श्रेणी अभिसरण, प्रायोगिक आँकड़े व न्यूनतम वर्ग, तथा आंकिक अवकलन

GATE धातुकर्म अभियांत्रिकी (MT) पेपर के खंड 1 के चार उप-विषय जिन्हें कोई साझा गणित अध्याय नहीं पढ़ाता, यहाँ केवल इसी पेपर हेतु लिखे गए ताकि इसका अभियांत्रिकी गणित पूर्ण हो। कलन शीर्षक से: "अनुक्रम व श्रेणी; अभिसरण परीक्षण"। प्रायिकता व सांख्यिकी से: "प्रायोगिक आँकड़ों का विश्लेषण; रैखिक न्यूनतम-वर्ग विधि"। आंकिक विधियों से: आंकिक "अवकलन (टेलर श्रेणी प्रसार)"। MT के गणित का शेष — रैखिक बीजगणित, सीमाएँ व अवकलज, आंशिक अवकलज व उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ, फुरिये श्रेणी, सदिश कलन, अवकल समीकरण, प्रायिकता व बंटन, मूल-खोज व समलंब नियम — साझा अध्यायों में है। उदाहरण जहाँ संभव हो धातुकर्मीय हैं, क्योंकि न्यूनतम-वर्ग रेखा ही वह साधन है जिससे धातुकर्मी मापनों की सारणी से सक्रियण ऊर्जा, हॉल-पेच स्थिरांक या परवलयिक दर स्थिरांक निकालता है।

1. अनुक्रम, श्रेणी व अभिसरण परीक्षण

अनुक्रम aₙ, L पर अभिसरित होता है यदि उसके पद L के मनचाहे निकट पहुँचकर वहीं रहें; परिबद्ध एकदिष्ट अनुक्रम अभिसरित होता है। श्रेणी Σaₙ अभिसरित होती है यदि उसके आंशिक योगों का अनुक्रम Sₙ = a₁ + ... + aₙ अभिसरित हो। दो परिवार शेष सबके मापदंड हैं। गुणोत्तर श्रेणी Σrⁿ (n = 0 से) ठीक तब अभिसरित होती है जब |r| < 1, योग 1/(1 − r) पर — या प्रथम पद a सहित a/(1 − r)। p-श्रेणी Σ1/nᵖ ठीक तब अभिसरित होती है जब p > 1; p = 1 पर यह हरात्मक श्रेणी है, जो अपसरित होती है यद्यपि उसके पद शून्य की ओर जाते हैं।

परीक्षण, और प्रत्येक क्या तय कर सकता है व क्या नहीं
परीक्षणकथनसावधानी
n-वाँ पद (अपसरण) परीक्षणयदि aₙ शून्य की ओर न जाए, Σaₙ अपसरित होती हैaₙ → 0 आवश्यक है, पर्याप्त नहीं: Σ1/n अपसरित होती है
तुलना व सीमा-तुलनाधनात्मक पदों हेतु, यदि aₙ ≤ bₙ और Σbₙ अभिसरित, तो Σaₙ भी; यदि aₙ/bₙ → परिमित शून्येतर सीमा, दोनों समान व्यवहार करती हैंp-श्रेणी या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना करें
अनुपात परीक्षण (डी’ऐलम्बर्ट)L = lim |aₙ₊₁/aₙ|: L < 1 पर अभिसरित, L > 1 पर अपसरितL = 1 कुछ तय नहीं करता (हर p-श्रेणी L = 1 देती है)
मूल परीक्षण (कौशी)L = lim |aₙ|^(1/n), वही निष्कर्षसर्वोत्तम जब aₙ कोई n-वीं घात हो
समाकल परीक्षणधनात्मक ह्रासमान f(n) = aₙ हेतु Σaₙ व ∫f(x)dx साथ अभिसरित या अपसरित होते हैंइसी से p-श्रेणी परिणाम सिद्ध होता है
एकांतर श्रेणी (लाइबनिट्ज़)Σ(−1)ⁿbₙ अभिसरित होती है यदि bₙ घटकर 0 होकेवल सप्रतिबंध अभिसरित हो सकती है

श्रेणी निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है यदि Σ|aₙ| अभिसरित हो, और निरपेक्ष अभिसरण अभिसरण का द्योतक है। जो श्रेणी अभिसरित हो पर निरपेक्षतः नहीं, वह सप्रतिबंध अभिसरित है: एकांतर हरात्मक श्रेणी 1 − 1/2 + 1/3 − ... अभिसरित (ln 2 पर) होती है जबकि Σ1/n अपसरित। निरपेक्ष अभिसारी श्रेणियों के पद मुक्त रूप से पुनर्व्यवस्थित किए जा सकते हैं; सप्रतिबंध अभिसारी के नहीं।

2. घात श्रेणी, अभिसरण त्रिज्या व टेलर श्रेणी

घात श्रेणी Σcₙ(x − a)ⁿ, |x − a| < R हेतु निरपेक्ष रूप से अभिसरित और |x − a| > R हेतु अपसरित होती है, जहाँ अभिसरण त्रिज्या अनुपात परीक्षण से निकलती है: R = lim |cₙ/cₙ₊₁| (या 1/lim |cₙ|^(1/n))। अंत्य बिंदु x = a ± R अलग से परखे जाने चाहिए। टेलर प्रमेय चिकने फलन को a के परितः प्रसारित करता है: f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + ..., a = 0 पर मैक्लॉरिन श्रेणी। मानक श्रेणियाँ, अपनी त्रिज्याओं सहित: eˣ = Σxⁿ/n! (सभी x); sin x व cos x (सभी x); ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ... (−1 < x ≤ 1); 1/(1 − x) = Σxⁿ (|x| < 1)। टेलर श्रेणी को काटने पर छोड़े गए प्रथम पद की कोटि का शेष बचता है — वही विचार जिस पर अगले दोनों खंड टिके हैं।

🧠 क्रमगुणित व घातें अनुपात परीक्षण को एक नज़र में तय करती हैं
n! किसी भी घात cⁿ को हराता है, और c > 1 वाली कोई भी घात cⁿ, n के किसी भी बहुपद को। अतः c > 1 हेतु Σnᵏ/cⁿ अभिसरित, हर c हेतु Σcⁿ/n! अभिसरित, और Σn!/cⁿ अपसरित। Σn!/nⁿ भी अभिसरित है: उसका अनुपात 1/e की ओर जाता है।

3. प्रायोगिक आँकड़ों का विश्लेषण व रैखिक न्यूनतम-वर्ग विधि

किसी एक राशि के बार-बार मापन x₁ ... xₙ उनके माध्य x̄ = Σxᵢ/n व प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)) से सारांशित होते हैं — भाजक n − 1 क्योंकि x̄ निकालने में एक स्वातंत्र्य-कोटि प्रयुक्त हो चुकी है। स्वयं माध्य की अनिश्चितता मानक त्रुटि s/√n है, जो दोहरावों की संख्या के केवल वर्गमूल के साथ घटती है। यादृच्छिक त्रुटियाँ परिणामों को वास्तविक मान के परितः बिखेरती हैं और दोहराव से घटती हैं; क्रमबद्ध त्रुटियाँ हर परिणाम को एक ही दिशा में खिसकाती हैं और नहीं घटतीं। स्वतंत्र राशियाँ जोड़ने पर उनकी अनिश्चितताएँ वर्गों में जुड़ती हैं: योग या अंतर हेतु निरपेक्ष अनिश्चितताएँ, σ_z² = σ_x² + σ_y²; गुणनफल या भागफल हेतु आपेक्षिक, (σ_z/z)² = (σ_x/x)² + (σ_y/y)²।

n बिंदुओं (xᵢ, yᵢ) पर सरल रेखा y = a + bx बैठाने हेतु न्यूनतम-वर्ग विधि a व b को ऐसे चुनती है कि ऊर्ध्वाधर विचलनों के वर्गों का योग S = Σ(yᵢ − a − bxᵢ)² न्यूनतम हो। ∂S/∂a = 0 व ∂S/∂b = 0 रखने पर प्रसामान्य समीकरण Σy = na + bΣx व Σxy = aΣx + bΣx² मिलते हैं, जिनका हल b = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²) व a = ȳ − b x̄ है: बैठाई रेखा सदा केन्द्रक (x̄, ȳ) से गुज़रती है। सहसंबंध गुणांक r = (nΣxy − ΣxΣy)/√((nΣx² − (Σx)²)(nΣy² − (Σy)²)), −1 व +1 के बीच होता है और मापता है कि आँकड़े कितने रैखिक हैं; r², y के प्रसरण का वह अंश है जिसे रेखा समझाती है। अरैखिक नियम पहले रैखिकीकृत कर बैठाया जाता है, और इसी से धातुकर्मीय स्थिरांक निकलते हैं: 1/T के विरुद्ध ln k, −Q/R ढाल की रेखा है (आरेनियस); t के विरुद्ध x², k_p ढाल की रेखा (परवलयिक ऑक्सीकरण); d^(−½) के विरुद्ध σ_y, k_y ढाल व σ₀ अंतःखंड की रेखा (हॉल-पेच); log σ के विरुद्ध log ε̇, n ढाल की रेखा (विसर्पण)।

पूर्ण हल किया न्यूनतम-वर्ग समंजन: (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)
राशिमान
n, Σx, Σy4, 10, 16
Σxy, Σx²2 + 6 + 15 + 24 = 47; 1 + 4 + 9 + 16 = 30
ढाल b(4 × 47 − 10 × 16)/(4 × 30 − 10²) = 28/20 = 1.4
अंतःखंड aȳ − b x̄ = 4 − 1.4 × 2.5 = 0.5
सहसंबंध r28/√(20 × 40) = 0.990

4. टेलर श्रेणी से आंकिक अवकलन

अवकलज हेतु हर परिमित-अंतर सूत्र पड़ोसी बिंदुओं पर टेलर प्रसारों से पढ़ा जाता है, और छोड़ा गया प्रथम पद उसकी छिन्नन त्रुटि है। f(x + h) = f(x) + hf′(x) + h²f″(x)/2 + h³f‴(x)/6 + ... से अग्र अंतर f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x)]/h है, त्रुटि −(h/2)f″ सहित — प्रथम कोटि, O(h); पश्च अंतर [f(x) − f(x − h)]/h भी O(h) है। x + h व x − h के प्रसार घटाने पर सम पद निरस्त होते हैं, और केंद्रीय अंतर f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) मिलता है, त्रुटि −(h²/6)f‴ सहित — द्वितीय कोटि, O(h²), अतः h आधा करने पर त्रुटि चार गुना घटती है। इन्हें जोड़ने पर विषम पद निरस्त होते हैं और द्वितीय अवकलज मिलता है, f″(x) ≈ [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h², वह भी O(h²), त्रुटि −(h²/12)f⁗ सहित। p कोटि का सूत्र p घात तक के बहुपदों हेतु यथार्थ है: केंद्रीय द्वितीय अंतर किसी भी घन हेतु यथार्थ है।

h छोटा करते जाना उत्तर को असीमित रूप से नहीं सुधारता। छिन्नन त्रुटि hᵖ के रूप में घटती है, पर पूर्णांकन त्रुटि — f की परिमित परिशुद्धता बटा छोटा h — 1/h के रूप में बढ़ती है, अतः एक इष्टतम चरण है जिसके नीचे परिकलित अवकलज बिगड़ता है। मापे आँकड़ों में शोर होता है जो पूर्णांकन की ही भूमिका निभाता है, इसीलिए प्रायोगिक आँकड़ों का अवकलज (मान लें, थर्मोकपल अभिलेख से शीतलन-दर) क्रमिक कच्चे पाठ्यांकों के बजाय समतलित या न्यूनतम-वर्ग-समंजित वक्र से लिया जाता है।

⚠️ कोटि h में है, बिंदुओं की संख्या में नहीं
अग्र व केंद्रीय दोनों सूत्र दो फलन-मान प्रयोग करते हैं, फिर भी एक O(h) और दूसरा O(h²) है। कोटि यह तय करता है कि कौन-से टेलर पद निरस्त होते हैं। h आधा करने पर त्रुटि का क्या होता है, यह पूछने वाला प्रश्न ठीक यही परखता है: अग्र व पश्च अंतरों हेतु वह आधी होती है और केंद्रीय हेतु चौथाई।

मुख्य बिंदु

  • गुणोत्तर Σrⁿ अभिसरित यदि और केवल यदि |r| < 1 (योग 1/(1 − r)); p-श्रेणी Σ1/nᵖ यदि और केवल यदि p > 1। aₙ → 0 आवश्यक है, पर्याप्त नहीं।
  • अनुपात व मूल परीक्षण: L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 अनिर्णीत; घात श्रेणी की त्रिज्या lim |cₙ/cₙ₊₁|; निरपेक्ष अभिसरण अभिसरण का द्योतक है।
  • प्रतिदर्श मानक विचलन n − 1 प्रयोग करता है; माध्य की मानक त्रुटि s/√n है; अनिश्चितताएँ वर्गों में जुड़ती हैं, योगों हेतु निरपेक्ष व गुणनफलों हेतु आपेक्षिक।
  • न्यूनतम वर्ग: b = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²), a = ȳ − b x̄, रेखा (x̄, ȳ) से गुज़रती है; बैठाने से पहले आरेनियस, परवलयिक व हॉल-पेच नियमों को रैखिक करें।
  • अग्र व पश्च अंतर O(h) हैं; केंद्रीय अंतर [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) व द्वितीय अंतर [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h², O(h²) हैं।

अभ्यास प्रश्न (12)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्न में से कौन-सी श्रेणी अभिसरित होती है?

    1. Σ 1/n²
    2. Σ 1/n
    3. Σ 1/√n
    4. Σ n/(n + 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ 1/n²

    Σ1/nᵖ केवल p > 1 हेतु अभिसरित होती है, अतः Σ1/n² अभिसरित (π²/6 पर) होती है जबकि हरात्मक श्रेणी (p = 1) व Σ1/√n (p = ½) अपसरित। Σn/(n + 1) तो n-वाँ पद परीक्षण भी विफल करती है, क्योंकि उसके पद 1 की ओर जाते हैं, 0 की ओर नहीं।

  2. श्रेणी 1 + 2/3 + (2/3)² + (2/3)³ + ... का योग कितना है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    प्रथम पद 1 व अनुपात r = 2/3, |r| < 1, वाली गुणोत्तर श्रेणी का योग 1/(1 − r) = 1/(1/3) = 3 है। आंशिक योगों से जाँच: 1, 1.667, 2.111, 2.407, ... धीरे-धीरे 3 की ओर। a/(1 + r) लेने पर 0.6 आता है।

  3. घात श्रेणी Σ n xⁿ/2ⁿ (n = 1 से) की अभिसरण त्रिज्या कितनी है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    cₙ = n/2ⁿ सहित |cₙ₊₁/cₙ| = ((n + 1)/n)(1/2) → 1/2, अतः R = 2। मूल परीक्षण सहमत है: |cₙ|^(1/n) = n^(1/n)/2 → 1/2। गुणक n किसी सीमा को नहीं बदलता; x = ±2 पर पद ±n हैं, जो शून्य की ओर नहीं जाते, अतः दोनों अंत्य बिंदु अपसरित।

  4. अनंत श्रेणियों के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. यदि Σaₙ अभिसरित हो तो aₙ → 0
    2. एकांतर हरात्मक श्रेणी 1 − 1/2 + 1/3 − ... सप्रतिबंध अभिसरित होती है
    3. जब |aₙ₊₁/aₙ| की सीमा 1 हो तो अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है
    4. यदि aₙ → 0 तो Σaₙ अभिसरित होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि Σaₙ अभिसरित हो तो aₙ → 0; B — एकांतर हरात्मक श्रेणी 1 − 1/2 + 1/3 − ... सप्रतिबंध अभिसरित होती है; C — जब |aₙ₊₁/aₙ| की सीमा 1 हो तो अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है

    अभिसारी श्रेणी के पद शून्य की ओर जाने ही चाहिए (A)। एकांतर हरात्मक श्रेणी लाइबनिट्ज़ परीक्षण से अभिसरित होती है पर Σ1/n अपसरित, अतः यह सप्रतिबंध अभिसारी है (B)। L = 1, Σ1/n (अपसारी) व Σ1/n² (अभिसारी) दोनों हेतु आता है, अतः कुछ तय नहीं करता (C)। D, A का विलोम है और असत्य: हरात्मक श्रेणी प्रति-उदाहरण है।

  5. Σ n!/nⁿ पर अनुपात परीक्षण लगाने से मिलता है:

    1. L = 1/e, अतः श्रेणी अभिसरित होती है
    2. L = e, अतः श्रेणी अपसरित होती है
    3. L = 1, अतः परीक्षण अनिर्णायक है
    4. L = 0, अतः श्रेणी अभिसरित होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — L = 1/e, अतः श्रेणी अभिसरित होती है

    aₙ₊₁/aₙ = (n + 1)! nⁿ/((n + 1)ⁿ⁺¹ n!) = (n/(n + 1))ⁿ = 1/(1 + 1/n)ⁿ → 1/e ≈ 0.368 < 1, अतः अभिसरित होती है। (1 + 1/n)ⁿ → e को उलटा पढ़ने से L = e आता है; यह भूलना कि nⁿ, n! जितना ही तेज़ बढ़ता है, L = 0 देता है।

  6. तीन दोहराए कठोरता पाठ्यांक 10, 12 व 14 (स्वेच्छ इकाइयाँ) हैं। उनका प्रतिदर्श मानक विचलन कितना है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    माध्य = 12; विचलन −2, 0, 2; Σd² = 8। n − 1 = 2 सहित s = √(8/2) = 2। n = 3 वाला समष्टि सूत्र √(8/3) = 1.63 देता है, जो इतने छोटे प्रतिदर्श के बिखराव को कम आँकता है। माध्य की मानक त्रुटि 2/√3 = 1.15 है।

  7. बिंदुओं (1, 2), (2, 3), (3, 5) व (4, 6) पर न्यूनतम-वर्ग सरल रेखा y = a + bx बैठाई जाती है। बैठाई रेखा x = 5 पर y का कौन-सा मान बताती है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7.5

    n = 4, Σx = 10, Σy = 16, Σxy = 47, Σx² = 30। b = (4 × 47 − 10 × 16)/(4 × 30 − 100) = 28/20 = 1.4 व a = ȳ − b x̄ = 4 − 1.4 × 2.5 = 0.5, अतः y(5) = 0.5 + 1.4 × 5 = 7.5। जाँच: रेखा केन्द्रक (2.5, 4) से गुज़रती है, और उसके अवशेष 0.1, −0.3, 0.3, −0.1 का योग शून्य है। इसके बजाय अंत्य बिंदुओं (1, 2) व (4, 6) से रेखा खींचना 7.33 बताता है।

  8. समतापी ऑक्सीकरण आँकड़ों (समय t के विरुद्ध पपड़ी-मोटाई x) को परवलयिक गतिकी हेतु परखना है और रैखिक न्यूनतम-वर्ग से दर स्थिरांक निकालना है। t के विरुद्ध ऊर्ध्वाधर अक्ष पर आलेखित की जाने वाली राशि है:

    1. x²
    2. x
    3. ln x
    4. 1/x
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x²

    परवलयिक नियम x² = k_p t, t के विरुद्ध x² में रैखिक है, k_p ढाल व शून्य अंतःखंड सहित, अतः (t, x²) पर न्यूनतम वर्ग k_p देता है और अवशेष दिखाते हैं कि नियम लागू है या नहीं। t के विरुद्ध x रैखिक नियम परखता है; ln t के विरुद्ध ln x घातांक देगा (परवलयिक हेतु ढाल ½) पर सीधे k_p नहीं; 1/x का ऐसा कोई नियम नहीं।

  9. h = 0.1 चरण सहित अग्र अंतर प्रयोग कर x = 1 पर f(x) = x² के अवकलज का आकलन कितना है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.1

    [f(1.1) − f(1)]/0.1 = (1.21 − 1)/0.1 = 2.1। यथार्थ अवकलज 2 है, और त्रुटि 0.1 ठीक (h/2)f″ = 0.05 × 2 है, टेलर श्रेणी से छोड़ा गया प्रथम पद। केंद्रीय अंतर [f(1.1) − f(0.9)]/0.2 = (1.21 − 0.81)/0.2 = 2 द्विघात हेतु यथार्थ है।

  10. h = 0.1 सहित केंद्रीय अंतर प्रयोग कर x = 0 पर f(x) = eˣ के अवकलज का आकलन करें (चार दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.0017

    [e^0.1 − e^−0.1]/0.2 = (1.105171 − 0.904837)/0.2 = 0.200334/0.2 = 1.0017। यथार्थ मान 1 है, और त्रुटि 0.00167 पूर्वानुमानित (h²/6)f‴(0) = 0.01/6 = 0.00167 से मेल खाती है। उसी h सहित अग्र अंतर (e^0.1 − 1)/0.1 = 1.0517 तीस गुना बदतर है।

  11. h = 0.1 सहित केंद्रीय द्वितीय-अंतर सूत्र प्रयोग कर x = 1 पर f(x) = x³ के द्वितीय अवकलज का आकलन करें।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    [f(1.1) − 2f(1) + f(0.9)]/h² = (1.331 − 2 + 0.729)/0.01 = 0.060/0.01 = 6। यथार्थ मान f″(1) = 6x = 6: सूत्र की त्रुटि −(h²/12)f⁗ है, और घन हेतु f⁗ = 0, अतः यह यथार्थ है। h² के स्थान पर h से भाग देने पर 0.6 आता है।

  12. f′(x) के केंद्रीय-अंतर आकलन में चरण h आधा किया जाता है। पूर्णांकन नगण्य हो तो छिन्नन त्रुटि लगभग हो जाती है:

    1. अपने पिछले मान का एक-चौथाई
    2. अपने पिछले मान का आधा
    3. अपरिवर्तित
    4. अपने पिछले मान का दोगुना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अपने पिछले मान का एक-चौथाई

    केंद्रीय अंतर सम टेलर पदों को निरस्त करता है और उसकी त्रुटि −(h²/6)f‴ है, द्वितीय कोटि, अतः h आधा करने पर त्रुटि चार से विभाजित होती है। आधा प्रथम-कोटि अग्र व पश्च अंतरों का उत्तर है। यदि h अति छोटा किया जाए तो पूर्णांकन अंततः त्रुटि को पुनः बढ़ाएगा।