तरल गति की शुद्धगतिकी: यूलरी व लैग्रेंजी दृष्टिकोण, पदार्थ अवकलज, धारा-रेखाएँ, पथ-रेखाएँ व स्ट्रीक-रेखाएँ

यह अध्याय XE1 तरल यांत्रिकी के खंड XE1.3 का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है, जिनमें से परीक्षा में अभ्यर्थी कोई दो चुनता है: “Eulerian and Lagrangian descriptions of fluid motion, Concept of local, Convective and material derivatives, Streamline, Streakline, and Pathline.” इसमें प्रवाह के वर्णन की दो विधियाँ, वेग व त्वरण क्षेत्र, स्थानिक, संवहनी व पदार्थ अवकलज, प्रवाह-रेखाओं के तीन कुल और उनके संपाती होने की स्थितियाँ, प्रवाह की विमीयता, तथा विशुद्ध शुद्धगतिक प्रतिबंध के रूप में असंपीड्य सांतत्य पढ़ाए गए हैं। संख्यात्मक प्रश्न दिए गए वेग क्षेत्रों पर आधारित हैं: अस्थायी तथा स्थायी असमान प्रवाह में कण का त्वरण, कण के साथ चलते हुए तापमान-परिवर्तन की दर, किसी बिंदु से गुज़रती धारा-रेखा, पथ-रेखा, और सांतत्य से लुप्त वेग घटक।

1. लैग्रेंजी व यूलरी वर्णन

शुद्धगतिकी गति का वर्णन बिना यह पूछे करती है कि उसका कारण क्या है। प्रवाह के वर्णन की दो विधियाँ हैं। लैग्रेंजी वर्णन में आप अलग-अलग तरल कणों का अनुसरण करते हैं, प्रत्येक को उसकी प्रारंभिक स्थिति से नामित करके, और उसकी स्थिति, वेग व गुणों को समय के फलन के रूप में लिखते हैं, ठीक कण-यांत्रिकी की तरह। यूलरी वर्णन में आप अंतरिक्ष के बिंदुओं पर ध्यान टिकाते हैं और तरल के गुज़रते समय वहाँ वेग V(x, y, z, t) तथा p(x, y, z, t) व T(x, y, z, t) जैसे गुण लिखते हैं। ऐसे फलनों का समुच्चय क्षेत्र (field) कहलाता है। तरल में कण इतने अधिक होते हैं कि पहली विधि व्यावहारिक नहीं, इसलिए तरल यांत्रिकी में प्रायः यूलरी वर्णन प्रयुक्त होता है; किसी स्थिर बिंदु पर दाब-प्रोब या लेज़र माप यूलरी है, जबकि बहता फ्लोट या रंजक कण लैग्रेंजी है।

दोनों दृष्टिकोण जुड़े हैं। समय t पर जो कण स्थिति r पर है उसका लैग्रेंजी वेग वहाँ मूल्यांकित यूलरी क्षेत्र ही है: dx/dt = u(x, y, z, t), dy/dt = v, dz/dt = w। यांत्रिकी के नियम (न्यूटन का द्वितीय नियम, ऊर्जा संरक्षण) कणों पर लगते हैं, इसलिए उन्हें पहले लैग्रेंजी रूप में लिखा जाता है और फिर अगले खंड के पदार्थ अवकलज से क्षेत्र-रूप में बदला जाता है।

2. वेग व त्वरण क्षेत्र: स्थानिक, संवहनी व पदार्थ अवकलज

जो कण समय t पर (x, y, z) पर है वह t + dt पर (x + u dt, y + v dt, z + w dt) पर पहुँचता है। कण द्वारा देखे गए किसी क्षेत्र-गुण, मान लीजिए T, का परिवर्तन श्रृंखला नियम से मिलता है, अतः कण के साथ चलते हुए परिवर्तन-दर पदार्थ (द्रव्यगत) अवकलज है: DT/Dt = ∂T/∂t + u ∂T/∂x + v ∂T/∂y + w ∂T/∂z = ∂T/∂t + (V·∇)T। पहला पद स्थानिक (local) अवकलज है, जो स्थिर बिंदु पर इसलिए बदलाव है कि क्षेत्र अस्थायी है। शेष पद संवहनी (convective) अवकलज हैं, वह परिवर्तन जो इसलिए है कि कण वहाँ पहुँचा दिया जाता है जहाँ क्षेत्र का मान भिन्न है। इसे वेग पर लगाने से तरल कण का त्वरण मिलता है: a = DV/Dt = ∂V/∂t + (V·∇)V, जिसके घटक a_x = ∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z हैं, और a_y, a_z के लिए भी इसी प्रकार।

हल किया उदाहरण 1 (अस्थायी द्वि-विमीय क्षेत्र)। मान लीजिए u = xt और v = −yt (x, y मीटर में, t सेकंड में, u, v m/s में)। तब ∂u/∂t = x, ∂u/∂x = t, ∂u/∂y = 0, ∂v/∂t = −y, ∂v/∂x = 0, ∂v/∂y = −t। अतः a_x = x + (xt)(t) + 0 = x(1 + t²) और a_y = −y + 0 + (−yt)(−t) = −y(1 − t²)। x = 1 m, y = 2 m, t = 2 s पर: a_x = 5 m/s² तथा a_y = 6 m/s², अतः |a| = √(25 + 36) = 7.81 m/s²।

हल किया उदाहरण 2 (अदिश क्षेत्र)। किसी वाहिनी में स्थायी तापमान क्षेत्र T = 20 + 5x (°C, x मीटर में) है जिसमें वायु x दिशा में u = 2 m/s से चलती है। कण को स्थानीय रूप से ∂T/∂t = 0 दिखता है, पर गर्म वायु में पहुँचाए जाने पर DT/Dt = u ∂T/∂x = 2 × 5 = 10 °C/s। वाहिनी में स्थिर लगा तापमापी स्थिर मान दिखाता है, फिर भी हर कण गर्म होता जाता है।

3. स्थायी असमान तथा अस्थायी एकसमान प्रवाह में त्वरण

a = ∂V/∂t + (V·∇)V के दोनों पद अलग-अलग भी सक्रिय हो सकते हैं। स्थायी प्रवाह में ∂V/∂t = 0 होता है, फिर भी कण त्वरित होता है यदि वेग बिंदु-बिंदु पर बदलता हो (असमान प्रवाह): अभिसारी नोज़ल का प्रवाह मानक उदाहरण है। स्थायी 1-D प्रवाह u(x) के लिए a = u du/dx = d(u²/2)/dx। एकसमान प्रवाह में किसी क्षण V सभी बिंदुओं पर समान होता है, अतः (V·∇)V = 0 और a = ∂V/∂t: नियत व्यास की लंबी पाइप में जल, जिसकी चाल बदली जा रही हो, केवल स्थानिक त्वरण रखता है। दोनों पद केवल तब लुप्त होते हैं जब प्रवाह स्थायी और एकसमान दोनों हो।

हल किया उदाहरण 3 (नोज़ल)। अभिसारी नोज़ल के अक्ष के अनुदिश स्थायी चाल u = 2(1 + 2x) m/s है, x मीटर में। x = 0.25 m पर u = 2 × 1.5 = 3 m/s और du/dx = 4 s⁻¹, अतः a = u du/dx = 3 × 4 = 12 m/s², यद्यपि ∂u/∂t = 0 है। औसत चाल x के साथ बढ़ती है क्योंकि क्षेत्रफल घटता है (सांतत्य से uA = नियतांक)।

धारा-रेखा के अनुदिश व आर-पार। प्राकृतिक निर्देशांकों में (s धारा-रेखा के अनुदिश, n वक्रता-केंद्र की ओर, त्रिज्या R) त्वरण-घटक a_s = ∂V/∂t + V ∂V/∂s तथा a_n = V²/R हैं। मोड़ पर नियत चाल से चलता तरल भी वक्रता-केंद्र की ओर त्वरित होता है, और इस अभिलंब त्वरण के लिए धारा-रेखाओं के आर-पार दाब-प्रवणता चाहिए; सीधी धारा-रेखा (R → ∞) में अभिलंब त्वरण नहीं होता।

⚠️ जाल
स्थायी का अर्थ शून्य त्वरण नहीं है, और एकसमान का अर्थ स्थायी नहीं है। नोज़ल में स्थायी प्रवाह में a ≠ 0 है, और बदलते निस्सरण वाली पाइप के एकसमान प्रवाह में भी a ≠ 0 है। निष्कर्ष से पहले यह देखें कि ∂V/∂t और (V·∇)V में कौन-सा शून्य है। साथ ही किसी बिंदु पर क्षेत्र का ∂/∂t, DV/Dt नहीं है जब तक कण गतिमान न हो।

4. धारा-रेखाएँ, पथ-रेखाएँ व स्ट्रीक-रेखाएँ

तीन प्रवाह-रेखाएँ
रेखापरिभाषासमीकरण
धारा-रेखावह वक्र जो किसी एक क्षण पर प्रत्येक बिंदु पर वेग-सदिश की स्पर्श-रेखा होdx/u = dy/v = dz/w, t को नियत रखकर
पथ-रेखासमय के साथ एक तरल कण द्वारा बनाया गया प्रक्षेप-पथdx/dt = u, dy/dt = v, dz/dt = w, t बदलते हुए समाकलित
स्ट्रीक-रेखाएक क्षण पर उन सभी कणों का बिंदुपथ जो किसी स्थिर बिंदु से गुज़र चुके हैंसमय τ पर छोड़े गए कणों की पथ-रेखाएँ समाकलित करें, फिर t नियत रखकर τ बदलें

स्थायी प्रवाह में वेग क्षेत्र नहीं बदलता, इसलिए हर कण अपने आरंभ-बिंदु वाली धारा-रेखा का अनुसरण करता है, और किसी बिंदु से गुज़रने वाले सभी कण एक ही पथ पर चलते हैं: धारा-रेखाएँ, पथ-रेखाएँ व स्ट्रीक-रेखाएँ संपाती होती हैं। अस्थायी प्रवाह में वे सामान्यतः भिन्न होती हैं। किसी बिंदु से लगातार छोड़ा गया रंजक स्ट्रीक-रेखा देता है (बदलती हवा में चिमनी का धुआँ ऐसा ही है); चिह्नित एक कण का लंबे एक्सपोज़र वाला फोटो पथ-रेखा देता है। धारा-रेखाओं को सीधे फोटो में नहीं खींचा जा सकता, वे कई छोटे एक्सपोज़र वाली ट्रेसर-धारियों से अनुमानित होती हैं। चूँकि किसी बिंदु पर वेग की एक ही दिशा होती है, दो धारा-रेखाएँ स्थिरता-बिंदु या विचित्रता-बिंदु के सिवा नहीं कटतीं, और स्थायी प्रवाह में कोई तरल धारा-रेखा को पार नहीं करता।

हल किया उदाहरण 4 (धारा-रेखा, स्थायी)। u = x, v = −y (s⁻¹, m) के लिए: dy/dx = v/u = −y/x, अतः dy/y = −dx/x और ln y = −ln x + c, अर्थात् xy = नियतांक, आयताकार अतिपरवलय। (2, 3) से गुज़रने वाली धारा-रेखा xy = 6 है, अतः x = 4 m पर वह y = 1.5 m पर है। प्रवाह स्थायी है, इसलिए यही पथ-रेखा और स्ट्रीक-रेखा भी है।

हल किया उदाहरण 5 (अस्थायी: तीनों भिन्न)। मान लीजिए u = U = 2 m/s और v = bt, b = 1 m/s² (t सेकंड में)। धारा-रेखा क्षण t पर: dy/dx = bt/U, ढलान t/2 की सरल रेखाएँ जो समय के साथ झुकती जाती हैं। पथ-रेखा, उस कण की जो t = 0 पर मूलबिंदु पर था: x = Ut = 2t और y = bt²/2 = t²/2, अतः y = x²/8, परवलय। x = 4 m पर t = 2 s और y = 2 m। स्ट्रीक-रेखा समय t पर मूलबिंदु से: τ पर छोड़ा गया कण x = U(t − τ), y = b(t² − τ²)/2 पर है, अतः y = (bx/2U)(2t − x/U), एक और परवलय जो t के साथ बदलता है। t = 2 s पर मूलबिंदु से गुज़रते तीनों वक्रों के आकार भिन्न हैं।

5. प्रवाह की विमीयता तथा एकसमान व स्थायी के अर्थ

प्रवाह एक-, द्वि- या त्रि-विमीय इस आधार पर होता है कि वेग क्षेत्र कितने स्थानिक निर्देशांकों पर निर्भर है। (यहाँ प्रयुक्त परिपाटी: उन निर्देशांकों को गिनें जिन पर वेग घटक निर्भर हैं; कुछ पाठ्यपुस्तकें केवल अनुप्रस्थ-काट की माध्य चाल लेते समय भी पाइप प्रवाह को 'एक-विमीय' कहती हैं।) लंबी वृत्तीय पाइप में पूर्ण विकसित लामिनार प्रवाह में केवल अक्षीय वेग u(r) होता है, जो एक निर्देशांक का फलन है: यह एक-विमीय है। बहुत चौड़ी समांतर प्लेटों के बीच प्रवाह u(y) भी एक-विमीय है। लंबे बेलन के सिरों से दूर उसके चारों ओर प्रवाह V(x, y) द्वि-विमीय (समतल प्रवाह) है। परिमित पंख या गोले के चारों ओर प्रवाह (u, v, w सभी x, y, z पर निर्भर) त्रि-विमीय है। अक्षीय-सममित प्रवाह केवल r और z पर निर्भर होता है और इस अर्थ में द्वि-विमीय है।

विमीयता, स्थायित्व और एकसमानता तीन स्वतंत्र लेबल हैं। स्थायी का अर्थ किसी बिंदु पर ∂/∂t = 0; एकसमान का अर्थ किसी क्षण स्थिति के साथ परिवर्तन न होना; एक-विमीय का अर्थ वेग का एक स्थानिक निर्देशांक पर निर्भर होना। प्रवाह स्थायी और एक-विमीय होकर भी एकसमान नहीं हो सकता (नोज़ल, यदि क्षेत्रफल-परिवर्तन अक्ष के अनुदिश वर्णित हो), या अस्थायी और एकसमान हो सकता है (पिस्टन-चालित पाइप प्रवाह)। सही विमा चुनना प्रवाह-विश्लेषण का मुख्य सरलीकरण है।

6. असंपीड्य प्रवाह का सांतत्य एक शुद्धगतिक प्रतिबंध के रूप में

प्रवाह असंपीड्य तब होता है जब प्रत्येक कण का घनत्व नहीं बदलता, Dρ/Dt = 0। द्रव्यमान-संरक्षण ∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0 तब घटकर ∇·V = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 हो जाता है (सांतत्य समीकरण)। यह केवल वेग क्षेत्र पर प्रतिबंध है: जो क्षेत्र इसे संतुष्ट नहीं करता वह बलों की परवाह किए बिना असंपीड्य प्रवाह का वेग क्षेत्र नहीं हो सकता। भौतिक रूप में ∇·V कण की आयतनी प्रसार-दर है, अतः शून्य अपसरण का अर्थ है कि तरल अवयव का आकार बदल सकता है पर आयतन नहीं। समतल प्रवाह के लिए ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 है, और u दिया हो तो समाकलन से v मिलता है, जिसका समाकलन-नियतांक सीमा-प्रतिबंध से तय होता है। इसके लिए घनत्व का अंतरिक्ष में एकसमान होना आवश्यक नहीं, क्योंकि Dρ/Dt = 0 स्तरित तरल को भी अनुमति देता है।

हल किया उदाहरण 6। एक समतल असंपीड्य प्रवाह में u = 2xy है और रेखा y = 0 पर v = 0। सांतत्य से ∂v/∂y = −∂u/∂x = −2y, अतः v = −y² + f(x); y = 0 पर v = 0 से f = 0 और v = −y²। (x = 1 m, y = 3 m) पर परिमाण |v| = 9 m/s है। क्षेत्र u = x², v = y² परीक्षा में विफल है, क्योंकि ∂u/∂x + ∂v/∂y = 2x + 2y सर्वत्र शून्य नहीं है, जबकि u = 3x, v = −3y उत्तीर्ण है। त्रि-विमीय स्थिति में u = 4x और v = −y हो तो ∂w/∂z = −(4 − 1) = −3, अतः w = −3z।

🎯 यह शुद्धगतिक क्यों है
शर्त ∇·V = 0 तरल कण के आयतन-संरक्षण से निकलती है और बलों के बारे में कुछ नहीं कहती। स्थायी असंपीड्य 2-D प्रवाह की धारा-रेखाएँ वहाँ पास-पास आ जाती हैं जहाँ चाल अधिक है, क्योंकि पड़ोसी धारा-रेखाओं के बीच की संकरी पट्टी से वही प्रवाह गुज़रना है। इसी कारण नोज़ल तरल को त्वरित करता है।

मुख्य बिंदु

  • लैग्रेंजी वर्णन कणों का अनुसरण करता है; यूलरी वर्णन स्थिर बिंदुओं पर क्षेत्र V(x, y, z, t) लिखता है और तरल यांत्रिकी में वही प्रयुक्त होता है।
  • पदार्थ अवकलज D/Dt = ∂/∂t + V·∇ (स्थानिक जमा संवहनी) है; कण का त्वरण a = ∂V/∂t + (V·∇)V है, जिसके घटक a_x = ∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y + w ∂u/∂z जैसे हैं।
  • स्थायी प्रवाह में भी त्वरण हो सकता है (नोज़ल: a = u du/dx) और एकसमान प्रवाह में भी (a = ∂V/∂t); दोनों पद केवल स्थायी और एकसमान प्रवाह में लुप्त होते हैं।
  • धारा-रेखाएँ नियत t पर dx/u = dy/v = dz/w हल करती हैं, पथ-रेखाएँ dx/dt = u आदि हल करती हैं, स्ट्रीक-रेखाएँ स्थिर बिंदु से गुज़रे कणों का बिंदुपथ हैं; स्थायी प्रवाह में तीनों संपाती हैं।
  • विमीयता उन स्थानिक निर्देशांकों की संख्या है जिन पर वेग निर्भर है; पूर्ण विकसित पाइप प्रवाह u(r) एक-विमीय है और लंबे बेलन के पार प्रवाह द्वि-विमीय।
  • असंपीड्य सांतत्य शुद्धगतिक प्रतिबंध ∇·V = 0 है, जिसे हर स्वीकार्य वेग क्षेत्र को संतुष्ट करना होता है और जिससे समाकलन द्वारा लुप्त वेग घटक मिल जाता है।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. यूलरी वर्णन के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. प्रत्येक तरल कण को नामित किया जाता है और उसकी स्थिति समय के फलन के रूप में अनुसरित होती है
    2. वेग केवल धारा-रेखाओं के अनुदिश लिखा जाता है, जिन्हें बंद वक्र माना जाता है
    3. वेग व दाब जैसे प्रवाह-गुण स्थिर स्थिति और समय के फलन के रूप में दिए जाते हैं
    4. यह वर्णन केवल स्थायी प्रवाहों पर लगता है, क्योंकि जिन क्षेत्रों का यह उपयोग करता है उनमें समय नहीं आता और इसलिए समय के साथ परिवर्तन वर्णित नहीं हो सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — वेग व दाब जैसे प्रवाह-गुण स्थिर स्थिति और समय के फलन के रूप में दिए जाते हैं

    यूलरी दृष्टिकोण में क्षेत्र स्थिर बिंदुओं पर (x, y, z, t) के फलन होते हैं; समय आता है, इसलिए अस्थायी प्रवाह सम्मिलित हैं। कणों को नामित कर अनुसरण करना लैग्रेंजी वर्णन है, जो भ्रम का उलटाव है।

  2. स्थायी प्रवाह में कण-त्वरण a = ∂V/∂t + (V·∇)V का कौन-सा भाग सर्वत्र शून्य है?

    1. स्थानिक त्वरण ∂V/∂t
    2. संवहनी त्वरण (V·∇)V
    3. दोनों भाग, क्योंकि स्थायी प्रवाह में त्वरण शून्य होता है
    4. कोई भी नहीं, क्योंकि स्थायी का संबंध दाब से है, वेग से नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — स्थानिक त्वरण ∂V/∂t

    स्थायी का अर्थ स्थिर बिंदु पर समय के साथ परिवर्तन न होना है, अतः ∂V/∂t = 0। संवहनी भाग प्रायः शून्य नहीं होता (नोज़ल में कण तेज़ होता है)। स्थायी प्रवाह में त्वरण शून्य मान लेना इस संवहनी पद को भूल जाना है।

  3. किसी वाहिनी में स्थायी तापमान क्षेत्र T = 20 + 5x (T °C में, x मीटर में) है। वायु x दिशा में एकसमान u = 2 m/s से चलती है। तरल कण के तापमान की परिवर्तन-दर DT/Dt कितनी है?

    1. 0 °C/s, क्योंकि क्षेत्र स्थायी है
    2. 10 °C/s
    3. 5 °C/s, तापमान क्षेत्र की प्रवणता
    4. 20 °C/s, मूलबिंदु का तापमान गुणा u
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 10 °C/s

    DT/Dt = ∂T/∂t + u ∂T/∂x = 0 + 2 × 5 = 10 °C/s। स्थानिक अवकलज शून्य है, पर कण गर्म वायु में पहुँचाया जाता है। शून्य उत्तर केवल स्थानिक अवकलज लेता है; प्रवणता 5 °C/m की इकाई दर के लिए गलत है।

  4. धारा-रेखा के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. यह किसी भी प्रवाह में समय बीतने पर एक तरल कण द्वारा बनाया गया पथ है
    2. यह किसी दिए गए स्थिर बिंदु से गुज़र चुके सभी कणों का बिंदुपथ है
    3. यह स्थायी प्रवाह में पिंड के चारों ओर सदैव बंद वक्र होता है
    4. उस पर प्रत्येक बिंदु पर उस क्षण वेग-सदिश वक्र की स्पर्श-रेखा होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — उस पर प्रत्येक बिंदु पर उस क्षण वेग-सदिश वक्र की स्पर्श-रेखा होता है

    धारा-रेखा तात्क्षणिक वेग की स्पर्शता से परिभाषित है। एक कण का पथ पथ-रेखा है और स्थिर बिंदु से गुज़रने वाला बिंदुपथ स्ट्रीक-रेखा; ये केवल स्थायी प्रवाह में धारा-रेखाओं से संपाती होती हैं। धारा-रेखाओं का बंद होना आवश्यक नहीं।

  5. अस्थायी हवा में किसी स्थिर बिंदु से धुआँ लगातार छोड़ा जाता है और एक क्षण पर फोटो लिया जाता है। दिखता धुएँ का पथ क्या दर्शाता है?

    1. एक पथ-रेखा, स्रोत से निकले एक कण का पूरा इतिहास
    2. एक स्ट्रीक-रेखा, स्रोत से गुज़रे कणों की वर्तमान स्थितियाँ
    3. एक धारा-रेखा, क्योंकि धारा-रेखाएँ सदैव वही रेखाएँ हैं जिन्हें ट्रेसर व रंजक किसी भी प्रवाह में दृश्य बनाते हैं
    4. एक टाइमलाइन, एक पूर्व क्षण पर साथ चिह्नित कणों की किसी बाद के क्षण पर स्थितियाँ
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — एक स्ट्रीक-रेखा, स्रोत से गुज़रे कणों की वर्तमान स्थितियाँ

    एक स्थिर बिंदु से विभिन्न समयों पर छोड़े गए और साथ फोटो खींचे गए कण स्ट्रीक-रेखा बनाते हैं। पथ-रेखा समय के साथ एक कण का अनुसरण करती है, धारा-रेखा तात्क्षणिक वेग की स्पर्श-रेखा है, और टाइमलाइन के लिए कणों का एक ही समय पर चिह्नित होना आवश्यक है, लगातार छोड़ा जाना नहीं।

  6. एक प्रवाह के वेग घटक u = U (नियत) और v = bt हैं, जहाँ b नियतांक और t समय है। कौन-सा कथन सही है?

    1. धारा-रेखाएँ और पथ-रेखाएँ संपाती हैं, क्योंकि u नियत है और एक नियत वेग घटक पूरे प्रवाह को स्थायी बना देता है, इसलिए हर रेखा एक ही है
    2. हर क्षण धारा-रेखाएँ परवलय हैं, क्योंकि ऊर्ध्वाधर वेग समय के साथ रैखिक बढ़ता है और कणों के पथ वक्र हैं
    3. स्ट्रीक-रेखा और पथ-रेखा एक ही हैं, पर दोनों धारा-रेखा से भिन्न हैं, जो इस प्रकार के स्थायी प्रवाह में सही है
    4. किसी क्षण धारा-रेखाएँ bt/U ढलान की सरल रेखाएँ हैं, पर कण की पथ-रेखा परवलय है, अतः दोनों भिन्न हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — किसी क्षण धारा-रेखाएँ bt/U ढलान की सरल रेखाएँ हैं, पर कण की पथ-रेखा परवलय है, अतः दोनों भिन्न हैं

    नियत t पर dy/dx = v/u = bt/U नियत है, अतः प्रत्येक धारा-रेखा सरल है। कण के लिए x = Ut, y = bt²/2 (t = 0 पर मूलबिंदु से), जो परवलय है। v, t पर निर्भर है इसलिए प्रवाह अस्थायी है और रेखाएँ भिन्न हैं; u का नियत होना प्रवाह को स्थायी नहीं बनाता।

  7. निम्नलिखित द्वि-विमीय वेग क्षेत्रों (u, v) में कौन-सा असंपीड्य प्रवाह निरूपित कर सकता है?

    1. u = 2x, v = 2y
    2. u = x², v = y²
    3. u = 3x, v = −3y
    4. u = xy, v = xy
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — u = 3x, v = −3y

    परीक्षा ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 है। u = 3x, v = −3y के लिए यह 3 − 3 = 0 है। क्षेत्र 2x, 2y से 4 मिलता है, क्षेत्र x², y² से 2x + 2y और क्षेत्र xy, xy से y + x, जिनमें कोई भी सर्वत्र शून्य नहीं।

  8. उन स्थानिक निर्देशांकों को गिनिए जिन पर वेग घटक निर्भर हैं। लंबी सीधी वृत्तीय पाइप में स्थायी, पूर्ण विकसित लामिनार प्रवाह में केवल अक्षीय वेग u(r) होता है, जहाँ r अक्ष से अरीय दूरी है। प्रवाह का वर्गीकरण क्या है?

    1. एक-विमीय, क्योंकि वेग एक ही निर्देशांक r पर निर्भर है
    2. द्वि-विमीय, क्योंकि वृत्तीय अनुप्रस्थ-काट में दो निर्देशांक होते हैं और प्रवाह पूरे काट को भरता है
    3. त्रि-विमीय, क्योंकि पाइप एक पिंड है जो त्रि-विमीय अंतरिक्ष घेरता है
    4. अस्थायी, क्योंकि वेग दीवार से केंद्र तक बदलता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक-विमीय, क्योंकि वेग एक ही निर्देशांक r पर निर्भर है

    दी गई गणना से u केवल r पर निर्भर है, अतः प्रवाह एक-विमीय है। पाइप का त्रि-विमीय वस्तु होना या उसके काट में दो निर्देशांकों का होना अप्रासंगिक है; और स्थिति के साथ परिवर्तन असमानता है, अस्थायित्व नहीं, क्योंकि समय के साथ कुछ नहीं बदलता।

  9. नियत व्यास की लंबी सीधी पाइप में जल की औसत चाल V(t) = 2 + 0.5t (m/s, t सेकंड में) है, जो पाइप के सभी बिंदुओं पर समान है। t = 4 s पर तरल कण का त्वरण कितना है?

    1. 0.5 m/s²
    2. 0 m/s², क्योंकि प्रवाह पाइप के अनुदिश एकसमान है
    3. 2.0 m/s², t = 4 s पर चाल और 0.5 का गुणनफल
    4. 4.0 m/s², t = 4 s पर चाल
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.5 m/s²

    प्रवाह एकसमान है, अतः संवहनी पद V ∂V/∂x = 0 और a = ∂V/∂t = 0.5 m/s²। शून्य उत्तर स्थानिक त्वरण भूल जाता है; V × 0.5 बिना आधार चाल से गुणा करता है, और चाल स्वयं (4 m/s) त्वरण नहीं है।

  10. प्रवाह-रेखाओं के बारे में कथन दिए गए हैं।
    P: स्थायी प्रवाह में धारा-रेखाएँ, पथ-रेखाएँ व स्ट्रीक-रेखाएँ संपाती होती हैं।
    Q: अस्थायी प्रवाह में एक क्षण पर खींची गई धारा-रेखा सदैव किसी कण का पथ होती है।
    R: समय t पर स्ट्रीक-रेखा उन सभी कणों की t पर स्थितियों का बिंदुपथ है जो किसी स्थिर बिंदु से गुज़र चुके हैं।
    S: धारा-रेखा का समीकरण t बदलते हुए dx/dt = u और dy/dt = v को समाकलित करके मिलता है।
    सभी सही कथन चुनिए।

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P; C — R

    P और R सही हैं। Q गलत है क्योंकि अस्थायी प्रवाह में कण का पथ तात्क्षणिक धारा-रेखा से भिन्न होता है। S पथ-रेखा का वर्णन है; धारा-रेखा t को नियत रखकर dx/u = dy/v को समाकलित करती है।

  11. कण के साथ चलते अवकलजों के बारे में कथन दिए गए हैं।
    P: DT/Dt = ∂T/∂t + V·∇T तरल कण के साथ चलते हुए T की परिवर्तन-दर देता है।
    Q: स्थायी प्रवाह में स्थानिक अवकलज शून्य होता है।
    R: जिस प्रवाह में किसी क्षण वेग प्रत्येक बिंदु पर समान हो उसमें संवहनी त्वरण शून्य होता है।
    S: प्रत्येक स्थायी प्रवाह में वेग का पदार्थ अवकलज शून्य होता है।
    सभी सही कथन चुनिए।

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P; B — Q; C — R

    P, Q और R परिभाषाओं से निकलते हैं: एकसमान प्रवाह में V की सभी स्थानिक प्रवणताएँ लुप्त होती हैं। S गलत है: स्थायी नोज़ल प्रवाह में DV/Dt = (V·∇)V ≠ 0 है।

  12. सांतत्य के बारे में कथन दिए गए हैं।
    P: असंपीड्य प्रवाह के लिए ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 है।
    Q: द्वि-विमीय क्षेत्र u = y, v = x असंपीड्य सांतत्य को संतुष्ट करता है।
    R: असंपीड्य प्रवाह में तरल के प्रत्येक बिंदु पर घनत्व समान होना आवश्यक है।
    S: असंपीड्य सांतत्य समीकरण रैखिक संवेग के संरक्षण को व्यक्त करता है।
    सभी सही कथन चुनिए।

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P; B — Q

    P सांतत्य समीकरण है, और Q के लिए ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 + 0 = 0। R गलत है क्योंकि असंपीड्यता Dρ/Dt = 0 है और स्तरित तरल को अनुमति देती है। S गलत है: सांतत्य द्रव्यमान-संरक्षण है।

  13. एक द्वि-विमीय वेग क्षेत्र u = xt और v = −yt है, जहाँ x व y मीटर में, t सेकंड में और u, v m/s में हैं। x = 1 m, y = 2 m और t = 2 s पर तरल कण के त्वरण का परिमाण ____ m/s² है (दो दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 7.81

    a_x = ∂u/∂t + u ∂u/∂x + v ∂u/∂y = x + (xt)(t) = 1 + 1 × 2 × 2 = 5। a_y = ∂v/∂t + u ∂v/∂x + v ∂v/∂y = −y + (−yt)(−t) = −2 + 2 × 2 × 2 = 6। |a| = √(25 + 36) = √61 = 7.81 m/s²।

  14. अभिसारी नोज़ल के अक्ष के अनुदिश स्थायी वेग u = 2(1 + 2x) m/s है, जहाँ x मीटर में है। x = 0.25 m पर तरल कण का त्वरण ____ m/s² है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 12

    स्थायी है, अतः a = u du/dx। u(0.25) = 2 × 1.5 = 3 m/s और du/dx = 4 s⁻¹, अतः a = 3 × 4 = 12 m/s²।

  15. एक स्थायी द्वि-विमीय प्रवाह में u = x और v = −y है, संगत SI इकाइयों में। बिंदु (x, y) = (2 m, 3 m) से गुज़रने वाली धारा-रेखा रेखा x = 4 m को y = ____ m पर काटती है (एक दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.5

    dy/dx = v/u = −y/x से xy = नियतांक मिलता है। (2, 3) पर नियतांक 6 है, अतः x = 4 पर y = 6/4 = 1.5 m।

  16. वेग क्षेत्र u = 2 m/s और v = t m/s है (t सेकंड में)। एक तरल कण t = 0 पर मूलबिंदु पर है। जिस क्षण उसका x निर्देशांक 4 m है, उस क्षण उसका y निर्देशांक ____ m है (एक दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2.0

    पथ-रेखा: dx/dt = 2 से x = 2t, और dy/dt = t से y = t²/2। x = 4 पर t = 2 s, अतः y = 4/2 = 2.0 m। समतुल्य रूप से y = x²/8 = 16/8 = 2। t = 2 पर धारा-रेखा की ढलान लेना, समय पर समाकलन के बजाय, सामान्य भूल है।

  17. एक असंपीड्य समतल प्रवाह में u = 2xy है, और रेखा y = 0 के अनुदिश v = 0 है। बिंदु (x, y) = (1 m, 3 m) पर v का परिमाण ____ m/s है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 9

    सांतत्य: ∂v/∂y = −∂u/∂x = −2y। समाकलन से v = −y² + f(x); y = 0 पर v = 0 से f(x) = 0। y = 3 पर v = −9 m/s, अतः परिमाण 9 m/s।