The dimensions of dynamic viscosity μ in terms of mass M, length L and time T are

ML⁻¹T⁻¹, from τ = μ du/dy

L²T⁻¹, because viscosity measures how fast momentum diffuses through the fluid

ML⁻¹T⁻², because viscosity is itself a stress, force per unit area

ML⁻¹T⁻¹, from τ = μ du/dy

MLT⁻², because viscosity is a force acting on the layers

The Froude number V/√(gL) is, in terms of forces, the square root of the ratio of

inertia force to elastic (compressibility) force

inertia force to surface-tension force

A smooth sphere of diameter D moves at speed V through a large, unbounded body of incompressible fluid of density ρ and viscosity μ. There is no free surface and V is far below the speed of sound. The drag force F obeys F/(ρV²D²) = φ(...). The argument of φ is

the Reynolds number ρVD/μ alone

the Reynolds number and the Froude number V/√(gD)

the Reynolds number ρVD/μ alone

the Reynolds number and the Weber number ρV²D/σ

the Reynolds number and the Mach number V/a

A geometrically similar model, with L_m/L_p = 1/4, of a fully submerged body is tested in the same fluid at the same temperature, with the Reynolds number matched. The measured model drag is 25 N. The drag on the prototype is

25 N, because the force is the same at any scale

100 N, because force grows in proportion to length

400 N, because force grows in proportion to area

1,600 N, because force grows in proportion to volume

25 N, because the force is the same at any scale

A naval architect tests a ship model to estimate the wave-making resistance of the prototype. Dynamic similarity for this resistance is based on equal

Froude numbers, because gravity waves govern the resistance

Reynolds numbers, because the hull moves through viscous water

Mach numbers, because the hull moves through a continuous fluid

Froude numbers, because gravity waves govern the resistance

Weber numbers, because the hull cuts through the water surface

Which statement about the Mach number is correct?

It equals V/a, with a = √(γRT) for an ideal gas; above about 0.3 compressibility matters

It equals ρVL/μ and compares inertia with viscous force, so values below 0.3 mean laminar flow

It depends on flow speed alone, so Ma = 1 means 340 m/s at every altitude and temperature

It equals V/√(gL) and is the governing group for flow over a spillway or in a canal

A 1:25 scale model (L_m/L_p = 1/25) of a ship hull is to be tested in the same liquid as the prototype with both the Froude number and the Reynolds number matched. This is not possible because

Froude matching requires V_m/V_p = 1/5 while Reynolds matching requires V_m/V_p = 25

the two conditions can be met at one speed, but the model then needs far more power

Froude matching requires V_m/V_p = 1/5 while Reynolds matching requires V_m/V_p = 25

Reynolds number depends on g, so it cannot be fixed independently of the Froude number

Froude matching needs a model liquid of much higher density, and none exists

A simple pendulum has period T that may depend on its length ℓ, bob mass m, the acceleration g due to gravity and the amplitude θ₀. Dimensional analysis shows that

T√(g/ℓ) is a function of θ₀ alone; m does not appear

T√(g/ℓ) depends on both the mass m and the amplitude θ₀

T√(g/ℓ) is a pure constant that is independent of the amplitude θ₀

T√(g/ℓ) is a function of θ₀ alone; m does not appear

T is proportional to √(mℓ/g), so heavier bobs swing slower

Which of the following statements about similarity of flows are correct?

Geometric similarity requires equal ratios for all corresponding lengths, including the roughness height

Dynamic similarity requires equal ratios of the corresponding forces at corresponding points

Geometric similarity requires equal ratios for all corresponding lengths, including the roughness height

Kinematic similarity requires the velocities at corresponding points to be equal in model and prototype

Dynamic similarity requires equal ratios of the corresponding forces at corresponding points

Geometric similarity alone guarantees dynamic similarity when the same fluid is used

Which of the following pairs of a dimensionless group with the ratio it represents are correct?

Reynolds number: inertia force to viscous force

Weber number: inertia force to surface-tension force

Euler number: pressure force to inertia force

Reynolds number: inertia force to viscous force

Weber number: inertia force to surface-tension force

Froude number: inertia force to surface-tension force

Euler number: pressure force to inertia force

विमीय विश्लेषण: समरूपता, बकिंघम पाई प्रमेय, विमाहीन समूह तथा मॉडल परीक्षण

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के XE1 तरल यांत्रिकी के खंड XE1.6 का उत्तर देता है, जो नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है और जिनमें से किन्हीं दो को परीक्षार्थी परीक्षा में चुनता है: “Concept of similarity, Buckingham Pi theorem and its applications. Dimensionless groups and their physical significance - Reynolds number, Froude number, and Mach number.” इसमें विमाएँ व समांगता, पूर्ण विधि सहित पाई प्रमेय, पाइप-प्रवाह के दाब-पात, गोले पर कर्षण तथा पंप पर उसका उपयोग, तीनों प्रकार की समरूपता, रेनॉल्ड्स, फ्रूड व मैक संख्याओं (तथा संक्षेप में यूलर व वेबर संख्याओं) का अर्थ, और मॉडल परीक्षण व पैमाना-नियम पढ़ाए गए हैं। संख्यात्मक प्रश्न पाई-समूहों की गिनती, चाल व बल का फ्रूड एवं रेनॉल्ड्स पैमाना, पंप की समरूपता तथा मैक संख्या हैं।

1. विमाएँ व विमीय समांगता

प्रत्येक भौतिक राशि की एक विमा (dimension) होती है, जो कुछ मूल विमाओं से बनती है: द्रव्यमान M, लंबाई L तथा समय T (ताप तभी आता है जब ऊष्मा सम्मिलित हो)। कोई समीकरण विमीय रूप से समांगी तब कहलाता है जब उसके प्रत्येक योज्य पद की विमाएँ समान हों, और प्रत्येक भौतिक रूप से सही समीकरण ऐसा होता ही है। विमीय विश्लेषण केवल इसी आवश्यकता का उपयोग करता है। वह संख्यात्मक नियतांक नहीं दे सकता और यह भी नहीं बता सकता कि कौन-से चर महत्त्वपूर्ण हैं, किंतु अनेक चरों वाली समस्या को वह कुछ विमाहीन समूहों के संबंध में बदल देता है, जिससे प्रयोग बहुत घट जाते हैं और एक तरल, आकार या चाल के परिणाम दूसरों पर लागू हो जाते हैं।

इस अध्याय में प्रयुक्त राशियों की विमाएँ
राशि	विमाएँ
वेग V, ध्वनि की चाल a	LT⁻¹
गुरुत्वीय त्वरण g	LT⁻²
बल F	MLT⁻²
दाब p, अपरूपण प्रतिबल τ	ML⁻¹T⁻²
घनत्व ρ	ML⁻³
गतिक श्यानता μ	ML⁻¹T⁻¹
शुद्धगतिक श्यानता ν = μ/ρ	L²T⁻¹
पृष्ठ तनाव σ	MT⁻²
शक्ति P	ML²T⁻³
आयतन प्रवाह-दर Q	L³T⁻¹

⚠️ विमाहीन का अर्थ महत्त्वहीन नहीं

कोण, विकृति तथा ε/D या L/D जैसे अनुपात पहले से विमाहीन हैं: प्रत्येक अपने आप में एक पाई समूह है और एक चर गिना जाता है। जिस अनुभवजन्य सूत्र में कोई जड़ा हुआ नियतांक हो, जैसे V = 0.5√d, वह तब तक समांगी नहीं होता जब तक नियतांक की विमा न हो, अतः वह केवल उन्हीं इकाइयों में मान्य है जिनमें उसे फ़िट किया गया था। ऐसे सूत्र से विमीय जाँच कभी न करें।

2. बकिंघम पाई प्रमेय व उसकी विधि

पाई प्रमेय। यदि कोई भौतिक संबंध n चरों (आश्रित चर सहित) को जोड़ता है और इनमें j स्वतंत्र मूल विमाएँ हैं, तो उस संबंध को n − j स्वतंत्र विमाहीन समूहों Π₁, Π₂, …, Π₍ₙ₋ⱼ₎ के संबंध के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ j विमीय आव्यूह की कोटि (rank) है। यह प्रायः 3 (M, L, T) होती है, पर यदि केवल L व T हों तो 2, अतः स्वतंत्र विमाएँ गिनें, केवल प्रकट होने वाले अक्षर नहीं।

सभी चर सूचीबद्ध करें, उनकी M, L, T विमाएँ लिखें और j ज्ञात करें।
j आवर्ती चर (repeating variables) चुनें। उनमें मिलाकर प्रत्येक मूल विमा आनी चाहिए, उनकी घातों का कोई गुणनफल विमाहीन न हो, और आश्रित चर उनमें से एक न हो। सामान्य चयन: एक ज्यामितीय (D), एक शुद्धगतिक (V या N) तथा एक तरल-गुण (ρ)।
शेष प्रत्येक चर को बारी-बारी से लें और उसे आवर्ती चरों की अज्ञात घातों से गुणा करें; वे घातें हल करें जो गुणनफल को विमाहीन बनाती हैं (M, L व T के लिए एक-एक समीकरण)।
जाँचें कि प्रत्येक Π विमाहीन है और Π₁ = φ(Π₂, …) लिखें। समूहों को उलटा या आपस में गुणा किया जा सकता है, अतः उनकी केवल संख्या निश्चित है, रूप नहीं।

हल किया उदाहरण, गोले पर कर्षण। F = f(ρ, V, D, μ), अतः n = 5 और j = 3, यानी 2 समूह। आवर्ती चर ρ, V, D लें। Π₁ = F ρᵃ Vᵇ Dᶜ हेतु: M से 1 + a = 0, अतः a = −1; T से −2 − b = 0, अतः b = −2; L से 1 − 3a + b + c = 0, अतः 1 + 3 − 2 + c = 0 और c = −2। इसलिए Π₁ = F/(ρV²D²)। μ हेतु यही चरण Π₂ = μ/(ρVD) = 1/Re देते हैं। परिणाम F/(ρV²D²) = φ(Re) है, और इसी कारण कर्षण गुणांक बनाम रेनॉल्ड्स संख्या का एक ही वक्र प्रत्येक गोले, चाल व तरल हेतु काम आता है।

⚠️ जहाँ विद्यार्थी अंक खोते हैं

j रैंक से गिनें, अक्षरों से नहीं। लोलक के आवर्तकाल T(ℓ, m, g, θ₀) में n = 5 और j = 3 है, अतः 2 समूह हैं, θ₀ और T√(g/ℓ); द्रव्यमान ही अकेला चर है जिसमें M है और इसलिए वह किसी समूह में नहीं आ सकता। विमीय विश्लेषण यह भी नहीं दिखा सकता कि कोई निर्भरता अनुपस्थित है: वह यह सिद्ध नहीं कर सकता कि T√(g/ℓ) θ₀ से स्वतंत्र है।

3. अनुप्रयोग: पाइप का दाब-पात, गोले का कर्षण व पंप

तीन मानक पाई विश्लेषण (पहले दो हेतु आवर्ती चर ρ, V, D; पंप हेतु ρ, N, D)
निकाय	चर	n, j	पाई समूह
पाइप का दाब-पात	Δp, ρ, V, D, L, ε, μ	7, 3	4: Δp/(ρV²), ρVD/μ, L/D, ε/D
गोले का कर्षण	F, ρ, V, D, μ	5, 3	2: F/(ρV²D²), ρVD/μ
पंप (gH व P आश्रित; N चाल, चक्कर/सेकंड में)	gH, P, Q, N, D, ρ, μ	7, 3	4: gH/(N²D²), P/(ρN³D⁵), Q/(ND³), ρND²/μ

पाइप। पूर्ण विकसित प्रवाह में Δp, L के समानुपात में बढ़ता है, अतः समूह L/D गुणक के रूप में बाहर आ जाता है: Δp/(ρV²) = (L/D) φ(Re, ε/D)। φ = f/2 लिखने पर Δp = f (L/D)(ρV²/2) मिलता है, जो डार्सी-वाइसबाख संबंध है, और यह दर्शाता है कि घर्षण गुणांक f केवल Re व आपेक्षिक खुरदुरेपन ε/D पर निर्भर है।

पंप। तीन गुणांक हैं: शीर्ष गुणांक C_H = gH/(N²D²), प्रवाह गुणांक C_Q = Q/(ND³) तथा शक्ति गुणांक C_P = P/(ρN³D⁵)। ज्यामितीय रूप से समरूप पंपों के गतिक रूप से समरूप प्रचालन बिंदुओं पर, रेनॉल्ड्स-संख्या प्रभाव व दक्षता के परिवर्तन की उपेक्षा करने पर संबंधता नियम (affinity laws) मिलते हैं: Q₂/Q₁ = (N₂/N₁)(D₂/D₁)³, H₂/H₁ = (N₂/N₁)²(D₂/D₁)² तथा P₂/P₁ = (ρ₂/ρ₁)(N₂/N₁)³(D₂/D₁)⁵। स्थिर D पर ये Q ∝ N, H ∝ N² व P ∝ N³ हो जाते हैं, अतः चाल में 10% वृद्धि से शक्ति लगभग 33% बढ़ती है।

🧠 सेकंडों में विमीय जाँच

कोई प्रत्याशी समूह तभी मान्य है जब उसके M, L व T के घातांक सब कट जाएँ। उदाहरण: Q/(ND³) में L³T⁻¹ को T⁻¹L³ से भाग देने पर 1 मिलता है, gD/V² भी LT⁻²·L/(L²T⁻²) = 1 है (यह 1/Fr² है), पर gD/V नहीं।

4. समरूपता की संकल्पना: ज्यामितीय, शुद्धगतिक व गतिक

मॉडल परीक्षण किसी छोटे व सस्ते मॉडल पर आश्रित राशि मापता है और उसे पूर्ण-आकार के प्रोटोटाइप पर बदल देता है। यह बदलाव तभी मान्य है जब दोनों प्रवाह तीन परतों में समरूप हों। लंबाई-पैमाना L_r = L_m/L_p लिखें (m = मॉडल, p = प्रोटोटाइप)।

ज्यामितीय समरूपता: सभी संगत लंबाई-अनुपात समान हों और सभी संगत कोण समान हों। पैमाने में सतह का खुरदुरापन (समान ε/D) तथा निकट की दीवारों व मुक्त तलों की स्थिति भी सम्मिलित है।
शुद्धगतिक समरूपता: संगत बिंदुओं पर वेग की दिशा समान और अनुपात V_r स्थिर हो, अतः धारारेखा-प्रतिरूप ज्यामितीय रूप से समरूप हों। तब समय-पैमाना T_r = L_r/V_r होता है। स्थिर वेगों का अनुपात होता है, वेग स्वयं नहीं।
गतिक समरूपता: संगत बिंदुओं पर संगत बलों (जड़त्व, श्यान, गुरुत्व, दाब, पृष्ठ तनाव, प्रत्यास्थ) के अनुपात समान हों; बल-पैमाना F_r = ρ_r L_r² V_r² है।

पाई प्रमेय इन बल-कथनों को एक विधि में बदल देता है: पूर्ण समरूपता तब होती है जब ज्यामिति समरूप हो और आश्रित चर रहित प्रत्येक स्वतंत्र Π समूह का मान मॉडल व प्रोटोटाइप में समान हो। तब आश्रित समूह (जैसे Δp/(ρV²) या F/(ρV²D²)) अपने-आप समान हो जाता है। पाइप के मामले में समान L/D, ε/D व Re से Δp/(ρV²) समान होना सुनिश्चित है। केवल ज्यामितीय समरूपता आवश्यक है पर कभी पर्याप्त नहीं।

🎯 विरूपण क्यों होता है

यदि मॉडल प्रत्येक समूह का मेल नहीं बिठा पाता, तो बेमेल समूह पैमाना-प्रभाव (scale effect) उत्पन्न करता है। मॉडल नदी कभी-कभी क्षैतिज की तुलना में ऊर्ध्वाधर पैमाना बड़ा रखकर बनाई जाती है (विरूपित मॉडल), ताकि प्रवाह विक्षुब्ध बना रहे और खुरदुरेपन का अर्थ रहे, पर इसके बदले पूर्ण ज्यामितीय समरूपता छूट जाती है।

5. विमाहीन समूह व उनका भौतिक महत्त्व

इस खंड के समूह, प्रत्येक दो भौतिक प्रभावों का अनुपात
समूह	परिभाषा	किनका अनुपात	कहाँ प्रभावी
रेनॉल्ड्स Re	ρVL/μ = VL/ν	जड़त्व बल व श्यान बल	पाइप, सीमा-परत, कर्षण, विक्षुब्धता में संक्रमण
फ्रूड Fr	V/√(gL)	जड़त्व व गुरुत्व बल के अनुपात का वर्गमूल	मुक्त-तल प्रवाह: जहाज़, स्पिलवे, खुली नहरें, तरंगें
मैक Ma	V/a, आदर्श गैस हेतु a = √(γRT)	प्रवाह-चाल व ध्वनि की चाल	संपीड्य प्रवाह; Ma = 1 पर व उससे ऊपर आघात तरंगें
यूलर Eu	Δp/(ρV²) (कुछ पाठ्यपुस्तकें ½ρV² लेती हैं)	दाब बल व जड़त्व बल	दाब गुणांक, दाब-पात
वेबर We	ρV²L/σ	जड़त्व बल व पृष्ठ-तनाव बल	बूँदें, बुलबुले, पतली परतें, छोटे पैमाने

संख्याओं को पढ़ना। बड़ा Re का अर्थ है कि जड़त्व हावी है और श्यानता पतली परतों (सीमा-परतों) तक सीमित है, या पाइप में प्रवाह विक्षुब्ध हो जाता है। Fr प्रवाह-चाल व तरंग-चाल के अनुपात की भूमिका निभाता है, क्योंकि √(gL) गहराई L के जल में दीर्घ गुरुत्व तरंग की चाल है: खुली नहर में Fr < 1 अवक्रांतिक, Fr = 1 क्रांतिक तथा Fr > 1 अतिक्रांतिक है। गैसों हेतु अँगूठे का नियम है कि Ma < 0.3 पर प्रवाह को असंपीड्य माना जाए, क्योंकि तब घनत्व लगभग 5% या उससे कम बदलता है। चूँकि a = √(γRT), मैक संख्या केवल चाल से तय नहीं होती: 300 K की वायु हेतु a = √(1.4 × 287 × 300) ≈ 347 m/s।

⚠️ Fr बल-अनुपात का वर्गमूल है

जड़त्व-बल व गुरुत्व-बल का अनुपात ρV²L²/(ρgL³) = V²/(gL) = Fr² है, अतः Fr उसका वर्गमूल है। इसी प्रकार मैक संख्या चालों का अनुपात है, जिसमें Ma², जड़त्व व प्रत्यास्थ बल के अनुपात के समानुपाती है। मैक संख्या को रेनॉल्ड्स संख्या से न मिलाएँ: Ma = 0.2 वाले प्रवाह का Re 10⁷ हो सकता है।

6. मॉडल परीक्षण व पैमाना-नियम

प्रायः दो समूह महत्त्वपूर्ण होते हैं और दोनों का मेल नहीं बैठ पाता। समान तरल में रेनॉल्ड्स मिलान हेतु V_m/V_p = (ν_m/ν_p)(L_p/L_m) = 1/L_r चाहिए, अतः छोटे मॉडल को तेज़ चाल चाहिए। फ्रूड मिलान हेतु V_m/V_p = √L_r, अर्थात् कम चाल चाहिए। दोनों साथ तभी सधते हैं जब ν_m/ν_p = L_r^(3/2): L_r = 1/25 हेतु यह ν_m = ν_p/125 है, और ऐसा कोई व्यावहारिक द्रव नहीं है। इसलिए प्रभावी समूह का मिलान किया जाता है। जहाज़, स्पिलवे व तैरते पिंड, जहाँ मुक्त तल की गुरुत्व तरंगें हावी हैं, फ्रूड लेते हैं। निमज्जित पिंड, मंद चाल के वायुयान, पाइप, पंप व टरबाइन रेनॉल्ड्स लेते हैं; तेज़ चाल के वायुयान मैक भी जोड़ते हैं, इसीलिए Re बढ़ाने को दाबित या क्रायोजेनिक सुरंगें प्रयुक्त होती हैं।

पैमाना-अनुपात (मॉडल/प्रोटोटाइप), समान तरल, समान g, लंबाई-अनुपात L_r = L_m/L_p
राशि	फ्रूड मिलान	रेनॉल्ड्स मिलान
वेग	L_r^(1/2)	L_r⁻¹
समय	L_r^(1/2)	L_r²
प्रवाह-दर	L_r^(5/2)	L_r
बल	L_r³	1
दाब	L_r	L_r⁻²
शक्ति	L_r^(7/2)	L_r⁻¹

हल किया उदाहरण 1, फ्रूड। L_r = 1/36 के जहाज़-मॉडल को 12 m/s प्रोटोटाइप चाल निरूपित करने हेतु खींचा जाता है। तब V_m = 12 × √(1/36) = 12/6 = 2 m/s। मॉडल का तरंग-निर्माण कर्षण 8 N समान जल-घनत्व लेने पर F_p = 8 × 36³ = 373,248 N, लगभग 373 kN, में बदलता है। गतिक समरूपता से प्रोटोटाइप का समय, मॉडल के समय का 6 गुना भी मिलता है।

हल किया उदाहरण 2, रेनॉल्ड्स। जल में चलने वाले पिंड (ν = 1.0 × 10⁻⁶ m²/s) को 3 m/s पर, लंबाई L_p के प्रोटोटाइप के रूप में, L_m = L_p/4 के मॉडल से वायु (ν = 1.5 × 10⁻⁵ m²/s) में निरूपित किया जाता है। Re मिलान से V_m = 3 × 15 × 4 = 180 m/s मिलता है। लगभग Ma = 0.5 पर यह वायु-प्रवाह असंपीड्य नहीं रहता, अतः परीक्षण विफल हो जाता है। जल-सुरंग बेहतर विकल्प है, जहाँ मॉडल को केवल 3 × 4 = 12 m/s चाहिए।

⚠️ समान तरल, रेनॉल्ड्स मिलान: बल बराबर

ρ व μ अपरिवर्तित रखकर Re मिलाने पर F = ρV²L²φ(Re) में V ∝ 1/L रखने से किसी भी पैमाने हेतु F_p = F_m आता है, जिसे प्रायः छोड़ दिया जाता है। साथ ही, संबंधता-नियम या पैमाना-अनुपात का उत्तर केवल प्रभावी समूह हेतु लागू है; यदि श्यानता भी महत्त्वपूर्ण हो तो पैमाना-प्रभाव सुधार लगाएँ।

मुख्य बिंदु

पाई प्रमेय n − j समूह देता है, जहाँ j विमीय आव्यूह की कोटि है (प्रायः 3); आवर्ती चर M, L व T को समेटें, स्वतंत्र हों और आश्रित चर को न लें। जो चर अकेला किसी विमा का वाहक हो, वह बाहर हो जाता है।
पाइप: Δp/(ρV²) = (L/D)φ(Re, ε/D), जो डार्सी-वाइसबाख की जड़ है। गोला: F/(ρV²D²) = φ(Re)। पंप: C_H, C_Q, C_P व Re, जिनसे संबंधता-नियम Q ∝ ND³, H ∝ N²D², P ∝ ρN³D⁵ मिलते हैं।
पूर्ण समरूपता हेतु ज्यामितीय समरूपता व प्रत्येक स्वतंत्र Π समूह का समान मान चाहिए; वेग व बल के अनुपात पैमाने के स्थिरांक हैं, समानताएँ नहीं।
Re = जड़त्व/श्यान, Fr = √(जड़त्व/गुरुत्व) = V/√(gL), Ma = V/a जहाँ a = √(γRT), Eu = दाब/जड़त्व, We = जड़त्व/पृष्ठ तनाव। Ma ≈ 0.3 से कम पर गैस-प्रवाह असंपीड्य माना जाता है।
प्रभावी समूह का मिलान करें। फ्रूड (समान तरल): V ∝ L^(1/2), F ∝ L³। रेनॉल्ड्स (समान तरल): V ∝ 1/L, F अपरिवर्तित। एक ही तरल में दोनों तभी सधते हैं जब ν_m/ν_p = L_r^(3/2)।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

गतिक श्यानता μ की विमाएँ द्रव्यमान M, लंबाई L व समय T के पदों में हैं
1. L²T⁻¹, क्योंकि श्यानता मापती है कि संवेग तरल में कितनी तेज़ी से विसरित होता है
2. ML⁻¹T⁻², क्योंकि श्यानता स्वयं एक प्रतिबल, प्रति इकाई क्षेत्रफल बल, है
3. ML⁻¹T⁻¹, τ = μ du/dy से
4. MLT⁻², क्योंकि श्यानता परतों पर लगने वाला बल है
उत्तर देखें
उत्तर: C — ML⁻¹T⁻¹, τ = μ du/dy से
τ = μ du/dy से: μ = τ/(du/dy) = ML⁻¹T⁻² को T⁻¹ से भाग देने पर ML⁻¹T⁻¹। भ्रामक L²T⁻¹ शुद्धगतिक श्यानता ν = μ/ρ की विमा है, क्योंकि ML⁻¹T⁻¹ को ML⁻³ से भाग देने पर L²T⁻¹ बचता है। ML⁻¹T⁻² स्वयं प्रतिबल की विमा है और MLT⁻² बल की।
फ्रूड संख्या V/√(gL) बलों के पदों में किनके अनुपात का वर्गमूल है
1. जड़त्व बल व गुरुत्व बल
2. जड़त्व बल व श्यान बल
3. जड़त्व बल व प्रत्यास्थ (संपीड्यता) बल
4. जड़त्व बल व पृष्ठ-तनाव बल
उत्तर देखें
उत्तर: A — जड़त्व बल व गुरुत्व बल
जड़त्व बल ρV²L² के रूप में और गुरुत्व बल ρgL³ के रूप में बदलते हैं, अतः उनका अनुपात V²/(gL) = Fr² है। जड़त्व व श्यान बल का अनुपात रेनॉल्ड्स संख्या है, जड़त्व व प्रत्यास्थ बल से Ma² मिलता है, और जड़त्व व पृष्ठ तनाव का अनुपात वेबर संख्या है।
D व्यास का एक चिकना गोला घनत्व ρ व श्यानता μ के असंपीड्य तरल की विशाल, असीमित मात्रा में चाल V से चलता है। कोई मुक्त तल नहीं है और V ध्वनि की चाल से बहुत कम है। कर्षण बल F, F/(ρV²D²) = φ(...) का पालन करता है। φ का तर्क है
1. रेनॉल्ड्स संख्या व फ्रूड संख्या V/√(gD)
2. अकेली रेनॉल्ड्स संख्या ρVD/μ
3. रेनॉल्ड्स संख्या व वेबर संख्या ρV²D/σ
4. रेनॉल्ड्स संख्या व मैक संख्या V/a
उत्तर देखें
उत्तर: B — अकेली रेनॉल्ड्स संख्या ρVD/μ
चर F, ρ, V, D, μ हैं, अतः n = 5, j = 3 और 2 समूह हैं: F/(ρV²D²) तथा ρVD/μ। गुरुत्व केवल उत्प्लावन बल के रूप में आता है और मुक्त तल के बिना तरंगें नहीं बनाता, इसलिए g, σ और ध्वनि की चाल यहाँ चर नहीं हैं। फ्रूड संख्या वाला विकल्प भ्रामक है, पर उसके लिए सूची में g चाहिए होता।
किसी पूर्णतः निमज्जित पिंड का L_m/L_p = 1/4 वाला ज्यामितीय रूप से समरूप मॉडल उसी तरल में उसी ताप पर परीक्षित किया जाता है, रेनॉल्ड्स संख्या मिलाकर। मापा गया मॉडल कर्षण 25 N है। प्रोटोटाइप पर कर्षण है
1. 100 N, क्योंकि बल लंबाई के समानुपात में बढ़ता है
2. 400 N, क्योंकि बल क्षेत्रफल के समानुपात में बढ़ता है
3. 1,600 N, क्योंकि बल आयतन के समानुपात में बढ़ता है
4. 25 N, क्योंकि बल किसी भी पैमाने पर समान रहता है
उत्तर देखें
उत्तर: D — 25 N, क्योंकि बल किसी भी पैमाने पर समान रहता है
ρ व μ अपरिवर्तित रहने पर Re मिलान हेतु V_m/V_p = L_p/L_m = 4 चाहिए। तब F ∝ ρV²L² से F_m/F_p = 4² × (1/4)² = 1, अतः F_p = 25 N। 100, 400 व 1,600 N के विकल्प L, L² या L³ से पैमाना लगाने और चाल बदलने को भूलने से आते हैं।
एक नौ-वास्तुविद जहाज़ के तरंग-निर्माण प्रतिरोध का अनुमान लगाने हेतु जहाज़-मॉडल का परीक्षण करता है। इस प्रतिरोध हेतु गतिक समरूपता किसके समान होने पर आधारित है
1. रेनॉल्ड्स संख्याओं, क्योंकि पतवार श्यान जल में चलती है
2. मैक संख्याओं, क्योंकि पतवार एक सतत तरल में चलती है
3. फ्रूड संख्याओं, क्योंकि प्रतिरोध को गुरुत्व तरंगें निर्धारित करती हैं
4. वेबर संख्याओं, क्योंकि पतवार जल की सतह को काटती है
उत्तर देखें
उत्तर: C — फ्रूड संख्याओं, क्योंकि प्रतिरोध को गुरुत्व तरंगें निर्धारित करती हैं
तरंग-निर्माण मुक्त तल पर गुरुत्व का प्रभाव है, अतः फ्रूड संख्या V/√(gL) मिलाई जाती है। छोटे मॉडल से रेनॉल्ड्स मिलान हेतु असंभव रूप से अधिक चाल चाहिए, इसलिए छोटे श्यान (घर्षण) भाग का सुधार अलग से किया जाता है। जहाज़ की चालों पर मैक संख्या की कोई भूमिका नहीं है, और बड़ी तरंगों हेतु पृष्ठ तनाव नगण्य है।
मैक संख्या के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. यह V/a के बराबर है, आदर्श गैस हेतु a = √(γRT); लगभग 0.3 से ऊपर संपीड्यता मायने रखती है
2. यह ρVL/μ के बराबर है और जड़त्व की तुलना श्यान बल से करती है, अतः 0.3 से कम मान का अर्थ लैमिनार प्रवाह है
3. यह केवल प्रवाह-चाल पर निर्भर है, अतः Ma = 1 का अर्थ प्रत्येक ऊँचाई व ताप पर 340 m/s है
4. यह V/√(gL) के बराबर है और स्पिलवे के ऊपर या नहर में प्रवाह हेतु प्रमुख समूह है
उत्तर देखें
उत्तर: A — यह V/a के बराबर है, आदर्श गैस हेतु a = √(γRT); लगभग 0.3 से ऊपर संपीड्यता मायने रखती है
Ma = V/a, और आदर्श गैस हेतु a = √(γRT), अतः भिन्न ताप पर वही चाल भिन्न मैक संख्या देती है। असंपीड्य मानने का अँगूठे का नियम Ma < 0.3 लगभग 5% या उससे कम घनत्व-परिवर्तन पर टिका है। रेनॉल्ड्स संख्या वाला विकल्प इसलिए गलत है कि Ma का श्यान बल से कोई संबंध नहीं, और V/√(gL) वाला विकल्प फ्रूड संख्या का वर्णन है।
पाइप-प्रवाह संबंध Δp = f(D, L, ε, ρ, μ, V) हेतु चरों का कौन-सा त्रिक आवर्ती चरों के रूप में प्रयुक्त नहीं हो सकता?
1. ρ, V व D
2. ρ, μ व D
3. V, D व μ
4. D, L व ε
उत्तर देखें
उत्तर: D — D, L व ε
D, L व ε सबकी विमा केवल लंबाई है, अतः मिलाकर उनमें न M है न T, और L/D व ε/D पहले से विमाहीन हैं; वे स्वतंत्र नहीं हैं। शेष प्रत्येक समुच्चय M, L व T को स्वतंत्र रूप से वहन करता है (3 × 3 विमीय सारणिक अशून्य है), अतः सामान्य समुच्चय ρ, V, D मान्य है, और ρ, μ, D तथा कम प्रचलित V, D, μ भी।
एक जहाज़-पतवार का 1:25 पैमाने का मॉडल (L_m/L_p = 1/25) प्रोटोटाइप वाले ही द्रव में फ्रूड व रेनॉल्ड्स दोनों संख्याएँ मिलाकर परीक्षित करना है। यह संभव नहीं है क्योंकि
1. दोनों शर्तें एक ही चाल पर पूरी हो सकती हैं, पर तब मॉडल को कहीं अधिक शक्ति चाहिए
2. फ्रूड मिलान हेतु V_m/V_p = 1/5 चाहिए जबकि रेनॉल्ड्स मिलान हेतु V_m/V_p = 25
3. रेनॉल्ड्स संख्या g पर निर्भर है, अतः वह फ्रूड संख्या से स्वतंत्र रूप से तय नहीं हो सकती
4. फ्रूड मिलान हेतु कहीं अधिक घनत्व का मॉडल-द्रव चाहिए, और कोई उपलब्ध नहीं
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उत्तर: B — फ्रूड मिलान हेतु V_m/V_p = 1/5 चाहिए जबकि रेनॉल्ड्स मिलान हेतु V_m/V_p = 25
फ्रूड मिलान से V_m/V_p = √(1/25) = 1/5 मिलता है, जबकि उसी द्रव में रेनॉल्ड्स मिलान से V_m/V_p = L_p/L_m = 25। दोनों चालें 125 गुना टकराती हैं जब तक ν_m/ν_p = (1/25)^(3/2) = 1/125 न हो। Re में g नहीं आता और फ्रूड मिलान घनत्व पर निर्भर नहीं, अतः अन्य कथन गलत हैं।
एक सरल लोलक का आवर्तकाल T उसकी लंबाई ℓ, गोलक के द्रव्यमान m, गुरुत्वीय त्वरण g तथा आयाम θ₀ पर निर्भर हो सकता है। विमीय विश्लेषण दर्शाता है कि
1. T√(g/ℓ) द्रव्यमान m व आयाम θ₀ दोनों पर निर्भर है
2. T√(g/ℓ) विशुद्ध नियतांक है जो आयाम θ₀ से स्वतंत्र है
3. T√(g/ℓ) केवल θ₀ का फलन है; m प्रकट नहीं होता
4. T, √(mℓ/g) के समानुपाती है, अतः भारी गोलक धीमे झूलते हैं
उत्तर देखें
उत्तर: C — T√(g/ℓ) केवल θ₀ का फलन है; m प्रकट नहीं होता
द्रव्यमान ही अकेला चर है जिसमें M है, अतः वह किसी विमाहीन समूह में नहीं आ सकता। n = 5 और j = 3 से दो समूह हैं, θ₀ और T√(g/ℓ), अतः T√(g/ℓ) = φ(θ₀)। विमीय विश्लेषण यह सिद्ध नहीं कर सकता कि φ नियतांक है; यह केवल लगभग, छोटे आयामों हेतु, सत्य है और इसके लिए भौतिकी चाहिए। √(mℓ/g) वाला विकल्प इसलिए विफल है कि उसमें M है।
प्रवाहों की समरूपता के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. ज्यामितीय समरूपता हेतु सभी संगत लंबाइयों के अनुपात समान चाहिए, खुरदुरेपन की ऊँचाई सहित
2. शुद्धगतिक समरूपता हेतु संगत बिंदुओं पर वेग मॉडल व प्रोटोटाइप में बराबर होने चाहिए
3. गतिक समरूपता हेतु संगत बिंदुओं पर संगत बलों के अनुपात समान चाहिए
4. समान तरल प्रयुक्त होने पर केवल ज्यामितीय समरूपता गतिक समरूपता सुनिश्चित करती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — ज्यामितीय समरूपता हेतु सभी संगत लंबाइयों के अनुपात समान चाहिए, खुरदुरेपन की ऊँचाई सहित; C — गतिक समरूपता हेतु संगत बिंदुओं पर संगत बलों के अनुपात समान चाहिए
पैमाना-मॉडल में सभी लंबाइयाँ, कोण व खुरदुरापन निश्चित अनुपात में होने चाहिए, और गतिक समरूपता का अर्थ है कि संगत बिंदुओं पर बल-अनुपात मेल खाएँ। शुद्धगतिक समरूपता में वेगों का स्थिर अनुपात चाहिए, बराबर वेग नहीं, क्योंकि छोटा मॉडल प्रायः भिन्न चाल से चलता है। ज्यामितीय समरूपता आवश्यक है पर कभी पर्याप्त नहीं: प्रवाहों का प्रासंगिक Re, Fr या Ma में भी मेल होना चाहिए।
विमाहीन समूह व उसके द्वारा निरूपित अनुपात के निम्नलिखित युग्मों में कौन-से सही हैं?
1. रेनॉल्ड्स संख्या: जड़त्व बल व श्यान बल
2. वेबर संख्या: जड़त्व बल व पृष्ठ-तनाव बल
3. फ्रूड संख्या: जड़त्व बल व पृष्ठ-तनाव बल
4. यूलर संख्या: दाब बल व जड़त्व बल
उत्तर देखें
उत्तर: A — रेनॉल्ड्स संख्या: जड़त्व बल व श्यान बल; B — वेबर संख्या: जड़त्व बल व पृष्ठ-तनाव बल; D — यूलर संख्या: दाब बल व जड़त्व बल
Re = ρVL/μ जड़त्व की तुलना श्यान बल से करती है, We = ρV²L/σ जड़त्व की तुलना पृष्ठ तनाव से करती है, और Eu = Δp/(ρV²) दाब बल की तुलना जड़त्व से करती है। फ्रूड संख्या जड़त्व की तुलना गुरुत्व से करती है, पृष्ठ तनाव से नहीं, अतः वह युग्म गलत है।
चरों के निम्नलिखित संयोजनों में कौन-से विमाहीन हैं? (V वेग, D लंबाई, ρ घनत्व, μ श्यानता, σ पृष्ठ तनाव, g गुरुत्वीय त्वरण, N घूर्णन चाल चक्कर/सेकंड में, Q आयतन प्रवाह-दर)
1. gD/V
2. ρV²D/σ
3. Q/(ND³)
4. μ/(ρVD)
उत्तर देखें
उत्तर: B — ρV²D/σ; C — Q/(ND³); D — μ/(ρVD)
विमाएँ प्रतिस्थापित करें। ρV²D/σ = (ML⁻³ L²T⁻² L)/(MT⁻²) = 1। Q/(ND³) = L³T⁻¹/(T⁻¹L³) = 1। μ/(ρVD) = ML⁻¹T⁻¹/(ML⁻³ LT⁻¹ L) = 1। किंतु gD/V = LT⁻² L/(LT⁻¹) = LT⁻¹, जो चाल है, अतः विमाहीन नहीं; gD/V² विमाहीन होता।
किसी पंप का दाब-वृद्धि Δp आयतन प्रवाह-दर Q, घूर्णन चाल N, इंपेलर व्यास D, तरल घनत्व ρ, तरल श्यानता μ तथा इंपेलर-पंख के खुरदुरेपन की ऊँचाई ε (एक लंबाई) पर निर्भर है। आश्रित समूह सहित स्वतंत्र विमाहीन समूहों की संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 4
चर Δp, Q, N, D, ρ, μ, ε हैं, अतः n = 7। M, L व T तीनों उपस्थित हैं और विमीय आव्यूह की कोटि j = 3 है। समूहों की संख्या = n − j = 7 − 3 = 4: Δp/(ρN²D²), Q/(ND³), ρND²/μ तथा ε/D।
0.30 m इंपेलर व्यास का एक पंप 1450 rpm पर चलकर अपने अधिकतम-दक्षता बिंदु पर 24.0 m शीर्ष देता है। उसी द्रव को सँभालने वाला 0.45 m व्यास का ज्यामितीय रूप से समरूप पंप संगत बिंदु पर 960 rpm पर चलाया जाता है। संबंधता नियमों से, रेनॉल्ड्स-संख्या व दक्षता परिवर्तन की उपेक्षा करते हुए, बड़े पंप का शीर्ष, मीटर में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 23.7
H₂/H₁ = (N₂/N₁)²(D₂/D₁)²। N₂/N₁ = 960/1450 = 0.6621 व D₂/D₁ = 0.45/0.30 = 1.5। H₂ = 24.0 × 0.6621² × 1.5² = 24.0 × 0.4383 × 2.25 = 23.67 m, जो एक दशमलव स्थान तक 23.7 m है। केवल चाल-अनुपात या केवल व्यास-अनुपात लेने पर क्रमशः 10.5 m या 54.0 m आता है।
एक जहाज़ का 1:36 पैमाने का मॉडल (लंबाई-अनुपात L_m/L_p = 1/36) मीठे जल में खींचा जाता है और फ्रूड समरूपता प्रयुक्त है। मॉडल का तरंग-निर्माण कर्षण 8.0 N है। मॉडल व प्रोटोटाइप के तरलों का घनत्व समान मानने पर, प्रोटोटाइप का तरंग-निर्माण कर्षण, kN में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 373.2
समान घनत्व सहित फ्रूड मिलान में F ∝ L³, अतः F_p = F_m (L_p/L_m)³ = 8.0 × 36³ = 8.0 × 46,656 = 373,248 N = 373.2 kN। प्रचलित भूलें 36 से (0.29 kN) या 36² से (10.4 kN) पैमाना लगाना हैं।
L_p लंबाई का एक निमज्जित पिंड जल (शुद्धगतिक श्यानता 1.0 × 10⁻⁶ m²/s) में 3.0 m/s से चलता है। L_p/4 लंबाई के मॉडल का परीक्षण वायु (शुद्धगतिक श्यानता 1.5 × 10⁻⁵ m²/s) में रेनॉल्ड्स संख्या मिलाकर किया जाता है। अपेक्षित वायु-चाल, m/s में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 180
V_m L_m/ν_m = V_p L_p/ν_p, अतः V_m = V_p (ν_m/ν_p)(L_p/L_m) = 3.0 × (1.5 × 10⁻⁵/1.0 × 10⁻⁶) × 4 = 3.0 × 15 × 4 = 180 m/s। लगभग 340 m/s ध्वनि-चाल पर यह Ma ≈ 0.5 है, अतः वायु-प्रवाह संपीड्य होगा और परीक्षण वर्तमान रूप में उपयोगी नहीं।
एक यात्री विमान उस ऊँचाई पर 900 km/h से उड़ता है जहाँ वायु का ताप 220 K है। वायु को γ = 1.4 व R = 287 J/kg·K वाली आदर्श गैस मानें। उड़ान की मैक संख्या, दो दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.84
V = 900/3.6 = 250 m/s। a = √(γRT) = √(1.4 × 287 × 220) = √88,396 = 297.3 m/s। Ma = 250/297.3 = 0.841, अतः 0.84। समुद्र-तल का मान a = 340 m/s लेने पर 0.74 मिलता, और m/s में रूपांतरण भूलने पर असंगत उत्तर।