेतु अपारदर्शी है पर 1.3 µm अवरक्त हेतु पारदर्शी। रूपांतरण सदा एक ही इकाई-पद्धति में करें: hc = 1240 eV·nm।

मुख्य बिंदु

  • चुंबकत्व अयुग्मित इलेक्ट्रॉन चक्रणों व कक्षाओं से आता है (μ_B = eħ/2m)। प्रतिचुंबकत्व सार्वत्रिक, छोटा व ऋणात्मक है; अनुचुंबकत्व क्यूरी नियम मानता है; लौह- व फ़ेरी-चुंबक T_C से नीचे और प्रति-लौहचुंबक T_N से नीचे क्रमित होते हैं।
  • डोमेन व अटकी ब्लॉख भित्तियाँ अवशेषी चुंबकत्व व निग्राहिता देती हैं; पाश-क्षेत्रफल प्रति चक्र प्रति आयतन ऊर्जा-क्षय है। मृदु पदार्थ (छोटा H_c) क्रोडों हेतु और कठोर पदार्थ (बड़ा H_c व (BH)max) स्थायी चुंबकों हेतु उपयुक्त हैं।
  • डूलॉन्ग-पेती उच्च T पर C_V = 3R देता है; आइंस्टाइन निम्न-T गिरावट ठीक करता है पर बहुत तीव्र; डिबाई T ≪ θ_D पर C_V = 1944 (T/θ_D)³ J/mol·K देता है। धातुएँ γT इलेक्ट्रॉनिक पद जोड़ती हैं।
  • धातुएँ ऊष्मा इलेक्ट्रॉनों से चलाती हैं: κ_e = LσT, L = 2.44 × 10⁻⁸ W·Ω/K²। अचालक फ़ोनॉनों से चलाते हैं, κ पहले T³ से बढ़ता है, शिखर पर पहुँचता है, फिर 1/T से घटता है। ऊष्मीय विसरणशीलता κ/(ρc_p) है।
  • ऊष्मीय प्रसार अनहार्मोनिसिटी से आता है (ΔL = αLΔT, जकड़ा प्रतिबल EαΔT)। सीबेक V = SΔT, पेल्टियर Π = ST, और ZT = S²σT/κ ऊष्मविद्युत पदार्थ को मापता है।
  • प्रकाशिकी: n = c/v ≈ √ε_r, R = ((n − 1)/(n + 1))², I = I₀e^(−αx)। अवशोषण hν = E_g पर आरंभ होता है, λ_c = 1240/E_g(eV) nm, जो पारदर्शिता व रंग तय करता है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. प्रतिचुंबकत्व के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. यह केवल अयुग्मित इलेक्ट्रॉन वाले पदार्थों में होता है और ताप घटने पर प्रबल होता जाता है
    2. यह प्रत्येक पदार्थ में उपस्थित है और छोटी ऋणात्मक प्रवृत्ति देता है, T से लगभग स्वतंत्र
    3. यह बड़ी धनात्मक प्रवृत्ति देता है जो क्यूरी ताप से ऊपर लुप्त हो जाती है
    4. यह आरोपित क्षेत्र के अनुदिश स्थायी परमाण्वीय आघूर्णों के संरेखण से उत्पन्न होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — यह प्रत्येक पदार्थ में उपस्थित है और छोटी ऋणात्मक प्रवृत्ति देता है, T से लगभग स्वतंत्र

    प्रतिचुंबकत्व क्षेत्र का विरोध करने हेतु प्रेरित कक्षीय धाराओं (लेंज़ नियम) से आता है, अतः प्रत्येक पदार्थ में होता है, χ लगभग −10⁻⁵ और कोई सार्थक T निर्भरता नहीं। ताप के साथ बढ़ने वाला, धनात्मक व संरेखित-आघूर्ण वाले वर्णन अनुचुंबकत्व व लौह-चुंबकत्व के हैं।

  2. एक विद्युतरोधी ऑक्साइड एक क्रांतिक ताप से नीचे स्वतः चुंबकन व शैथिल्य पाश दर्शाता है। न्यूट्रॉन अध्ययन दो अंतर्विष्ट उपजालक दिखाते हैं जिनके आघूर्ण प्रतिसमांतर पर परिमाण में असमान हैं। यह पदार्थ है

    1. प्रति-लौहचुंबक, क्योंकि उपजालक आघूर्ण प्रतिसमांतर हैं
    2. अनुचुंबक, क्योंकि आघूर्ण सभी क्षेत्र के समांतर नहीं हैं
    3. प्रतिचुंबक, क्योंकि यह मुक्त इलेक्ट्रॉन रहित विद्युतरोधी है
    4. फ़ेरी-चुंबक, क्योंकि असमान प्रतिसमांतर आघूर्ण शुद्ध चुंबकन छोड़ते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — फ़ेरी-चुंबक, क्योंकि असमान प्रतिसमांतर आघूर्ण शुद्ध चुंबकन छोड़ते हैं

    असमान आघूर्ण के प्रतिसमांतर उपजालक शैथिल्य सहित शुद्ध स्वतः M देते हैं, जो फ़ेरी-चुंबकत्व की परिभाषा है (फ़ेराइटों जैसा)। प्रति-लौहचुंबक में उपजालक आघूर्ण बराबर होते हैं और शुद्ध M शून्य, अतः वह स्वतः चुंबकन या पाश नहीं दिखाता।

  3. एक सिलिकन-इस्पात क्रोड का शैथिल्य पाश-क्षेत्रफल 800 J/m³ प्रति चक्र है (प्रति इकाई आयतन प्रति चक्र क्षयित ऊर्जा)। इसे 50 Hz पर चक्रित किया जाता है और इस्पात का घनत्व 7650 kg/m³ है। केवल शैथिल्य मानने पर प्रति किलोग्राम क्षयित शक्ति लगभग है

    1. 5.23 W/kg
    2. 0.105 W/kg
    3. 10.5 W/kg
    4. 40.0 W/kg
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 5.23 W/kg

    प्रति आयतन शक्ति = क्षेत्रफल × आवृत्ति = 800 × 50 = 40000 W/m³; घनत्व से भाग देने पर 40000/7650 = 5.23 W/kg। 0.105 आवृत्ति भूल जाता है, 10.5 हानि दुगुनी कर देता है, और 40.0 प्रति m³ शक्ति है जिसमें घनत्व वाला चरण छूट गया।

  4. क्यूरी ताप T_C = 1000 K से ऊपर एक लौह-चुंबक क्यूरी-वाइस नियम χ = C/(T − T_C) का पालन करता है। 1100 K पर इसकी प्रवृत्ति 0.020 है। 1200 K पर इसकी प्रवृत्ति है

    1. 0.018, क्योंकि χ ∝ 1/T
    2. 0.040, क्योंकि T − T_C दुगुना होने पर χ दुगुनी हो जाती है
    3. 0.010, क्योंकि T − T_C 100 K से 200 K हो जाता है, दुगुना, और χ आधी हो जाती है
    4. 0.017, क्योंकि χ तापों के अनुपात 1100/1200 से दो बार घटती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 0.010, क्योंकि T − T_C 100 K से 200 K हो जाता है, दुगुना, और χ आधी हो जाती है

    χ ∝ 1/(T − T_C): 1100 K पर हर 100 K है और 1200 K पर 200 K, अतः χ आधी होकर 0.010 हो जाती है। क्यूरी नियम 1/T लेने पर 0.020 × 1100/1200 = 0.018 आता, जो मानक भूल है क्योंकि वाइस विस्थापन T_C उपेक्षित हो जाता है।

  5. बहुत निम्न ताप पर (T, डिबाई ताप से बहुत कम) किसी विद्युतरोधी क्रिस्टल की प्रति मोल जालक ऊष्मा-धारिता किसके अनुसार बदलती है

    1. स्थिर 3R, जैसा डूलॉन्ग-पेती नियम में
    2. T³, जैसा डिबाई मॉडल में
    3. exp(−θ/T), जैसा आइंस्टाइन मॉडल में, और प्रयोग यही दर्शाता है
    4. T, जैसा धातु के इलेक्ट्रॉनों हेतु, अतः यह सदा T में रैखिक रहती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — T³, जैसा डिबाई मॉडल में

    डिबाई मॉडल, निम्न-आवृत्ति फ़ोनॉनों के सतत के साथ, C_V ∝ T³ देता है, और अचालकों पर प्रयोग सहमत है। डूलॉन्ग-पेती केवल उच्च T पर लागू है। आइंस्टाइन की चरघातांकी गिरावट आँकड़ों की तुलना में बहुत तीव्र है। रैखिक पद धातु का इलेक्ट्रॉनिक योगदान है, जो अचालक में नहीं होता।

  6. यंग गुणांक 210 GPa व रेखीय प्रसार गुणांक 11 × 10⁻⁶ K⁻¹ की इस्पात छड़ को प्रारंभिक ताप पर दो स्थिर दीवारों के बीच दृढ़तापूर्वक जकड़ा गया है, फिर एकसमान रूप से 80 K गर्म किया जाता है। अनुक्रिया को एकअक्षीय व प्रत्यास्थ मानने पर छड़ में संपीडन प्रतिबल है

    1. 92 MPa, क्योंकि मुक्त प्रसार का केवल आधा अवरुद्ध है
    2. 18.5 MPa, E को 10 GPa की इकाई में लेने से प्राप्त
    3. 370 MPa, क्योंकि जकड़ी छड़ पर दोनों सिरों पर दो बार प्रतिबल पड़ता है
    4. 185 MPa, σ = EαΔT से, जब मुक्त प्रसार पूर्णतः रोक दिया गया हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 185 MPa, σ = EαΔT से, जब मुक्त प्रसार पूर्णतः रोक दिया गया हो

    अवरुद्ध विकृति मुक्त ऊष्मीय विकृति αΔT = 11 × 10⁻⁶ × 80 = 8.8 × 10⁻⁴ के बराबर है, अतः σ = EαΔT = 210 × 10⁹ × 8.8 × 10⁻⁴ = 1.85 × 10⁸ Pa = 185 MPa (184.8)। जकड़ी छड़ में प्रतिबल एकसमान रहता है, सिरों पर जुड़ता नहीं।

  7. शुद्ध विद्युतरोधी क्रिस्टल में ऊष्मीय चालकता फ़ोनॉनों से चलती है। कुछ केल्विन से डिबाई ताप से बहुत ऊपर तक ताप बढ़ने पर κ से अपेक्षा है कि वह

    1. T के अनुसार लगातार बढ़े, क्योंकि ऊष्मा-धारिता स्थिर है
    2. आरंभ से ही लगातार घटे, क्योंकि अधिक फ़ोनॉन सदा ऊष्मा-वाहकों का अधिक प्रकीर्णन दर्शाते हैं
    3. T³ से बढ़े, एक अधिकतम से गुज़रे, फिर लगभग 1/T से घटे
    4. विद्युत चालकता के साथ वीडमान-फ़्रांज़ नियम का पालन करे, क्योंकि सभी ठोस इसे मानते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — T³ से बढ़े, एक अधिकतम से गुज़रे, फिर लगभग 1/T से घटे

    निम्न T: ℓ नमूने के आकार से तय है और C ∝ T³, अतः κ ∝ T³। उच्च T: अपवर्त फ़ोनॉन-फ़ोनॉन प्रकीर्णन ℓ ∝ 1/T घटाता है जबकि C स्थिर है, अतः κ ∝ 1/T; इसलिए शिखर आता है। वीडमान-फ़्रांज़ केवल इलेक्ट्रॉनिक κ_e को σ से जोड़ता है और अचालक में मुक्त इलेक्ट्रॉन नहीं होते।

  8. 300 K पर एक ऊष्मविद्युत पदार्थ का सीबेक गुणांक परिमाण 150 µV/K, विद्युत चालकता 1.0 × 10⁵ S/m और ऊष्मीय चालकता 1.5 W/m·K है। इसका विमाहीन गुणता-माप ZT = S²σT/κ है

    1. 1.5 × 10⁻³, क्योंकि S²σ/κ में T का गुणक नहीं होता
    2. 0.675, हर में κ को 1.0 W/m·K लेने पर
    3. 0.45, (150 × 10⁻⁶)² × 10⁵ × 300/1.5 से
    4. 4.5 × 10¹¹, S को V/K में बदले बिना µV/K में लेने पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 0.45, (150 × 10⁻⁶)² × 10⁵ × 300/1.5 से

    S = 1.5 × 10⁻⁴ V/K, अतः S² = 2.25 × 10⁻⁸; S²σ = 2.25 × 10⁻³; × T = 0.675; ÷ κ = 0.45। T छोड़ने पर 1.5 × 10⁻³ आता है, और κ = 1.0 W/m·K लेने पर 0.675 (1.5 से भाग देने से पहले का मान)। S का चिह्न मायने नहीं रखता क्योंकि उसका वर्ग होता है।

  9. n = 1.5 अपवर्तनांक की एक काँच की पट्टिका वायु में रखी है और प्रकाश अभिलंब आपतित है। अवशोषण व बहुल आंतरिक परावर्तन उपेक्षित करने पर दोनों सतहों से पारगमित तीव्रता का अंश लगभग है

    1. 92.2 प्रतिशत
    2. 96.0 प्रतिशत
    3. 88.5 प्रतिशत
    4. 84.9 प्रतिशत
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 92.2 प्रतिशत

    प्रति सतह R = ((1.5 − 1)/(1.5 + 1))² = 0.04, अतः T = (1 − R)² = 0.96² = 0.9216, अर्थात् 92.2 प्रतिशत। 96 प्रतिशत केवल एक सतह गिनता है; 88.5 व 84.9 अतिरिक्त अंतरापृष्ठ गिनते हैं।

  10. एक शुद्ध अर्धचालक क्रिस्टल का बैंड अंतराल E_g = 2.0 eV है (hc = 1240 eV·nm लें और परावर्तन उपेक्षित करें)। इसके पतले क्रिस्टल के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. यह 620 nm से छोटी तरंगदैर्ध्य अवशोषित करता है और लंबी पारगमित करता है, अतः लाल या नारंगी दिखता है
    2. यह 620 nm से छोटी तरंगदैर्ध्य पारगमित करता है और लंबी अवशोषित करता है, अतः नीला दिखता है
    3. यह समस्त दृश्य परास में रंगहीन व पूर्णतः पारदर्शी है, क्योंकि 2.0 eV, 1 eV से ऊपर है
    4. यह केवल 1240 nm से लंबी तरंगदैर्ध्य अवशोषित करता है, क्योंकि प्रत्येक पदार्थ हेतु कट-ऑफ़ 1240 nm है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह 620 nm से छोटी तरंगदैर्ध्य अवशोषित करता है और लंबी पारगमित करता है, अतः लाल या नारंगी दिखता है

    λ_c = 1240/2.0 = 620 nm। hν ≥ E_g वाले फ़ोटॉन (λ ≤ 620 nm: बैंगनी से हरा व पीला) अवशोषित होते हैं; लंबी तरंगदैर्ध्य (नारंगी व लाल) गुज़र जाती हैं, अतः क्रिस्टल लाल या नारंगी दिखता है। भूमिकाएँ उलटने वाला कथन ऊर्जा व तरंगदैर्ध्य में भ्रम करता है।

  11. चुंबकीय पदार्थों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. प्रतिचुंबकत्व प्रत्येक पदार्थ में उपस्थित है, पर जहाँ अनुचुंबकीय या लौह-चुंबकीय योगदान हो वहाँ यह ढक जाता है
    2. अवशेषी चुंबकत्व व निग्राहिता इसलिए उत्पन्न होते हैं कि डोमेन भित्तियाँ दोषों, अंतर्वेशनों व कण-सीमाओं से अटकी रहती हैं
    3. नील ताप से नीचे प्रति-लौहचुंबक में पड़ोसी आघूर्ण बराबर व विपरीत होते हैं और कोई शुद्ध स्वतः चुंबकन नहीं होता
    4. चुंबकीय रूप से कठोर पदार्थ की निग्राहिता निम्न व पाश संकरा होता है, अतः यह ट्रांसफ़ॉर्मर क्रोड हेतु आदर्श है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रतिचुंबकत्व प्रत्येक पदार्थ में उपस्थित है, पर जहाँ अनुचुंबकीय या लौह-चुंबकीय योगदान हो वहाँ यह ढक जाता है; B — अवशेषी चुंबकत्व व निग्राहिता इसलिए उत्पन्न होते हैं कि डोमेन भित्तियाँ दोषों, अंतर्वेशनों व कण-सीमाओं से अटकी रहती हैं; C — नील ताप से नीचे प्रति-लौहचुंबक में पड़ोसी आघूर्ण बराबर व विपरीत होते हैं और कोई शुद्ध स्वतः चुंबकन नहीं होता

    प्रतिचुंबकत्व, डोमेन-दीवार अवरोधन और प्रति-लौहचुंबक वाले कथन सही हैं। कठोर पदार्थ वाला दावा गलत है: निम्न निग्राहिता व संकरा पाश मृदु पदार्थ का वर्णन है, जो क्रोडों के उपयुक्त है। कठोर पदार्थ की निग्राहिता उच्च व पाश चौड़ा होता है और उसका उपयोग स्थायी चुंबकों में होता है।

  12. ठोसों की ऊष्मा-धारिता व ऊष्मा-चालन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. आइंस्टाइन मॉडल एक ही कंपन आवृत्ति मानता है और निम्न ताप पर C_V की चरघातांकी गिरावट बताता है, जो प्रेक्षित से तीव्र है
    2. डिबाई ताप से बहुत ऊपर के तापों पर डिबाई मॉडल प्रति मोल परमाणु C_V लगभग 3R देता है
    3. कक्ष ताप पर शुद्ध धातु में ऊष्मा मुख्यतः चालन इलेक्ट्रॉनों से चलती है, अतः κ_e/(σT) लोरेंज़ संख्या के निकट होता है
    4. डूलॉन्ग-पेती नियम सही पूर्वानुमान देता है कि T → 0 K पर C_V शून्य की ओर गिरती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आइंस्टाइन मॉडल एक ही कंपन आवृत्ति मानता है और निम्न ताप पर C_V की चरघातांकी गिरावट बताता है, जो प्रेक्षित से तीव्र है; B — डिबाई ताप से बहुत ऊपर के तापों पर डिबाई मॉडल प्रति मोल परमाणु C_V लगभग 3R देता है; C — कक्ष ताप पर शुद्ध धातु में ऊष्मा मुख्यतः चालन इलेक्ट्रॉनों से चलती है, अतः κ_e/(σT) लोरेंज़ संख्या के निकट होता है

    आइंस्टाइन, डिबाई और वीडमान-फ्रांज़ वाले कथन मानक परिणाम हैं। डूलॉन्ग-पेती वाला दावा गलत है: चिरसम्मत डूलॉन्ग-पेती मान 3R, T से स्वतंत्र है और ठीक वही निम्न T पर विफल होता है, जहाँ क्वांटम मॉडल (आइंस्टाइन, डिबाई) C_V को शून्य तक लाते हैं।

  13. ऊष्मविद्युत व प्रकाशिक व्यवहार के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. अर्धचालक छड़ के तप्त व शीतल सिरों के बीच सीबेक वोल्टता का चिह्न बताता है कि बहुसंख्यक वाहक इलेक्ट्रॉन हैं या होल
    2. पेल्टियर संधि से धारा उलटने पर संधि पर तापन शीतलन में और शीतलन तापन में बदल जाता है
    3. बीयर-लैम्बर्ट नियम में पारगमित तीव्रता गहराई के साथ रैखिक घटती है और गहराई 1/α पर शून्य हो जाती है
    4. 5 eV बैंड अंतराल का शुद्ध क्रिस्टल अंतर्बैंड संक्रमणों से दृश्य प्रकाश को प्रबलता से अवशोषित करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अर्धचालक छड़ के तप्त व शीतल सिरों के बीच सीबेक वोल्टता का चिह्न बताता है कि बहुसंख्यक वाहक इलेक्ट्रॉन हैं या होल; B — पेल्टियर संधि से धारा उलटने पर संधि पर तापन शीतलन में और शीतलन तापन में बदल जाता है

    सीबेक-चिह्न और पेल्टिए वाले कथन सही हैं। बीयर-लैम्बर्ट वाला दावा गलत है: बीयर-लैम्बर्ट क्षय चरघातांकी है: तीव्रता गहराई 1/α पर 1/e रह जाती है और कभी शून्य नहीं होती। 5 eV अंतराल प्रत्येक दृश्य फ़ोटॉन ऊर्जा (लगभग 1.8 से 3.1 eV) से अधिक है, अतः अंतर्बैंड अवशोषण नहीं होता और क्रिस्टल पारदर्शी है।

  14. 300 K पर किसी धातु की विद्युत चालकता 3.5 × 10⁷ S/m है। वीडमान-फ़्रांज़ नियम लोरेंज़ संख्या L = 2.44 × 10⁻⁸ W·Ω/K² के साथ लें और ऊष्मा-चालन पूर्णतः इलेक्ट्रॉनों से मानें। ऊष्मीय चालकता ____ W/m·K है (पूर्णांक में उत्तर दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 256

    κ = LσT = 2.44 × 10⁻⁸ × 3.5 × 10⁷ × 300 = 0.854 × 300 = 256.2 W/m·K, जो पूर्णांक में 256 है।

  15. ऐलुमिनियम (मोलर द्रव्यमान 27.0 g/mol) पर R = 8.314 J/mol·K के साथ डूलॉन्ग-पेती नियम लगाइए। विशिष्ट ऊष्मा-धारिता ____ J/kg·K है (पूर्णांक में उत्तर दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 924

    C_V = 3R = 24.942 J/mol·K। प्रति किलोग्राम: 24.942/0.0270 kg/mol = 923.8 J/kg·K, जो पूर्णांक में 924 है।

  16. निम्न ताप पर किसी अचालक की जालक मोलर ऊष्मा-धारिता डिबाई नियम C_V = (12π⁴/5) R (T/θ_D)³ का पालन करती है, R = 8.314 J/mol·K। θ_D = 400 K हेतु T = 10 K पर ऊष्मा-धारिता ____ J/mol·K है (चार दशमलव स्थानों तक उत्तर दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.0304

    12π⁴/5 = 12 × 97.409/5 = 233.78; × R = 233.78 × 8.314 = 1943.7 J/mol·K। (T/θ_D)³ = (10/400)³ = 1.5625 × 10⁻⁵। C_V = 1943.7 × 1.5625 × 10⁻⁵ = 0.03037, जो चार दशमलव तक 0.0304 है।

  17. एकवर्णी प्रकाश अवशोषण गुणांक α = 350 cm⁻¹ वाले ठोस से गुज़रता है। परावर्तन-हानि व प्रकीर्णन उपेक्षित करें। जिस मोटाई से पारगमित तीव्रता आपतित तीव्रता की केवल 5.0 प्रतिशत रह जाती है वह ____ µm है (एक दशमलव स्थान तक उत्तर दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 85.6

    I/I₀ = exp(−αx) = 0.05, अतः x = ln(20)/α = 2.9957/350 cm⁻¹ = 8.559 × 10⁻³ cm = 85.6 µm (1 cm = 10⁴ µm)।

  18. एक धातु की ऊष्मीय चालकता κ = 237 W/m·K, घनत्व ρ = 2700 kg/m³ और विशिष्ट ऊष्मा-धारिता c_p = 900 J/kg·K है। इसकी ऊष्मीय विसरणशीलता κ/(ρ c_p) ____ × 10⁻⁵ m²/s है (दो दशमलव स्थानों तक उत्तर दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 9.75

    α_th = κ/(ρ c_p) = 237/(2700 × 900) = 237/2.43 × 10⁶ = 9.753 × 10⁻⁵ m²/s, जो 9.75 × 10⁻⁵ है।