द्रवस्थैतिकी: दाब, मैनोमीटर, डूबी सतहों पर बल, उत्प्लावन तथा स्थिरता

यह अध्याय XE1 तरल यांत्रिकी के खंड XE1.2 का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है, जिनमें से परीक्षा में अभ्यर्थी कोई दो चुनता है: “Buoyancy, Manometry, Forces on submerged bodies and their stability.” इसमें स्थिर तरल में दाब-परिवर्तन, परम दाब व गेज दाब, U-नली, अवकल व आनत मैनोमीटर, समतल सतहों पर द्रवस्थैतिक बल व दाब-केंद्र, वक्र सतहों पर बल के क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर घटक, आर्किमिडीज़ का सिद्धांत, तथा मेटासेंट्रिक ऊँचाई के माध्यम से तैरती व डूबी वस्तुओं की स्थिरता पढ़ाई गई है। हर विचार एक संख्यात्मक प्रश्न में प्रयुक्त है: गहराई पर गेज दाब, पारा मैनोमीटर, कब्जेदार द्वार, चतुर्थांश-वृत्ताकार द्वार, आभासी भार और मेटासेंट्रिक ऊँचाई। सर्वत्र g = 9.81 m/s² है और जहाँ घनत्व चाहिए वहाँ दिए गए हैं।

1. स्थिर तरल में दाब

विराम अवस्था के तरल में अपरूपण प्रतिबल नहीं होता, इसलिए एकमात्र पृष्ठ बल अभिलंब दाब p है, जो एक बिंदु पर सभी दिशाओं में बराबर लगता है। एक पतली क्षैतिज परत के भार और दाब-अंतर का संतुलन करने पर dp/dz = −ρg मिलता है (z ऊपर की ओर मापा गया)। नियत घनत्व के द्रव के लिए इसका समाकलन p = p₀ + ρgh है, जहाँ h संदर्भ सतह (दाब p₀) से नीचे की गहराई है। तीन परिणाम महत्त्वपूर्ण हैं। दाब केवल गहराई पर निर्भर है, पात्र के आकार या चौड़ाई पर नहीं (द्रवस्थैतिक विरोधाभास)। एक ही तरल के संबद्ध पिंड में एक ही स्तर के सभी बिंदुओं पर दाब बराबर होता है। बंद स्थिर तरल पर लगाया गया दाब बिना घटे सर्वत्र संचरित होता है (पास्कल का नियम), इसीलिए हाइड्रोलिक प्रेस में बल-अनुपात क्षेत्रफल-अनुपात के बराबर मिलता है।

परम दाब व गेज दाब। परम दाब पूर्ण निर्वात से मापा जाता है और कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। गेज दाब स्थानीय वायुमंडलीय दाब से मापा जाता है: p_gauge = p_abs − p_atm। ऋणात्मक गेज दाब निर्वात दाब कहलाता है, p_vac = p_atm − p_abs। मानक वायुमंडल 101.325 kPa है। गैसों में कुछ मीटर पर परिवर्तन नगण्य होता है (हवा के 10 m पर ρgh लगभग 0.1 kPa), पर किलोमीटरों तक वायुमंडल में घनत्व नियत नहीं रहता।

हल किया उदाहरण 1। समुद्री जल (ρ = 1025 kg/m³) में 12 m गहराई पर, p_atm = 101.3 kPa: p_gauge = ρgh = 1025 × 9.81 × 12 = 120.7 kPa तथा p_abs = 101.3 + 120.7 = 222.0 kPa। 100 kPa के कमरे में −30 kPa गेज का अर्थ 70 kPa परम दाब है।

2. मैनोमीटर: U-नली, अवकल व आनत

मैनोमीटर द्रव-स्तंभ की ऊँचाई से दाब मापता है। विधि एक ही नियम है: ज्ञात दाब से आरंभ करें और तरल से होकर चलें; तरल में नीचे जाते समय ρgh जोड़ें, ऊपर जाते समय घटाएँ, और अज्ञात बिंदु तक पहुँचकर रुकें। अंतरापृष्ठ से गुज़रे बिना भिन्न स्तरों पर दो तरलों के बीच कूदें नहीं। U-नली मैनोमीटर में दाब-स्रोत को भारी मैनोमितीय द्रव (पारा, ρ = 13600 kg/m³, या जल) के स्तंभ से जोड़ा जाता है जिसकी दूसरी भुजा वायुमंडल में खुली होती है, और यह गेज दाब देता है। अवकल मैनोमीटर दो टैपिंग बिंदुओं को जोड़कर p_A − p_B सीधे देता है।

मैनोमीटर के नियम
प्रकारपरिणामटिप्पणी
U-नली, पाइप तरल ρ₁, मैनोमितीय द्रव ρ_m, पाठ्यांक hp_gauge = (ρ_m − ρ₁) g h + ρ₁ g (स्तर-संशोधन)अंतरापृष्ठ पर पाइप तरल का अपना स्तंभ घटाएँ
अवकल, समान-स्तर टैप, पाइपों में वही तरल ρ₁p_A − p_B = (ρ_m − ρ₁) g hh मैनोमितीय स्तरों का अंतर है
आनत, क्षैतिज से θ कोण पर नली में पाठ्यांक LΔp = ρ g L sin θऊर्ध्वाधर उठान L sin θ है; छोटा θ पैमाना बढ़ाता है

हल किया उदाहरण 2। समान स्तर पर स्थित दो जल पाइप पारा U-नली (ρ_m = 13600, ρ_w = 1000 kg/m³) से जुड़े हैं और पारे के स्तरों में अंतर h = 0.30 m है। A से निचले पारा-स्तर तक नीचे, फिर ऊँचे स्तर तक आर-पार और B तक ऊपर चलने पर जल के सभी खंड कट जाते हैं, केवल ऊँचाई h का वह जल-स्तंभ बचता है जो पारे का स्थान लेता है: p_A − p_B = (13600 − 1000) × 9.81 × 0.30 = 37.08 kPa। 13600 × 9.81 × 0.30 = 40.0 kPa लिखने पर पारे के ऊपर का जल छूट जाता है और अंतर 8 % अधिक आता है। θ = 30° वाले आनत मैनोमीटर में उसी दाब के लिए द्रव नली में ऊर्ध्वाधर उठान से दोगुना चलता है, इसलिए पैमाना दो गुना बढ़ जाता है।

⚠️ जाल
समान स्तर पर दाब केवल एक सतत तरल के भीतर बराबर होता है। U-नली की दोनों भुजाओं में समान ऊँचाई के दो बिंदुओं पर दाब बराबर नहीं होता यदि उन्हें कोई भिन्न द्रव या गैस अलग करती हो। साथ ही, h से गुणा होने वाला घनत्व उसी द्रव का है जिसमें आप चले, पूरे पथ के लिए पाइप-तरल का नहीं।

3. समतल सतहों पर बल व दाब-केंद्र

A क्षेत्रफल की एक समतल सतह जिसका केंद्रक ऊर्ध्वाधर गहराई h_c पर है, उस पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल F = ρ g h_c A = p_c A है, जहाँ p_c केंद्रक पर गेज दाब है। बल सतह के अभिलंब होता है। गहराई के साथ दाब बढ़ने से बल की क्रिया-रेखा केंद्रक के नीचे, दाब-केंद्र से गुज़रती है। मुक्त तल से θ कोण पर झुकी समतल सतह के लिए, जहाँ y समतल के अनुदिश उस रेखा से मापा जाता है जहाँ समतल का विस्तार मुक्त तल से मिलता है, y_cp = y_c + I_c/(y_c A) है, जहाँ I_c समतल में क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण है। दाब-केंद्र की ऊर्ध्वाधर गहराई y_cp sin θ है।

  • आयत b × d, ऊपरी किनारा मुक्त तल पर, ऊर्ध्वाधर: I_c = bd³/12, h_c = d/2, अतः दाब-केंद्र सतह से 2d/3 नीचे है।
  • D व्यास का वृत्त: I_c = πD⁴/64। त्रिभुज (आधार b, ऊँचाई h): आधार के समांतर केंद्रकीय अक्ष के परितः I_c = bh³/36।
  • प्लेट को नीचे करने पर I_c/(y_c A) घटता है, इसलिए दाब-केंद्र केंद्रक के निकट आता है; क्षैतिज प्लेट के लिए दोनों संपाती होते हैं।

हल किया उदाहरण 3 (कब्जेदार द्वार)। 2 m चौड़ा और 3 m ऊँचा ऊर्ध्वाधर आयताकार द्वार, जिसका ऊपरी किनारा जल-सतह (ρ = 1000 kg/m³) से 1 m नीचे है, ऊपरी किनारे पर कब्जे से जुड़ा है। निचले किनारे पर अभिलंब बल P ज्ञात कीजिए जो इसे ठीक बंद रखे; वायुमंडलीय दाब दोनों ओर लगता है, उसे नगण्य मानिए। तब h_c = 1 + 1.5 = 2.5 m और A = 6 m², अतः F = 9810 × 2.5 × 6 = 147.15 kN। I_c = 2 × 3³/12 = 4.5 m⁴ से y_cp = 2.5 + 4.5/(2.5 × 6) = 2.8 m सतह से नीचे, जो कब्जे से 1.8 m नीचे है। कब्जे के परितः आघूर्ण लेने पर P × 3 = 147.15 × 1.8, अतः P = 88.29 kN। केंद्रक (कब्जे से 1.5 m नीचे) लेने पर 73.6 kN मिलता, जो कम है।

⚠️ जाल
दाब-केंद्र केवल ज्यामिति और गहराई पर निर्भर है, तरल के घनत्व या g पर नहीं। मुक्त तल पर वायुमंडलीय दाब जोड़ने से F, p_atm A से बढ़ता है और दाब-केंद्र केंद्रक की ओर खिसकता है। यदि वायुमंडल प्लेट के पीछे भी लगता हो, तो गेज दाब और ऊपर का सूत्र ज्यों का त्यों लें।

4. वक्र सतहों पर बल

वक्र सतह पर दाब बल भिन्न दिशाओं में होते हैं, इसलिए उन्हें वियोजित करें। क्षैतिज घटक F_H सतह के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप पर द्रवस्थैतिक बल के बराबर होता है और उस प्रक्षेप के दाब-केंद्र पर कार्य करता है। ऊर्ध्वाधर घटक F_V सतह के ठीक ऊपर मुक्त तल तक के द्रव के भार के बराबर होता है, वास्तविक यदि द्रव सतह के ऊपर हो और काल्पनिक (वह आयतन जो भरा जाता) यदि द्रव सतह के नीचे हो, और उस आयतन के केंद्रक से गुज़रता है। परिणामी F = √(F_H² + F_V²) है, जो क्षैतिज से tan⁻¹(F_V/F_H) कोण पर है। वृत्तीय चाप के लिए प्रत्येक दाब बल सतह के अभिलंब होता है, अतः वृत्त के केंद्र से गुज़रता है, इसलिए परिणामी भी उसी केंद्र से गुज़रता है।

हल किया उदाहरण 4 (चतुर्थांश-वृत्ताकार द्वार)। एक द्वार R = 2 m त्रिज्या और w = 3 m चौड़ाई वाले वृत्तीय बेलन का चतुर्थांश है। वृत्त का केंद्र O जल-सतह (ρ = 1000 kg/m³) पर है; चाप O के ठीक R नीचे के बिंदु से सतह पर O के बगल में R दूरी के बिंदु तक जाता है और जल अवतल पक्ष में, चाप के ऊपर है। ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप की ऊँचाई R है और उसका केंद्रक R/2 गहरा है, अतः F_H = ρg(R/2)(Rw) = 9810 × 1 × 6 = 58.86 kN। चाप के ऊपर का जल चतुर्थांश-बेलन है, अतः F_V = ρg(πR²/4)w = 9810 × 3.1416 × 3 = 92.46 kN। परिणामी √(58.86² + 92.46²) = 109.6 kN है, जो O से गुज़रता है और क्षैतिज से नीचे tan⁻¹(92.46/58.86) = 57.5° पर है।

⚠️ जाल
F_H में ऊर्ध्वाधर तल पर प्रक्षेपित क्षेत्रफल आता है, वक्र क्षेत्रफल नहीं। F_V सतह के ऊपर के द्रव का भार है, चाहे वहाँ वास्तव में द्रव न हो। बंद डूबी वस्तु पर दोनों ओर के क्षैतिज घटक कट जाते हैं और कुल ऊर्ध्वाधर घटक उत्प्लावन बल है, जो इस खंड को आर्किमिडीज़ के सिद्धांत से जोड़ता है।

5. उत्प्लावन व आर्किमिडीज़ का सिद्धांत

आर्किमिडीज़ का सिद्धांत: विराम के तरल में पूर्णतः या आंशिक रूप से डूबी वस्तु पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल लगता है जो विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है, F_B = ρ_f g V_disp, और यह उत्प्लावन-केंद्र B से गुज़रता है, जो विस्थापित आयतन का केंद्रक है। वस्तु तब संतुलन में तैरती है जब उसका भार उत्प्लावन बल के बराबर हो, अतः समांगी तैरती वस्तु के लिए डूबा हुआ अंश V_disp/V = ρ_body/ρ_fluid है। वही वस्तु हल्के तरल में अधिक डूबती है (हाइड्रोमीटर का सिद्धांत), और तरल बदलने से उसका भार नहीं बदलता।

हल किया उदाहरण 5 (आभासी भार)। एक पत्थर हवा में 50 N और जल (ρ_w = 1000 kg/m³) में पूर्णतः डूबने पर 30 N का है। उत्प्लावन बल 20 N है, अतः V = 20/(1000 × 9.81) = 2.04 × 10⁻³ m³। इसका द्रव्यमान 50/9.81 = 5.10 kg है, अतः ρ = 5.10/2.04 × 10⁻³ = 2500 kg/m³, जो SG = 50/20 × 1 = 2.5 भी है, और g कट जाता है। 600 kg/m³ घनत्व का लकड़ी का गुटका जल में तैरते हुए अपनी ऊँचाई के 60 % तक डूबता है; 800 kg/m³ के द्रव में 75 % तक।

🎯 तैरती बर्फ
तैरती वस्तु अपने भार के बराबर तरल विस्थापित करती है। जल में तैरती बर्फ ठीक उतना जल विस्थापित करती है जितना वह पिघलकर बनेगी, अतः शुद्ध जल में शुद्ध बर्फ के पिघलने पर स्तर नहीं बदलता। यदि बर्फ में ऐसा पत्थर होता जो पिघलने पर डूब जाए, तो स्तर गिरता; नमकीन जल जैसे सघन द्रव में पिघला जल बर्फ द्वारा विस्थापित आयतन से अधिक आयतन जोड़ता है और स्तर बढ़ता है।

6. तैरती व डूबी वस्तुओं की स्थिरता

स्थिरता यह पूछती है कि छोटे झुकाव के बाद क्या होता है। G गुरुत्व-केंद्र और B उत्प्लावन-केंद्र है। पूर्णतः डूबी वस्तु: यदि G, B के नीचे हो तो वस्तु स्थिर है (तब उत्प्लावन बल प्रत्यनयन-बलयुग्म देता है), G और B संपाती हों तो उदासीन, और G, B के ऊपर हो तो अस्थिर। तैरती वस्तु: झुकने पर विस्थापित आयतन का आकार बदलता है और B बगल में खिसकता है। मेटासेंटर M वह बिंदु है जहाँ छोटे झुकाव के लिए उत्प्लावन बल की रेखा मूल ऊर्ध्वाधर अक्ष से मिलती है। वस्तु तब स्थिर है जब M, G के ऊपर हो, जो धनात्मक मेटासेंट्रिक ऊँचाई GM = BM − BG के समतुल्य है (G, B के ऊपर हो तो BG धनात्मक)। यहाँ BM = I/V_disp है, जिसमें I झुकाव-अक्ष के परितः जलरेखा-क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण और V_disp विस्थापित आयतन है। छोटे कोण φ पर प्रत्यनयन आघूर्ण W · GM · sin φ है।

हल किया उदाहरण 6 (बार्ज)। 10 m लंबा, 4 m चौड़ा आयताकार बार्ज जल में 1.5 m ड्राफ्ट पर तैरता है, उसका गुरुत्व-केंद्र G कील से 1.2 m ऊपर है, और वह अपने अनुदैर्घ्य अक्ष के परितः रोल करता है। V_disp = 10 × 4 × 1.5 = 60 m³ और B कील से 0.75 m ऊपर है, अतः BG = 1.2 − 0.75 = 0.45 m। रोल-अक्ष के परितः जलरेखा-क्षेत्र का I = 10 × 4³/12 = 53.33 m⁴ है, अतः BM = 53.33/60 = 0.889 m और GM = 0.889 − 0.45 = 0.439 m > 0: स्थिर। जो अक्ष छोटा I देता है (लंबा आयाम अक्ष के अनुदिश) वही क्रांतिक है, इसलिए पिच तभी जाँचें जब वह छोटा हो; यहाँ पिच का I = 4 × 10³/12 कहीं अधिक है।

⚠️ जाल
तैरती वस्तु के लिए डूबी वस्तु का नियम (G, B के नीचे) न लगाएँ। तैरते जहाज़ में G, B के ऊपर होता है और फिर भी वह स्थिर रहता है यदि BM, BG से अधिक हो, क्योंकि जलरेखा-क्षेत्र BM को बड़ा कर देता है। G ऊपर उठाने (डेक पर लदान) से GM घटता है, और चौड़ाई बढ़ाने से जलरेखा-क्षेत्र का I चौड़ाई के घन के अनुपात में बढ़ता है, अतः BM तेज़ी से बढ़ता है (समान ड्राफ़्ट पर चौड़ाई के वर्ग के अनुपात में)। एकसमान त्वरण में आयताकार टैंक के द्रव में दाब प्रभावी गुरुत्व g − a की दिशा में बढ़ता है, जिससे मुक्त सतह झुकती है, पर इस खंड में यह केवल प्रासंगिक विषय है।

मुख्य बिंदु

  • स्थिर तरल में dp/dz = −ρg है, अतः नियत ρ के लिए p = p₀ + ρgh; दाब केवल गहराई पर निर्भर है, और p_abs = p_gauge + p_atm जिसमें p_abs कभी ऋणात्मक नहीं होता।
  • मैनोमीटर में तरल से होकर चलें, नीचे जाते हुए ρgh जोड़ें और ऊपर जाते हुए घटाएँ; समान-स्तर अवकल पाठ्यांक Δp = (ρ_m − ρ₁) g h देता है, और आनत पाठ्यांक Δp = ρ g L sin θ।
  • समतल सतह पर F = ρ g h_c A है, जो y_cp = y_c + I_c/(y_c A) पर लगता है, अक्षैतिज सतह के लिए सदैव केंद्रक के नीचे, और ρ से स्वतंत्र।
  • वक्र सतह पर F_H ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप पर बल है और F_V सतह के ऊपर के द्रव का भार (वास्तविक या काल्पनिक); वृत्तीय चाप का परिणामी उसके केंद्र से गुज़रता है।
  • आर्किमिडीज़: F_B = ρ_f g V_disp, विस्थापित आयतन के केंद्रक से; समांगी तैरती वस्तु का डूबा अंश ρ_body/ρ_fluid है, और जल में आभासी भार वास्तविक भार घटा F_B है।
  • तैरती वस्तु स्थिर है यदि GM = I/V_disp − BG > 0; पूर्णतः डूबी वस्तु तभी स्थिर है जब G, B के नीचे हो।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. दो खुले पात्र, जिनके आकार बहुत भिन्न हैं (एक संकरा और एक ढालू दीवारों वाला चौड़ा), एक ही द्रव से समान ऊँचाई तक भरे हैं और उनके आधारों का क्षेत्रफल बराबर है। आधारों पर दाब के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. चौड़े पात्र में दाब अधिक है, क्योंकि उसमें अधिक द्रव और इसलिए अधिक भार है
    2. दोनों आधारों पर गेज दाब समान है, क्योंकि वह केवल द्रव के घनत्व और गहराई पर निर्भर करता है
    3. संकरे पात्र में दाब अधिक है, क्योंकि उसी द्रव को कम चौड़ाई में दबाया गया है
    4. बाहर की ओर ढालू दीवारों वाले पात्र में दाब अधिक है, क्योंकि दीवारें द्रव को नीचे धकेलती हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दोनों आधारों पर गेज दाब समान है, क्योंकि वह केवल द्रव के घनत्व और गहराई पर निर्भर करता है

    समान द्रव और समान गहराई पर p = ρgh दोनों आधारों पर आकार चाहे जो हो, समान है (द्रवस्थैतिक विरोधाभास); चौड़े पात्र के अतिरिक्त द्रव का भार उसकी ढालू दीवारें वहन करती हैं। अधिक द्रव से अधिक दाब मानना कुल भार को दाब समझ लेने की भूल है।

  2. एक बंद पात्र पर लगा निर्वात मापी 30 kPa निर्वात दर्शाता है जबकि स्थानीय वायुमंडलीय दाब 100 kPa है। पात्र में परम दाब कितना है?

    1. 130 kPa
    2. −30 kPa
    3. 70 kPa
    4. 30 kPa
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 70 kPa

    निर्वात दाब p_atm − p_abs है, अतः p_abs = 100 − 30 = 70 kPa। निर्वात पाठ्यांक को वायुमंडलीय दाब में जोड़ना (130 kPa) उसे धनात्मक गेज दाब मानना है, और परम दाब कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए −30 kPa गेज मान है, परम नहीं।

  3. एक ऊर्ध्वाधर समतल प्लेट किसी द्रव में पूर्णतः डूबी है और ऊर्ध्वाधर रहते हुए धीरे-धीरे नीचे की जाती है। द्रवस्थैतिक बल F और दाब-केंद्र व केंद्रक के बीच की दूरी कैसे बदलती है?

    1. F केंद्रक की गहराई के अनुपात में बढ़ता है, जबकि दाब-केंद्र केंद्रक के और निकट आता है
    2. F बढ़ता है, और दाब-केंद्र केंद्रक से और नीचे खिसकता है क्योंकि दाब अधिक है
    3. F वही रहता है, क्योंकि प्लेट का क्षेत्रफल नियत है, और दाब-केंद्र केंद्रक से उसी दूरी पर रहता है
    4. F बढ़ता है, और अधिक गहराई पर दाब-केंद्र केंद्रक से ऊपर चला जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — F केंद्रक की गहराई के अनुपात में बढ़ता है, जबकि दाब-केंद्र केंद्रक के और निकट आता है

    F = ρ g h_c A, h_c के साथ रैखिक बढ़ता है। अंतर y_cp − y_c = I_c/(y_c A) बढ़ते y_c के साथ घटता है, इसलिए दाब-केंद्र केंद्रक के निकट आता है पर उससे नीचे ही रहता है। यह सोचना कि अधिक दाब दाब-केंद्र को और नीचे धकेलता है, दाब के स्तर और प्लेट पर उसके सापेक्ष परिवर्तन को मिला देना है।

  4. टैंक की एक वक्र सतह के केवल निचले पक्ष पर द्रव है, और उसके ठीक ऊपर कोई द्रव नहीं है। उस पर द्रवस्थैतिक बल का ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर है। उसका परिमाण कैसे ज्ञात होता है?

    1. यह शून्य है, क्योंकि सतह के ऊपर कोई द्रव नहीं है जो उस पर दबाव डाले
    2. यह टैंक में सतह के निचले पक्ष में वास्तव में उपस्थित द्रव के भार के बराबर है
    3. यह सतह के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप पर द्रवस्थैतिक बल के बराबर है
    4. यह उस काल्पनिक द्रव के भार के बराबर है जो सतह और मुक्त तल के स्तर के बीच का आयतन भरता
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — यह उस काल्पनिक द्रव के भार के बराबर है जो सतह और मुक्त तल के स्तर के बीच का आयतन भरता

    F_V कुल ऊर्ध्वाधर दाब बल है और सतह तथा मुक्त-तल स्तर के बीच ऊर्ध्वाधर रूप से स्थित द्रव-आयतन के भार के बराबर है, वास्तविक या काल्पनिक, और द्रव नीचे हो तो ऊपर की ओर निर्देशित। ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप पर बल क्षैतिज घटक F_H है, F_V नहीं, और ऊपर द्रव का न होना F_V को शून्य नहीं करता।

  5. 1 m त्रिज्या और 2 m लंबाई का एक लंबा क्षैतिज वृत्तीय बेलन 1000 kg/m³ घनत्व के जल में इस प्रकार तैरता है कि उसका ठीक निचला आधा भाग डूबा है। g = 9.81 m/s² लेने पर जल द्वारा उस पर लगने वाला कुल ऊर्ध्वाधर बल कितना है?

    1. 30.8 kN ऊपर की ओर
    2. 61.6 kN ऊपर की ओर, पूरे बेलन के डूबने पर उत्प्लावन बल
    3. 15.4 kN ऊपर की ओर, ρg गुणा 1 m व्यास और 2 m लंबाई वाले पूर्ण बेलन का आयतन
    4. 19.6 kN ऊपर की ओर, ρg गुणा 1 m × 1 m × 2 m वाले आयताकार गुटके का आयतन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 30.8 kN ऊपर की ओर

    विस्थापित आयतन बेलन का आधा है: (π × 1²/2) × 2 = π m³ = 3.1416 m³, अतः F_B = 1000 × 9.81 × 3.1416 = 30.8 kN। 61.6 kN का मान विस्थापित आयतन दोगुना कर देता है (यह पूर्ण-निमज्जन का मान है), और शेष दो में ऐसे आयतन (छोटा पूर्ण बेलन, आयताकार गुटका) हैं जो विस्थापित अर्ध-बेलन के नहीं हैं।

  6. एक समांगी गुटका 1000 kg/m³ घनत्व के जल में अपने आयतन के 60 % डूबकर तैरता है। उसे 800 kg/m³ घनत्व के तेल में रखा जाता है, जिसमें वह तैरता है। अब उसका कितना आयतन-अंश डूबा है?

    1. 48 %
    2. 60 %
    3. 80 %
    4. 75 %
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 75 %

    गुटके का घनत्व 600 kg/m³ है। तेल में डूबा अंश ρ_block/ρ_oil = 600/800 = 0.75 है। 0.6 को 0.8 से गुणा करने पर 48 % मिलता है, जो उलटी दिशा में है (हल्के द्रव में वस्तु को अधिक डूबना चाहिए), और 60 % तभी सही होता जब द्रव न बदला होता।

  7. शुद्ध बर्फ का एक टुकड़ा 0 °C के शुद्ध जल के गिलास में तैर रहा है, जल हवा के लिए खुला है। बर्फ पूरी तरह 0 °C के जल में पिघल जाती है। गिलास में जल-स्तर का क्या होता है?

    1. वह गिर जाता है, क्योंकि बर्फ का घनत्व द्रव जल से कम है और बने जल का घनत्व अधिक है
    2. वह वही रहता है, क्योंकि बर्फ ने ठीक अपने भार जितना जल विस्थापित किया था, जो उसके बनने वाले जल का आयतन है
    3. वह चढ़ जाता है, क्योंकि पिघलकर द्रव जल बनने पर बर्फ फैलती है
    4. वह बर्फ के सतह से ऊपर वाले भाग के आयतन जितना चढ़ जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वह वही रहता है, क्योंकि बर्फ ने ठीक अपने भार जितना जल विस्थापित किया था, जो उसके बनने वाले जल का आयतन है

    तैरती वस्तु अपने भार के बराबर द्रव विस्थापित करती है, अतः बर्फ ने अपने द्रव्यमान के बराबर जल विस्थापित किया था और पिघलने पर वह ठीक उतना ही जल बनती है, जो उतना ही आयतन भरता है। स्तर अपरिवर्तित रहता है। स्तर गिरने की धारणा बर्फ के कम घनत्व का उपयोग करती है पर यह भूल जाती है कि केवल डूबा भाग गिना जाता है, और बर्फ पिघलने पर सिकुड़ती है, फैलती नहीं।

  8. एक जहाज़ का गुरुत्व-केंद्र G उसके उत्प्लावन-केंद्र B से ऊपर है, BG = 0.3 m। अनुदैर्घ्य अक्ष के परितः छोटे रोल के लिए जलरेखा-क्षेत्र से I/V_disp = 0.9 m मिलता है। कौन-सा कथन सही है?

    1. यह स्थिर है, क्योंकि मेटासेंटर G से GM = 0.9 − 0.3 = 0.6 m ऊपर है
    2. यह अस्थिर है, क्योंकि G, B के ऊपर है और तैरती वस्तु के लिए G को B के नीचे होना चाहिए
    3. यह तभी स्थिर है जब जहाज़ पूर्णतः डूबा हो, क्योंकि तैरते जहाज़ का मेटासेंटर नहीं होता
    4. यह उदासीन रूप से स्थिर है, क्योंकि BM और BG का चिह्न समान है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह स्थिर है, क्योंकि मेटासेंटर G से GM = 0.9 − 0.3 = 0.6 m ऊपर है

    तैरती वस्तु का मानदंड GM = BM − BG > 0 है, जहाँ BM = I/V_disp। यहाँ GM = 0.6 m है, अतः मेटासेंटर G के ऊपर है और वस्तु स्थिर है। 'G, B के नीचे' का नियम केवल पूर्णतः डूबी वस्तु पर लगता है; तैरते जहाज़ पर लगाने से हर सामान्य जलयान गलत ढंग से अस्थिर ठहरता है।

  9. एक आनत-नली मैनोमीटर में नली क्षैतिज से 30° पर है। उसी दाब-अंतर के लिए नली के अनुदिश द्रव द्वारा चली गई दूरी, ऊर्ध्वाधर नली में होने वाले ऊर्ध्वाधर उठान की तुलना में कैसी है?

    1. यह आधी है, क्योंकि नली ऊर्ध्वाधर से दूर झुकी है
    2. यह दोगुनी है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर उठान L sin 30° = L/2 है
    3. यह 1.73 गुनी है, क्योंकि क्षैतिज विस्तार L cos 30° है
    4. यह वही है, क्योंकि दाब केवल द्रव-घनत्व पर निर्भर है, नली के कोण पर नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — यह दोगुनी है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर उठान L sin 30° = L/2 है

    दाब-अंतर ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h = L sin θ के संगत है, अतः L = h/sin θ। 30° पर L = 2h, इसीलिए आनत मैनोमीटर छोटे पाठ्यांकों को बड़ा करते हैं। दाब ऊर्ध्वाधर ऊँचाई पर निर्भर है, नली की लंबाई पर नहीं, इसलिए 'वही' वाला उत्तर इसे अनदेखा करता है कि ऊँचाई वही रहने पर भी लंबाई बदलती है।

  10. द्रवस्थैतिक बल के बारे में कथन दिए गए हैं।
    P: डूबी समतल सतह पर परिणामी बल ρ g h_c A है, जहाँ h_c केंद्रक की गहराई है।
    Q: डूबी ऊर्ध्वाधर समतल सतह का दाब-केंद्र उसके केंद्रक के ऊपर होता है।
    R: वक्र सतह पर बल का क्षैतिज घटक उसके ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप पर बल के बराबर होता है।
    S: वक्र सतह पर बल का ऊर्ध्वाधर घटक उसके ऊपर मुक्त तल तक के द्रव के भार के बराबर होता है, वास्तविक या काल्पनिक।
    सभी सही कथन चुनिए।

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P; C — R; D — S

    P, R और S मानक परिणाम हैं। Q गलत है: दाब गहराई के साथ बढ़ता है, अतः परिणामी केंद्रक के नीचे लगता है, और दोनों केवल क्षैतिज सतह के लिए संपाती होते हैं।

  11. स्थिरता के बारे में कथन दिए गए हैं।
    P: तैरती वस्तु छोटे झुकाव के लिए स्थिर होती है यदि उसका मेटासेंटर उसके गुरुत्व-केंद्र के ऊपर हो।
    Q: निश्चित आकार की पूर्णतः डूबी वस्तु स्थिर होती है यदि उसका गुरुत्व-केंद्र उसके उत्प्लावन-केंद्र के नीचे हो।
    R: तैरती वस्तु का गुरुत्व-केंद्र ऊपर उठाने से उसकी मेटासेंट्रिक ऊँचाई बढ़ती है।
    S: दूरी BM, V_disp को झुकाव-अक्ष के परितः जलरेखा-क्षेत्र के द्वितीय आघूर्ण से भाग देने के बराबर है।
    सभी सही कथन चुनिए।

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P; B — Q

    P और Q दोनों मानक मानदंड हैं। R गलत है क्योंकि GM = BM − BG और G ऊपर उठाने से BG बढ़ता है, अतः GM घटता है। S सूत्र को उलट देता है: BM = I/V_disp है, V_disp/I नहीं।

  12. विराम के तरल में दाब के बारे में कथन दिए गए हैं।
    P: एक ही द्रव के एक संबद्ध पिंड में समान स्तर के बिंदुओं पर दाब समान होता है।
    Q: ऋणात्मक गेज दाब असंभव है।
    R: हाइड्रोलिक प्रेस में निर्गत बल और निवेश बल का अनुपात पिस्टनों के क्षेत्रफलों के अनुपात के बराबर होता है, घर्षण और भार नगण्य मानते हुए।
    S: स्थिर तरल के एक बिंदु पर ऊर्ध्वाधर दिशा में दाब क्षैतिज दिशा से अधिक होता है।
    सभी सही कथन चुनिए।

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — P; C — R

    P और R सही हैं (R पास्कल के नियम का प्रेस पर अनुप्रयोग है)। Q गलत है: निर्वात ऋणात्मक गेज दाब है। S गलत है: अपरूपण प्रतिबल न होने पर एक बिंदु पर दाब सभी दिशाओं में समान होता है।

  13. A और B दो क्षैतिज जल पाइप समान ऊँचाई पर एक अवकल U-नली मैनोमीटर से जुड़े हैं जिसमें पारा है और शेष नलिका जल से भरी है। दोनों भुजाओं में पारे के स्तरों का अंतर 0.30 m है। ρ_पारा = 13600 kg/m³, ρ_जल = 1000 kg/m³ तथा g = 9.81 m/s² लीजिए। दोनों पाइपों के बीच दाब-अंतर ____ kPa है (दो दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 37.08

    Δp = (ρ_m − ρ_w) g h = (13600 − 1000) × 9.81 × 0.30 = 12600 × 2.943 = 37 081.8 Pa = 37.08 kPa। केवल 13600 लेने पर 40.02 kPa मिलता है, जो दूसरी भुजा भरने वाले जल को भूल जाता है।

  14. 2 m चौड़े और 3 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर आयताकार द्वार का ऊपरी किनारा 1000 kg/m³ घनत्व के शांत जल की सतह से 1 m नीचे है और वह ऊपरी किनारे पर कब्जे से जुड़ा है। वायुमंडलीय दाब दोनों ओर लगता है, g = 9.81 m/s²। द्वार को बंद रखने के लिए उसके निचले किनारे पर अभिलंब रूप से लगाया जाने वाला बल ____ kN है (दो दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 88.29

    h_c = 2.5 m, A = 6 m², F = 9810 × 2.5 × 6 = 147 150 N। I_c = 2 × 27/12 = 4.5 m⁴, y_cp = 2.5 + 4.5/15 = 2.8 m, जो कब्जे से 1.8 m नीचे है। कब्जे के परितः आघूर्ण: P × 3 = 147 150 × 1.8, अतः P = 88 290 N = 88.29 kN।

  15. एक द्वार 2 m त्रिज्या और 3 m चौड़ाई वाले वृत्तीय बेलन का चतुर्थांश है। वृत्त का केंद्र 1000 kg/m³ घनत्व के जल की मुक्त सतह पर है; चाप केंद्र के ठीक 2 m नीचे के बिंदु से सतह पर केंद्र के बगल में 2 m दूरी के बिंदु तक जाता है और जल चाप के अवतल पक्ष में है। g = 9.81 m/s² लीजिए। द्वार पर परिणामी द्रवस्थैतिक बल का परिमाण ____ kN है (एक दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 109.6

    F_H = ρg (R/2)(R w) = 9810 × 1 × 6 = 58 860 N। F_V = चाप के ऊपर जल के चतुर्थांश-बेलन का भार = 9810 × (π × 4/4) × 3 = 92 457 N। परिणामी = √(58 860² + 92 457²) = 109 603 N = 109.6 kN।

  16. एक पत्थर हवा में 50 N और 1000 kg/m³ घनत्व के जल में पूर्णतः डूबने पर 30 N का है। g = 9.81 m/s² लीजिए। पत्थर का घनत्व ____ kg/m³ है (निकटतम पूर्णांक तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2500

    उत्प्लावन बल = 50 − 30 = 20 N = ρ_w g V, अतः V = 20/9810 = 2.039 × 10⁻³ m³। द्रव्यमान = 50/9.81 = 5.097 kg। ρ = 5.097/2.039 × 10⁻³ = 2500 kg/m³। समतुल्य रूप से ρ = ρ_w × 50/20, और g कट जाता है।

  17. 10 m लंबा और 4 m चौड़ा एक आयताकार बार्ज जल में 1.5 m ड्राफ्ट पर तैरता है। उसका गुरुत्व-केंद्र कील से 1.2 m ऊपर है। अनुदैर्घ्य अक्ष के परितः रोल के लिए मेटासेंट्रिक ऊँचाई GM ____ m है (दो दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.44

    V_disp = 10 × 4 × 1.5 = 60 m³; B कील से 0.75 m ऊपर है, अतः BG = 1.2 − 0.75 = 0.45 m। I = L b³/12 = 10 × 64/12 = 53.33 m⁴, BM = 53.33/60 = 0.8889 m। GM = 0.8889 − 0.45 = 0.4389, अर्थात् 0.44 m।