विभव प्रवाह: वेग विभव, स्रोत, सिंक व भँवर, अध्यारोपण तथा बेलन के ऊपर प्रवाह

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. वेग विभव फलन φ, जहाँ V = ∇φ है, किसी प्रवाह हेतु तभी परिभाषित हो सकता है जब प्रवाह

   1. असंपीड्य हो, क्योंकि तब ∇·V = 0 होता है
   2. स्थिर हो, क्योंकि तब ∂V/∂t = 0 होता है
   3. अघूर्णी हो, क्योंकि तब ∇ × V = 0 होता है
   4. द्विविम हो, क्योंकि तब केवल u व v होते हैं
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — अघूर्णी हो, क्योंकि तब ∇ × V = 0 होता है

   कर्ल-मुक्त क्षेत्र किसी अदिश का प्रवणता होता है, अतः अघूर्णिता ही शर्त है। असंपीड्यता धारा-फलन (2D) की शर्त है और यह तय करती है कि φ लाप्लास समीकरण मानेगा या नहीं; स्थिरता व विमा φ के अस्तित्व को तय नहीं करतीं।

2. द्विविम, असंपीड्य, अघूर्णी प्रवाह में φ व ψ के बारे में कौन-सा कथन सही है?

   1. दोनों लाप्लास समीकरण मानते हैं, और φ स्थिर रेखाएँ ψ स्थिर रेखाओं को समकोण पर काटती हैं
   2. केवल φ लाप्लास समीकरण मानता है, जबकि ψ कभी नहीं मानता, क्योंकि ψ केवल सांतत्य से तय होता है
   3. φ स्थिर रेखाएँ ψ स्थिर रेखाओं से संपाती होती हैं, अतः प्रवाह समविभव रेखाओं के अनुदिश चलता है
   4. ψ केवल अघूर्णी प्रवाह हेतु होता है, और φ केवल घूर्णी प्रवाह हेतु, क्योंकि φ को वॉर्टिसिटी चाहिए
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — दोनों लाप्लास समीकरण मानते हैं, और φ स्थिर रेखाएँ ψ स्थिर रेखाओं को समकोण पर काटती हैं

   अघूर्णिता से ∇²ψ = 0 और असंपीड्यता से ∇²φ = 0 मिलता है, और u = ∂φ/∂x = ∂ψ/∂y व v = ∂φ/∂y = −∂ψ/∂x से ∇φ·∇ψ = 0 निकलता है। ψ कभी लाप्लास समीकरण नहीं मानता वाला कथन ठीक इसी प्रवाह हेतु गलत है, और ψ केवल अघूर्णी व φ केवल घूर्णी प्रवाह हेतु वाला दावा सत्य को उलट देता है: φ को अघूर्णिता चाहिए।

3. u = ∂ψ/∂y व v = −∂ψ/∂x लेने पर निम्नलिखित में से कौन-सा धारा-फलन अघूर्णी प्रवाह निरूपित करता है?

   1. ψ = x² + y²
   2. ψ = x²y
   3. ψ = y³
   4. ψ = 2xy
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — ψ = 2xy

   वॉर्टिसिटी ω_z = −∇²ψ है। 2xy हेतु ∇²ψ = 0, अतः प्रवाह अघूर्णी है। x² + y² हेतु वह 4, x²y हेतु 2y और y³ हेतु 6y है, जिनमें से कोई सर्वत्र शून्य नहीं। x² + y² अपनी सममिति के कारण भ्रामक है; वह ठोस-पिंड घूर्णन है, विभव प्रवाह नहीं।

4. द्विविम स्रोत, जिसका सामर्थ्य m = 4π m²/s (प्रति इकाई गहराई आयतन प्रवाह) है, स्थिर जल में रखा है। r = 2.0 m पर अरीय चाल है

   1. 0.5 m/s
   2. 2.0 m/s
   3. 4.0 m/s
   4. 1.0 m/s
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — 1.0 m/s

   v_r = m/(2πr) = 4π/(2π × 2.0) = 1.0 m/s। m/r (≈ 6.3) या m/(4πr) = 0.5 m/s लेना ज्यामिति की भूल है: प्रवाह परिधि 2πr वाले वृत्त से गुज़रता है, क्षेत्रफल 4πr² वाले गोले से नहीं।

5. असंपीड्य तरल में मुक्त भँवर में, गुरुत्व प्रभाव उपेक्षित, दाब

   1. एकसमान होता है, क्योंकि प्रवाह अघूर्णी है
   2. r बढ़ने पर घटता है, क्योंकि चाल r के साथ बढ़ती है
   3. r बढ़ने पर बढ़ता है, क्योंकि चाल 1/r के अनुसार घटती है
   4. केंद्र पर सर्वाधिक है, जहाँ चाल सर्वाधिक है
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — r बढ़ने पर बढ़ता है, क्योंकि चाल 1/r के अनुसार घटती है

   पूरे अघूर्णी प्रवाह में बर्नूली लागू है: v = Γ/(2πr) के साथ p + ½ρv² स्थिर है, अतः p बाहर की ओर बढ़ता है और क्रोड के निकट न्यूनतम है। एकसमान दाब का अर्थ अभिकेंद्र बल का न होना होगा। r के साथ चाल बढ़ने या केंद्र पर अधिकतम दाब वाले विकल्प बर्नूली संबंध को उलट देते हैं: अधिक चाल के साथ कम दाब होता है।

6. एकसमान धारा में रखा स्रोत अनुप्रवाह में खुले अर्ध-अनंत पिंड के ऊपर प्रवाह देता है। इस पिंड को कहते हैं

   1. वृत्ताकार बेलन
   2. रैंकिन अर्ध-पिंड
   3. रैंकिन अंडाकार
   4. जुकोव्स्की एयरफ़ॉइल
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — रैंकिन अर्ध-पिंड

   स्रोत व एकसमान धारा अर्ध-पिंड देते हैं। अंडाकार हेतु समान सामर्थ्य का स्रोत व सिंक चाहिए, वृत्ताकार बेलन द्विध्रुव से आता है, और एयरफ़ॉइल हेतु परिसंचरण सहित रूपांतरण चाहिए।

7. चाल U के विभव प्रवाह में वृत्ताकार बेलन की सतह पर अधिकतम चाल है

   1. 2U, अगले अवरोध-बिंदु से θ = 90° पर
   2. U, अगले अवरोध-बिंदु पर
   3. 3U, अगले अवरोध-बिंदु से θ = 90° पर
   4. 2U, दोनों अवरोध-बिंदुओं पर
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — 2U, अगले अवरोध-बिंदु से θ = 90° पर

   सतह की चाल 2U|sinθ| है, जो θ = 90° पर सर्वाधिक है। संख्या 3 न्यूनतम दाब गुणांक का परिमाण है, चाल-अनुपात नहीं, और अवरोध-बिंदुओं पर चाल शून्य है।

8. अघूर्णी बेलन के ऊपर स्थिर प्रवाह का विभव-प्रवाह हल शून्य अपकर्ष बताता है। वास्तविक अपकर्ष मुख्यतः इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि

   1. तरल संपीड्य है, जिससे दाब-क्षेत्र की आगे-पीछे की समरूपता टूट जाती है
   2. श्यानता सीमा-परत को पृथक् कर देती है, जिससे निम्न-दाब वेक बनता है
   3. अवरोध दाब p_∞ + ½ρU² से कम होता है, जिससे अगले फलक पर आदर्श से कम भार पड़ता है
   4. धारा-फलन बेलन के चारों ओर एकमानी नहीं होता, जिससे पृष्ठ समाकल विफल हो जाता है
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — श्यानता सीमा-परत को पृथक् कर देती है, जिससे निम्न-दाब वेक बनता है

   विभव-प्रवाह दाब आगे-पीछे सममित है, इसलिए बल निरस्त हो जाता है। वास्तविक सीमा-परतें पिछले अर्धभाग के प्रतिकूल दाब-प्रवणता में पृथक् होती हैं, अतः पीछे का दाब पुनः नहीं लौटता। संपीड्यता की आवश्यकता नहीं (विरोधाभास निम्न चाल पर भी रहता है), और अवरोध दाब p_∞ + ½ρU² ही सही है।

9. त्रिज्या R के घूमते बेलन के ऊपर प्रवाह में सतह की चाल q = |2U sinθ − Γ/(2πR)| है। जब Γ = 4πUR हो, अवरोध-बिंदु

   1. सतह पर एक बिंदु में विलीन हो जाते हैं, जो धारा-दिशा से 90° पर है
   2. बेलन के आगे व पीछे ही रहते हैं, जैसे परिसंचरण के बिना
   3. सतह छोड़कर बेलन से दूर तरल में चले जाते हैं
   4. लुप्त हो जाते हैं क्योंकि परिसंचरण के इस मान पर उत्थापन शून्य हो जाता है
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — सतह पर एक बिंदु में विलीन हो जाते हैं, जो धारा-दिशा से 90° पर है

   q = 0 हेतु sinθ = Γ/(4πUR) = 1, अतः θ = 90°, अर्थात् एक बिंदु। Γ < 4πUR पर सतह पर दो अवरोध-बिंदु हैं और Γ > 4πUR पर वे तरल में चले जाते हैं। उत्थापन ρUΓ शून्य नहीं है; वह Γ के समानुपाती है।

10. वेग विभव व धारा-फलन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. जब भी प्रवाह अघूर्णी हो, वेग विभव अस्तित्व में होता है
    2. किसी भी द्विविम असंपीड्य प्रवाह हेतु, घूर्णी हो या नहीं, धारा-फलन अस्तित्व में होता है
    3. प्रत्येक द्विविम असंपीड्य प्रवाह हेतु धारा-फलन लाप्लास समीकरण मानता है
    4. एकसमान प्रवाह में φ स्थिर रेखाएँ धारा-रेखाएँ होती हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — जब भी प्रवाह अघूर्णी हो, वेग विभव अस्तित्व में होता है; B — किसी भी द्विविम असंपीड्य प्रवाह हेतु, घूर्णी हो या नहीं, धारा-फलन अस्तित्व में होता है

    अघूर्णिता φ देती है, और 2D में असंपीड्यता ψ देती है। परंतु ψ लाप्लास समीकरण तभी मानता है जब प्रवाह अघूर्णी भी हो, क्योंकि ω_z = −∇²ψ। x के अनुदिश एकसमान प्रवाह में φ = Ux है, अतः φ-स्थिर रेखाएँ ऊर्ध्वाधर हैं और क्षैतिज धारा-रेखाओं को समकोण पर काटती हैं।

11. विभव प्रवाहों के अध्यारोपण हेतु निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?

    1. घटक प्रवाहों के वेग विभव जुड़ते हैं, क्योंकि लाप्लास समीकरण रैखिक है
    2. घटक प्रवाहों के दाब क्षेत्र जुड़ते हैं, क्योंकि दाब अदिश है
    3. घटक प्रवाहों के वेग सदिश प्रत्येक बिंदु पर जुड़ते हैं
    4. घटक धारा-फलन गुणित होकर संयुक्त प्रवाह का धारा-फलन देते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — घटक प्रवाहों के वेग विभव जुड़ते हैं, क्योंकि लाप्लास समीकरण रैखिक है; C — घटक प्रवाहों के वेग सदिश प्रत्येक बिंदु पर जुड़ते हैं

    रैखिकता का अर्थ है φ व ψ जुड़ते हैं, और वेग भी। दाब बर्नूली के अनुसार p = p₀ − ½ρ|V|² है, जो कुल वेग में द्विघात है, अतः उसे जोड़े हुए वेग से निकालना होगा। धारा-फलन जुड़ते हैं, गुणित नहीं होते।

12. चाल U के विभव प्रवाह में वृत्ताकार बेलन हेतु निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. अवरोध-बिंदु पर दाब गुणांक +1 है
    2. सतह पर न्यूनतम दाब गुणांक −3 है
    3. अगले अवरोध-बिंदु से θ = 30° पर सतह-चाल 2U है
    4. θ = 30° पर सतह-दाब मुक्त-धारा दाब के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अवरोध-बिंदु पर दाब गुणांक +1 है; B — सतह पर न्यूनतम दाब गुणांक −3 है; D — θ = 30° पर सतह-दाब मुक्त-धारा दाब के बराबर है

    C_p = 1 − 4 sin²θ से θ = 0 पर +1 और θ = 90° पर −3 मिलता है। θ = 30° पर sinθ = 0.5, अतः चाल 2U × 0.5 = U है (2U नहीं), C_p = 0 और दाब p_∞ के बराबर है।

13. द्विविम स्रोत, जिसका सामर्थ्य m = 12 m²/s (प्रति इकाई गहराई आयतन प्रवाह) है, चाल U = 10 m/s की एकसमान धारा में रखा है। अवरोध-बिंदु स्रोत के ऊपरी ओर अक्ष पर है। इस अवरोध-बिंदु की स्रोत से दूरी, मीटर में तीन दशमलव स्थानों तक, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.191

    अवरोध-बिंदु पर U − m/(2πa) = 0, क्योंकि वहाँ स्रोत की चाल ऊपरी ओर निर्देशित है। अतः a = m/(2πU) = 12/(2π × 10) = 0.19099 m, यानी 0.191 m। 2π छोड़ने पर 1.2 m मिलता है, जो बहुत अनुप्रवाह की चौड़ाई m/U है।

14. घनत्व 1.2 kg/m³ की वायु लंबे वृत्ताकार बेलन के ऊपर 30 m/s की अविक्षुब्ध चाल से स्थिर रूप में बहती है। आदर्श (विभव) प्रवाह मानकर अगले अवरोध-बिंदु और उससे 90° पर सतह के बिंदु के बीच दाब-अंतर, पास्कल में, पूर्ण संख्या के रूप में ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2160

    ½ρU² = 0.5 × 1.2 × 900 = 540 Pa, आगे C_p = +1 और 90° पर −3 है। अंतर (1 − (−3)) × 540 = 4 × 540 = 2160 Pa है। समतुल्यतः 90° पर चाल 60 m/s है, अतः अंतर ½ × 1.2 × 60² = 2160 Pa है।

15. जल (ρ = 1000 kg/m³) में मुक्त भँवर की स्पर्शरेखीय चाल r = 0.50 m पर 8.0 m/s है। गुरुत्व उपेक्षित करने पर r = 2.0 m पर दाब r = 0.50 m के दाब से ____ kPa अधिक है (उत्तर पूर्ण संख्या में दें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 30

    v ∝ 1/r से v₂ = 8 × 0.5/2.0 = 2.0 m/s। बर्नूली: p₂ − p₁ = ½ρ(v₁² − v₂²) = 0.5 × 1000 × (64 − 4) = 30,000 Pa = 30 kPa। v₂ = 4 m/s (बलित भँवर मानकर) लेने पर 24 kPa मिलता।

16. द्विविम प्रवाह का धारा-फलन ψ = 3xy है (m²/s में, x व y मीटर में), और u = ∂ψ/∂y, v = −∂ψ/∂x। बिंदु (x, y) = (2, 1) m पर चाल, m/s में दो दशमलव स्थानों तक, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6.71

    (2, 1) पर u = ∂ψ/∂y = 3x = 6 m/s और v = −∂ψ/∂x = −3y = −3 m/s। चाल = √(36 + 9) = √45 = 6.708, यानी 6.71 m/s। u व v के सूत्र आपस में बदलने पर यहाँ चाल वही मिलती है, पर दिशा नहीं।

17. लंबा बेलन, त्रिज्या 0.10 m, एकसमान वायु धारा (ρ = 1.2 kg/m³, U = 20 m/s) में घूमता है। आदर्श प्रवाह में सतह-चाल ωR = 15 m/s हेतु परिसंचरण Γ = 2πR(ωR) लें। कुट्टा-जुकोव्स्की परिणाम L′ = ρUΓ से प्रति मीटर स्पैन उत्थापन लगभग है

    1. 226 N/m
    2. 360 N/m
    3. 452 N/m
    4. 113 N/m
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 226 N/m

    Γ = 2π × 0.10 × 15 = 9.42 m²/s, और L′ = 1.2 × 20 × 9.42 = 226 N/m। Γ = ωR (15) लेने पर 360 N/m मिलता है, 2ρUΓ लेने पर 452 N/m और ½ρUΓ लेने पर 113 N/m; प्रमेय में ऐसा कोई गुणक नहीं है।