At the origin, the limit of f(x, y) = xy/(x² + y²) as (x, y) → (0, 0) is:

nonexistent, because different lines give different values

0, because f vanishes on both axes

1/2, because f = 1/2 along y = x

nonexistent, because different lines give different values

For f(x, y) = x y²/(x² + y⁴) at the origin, which statement is correct?

the limit does not exist, since the value is 0 along lines but 1/2 along x = y²

the limit is 0 because it is 0 along every straight line through the origin

the limit is 1/2 because f = 1/2 along the parabola x = y²

the limit does not exist, since the value is 0 along lines but 1/2 along x = y²

the limit is infinite along x = y², so f is unbounded

Which statements about functions of two variables are correct?

If |f(x, y)| ≤ |x| + |y| and f(0, 0) = 0 then f is continuous at the origin

If two paths give different limits then the limit does not exist

If both partial derivatives exist at a point then f is continuous there

If the limit is 0 along y = x and along y = −x then the limit exists and is 0

If |f(x, y)| ≤ |x| + |y| and f(0, 0) = 0 then f is continuous at the origin

If two paths give different limits then the limit does not exist

Which statements about the method of Lagrange multipliers are correct?

At a constrained extremum the gradient of f is parallel to the gradient of the constraint function

The solutions of the equations are candidates, so f must be compared at all of them

At a constrained extremum the gradient of f is parallel to the gradient of the constraint function

The solutions of the equations are candidates, so f must be compared at all of them

The multiplier λ must be positive at a maximum

On the line x + y = 10 over all real x, f = xy has a minimum value

अनुचित समाकल, परिक्रमण आयतन, द्विचर सीमाएँ, Lagrange गुणक तथा द्विसमाकल के अनुप्रयोग

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के खंड XE0 (अभियांत्रिकी गणित) का है, जो सभी परीक्षार्थियों के लिए समान भाग है। यह XE0.2 का वह शेष अंश देता है जिसे साझा अध्याय छोड़ देते हैं: “निश्चित व अनुचित समाकलों का मूल्यांकन; क्षेत्रफल व आयतन (वक्र के अक्ष के परितः घूर्णन) के लिए निश्चित समाकलों के अनुप्रयोग” तथा दो चरों के फलनों के लिए “सीमा, संतति … Lagrange गुणक विधि; द्विसमाकल और उनके अनुप्रयोग।” आंशिक अवकलज, उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ, दिशात्मक अवकलज और द्विसमाकलों का मूल्यांकन साझा बहुचर अध्याय में पढ़ाए गए हैं और यहाँ दोहराए नहीं गए। संख्यात्मक प्रश्न हैं: गामा फलन से अनुचित समाकल, परिक्रमण ठोसों के आयतन, प्रतिबंधित उच्चिष्ठ, प्रतिबंधित दूरी तथा पटलिका का द्रव्यमान।

1. अनुचित समाकल

कोई समाकल अनुचित है यदि अंतराल का कोई सिरा अनंत हो (प्रकार I) या समाकल्य अंतराल के किसी बिंदु पर अपरिबद्ध हो (प्रकार II)। प्रत्येक को सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है: ∫ₐ^∞ f dx = lim_b→∞ ∫ₐᵇ f dx, और a पर अपरिबद्ध f के लिए ∫ₐᵇ f dx = lim_ε→0⁺ ∫_a+εᵇ f dx। सीमा परिमित हो तो समाकल अभिसरित होता है। अंतराल के भीतर विचित्रता हो तो विचित्र बिंदु पर विभाजित कीजिए और दोनों भागों का अभिसरण आवश्यक है।

दो मानक समाकल
समाकल	अभिसरण की शर्त	मान
∫₁^∞ dx/xᵖ	p > 1	1/(p − 1)
∫₀¹ dx/xᵖ	p < 1	1/(1 − p)

इनसे तुलना कीजिए: यदि 0 ≤ f ≤ g और ∫g अभिसरित हो तो ∫f अभिसरित है, और यदि f/g → c ∈ (0, ∞) तो दोनों एक-सा व्यवहार करते हैं। उदाहरण। ∫₀^∞ e^(−x) dx = 1. ∫_−∞^∞ dx/(1 + x²) = π. ∫₀¹ ln x dx = [x ln x − x]₀¹ = −1. ∫₀^∞ xⁿ e^(−ax) dx = n!/aⁿ⁺¹ (गामा फलन, Γ(n + 1) = n!), अतः ∫₀^∞ x³e^(−2x) dx = 3!/2⁴ = 3/8. ∫₀^∞ e^(−x²) dx = √π/2 एक मानक मान है।

⚠️ विचित्र बिंदु के आर-पार निरसन न कीजिए

∫₋₁¹ dx/x² का मान [−1/x]₋₁¹ = −2 नहीं है: समाकल्य धनात्मक है और प्रत्येक आधा ∫₀¹ dx/x² +∞ को अपसरित होता है। ∫₋₁¹ dx/x का 'मुख्य मान' सममिति से 0 है, पर समाकल स्वयं अपसरित है।

2. क्षेत्रफल व परिक्रमण आयतन

y = f(x), a ≤ x ≤ b के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाइए। अक्ष के लंबवत काटने पर f(x) त्रिज्या की चकतियाँ मिलती हैं: V = π∫ₐᵇ y² dx। यदि क्षेत्र y = f₁ ≥ f₂ के बीच हो तो टुकड़े वाशर हैं: V = π∫(f₁² − f₂²) dx। y = f(x) के नीचे के क्षेत्र का y-अक्ष के परितः घूर्णन हो तो शैल विधि से V = 2π∫ₐᵇ x·y dx (0 ≤ a < b); समतुल्यतः y में चकतियाँ लीजिए।

हल। (i) y = √x, 0 ≤ x ≤ 4, x-अक्ष के परितः: V = π∫₀⁴ x dx = π·16/2 = 8π. (ii) y = x², 0 ≤ x ≤ 1, y-अक्ष के परितः: V = 2π∫₀¹ x·x² dx = 2π/4 = π/2; वाशर से जाँच π∫₀¹ (1 − y) dy = π/2. (iii) y = x और y = x² के बीच का क्षेत्र x-अक्ष के परितः: V = π∫₀¹ (x² − x⁴) dx = π(1/3 − 1/5) = 2π/15. (iv) वृत्त x² + y² = a² का x-अक्ष के परितः: V = π∫₋ₐᵃ (a² − x²) dx = 4πa³/3, गोला।

क्षेत्रफल। वक्रों के बीच क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है, जहाँ वक्र कटें वहाँ विभाजित कीजिए (साझा अध्याय)। ध्रुवीय रूप में r = r(θ) द्वारा α से β तक बना क्षेत्रफल A = ½∫ₐᵝ r² dθ है। कार्डिऑइड r = a(1 + cos θ) के लिए A = ½a²∫₀^2π (1 + cos θ)² dθ = ½a²(2π + π) = 3πa²/2, क्योंकि पूरे चक्कर में ∫cos² θ dθ = π और अंतर्गुणन पद का समाकल 0 है।

⚠️ अक्ष व चर का मेल रखिए

x-अक्ष के परितः घूर्णन में y² dx का समाकलन होता है; उसी वक्र का y-अक्ष के परितः घूर्णन भिन्न ठोस है (शैल x·y dx लीजिए)। शैल सूत्र में पट्टी की अक्ष से दूरी x है, इसलिए क्षेत्र अक्ष को पार न करे।

3. दो चरों के लिए सीमा व संतति

lim_{(x,y)→(a,b)} f = L का अर्थ है कि जब (x, y), (a, b) के निकट हो, प्रत्येक दिशा व प्रत्येक पथ से, तो f, L के निकट रहे। अतः यदि दो पथ भिन्न मान दें तो सीमा विद्यमान नहीं है; अनेक पथों पर सहमति अपने आप में कुछ सिद्ध नहीं करती। f, (a, b) पर संतत है यदि सीमा विद्यमान हो और f(a, b) के बराबर हो।

मूलबिंदु पर उदाहरण। xy/(x² + y²): y = mx के अनुदिश मान m/(1 + m²) है, जो m पर निर्भर है, अतः सीमा नहीं। xy²/(x² + y⁴): प्रत्येक रेखा y = mx पर यह 0 की ओर जाता है, पर x = y² पर यह y⁴/(2y⁴) = 1/2 है, अतः सीमा नहीं। x²y/(x² + y²): |x²y/(x² + y²)| ≤ |y| → 0, अतः सीमा 0 है (दाब प्रमेय)। ध्रुवीय रूप x = r cos θ, y = r sin θ में सीमा विद्यमान होती है यदि व्यंजक r·g(θ) जैसी किसी राशि से परिबद्ध हो जहाँ g परिबद्ध है; (x³ + y³)/(x² + y²) = r(cos³θ + sin³θ) → 0।

⚠️ संतति के बिना भी आंशिक अवकलज हो सकते हैं

f = xy/(x² + y²), f(0, 0) = 0 परिभाषित कीजिए। f_x(0, 0) और f_y(0, 0) दोनों 0 हैं क्योंकि f दोनों अक्षों पर शून्य है, फिर भी f मूलबिंदु पर संतत नहीं है। एक चर में अवकलनीय का अर्थ संतत है; दो चरों में आंशिक अवकलजों का अस्तित्व संतति से दुर्बल है। संतत आंशिक अवकलज अवकलनीयता सुनिश्चित करते हैं।

4. Lagrange गुणक विधि

प्रतिबंध g(x, y) = 0 के अधीन f(x, y) के चरम मान पाने के लिए ∇f = λ∇g तथा g = 0 साथ-साथ हल कीजिए। प्रतिबंधित चरम पर f का स्तर-वक्र प्रतिबंध-वक्र का स्पर्शी होता है, अतः दोनों प्रवणताएँ समांतर हैं; λ गुणक है। तीन चरों में वही समीकरण ∇ के तीन घटकों सहित लागू हैं। विधि केवल प्रत्याशी देती है: प्रत्येक पर f का मान निकालकर तुलना कीजिए; बंद परिबद्ध प्रतिबंध समुच्चय (वृत्त, दीर्घवृत्त) पर उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ का अस्तित्व सुनिश्चित है।

हल। (i) x² + y² = 5 पर f = x + 2y अधिकतम कीजिए: 1 = 2λx और 2 = 2λy से y = 2x; तब 5x² = 5, x = ±1। (1, 2) पर f = 5 (उच्चिष्ठ); (−1, −2) पर f = −5 (निम्निष्ठ)। (ii) x + y = 2 पर x² + y² न्यूनतम कीजिए: 2x = λ = 2y अतः x = y = 1 और न्यूनतम 2 है (मूलबिंदु से रेखा की दूरी √2 का वर्ग)। (iii) x, y ≥ 0 के साथ x + y = 9 पर f = xy² अधिकतम कीजिए: y² = λ और 2xy = λ से y = 2x (y ≠ 0 के लिए), अतः 3x = 9, x = 3, y = 6 और f = 3 × 36 = 108।

⚠️ सिरों व अन्य प्रत्याशियों की जाँच कीजिए

x + y = 9 पर गुणनफल f = xy² का कोई उच्चिष्ठ नहीं है यदि x, y कोई भी वास्तविक संख्या हों (यह असीमित बढ़ता है), अतः x, y ≥ 0 कथन प्रश्न का भाग है। दोनों समीकरणों को y से भाग देने पर प्रत्याशी y = 0 चुपचाप छूट जाता है; वहाँ f = 0 है, जो न्यूनतम है, उच्चिष्ठ नहीं।

5. द्विसमाकलों के अनुप्रयोग

द्विसमाकल क्या निकालता है
राशि	क्षेत्र R पर सूत्र
क्षेत्रफल	A = ∬ dA
z = f(x, y) के नीचे आयतन	V = ∬ f dA
द्रव्यमान, पृष्ठ घनत्व ρ	M = ∬ ρ dA
केंद्रक (x̄, ȳ)	x̄ = ∬ xρ dA / M, ȳ = ∬ yρ dA / M
z-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण	I_z = ∬ ρ(x² + y²) dA

चर-परिवर्तन (x, y) → (u, v) में dA = |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv, जहाँ जैकोबियन आंशिक अवकलजों के आव्यूह का सारणिक है; ध्रुवीय रूप में यह r है, जिससे dA = r dr dθ। हल। (i) तल z = 0 के ऊपर परवलयज z = 4 − x² − y²: ध्रुवीय रूप में V = ∫₀^2π∫₀² (4 − r²) r dr dθ = 2π(8 − 4) = 8π। (ii) द्रव्यमान M व त्रिज्या a की एकसमान चकती: ρ = M/(πa²), अतः I_z = ρ·2π∫₀ᵃ r³ dr = ρ·2π·a⁴/4 = Ma²/2। (iii) शीर्ष (0, 0), (a, 0), (0, a) वाला एकसमान त्रिभुज: x̄ = ȳ = a/3।

परिवर्ती घनत्व वाली पटलिका का द्रव्यमान। त्रिभुज x, y ≥ 0, x + y ≤ 1 पर ρ = k(x + y) के लिए: M = k∫₀¹∫₀^1−x (x + y) dy dx = k∫₀¹ [x(1 − x) + (1 − x)²/2] dx = k(1/6 + 1/6) = k/3। k = 12 kg/m² प्रति मीटर लेने पर द्रव्यमान 4 kg है।

🧠 आरेख बनाइए, फिर क्रम चुनिए

पहले R का वर्णन कीजिए (भीतरी चर की सीमाएँ बाहरी चर के पदों में), फिर समाकलन कीजिए। वृत्त, वलय या त्रिज्यखंड ध्रुवीय रूप में सदा सरल होते हैं; गुणक r न भूलिए।

मुख्य बिंदु

अनुचित समाकल सीमाएँ हैं: ∫₁^∞ x⁻ᵖ iff p > 1, ∫₀¹ x⁻ᵖ iff p < 1 पर अभिसरित; ∫₀^∞ xⁿe^(−ax) = n!/aⁿ⁺¹; विचित्र बिंदु के आर-पार निरसन कभी नहीं।
x-अक्ष के परितः परिक्रमण आयतन π∫y² dx (अंतराल हो तो वाशर); y-अक्ष के परितः शैल 2π∫xy dx; ध्रुवीय क्षेत्रफल ½∫r² dθ।
द्विचर सीमा तभी विद्यमान है जब प्रत्येक पथ समान मान दे; दो भिन्न पथ-मान उसे असिद्ध करते हैं, और ध्रुवीय रूप या दाब से सिद्ध होती है।
आंशिक अवकलजों का अस्तित्व संतति नहीं देता; संतत आंशिक अवकलज अवकलनीयता देते हैं।
Lagrange गुणक: ∇f = λ∇g व g = 0 हल कीजिए, फिर प्रत्येक प्रत्याशी पर f की तुलना कीजिए; प्रांत-प्रतिबंध व छूटे हल का ध्यान रखिए।
द्विसमाकल क्षेत्रफल, आयतन, द्रव्यमान, केंद्रक व I = ∬ρr² dA देते हैं; ध्रुवीय रूप में dA = r dr dθ और सामान्यतः जैकोबियन लीजिए।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

समाकल ∫₁^∞ dx/xᵖ किसके लिए अभिसरित होता है?
1. p ≥ 1
2. p < 1
3. p > 1
4. प्रत्येक वास्तविक p
उत्तर देखें
उत्तर: C — p > 1
प्रतिअवकलज x^(1−p)/(1 − p) है, जो x → ∞ पर 0 तभी जाता है जब 1 − p < 0, अर्थात् p > 1, और तब मान 1/(p − 1) है। p = 1 पर समाकल ln x → ∞ है, अतः p ≥ 1 गलत है।
समाकल ∫₋₁¹ dx/x² का मान है:
1. यह +∞ को अपसरित होता है
2. −2
3. 0
4. 2
उत्तर देखें
उत्तर: A — यह +∞ को अपसरित होता है
समाकल्य धनात्मक है और x = 0 पर अपरिबद्ध है, और ∫₀¹ dx/x² में p = 2 ≥ 1 है अतः वह अपसरित है। 0 के आर-पार [−1/x] लगाकर −2 पाना अवैध है, क्योंकि प्रतिअवकलज वहाँ असंतत है और धनात्मक फलन का समाकल ऋणात्मक नहीं हो सकता।
निम्नलिखित में से कौन-सा अनुचित समाकल अभिसारी है?
1. ∫₁^∞ dx/√x
2. ∫₀¹ dx/x
3. ∫₂^∞ dx/(x ln x)
4. ∫₀¹ dx/√x
उत्तर देखें
उत्तर: D — ∫₀¹ dx/√x
∫₀¹ x^(−1/2) dx = [2√x]₀¹ = 2, अभिसारी क्योंकि p = 1/2 < 1। ∫₁^∞ x^(−1/2) dx अपसरित है (अनंत पर p < 1), ∫₀¹ dx/x अपसरित है (p = 1), और ∫dx/(x ln x) = ln ln x → ∞।
0 ≤ x ≤ 4 के लिए y = √x के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन है:
1. 16π
2. 8π
3. 4π
4. 32π/3
उत्तर देखें
उत्तर: B — 8π
V = π∫₀⁴ y² dx = π∫₀⁴ x dx = π·[x²/2]₀⁴ = 8π। x के समाकल में गुणक 1/2 भूलने पर 16π आता है; y² की जगह y समाकलित करने पर π·16/3 आता, जो विकल्पों में नहीं है।
y = x², x-अक्ष तथा x = 1 से घिरे क्षेत्र को y-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। उत्पन्न आयतन है:
1. π/2
2. π/5
3. 2π/3
4. π/3
उत्तर देखें
उत्तर: A — π/2
त्रिज्या x व ऊँचाई x² के शैल: V = 2π∫₀¹ x·x² dx = 2π/4 = π/2। वाशर से भी यही: π∫₀¹ (1 − y) dy = π/2। π/5, x-अक्ष के परितः आयतन π∫₀¹ x⁴ dx है, जो भिन्न ठोस है।
मूलबिंदु पर (x, y) → (0, 0) पर f(x, y) = xy/(x² + y²) की सीमा है:
1. 0, क्योंकि f दोनों अक्षों पर शून्य है
2. 1/2, क्योंकि y = x पर f = 1/2
3. 1, L'Hospital नियम से
4. विद्यमान नहीं, क्योंकि भिन्न रेखाएँ भिन्न मान देती हैं
उत्तर देखें
उत्तर: D — विद्यमान नहीं, क्योंकि भिन्न रेखाएँ भिन्न मान देती हैं
y = mx पर f = m/(1 + m²): m = 0 पर 0, m = 1 पर 1/2, m = −1 पर −1/2। भिन्न पथ भिन्न मान देते हैं, अतः सीमा विद्यमान नहीं है। अक्षों पर शून्य होना या एक रेखा पर 1/2 मिलना केवल यह दिखाता है कि वे पथ निर्णय नहीं करते।
मूलबिंदु पर f(x, y) = x y²/(x² + y⁴) के लिए कौन-सा कथन सही है?
1. सीमा 0 है क्योंकि मूलबिंदु से जाने वाली प्रत्येक सरल रेखा पर यह 0 है
2. सीमा 1/2 है क्योंकि परवलय x = y² पर f = 1/2
3. सीमा विद्यमान नहीं, क्योंकि रेखाओं पर मान 0 है पर x = y² पर 1/2
4. x = y² पर सीमा अनंत है, अतः f अपरिबद्ध है
उत्तर देखें
उत्तर: C — सीमा विद्यमान नहीं, क्योंकि रेखाओं पर मान 0 है पर x = y² पर 1/2
y = mx पर: m²x³/(x² + m⁴x⁴) → 0। x = y² पर: y⁴/(y⁴ + y⁴) = 1/2। दो मान, अतः सीमा नहीं, यद्यपि प्रत्येक सरल रेखा 0 देती है। अस्तित्व झुठलाने के लिए एक अरैखिक पथ पर्याप्त है।
प्रतिबंध x + y = 2 के अधीन x² + y² का न्यूनतम मान है:
1. 4
2. 2
3. 1
4. √2
उत्तर देखें
उत्तर: B — 2
∇f = λ∇g से 2x = λ और 2y = λ, अतः x = y, और प्रतिबंध से x = y = 1 तथा f = 2। मूलबिंदु से रेखा की दूरी √2 है, पर पूछी गई राशि उसका वर्ग है, अतः √2 गलत है।
द्रव्यमान M व त्रिज्या a की एकसमान पतली चकती xy-तल में है। I = ∬ ρ (x² + y²) dA से केंद्र से होकर z-अक्ष के परितः उसका जड़त्व आघूर्ण है:
1. Ma²
2. Ma²/4
3. 2Ma²/5
4. Ma²/2
उत्तर देखें
उत्तर: D — Ma²/2
ध्रुवीय रूप में I = ρ∫₀^2π∫₀ᵃ r²·r dr dθ = ρ·2π·a⁴/4 = (M/πa²)(πa⁴/2) = Ma²/2। Ma²/4 व्यास के परितः मान है (लंबवत अक्ष प्रमेय), 2Ma²/5 ठोस गोले का और Ma² पतली वलय का है।
निम्नलिखित में से कौन-से अनुचित समाकल अभिसरित होते हैं?
1. ∫₀^∞ e^(−3x) dx
2. ∫₁^∞ dx/√x
3. ∫₀¹ dx/√x
4. ∫₀¹ dx/x
उत्तर देखें
उत्तर: A — ∫₀^∞ e^(−3x) dx; C — ∫₀¹ dx/√x
∫₀^∞ e^(−3x) dx = 1/3 और ∫₀¹ x^(−1/2) dx = 2 अभिसरित हैं। ∫₁^∞ x^(−1/2) dx = [2√x] → ∞ अपसरित है (p = 1/2 ≤ 1), और ∫₀¹ dx/x = [ln x] → −∞ (0 पर) अपसरित है (p = 1)।
दो चरों के फलनों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?
1. यदि किसी बिंदु पर दोनों आंशिक अवकलज विद्यमान हों तो f वहाँ संतत है
2. यदि y = x तथा y = −x पर सीमा 0 हो तो सीमा विद्यमान है और 0 है
3. यदि |f(x, y)| ≤ |x| + |y| और f(0, 0) = 0 हो तो f मूलबिंदु पर संतत है
4. यदि दो पथ भिन्न सीमाएँ दें तो सीमा विद्यमान नहीं है
उत्तर देखें
उत्तर: C — यदि |f(x, y)| ≤ |x| + |y| और f(0, 0) = 0 हो तो f मूलबिंदु पर संतत है; D — यदि दो पथ भिन्न सीमाएँ दें तो सीमा विद्यमान नहीं है
दाब 0 ≤ |f| ≤ |x| + |y| → 0 संतति देता है, और भिन्न पथ-सीमाएँ अस्तित्व को असिद्ध करती हैं। आंशिक अवकलजों के अस्तित्व से संतति नहीं मिलती (xy/(x² + y²)), और दो रेखाओं पर सहमति से कुछ सिद्ध नहीं होता (xy²/(x² + y⁴) प्रत्येक रेखा पर 0 और x = y² पर 1/2 है)।
Lagrange गुणक विधि के बारे में कौन-से कथन सही हैं?
1. प्रतिबंधित चरम पर f की प्रवणता प्रतिबंध फलन की प्रवणता के समांतर होती है
2. समीकरणों के हल प्रत्याशी हैं, अतः सभी पर f की तुलना करनी चाहिए
3. उच्चिष्ठ पर गुणक λ धनात्मक होना चाहिए
4. सभी वास्तविक x के लिए रेखा x + y = 10 पर f = xy का न्यूनतम मान होता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्रतिबंधित चरम पर f की प्रवणता प्रतिबंध फलन की प्रवणता के समांतर होती है; B — समीकरणों के हल प्रत्याशी हैं, अतः सभी पर f की तुलना करनी चाहिए
स्तर-वक्र व प्रतिबंध की स्पर्शता का अर्थ समांतर प्रवणताएँ है, और विधि केवल प्रत्याशी बिंदु देती है। λ किसी भी चिह्न का हो सकता है (x + y = 2 पर f = −(x² + y²) के लिए उच्चिष्ठ पर वह ऋणात्मक है)। पूरी रेखा पर xy = x(10 − x) → −∞, अतः उच्चिष्ठ 25 है पर न्यूनतम नहीं।
I = ∫₀^∞ x³ e^(−2x) dx का मान निकालिए और 8I का मान बताइए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 3
t = 2x रखने पर I = (1/2⁴)∫₀^∞ t³e^(−t) dt = Γ(4)/16 = 6/16 = 3/8, अतः 8I = 3। संख्यात्मक जाँच: [0, 30] पर 3000 चरणों वाला Simpson नियम 0.375000 देता है।
0 ≤ x ≤ 2 के लिए y = x² के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने पर आयतन V का ठोस बनता है। V/π एक दशमलव स्थान तक ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 6.4
V = π∫₀² x⁴ dx = π·2⁵/5 = 32π/5, अतः V/π = 6.4। x⁴ का Python मध्य-बिंदु योग 10⁵ पट्टियों के साथ 6.40000 देता है।
x ≥ 0 व y ≥ 0 के साथ x + y = 9 के अधीन f(x, y) = x y² अधिकतम कीजिए। f का अधिकतम मान ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 108
∇f = λ∇g से y² = λ और 2xy = λ, अतः y = 2x (बिंदु y = 0 पर f = 0)। x + y = 9 के साथ: x = 3, y = 6, f = 3 × 36 = 108। जाँच: y = 9 − x रखने पर f = x(9 − x)², f′ = (9 − x)(9 − 3x) = 0 से x = 3 पर 108, और [0, 9] में x की ग्रिड खोज भी यही उच्चिष्ठ देती है।
वृत्त x² + y² = 5 पर f(x, y) = x + 2y का अधिकतम मान ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 5
1 = 2λx, 2 = 2λy से y = 2x, 5x² = 5, अतः (1, 2) पर 5 और (−1, −2) पर −5। कॉशी-श्वार्ज़ जाँच: x + 2y ≤ √(1 + 4)·√(x² + y²) = √5·√5 = 5।
एक पतली पटलिका त्रिभुज x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 (x, y मीटर में) घेरती है, जिसका पृष्ठ घनत्व ρ = 12(x + y) kg/m² है। उसका द्रव्यमान kg में ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4
M = 12∫₀¹∫₀^1−x (x + y) dy dx = 12∫₀¹ [x(1 − x) + (1 − x)²/2] dx = 12(1/6 + 1/6) = 4। सममिति से ∬x dA = ∬y dA = 1/6 (क्षेत्रफल 1/2, केंद्रक निर्देशांक 1/3), अतः 12(1/6 + 1/6) = 4 फिर से।
A = ½∫ r² dθ का प्रयोग करते हुए कार्डिऑइड r = a(1 + cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2π से घिरा क्षेत्रफल है:
1. πa²
2. 2πa²
3. 3πa²/2
4. 3πa²/4
उत्तर देखें
उत्तर: C — 3πa²/2
A = ½a²∫₀^2π (1 + 2cos θ + cos² θ) dθ = ½a²(2π + 0 + π) = 3πa²/2। cos² पद π देता है, 2π नहीं; क्षेत्रफल सूत्र में ½ भूलने पर 3πa² आता।