A P wave in a slow medium meets a faster medium beyond the critical angle. What is the transmitted wave in the faster medium?

An evanescent wave that decays exponentially away from the interface and carries no net energy into the medium

A homogeneous plane wave refracted at 90° that carries away a fixed fraction of the incident energy along the boundary

No wave at all, because the boundary conditions cannot then be satisfied by any wave field

A converted S wave only, which takes up all the energy that is not reflected as P

An evanescent wave that decays exponentially away from the interface and carries no net energy into the medium

A P wave is obliquely incident on a welded solid–solid interface. How many wave amplitudes are unknown, and what conditions fix them?

Four: reflected P, reflected SV, transmitted P and transmitted SV, fixed by continuity of displacement and traction

Two: reflected P and transmitted P only, fixed by continuity of pressure and of the normal particle velocity across it

Four: reflected and transmitted P and SH waves, fixed by continuity of displacement and of the pressure across it

Six: three reflected and three transmitted waves, fixed by continuity of the stress tensor across the boundary alone

A P pulse travels in rock (ρ = 2500 kg/m³, v = 3500 m/s) and meets, at normal incidence, a gas-bearing sand (ρ = 2000 kg/m³, v = 2500 m/s). Take R = (Z₂ − Z₁)/(Z₂ + Z₁) with Z = ρv. Which statement is correct?

R ≈ −0.27: the reflected pulse has reversed polarity and carries about 7.4% of the incident energy

R ≈ +0.27: the reflected pulse has the same polarity and carries about 7.4% of the incident energy

R ≈ −0.27: the reflected pulse has reversed polarity and carries about 27% of the incident energy

R ≈ −0.27: the reflected pulse has reversed polarity and carries about 7.4% of the incident energy

R ≈ −0.73: the reflected pulse has reversed polarity and carries about 53% of the incident energy

Which description of Love and Rayleigh waves is correct?

Love waves are horizontally polarised shear waves that need a slow layer; Rayleigh waves are retrograde ellipses in the vertical plane

Rayleigh waves are horizontally polarised shear waves that need a slow layer; Love waves are retrograde ellipses in the vertical plane

Both are compressional waves, with Love waves travelling at about 0.92 times the P speed and Rayleigh waves faster than S waves

Both exist only in a homogeneous half-space and both are non-dispersive, with speeds always above the S speed of that medium

On a long continental path, surface waves of period 100 s arrive before those of period 20 s. What is the reason?

The long periods sample deeper, faster layers, so their speed is higher, which is normal dispersion

The 100 s waves are generated earlier at the source, because large earthquakes release long periods first

The 100 s waves are body waves, which always outrun surface waves in layered media

The 100 s waves have the higher frequency, and high-frequency waves always travel faster

The long periods sample deeper, faster layers, so their speed is higher, which is normal dispersion

The eikonal equation |∇T|² = 1/v² follows from the elastic wave equation in the limit in which

the wave frequency is high, so that the wavelength is much smaller than the scale over which the velocity varies

the wave frequency tends to zero, so that the wavelength is much larger than any structure in the medium it crosses

the wave frequency is high, so that the wavelength is much smaller than the scale over which the velocity varies

the medium is homogeneous, so that the velocity is the same everywhere and rays are straight lines

the receiver is far from the source, so that the wavefront is effectively planar over the whole array

A 2 × 2 grid of equal cells is crossed only by rays along its two rows and its two columns. Which perturbation pattern changes none of the four travel times and so cannot be resolved?

The checkerboard pattern (+, −, −, +), because every row sum and every column sum is zero

The same slowness change in all four cells, since a uniform change cancels along each ray

The checkerboard pattern (+, −, −, +), because every row sum and every column sum is zero

A change in one corner cell only, since that cell is crossed by only one ray

A change in the two cells of one row only, since the row ray averages them

On a refraction travel-time plot, the branch of the head wave is a straight line that does not pass through the origin. What do its slope and intercept give?

The slope is 1/v₂ of the lower layer, and with v₁ and v₂ the intercept time gives the layer thickness h

The slope is 1/v₁ of the upper layer, and the intercept is the one-way travel time to the interface

The slope is 1/v₂ of the lower layer, and with v₁ and v₂ the intercept time gives the layer thickness h

The slope is 1/v₂ of the lower layer, and the intercept is the critical distance where the head wave starts

The slope is 2h/v₁, and the intercept is the speed of the lower layer

Which of the following statements about bounded and evanescent waves are correct?

A Rayleigh wave is non-dispersive at the surface of a homogeneous half-space

Love waves cannot exist at the surface of a homogeneous half-space

The amplitude of an evanescent wave decays exponentially with distance from the interface

A Rayleigh wave is non-dispersive at the surface of a homogeneous half-space

Surface waves decay with distance faster than body waves, as 1/r² against 1/r

Love waves cannot exist at the surface of a homogeneous half-space

The amplitude of an evanescent wave decays exponentially with distance from the interface

Which of the following statements about ray theory are correct?

The eikonal equation gives the travel-time field T(x) and hence the wavefronts

The transport equation governs how the amplitude changes along a ray, keeping the energy flux in a ray tube constant

By Fermat’s principle the travel time along the true ray path is stationary with respect to small changes of path

Ray theory remains accurate at caustics, where neighbouring rays converge to a focus

The eikonal equation gives the travel-time field T(x) and hence the wavefronts

The transport equation governs how the amplitude changes along a ray, keeping the energy flux in a ray tube constant

By Fermat’s principle the travel time along the true ray path is stationary with respect to small changes of path

Which of the following statements about seismic tomography are correct?

After linearisation the travel-time residuals obey d = G m, with G holding the path lengths of the rays in the cells

Poor ray coverage leaves part of the model in the null space, so damping or other regularisation is needed

A positive slowness perturbation corresponds to a lower velocity than the reference model

After linearisation the travel-time residuals obey d = G m, with G holding the path lengths of the rays in the cells

Poor ray coverage leaves part of the model in the null space, so damping or other regularisation is needed

A positive slowness perturbation corresponds to a lower velocity than the reference model

A fast anomaly always means cold material, because temperature is the only thing that changes speed

परावर्तन, अपवर्तन, परिबद्ध तरंगें, किरण सिद्धांत व भूकंपीय टोमोग्राफी

यह अध्याय भूविज्ञान एवं भूभौतिकी (GG) पेपर के भाग B2 के शीर्षक “Seismology and Interior of the Earth” के दूसरे आधे भाग का उत्तर देता है: “प्रत्यास्थ तरंगों का परावर्तन व अपवर्तन; असमांगी व क्षयी तरंगें तथा परिबद्ध तरंगें; आइकोनल समीकरण व किरण सिद्धांत; प्रत्यास्थ माध्यम में तरंग-संचरण, भूकंपीय टोमोग्राफी।” तरंग-प्रकार व तरंग-समीकरण अध्याय 1 में रखे जा चुके हैं। यह अध्याय किरण-प्राचल व क्रांतिक कोण सहित स्नेल का नियम, ज़ोएप्रित्ज़ समीकरणों की रूपरेखा सहित अंतरापृष्ठ पर आयाम, यात्रा-काल वक्र, रैले व लव तरंगों सहित क्षयी, असमांगी व परिबद्ध तरंगें, आइकोनल समीकरण व किरण सिद्धांत, तथा भूकंपीय टोमोग्राफी पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न हैं: अपवर्तन कोण, अभिलंबवत आपतन पर परावर्तित ऊर्जा, शीर्ष तरंग से परत की मोटाई, वेग-प्रवणता में प्रत्यावर्तन-गहराई तथा चार-कोष्ठ टोमोग्राफी समस्या।

1. स्नेल का नियम, किरण-प्राचल व क्रांतिक कोण

v₁ व v₂ चाल वाले माध्यमों के समतल अंतरापृष्ठ पर तरंग की क्षैतिज मंदता सतत रहती है, जो स्नेल का नियम (Snell’s law) sin i₁/v₁ = sin i₂/v₂ = p देता है। स्थिरांक p = sin i / v किरण-प्राचल (ray parameter) (s/km) है, और वह अंतरापृष्ठ के अनुदिश आभासी चाल के व्युत्क्रम के बराबर है, v_app = v/sin i = 1/p। समतल परतों के ढेर में p प्रत्येक परत में समान रहता है। ठोस–ठोस सीमा से मिलने वाली P तरंग रूपांतरित S तरंगें भी बनाती है, और नियम सब पर लागू होता है: sin i/α₁ = sin j/β₁ = sin i′/α₂ = sin j′/β₂ = p। किसी एक माध्यम में S किरण P किरण से ऊर्ध्वाधर के अधिक निकट रहती है, क्योंकि β < α।

जब v₂ > v₁ हो तो क्रांतिक कोण (critical angle) θ_c = arcsin(v₁/v₂) होता है, जिस पर अपवर्तित किरण अंतरापृष्ठ के अनुदिश चलती है (p = 1/v₂)। उससे आगे निचले माध्यम में कोई समांगी तरंग नहीं जाती और परावर्तन पूर्ण होता है। शीर्ष तरंग (head wave) (अपवर्तित तरंग) तेज़ परत के शीर्ष के अनुदिश चलती है और θ_c पर ऊपर की ओर विकिरित होती है। हल उदाहरण। 3.0 km/s वाले माध्यम में P तरंग i = 30° पर 5.0 km/s वाले माध्यम से मिलती है: sin j = (5.0/3.0) × 0.5 = 0.833, अतः j = 56.4°, जबकि θ_c = arcsin(0.6) = 36.9°। P-चाल 6 km/s वाली भूपर्पटी में 10 km/s आभासी चाल से P तरंग देखने वाले ऐरे हेतु sin i = 6/10, अतः किरण ऊर्ध्वाधर से 36.9° पर है।

2. अंतरापृष्ठ पर आयाम: ज़ोएप्रित्ज़ समीकरणों की रूपरेखा

आयाम सीमा-शर्तों से मिलते हैं। वेल्डित ठोस–ठोस अंतरापृष्ठ पर विस्थापन और कर्षण (σ_zz, σ_zx, σ_zy) सतत रहते हैं। आपतित P या SV तरंग हेतु चार तरंगें सम्मिलित हैं (परावर्तित P व SV, पारगमित P व SV), अतः चार अज्ञात आयाम चार समीकरणों से तय होते हैं: ज़ोएप्रित्ज़ समीकरण (Zoeppritz equations)। SH गति पृथक हो जाती है, जिसमें केवल परावर्तित व पारगमित SH और दो समीकरण होते हैं। द्रव–ठोस सीमा पर अपरूपण कर्षण शून्य होता है और द्रव में कोई S तरंग नहीं होती, तथा मुक्त पृष्ठ पर समस्त कर्षण शून्य होता है।

परिणाम विषमता व आपतन कोण पर निर्भर हैं, जो AVO (आयाम बनाम ऑफ़सेट) विश्लेषण का आधार है। अभिलंबवत आपतन पर कुछ रूपांतरित नहीं होता, और ध्वनिक प्रतिबाधा Z = ρv के साथ आयाम परावर्तन गुणांक R = (Z₂ − Z₁)/(Z₂ + Z₁) है (अन्वेषण की परिपाटी, प्रतिबाधा बढ़ने पर धनात्मक)। परावर्तित ऊर्जा-अंश R² और पारगमित अंश 1 − R² है। ऋणात्मक R का अर्थ ध्रुवता-उलटाव है, जैसे गैस-बालू के शीर्ष पर। हल उदाहरण। Z₁ = 2000 × 2000 = 4.0×10⁶ व Z₂ = 2500 × 3000 = 7.5×10⁶ से R = 3.5/11.5 = 0.304, अतः R² = 0.0926: 9.26% ऊर्जा परावर्तित होती है।

⚠️ आयाम व ऊर्जा भिन्न हैं, और परिपाटियाँ भिन्न होती हैं

परावर्तन गुणांक इस पर निर्भर करता है कि वह दाब, कण-वेग या विस्थापन हेतु परिभाषित है, तथा उसकी चिह्न-परिपाटी पर, अतः प्रश्न में उसे बताना होता है। ऊर्जा-अंश R² परिपाटी पर निर्भर नहीं करता। क्रांतिक कोण से आगे |R| = 1 होता है पर परावर्तित तरंग में कला-विस्थापन होता है।

3. यात्रा-काल वक्र: प्रत्यक्ष, परावर्तित व शीर्ष तरंगें, तथा पृथ्वी का वक्र

प्रत्यक्ष तरंग: t = x/v₁, मूल-बिंदु से जाने वाली सरल रेखा।
परावर्तित तरंग, h गहराई के समतल अंतरापृष्ठ से: t = √(x² + 4h²)/v₁, एक अतिपरवलय, t² = t₀² + x²/v₁² जहाँ t₀ = 2h/v₁।
शीर्ष तरंग: t = x/v₂ + t_i, जहाँ अंतःखंड-काल t_i = 2h cosθ_c / v₁ = 2h √(v₂² − v₁²)/(v₁ v₂)। यह पहले क्रॉसओवर दूरी x_c = 2h √((v₂ + v₁)/(v₂ − v₁)) के आगे पहुँचती है। इस शाखा की ढाल 1/v₂ है और अंतःखंड से h मिलता है।

हल उदाहरण। v₁ = 2000 m/s, v₂ = 4000 m/s, h = 500 m। θ_c = 30°, t_i = 2 × 500 × cos 30° / 2000 = 0.433 s और x_c = 1000 × √(6000/2000) = 1732 m, जहाँ प्रत्यक्ष व शीर्ष तरंग के काल दोनों 0.866 s हैं। अपने ऊपर की परत से कम चाल वाली परत कोई शीर्ष तरंग नहीं देती और अपवर्तन-कार्य में छिपी रहती है।

संपूर्ण पृथ्वी हेतु यात्रा-काल वक्र T(Δ) की ढाल dT/dΔ = p है। गोले में किरण-प्राचल p = r sin i / v किरण के अनुदिश नियत रहता है, और गहनतम बिंदु (i = 90°) पर p = r_t / v(r_t); अधिक दूरी Δ का अर्थ छोटा p और अधिक गहरा प्रत्यावर्तन-बिंदु है। यदि चाल गहराई के साथ लगातार बढ़े तो हर्ग्लोट्ज़–वीखर्ट (Herglotz–Wiechert) प्रतिलोमन T(Δ) को v(r) में बदल देता है, जबकि निम्न-वेग मंडल कोई प्रथम आगमन नहीं देता और छिपा रहता है। क्रोड का निम्न वेग लगभग 103° से 142° तक का P छाया-क्षेत्र बनाता है।

4. असमांगी, क्षयी व परिबद्ध तरंगें

समांगी (homogeneous) समतल तरंग का आयाम प्रत्येक नियत-कला पृष्ठ पर समान रहता है। असमांगी (inhomogeneous) समतल तरंग का आयाम उस पृष्ठ के आर-पार बदलता है, जैसे u ∝ exp(−ωηz) exp[iω(px − t)], जहाँ η = √(p² − 1/v²)। जब p > 1/v हो, η वास्तविक होता है और तरंग क्षयी (evanescent) होती है: वह अंतरापृष्ठ के अनुदिश आभासी चाल 1/p < v से चलती है और उससे दूरी के साथ चरघातांकी रूप से क्षीण हो जाती है, क्रांतिक कोण के बहुत निकट को छोड़कर लगभग एक तरंगदैर्घ्य या कम में। क्रांतिक कोण से आगे तेज़ माध्यम में पारगमित तरंग क्षयी होती है। वह अंतरापृष्ठ से कोई शुद्ध ऊर्जा दूर नहीं ले जाती, अतः परावर्तन पूर्ण होता है।

रैले तरंगें अर्ध-समष्टि के मुक्त पृष्ठ पर युग्मित क्षयी P व SV तरंगों के रूप में होती हैं। वे सभी आवृत्तियों पर होती हैं, समांगी अर्ध-समष्टि में अपरिक्षेपी हैं, पृष्ठ पर प्रतिगामी दीर्घवृत्त में चलती हैं और लगभग 0.92 β (पॉयसन ठोस हेतु 0.919 β) की चाल से चलती हैं।
लव तरंगें β₁ चाल की पृष्ठ परत में, जो तेज़ अर्ध-समष्टि β₂ पर है, बार-बार क्रांतिकोत्तर परावर्तन से फँसी SH तरंगें हैं। वे समांगी अर्ध-समष्टि में नहीं हो सकतीं, परिक्षेपी हैं, और उनकी कला-चाल c, β₁ व β₂ के बीच है (लघु आवर्तकाल पर β₁ के निकट, दीर्घ आवर्तकाल पर β₂ के निकट)।
स्टोनली तरंगें ठोस–ठोस या ठोस–द्रव अंतरापृष्ठ के अनुदिश निर्देशित होती हैं, और नाली-तरंगें धीमी-चाल की परत में। ये सब परिबद्ध (निर्देशित) तरंगें हैं: असमांगी तरंगें जिनकी ऊर्जा सीमा के निकट बँधी रहती है।

परिक्षेपण (dispersion)। कला-चाल c = ω/k है और समूह-चाल, जिससे ऊर्जा चलती है, U = dω/dk = c + k dc/dk है। लंबे आवर्तकाल तेज़ चट्टान में अधिक गहरे जाते हैं, अतः दसियों सेकंड के आवर्तकालों हेतु लंबे आवर्तकाल पहले पहुँचते हैं, और रैले व लव तरंगों के मापे परिक्षेपण वक्र भूपर्पटी व ऊपरी प्रावार की अपरूपण-चाल संरचना देते हैं। पृष्ठ तरंगें 1/√r से घटती हैं, पिंड तरंगों से अधिक धीमे।

5. आइकोनल समीकरण व किरण सिद्धांत

किरण सिद्धांत तरंग-समीकरण का उच्च-आवृत्ति हल है, जो तब मान्य है जब तरंगदैर्घ्य उस मापनी से बहुत छोटा हो जिस पर वेग बदलता है। u = A(x) exp[iω(T(x) − t)] आज़माएँ। ω में अग्र कोटि तक तरंग-समीकरण आइकोनल समीकरण (eikonal equation) |∇T|² = 1/v² = s² देता है, जहाँ T(x) तरंगाग्र का यात्रा-काल और s मंदता है। अगली कोटि परिवहन समीकरण (transport equation) देती है, स्थिर घनत्व हेतु 2∇A·∇T + A∇²T = 0, जो किरण-नलिका के अनुदिश ऊर्जा-फ्लक्स नियत रखता है। किरणें तरंगाग्रों T = नियत के लंबवत वक्र हैं और d/ds (s dx/ds) = ∇s का पालन करती हैं (यह किरण-समीकरण है), जो फ़र्मा के सिद्धांत (Fermat’s principle) को व्यक्त करता है: यात्रा-काल वास्तविक पथ पर स्थिरमान (stationary) होता है।

किरण सिद्धांत कॉस्टिकों पर, छाया-क्षेत्रों में, तीक्ष्ण सीमाओं पर और जहाँ विषमांगता तरंगदैर्घ्य जितनी छोटी हो (विवर्तन) वहाँ विफल हो जाता है। नियत वेग-प्रवणता v = v₀ + g z वाले माध्यम में किरणें त्रिज्या R = 1/(p g) के वृत्तीय चाप हैं जो वहाँ मुड़ती हैं जहाँ v = 1/p, अर्थात् z_t = (1/p − v₀)/g गहराई पर। हल उदाहरण। v₀ = 2.0 km/s, g = 0.5 s⁻¹ और ऊर्ध्वाधर से प्रक्षेप-कोण i₀ = 30° से p = sin 30°/2.0 = 0.25 s/km, R = 1/(0.25 × 0.5) = 8 km और प्रत्यावर्तन-गहराई z_t = (4.0 − 2.0)/0.5 = 4 km। किरण परास X = 2R cos i₀ = 13.9 km पर सतह पर लौटती है।

6. भूकंपीय टोमोग्राफी

टोमोग्राफी अनेक प्रतिच्छेदी किरणों से अंतरंग का प्रतिबिंब बनाती है। संदर्भ मॉडल के चारों ओर रैखिकीकरण के बाद किरण i का यात्रा-काल अवशेष δt_i = Σ_j L_ij δs_j है, जहाँ L_ij कोष्ठ j में किरण i की लंबाई और δs_j मंदता-विचलन (δs = −δv/v²) है। आव्यूह रूप में यह d = G m है, जिसे न्यूनतम वर्ग से हल किया जाता है, m = (GᵀG)⁻¹Gᵀd, व्यवहार में अवमंदित, m = (GᵀG + ε²I)⁻¹Gᵀd, या पुनरावर्ती विरल विधियों (ART, SIRT, LSQR) से, किरणों को पुनः अनुरेखित कर प्रक्रिया दोहराते हुए क्योंकि पथ मॉडल पर निर्भर हैं। आँकड़े पिंड-तरंग विलंब, पृष्ठ-तरंग परिक्षेपण या परिवेशी-रव सहसंबंध हो सकते हैं, और पूर्ण-तरंगरूप प्रतिलोमन पूरे भूकंपलेख का उपयोग करता है।

विभेदन किरण-आच्छादन पर निर्भर है। जहाँ कोई किरण न गुज़रे, या सब एक ही दिशा में गुज़रें, वहाँ मॉडल के भाग शून्य-समष्टि (null space) में रहते हैं और किरणों के अनुदिश धुँधले फैलते हैं; चेकरबोर्ड परीक्षण दिखाता है कि क्या पुनर्प्राप्त हो सकता है। हल उदाहरण। 10 km चौड़े कोष्ठों का 2 × 2 ग्रिड लें, जिसकी संख्या 1 2 के नीचे 3 4 है, और चार किरणें पंक्ति 1, पंक्ति 2, स्तंभ 1 व स्तंभ 2 के अनुदिश। G की कोटि 3 है: प्रतिरूप (+, −, −, +) किसी किरण-योग को नहीं बदलता, अतः ये किरणें उसे पुनर्प्राप्त नहीं कर सकतीं। मान लें अवशेष 0.10, 0.30, 0.20 व 0.20 s हैं और कोष्ठ 1 अविक्षुब्ध ज्ञात है। स्तंभ 1 से 10 δs₃ = 0.20, अतः δs₃ = 0.020 s/km, पंक्ति 1 से δs₂ = 0.010 s/km, और पंक्ति 2 से 10(δs₃ + δs₄) = 0.30, अतः δs₄ = 0.010 s/km; स्तंभ 2 तब जाँच देता है। संदर्भ चाल 5.0 km/s (0.200 s/km) हो तो कोष्ठ 4 में 0.210 s/km, यानी 4.76 km/s है।

⚠️ धीमा सदा तप्त नहीं और तेज़ सदा ठंडा नहीं

चाल तापमान के साथ-साथ संघटन, गलित पदार्थ, जल व विषमदैशिकता पर भी निर्भर करती है। तीव्र विसंगतियाँ प्रायः ठंडे अधःक्षेपित स्लैबों व क्रेटनी कीलों को और धीमी तप्त या आंशिक गलित प्रावार को दर्शाती हैं, पर प्रतिबिंब अकेला कारण सिद्ध नहीं करता, और किरणों के अनुदिश धुँधलापन विसंगतियों को वास्तविक से बड़ा दिखाता है।

मुख्य बिंदु

स्नेल का नियम: sin i/v = p किरण के अनुदिश नियत है और 1/(आभासी चाल) के बराबर है। v₂ > v₁ हेतु क्रांतिक कोण arcsin(v₁/v₂) है, जिसके आगे परावर्तन पूर्ण है और शीर्ष तरंग अंतरापृष्ठ के अनुदिश चलती है।
ज़ोएप्रित्ज़ समीकरण विस्थापन व कर्षण की सततता से आते हैं: P–SV हेतु चार, SH हेतु दो। अभिलंबवत आपतन पर Z = ρv के साथ R = (Z₂ − Z₁)/(Z₂ + Z₁) है, और परावर्तित ऊर्जा R² है; परिपाटी बताएँ।
यात्रा-काल वक्र: प्रत्यक्ष t = x/v₁, परावर्तित अतिपरवलय t² = t₀² + x²/v₁², शीर्ष तरंग t = x/v₂ + t_i जहाँ t_i = 2h cosθ_c/v₁। पृथ्वी में dT/dΔ = p है, और निम्न-वेग मंडल या क्रोड छिपी परतें व छाया-क्षेत्र बनाते हैं।
क्रांतिक कोण से आगे पारगमित तरंग क्षयी होती है (चरघातांकी क्षय, कोई शुद्ध ऊर्जा-फ्लक्स नहीं)। परिबद्ध तरंगें सीमाओं के निकट बँधी हैं: मुक्त पृष्ठ पर लगभग 0.92β की रैले तरंगें, और धीमी पृष्ठ परत में β₁ < c < β₂ वाली परिक्षेपी लव तरंगें।
किरण सिद्धांत उच्च-आवृत्ति सीमा है: आइकोनल समीकरण |∇T|² = 1/v² तरंगाग्र देता है, परिवहन समीकरण आयाम देता है, और फ़र्मा का सिद्धांत पथ देता है। v = v₀ + g z में किरणें वृत्त हैं जो z_t = (1/p − v₀)/g पर मुड़ती हैं।
टोमोग्राफी मंदता-विचलनों हेतु d = G m को अवमंदित न्यूनतम वर्ग या पुनरावृत्ति से हल करती है। कम आच्छादन शून्य-समष्टि छोड़ता है (पंक्ति-स्तंभ ग्रिड चेकरबोर्ड नहीं देख सकता), और धीमी या तेज़ विसंगतियाँ तप्त या ठंडी हों, यह आवश्यक नहीं।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

एक भूकंपीय ऐरे एक P तरंग दर्ज करता है जो उसे 10 km/s की आभासी क्षैतिज चाल से पार करती है। ऐरे के नीचे भूपर्पटी में P-चाल 6 km/s है। किरण ऊर्ध्वाधर से कितना कोण बनाती है?
1. 31°
2. 37°
3. 53°
4. 59°
उत्तर देखें
उत्तर: B — 37°
आभासी चाल v/sin i है, अतः sin i = 6/10 = 0.6 और i = ऊर्ध्वाधर से 37°। भ्रामक 53° arccos 0.6 है, यानी क्षैतिज से कोण, और शेष मान अनुपात 0.6 से नहीं निकलते।
धीमे माध्यम में P तरंग क्रांतिक कोण से आगे तेज़ माध्यम से मिलती है। तेज़ माध्यम में पारगमित तरंग क्या है?
1. 90° पर अपवर्तित समांगी समतल तरंग, जो आपतित ऊर्जा का नियत अंश अंतरापृष्ठ के अनुदिश दूर ले जाती है
2. कोई तरंग नहीं, क्योंकि तब किसी भी प्रकार के तरंग-क्षेत्र द्वारा अंतरापृष्ठ पर सीमा-शर्तें पूरी नहीं हो सकतीं
3. केवल रूपांतरित S तरंग, जो P के रूप में परावर्तित न होने वाली समस्त ऊर्जा को पूरी तरह अपने में समेट लेती है
4. क्षयी तरंग जो अंतरापृष्ठ से दूर चरघातांकी रूप से क्षीण होती है और माध्यम में कोई शुद्ध ऊर्जा नहीं ले जाती
उत्तर देखें
उत्तर: D — क्षयी तरंग जो अंतरापृष्ठ से दूर चरघातांकी रूप से क्षीण होती है और माध्यम में कोई शुद्ध ऊर्जा नहीं ले जाती
सीमा-शर्तें फिर भी पूरी होती हैं, असमांगी (क्षयी) तरंग से, जिसका क्षय exp(−ωηz) है और जो अंतरापृष्ठ के अनुदिश चलती है। उसका कालांतर-औसत अभिलंब ऊर्जा-फ्लक्स शून्य है, इसीलिए परावर्तन पूर्ण है। ठीक 90° पर अपवर्तित तरंग केवल क्रांतिक कोण पर लागू है, और रूपांतरित S तरंग लुप्त पारगमित P ऊर्जा की व्याख्या नहीं कर सकती।
एक P तरंग वेल्डित ठोस–ठोस अंतरापृष्ठ पर तिरछी आपतित होती है। कितने तरंग-आयाम अज्ञात हैं, और कौन-सी शर्तें उन्हें तय करती हैं?
1. चार: परावर्तित P, परावर्तित SV, पारगमित P व पारगमित SV, जो विस्थापन व कर्षण की सततता से तय होते हैं
2. दो: केवल परावर्तित P व पारगमित P, जो अंतरापृष्ठ के आर-पार दाब व अभिलंब कण-वेग की सततता से तय होते हैं
3. चार: परावर्तित व पारगमित P तथा SH तरंगें, जो अंतरापृष्ठ के आर-पार विस्थापन व दाब की सततता से तय होती हैं
4. छह: तीन परावर्तित व तीन पारगमित तरंगें, जो सीमा के आर-पार अकेले प्रतिबल प्रदिश की सततता से तय होती हैं
उत्तर देखें
उत्तर: A — चार: परावर्तित P, परावर्तित SV, पारगमित P व पारगमित SV, जो विस्थापन व कर्षण की सततता से तय होते हैं
P–SV तंत्र में आपतित P तरंग परावर्तित P व SV तथा पारगमित P व SV उत्पन्न करती है; तल में दो विस्थापन-घटकों और दो कर्षण-घटकों की सततता चार समीकरण देती है, यही ज़ोएप्रित्ज़ समीकरण हैं। SH, P व SV से पृथक है, और दाब-सततता वाला दो-तरंग विकल्प द्रव–द्रव अंतरापृष्ठ का वर्णन करता है।
एक P स्पंद चट्टान (ρ = 2500 kg/m³, v = 3500 m/s) में चलता है और अभिलंबवत आपतन पर गैस-युक्त बालू (ρ = 2000 kg/m³, v = 2500 m/s) से मिलता है। Z = ρv के साथ R = (Z₂ − Z₁)/(Z₂ + Z₁) लें। कौन-सा कथन सही है?
1. R ≈ +0.27: परावर्तित स्पंद की ध्रुवता वही है और वह आपतित ऊर्जा का लगभग 7.4% वहन करता है
2. R ≈ −0.27: परावर्तित स्पंद की ध्रुवता उलटी है और वह आपतित ऊर्जा का लगभग 27% वहन करता है
3. R ≈ −0.27: परावर्तित स्पंद की ध्रुवता उलटी है और वह आपतित ऊर्जा का लगभग 7.4% वहन करता है
4. R ≈ −0.73: परावर्तित स्पंद की ध्रुवता उलटी है और वह आपतित ऊर्जा का लगभग 53% वहन करता है
उत्तर देखें
उत्तर: C — R ≈ −0.27: परावर्तित स्पंद की ध्रुवता उलटी है और वह आपतित ऊर्जा का लगभग 7.4% वहन करता है
Z₁ = 2500 × 3500 = 8.75×10⁶ व Z₂ = 2000 × 2500 = 5.0×10⁶, अतः R = (5.0 − 8.75)/(5.0 + 8.75) = −0.273। चिह्न ऋणात्मक है क्योंकि प्रतिबाधा घटती है, यानी ध्रुवता-उलटाव। ऊर्जा-अंश R² = 0.0744, लगभग 7.4%, 27% नहीं (जो आयाम को ऊर्जा समझने की भूल है)।
लव व रैले तरंगों का कौन-सा वर्णन सही है?
1. लव तरंगें क्षैतिज ध्रुवित अपरूपण तरंगें हैं जिन्हें धीमी परत चाहिए; रैले तरंगें ऊर्ध्वाधर तल में प्रतिगामी दीर्घवृत्त हैं
2. रैले तरंगें क्षैतिज ध्रुवित अपरूपण तरंगें हैं जिन्हें धीमी परत चाहिए; लव तरंगें ऊर्ध्वाधर तल में प्रतिगामी दीर्घवृत्त हैं
3. दोनों संपीडनात्मक तरंगें हैं, जिनमें लव तरंगें P-चाल की लगभग 0.92 गुनी चाल से और रैले तरंगें S तरंगों से तेज़ चलती हैं
4. दोनों केवल समांगी अर्ध-समष्टि में होती हैं और दोनों अपरिक्षेपी हैं, जिनकी चालें उस माध्यम की S-चाल से सदा अधिक हैं
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उत्तर: A — लव तरंगें क्षैतिज ध्रुवित अपरूपण तरंगें हैं जिन्हें धीमी परत चाहिए; रैले तरंगें ऊर्ध्वाधर तल में प्रतिगामी दीर्घवृत्त हैं
लव तरंगें SH-प्रकार की हैं और तभी होती हैं जब धीमी परत तेज़ माध्यम पर हो; रैले तरंगें मुक्त पृष्ठ पर युग्मित P–SV गति हैं, जो लगभग 0.92 β पर चलती हैं। रैले को क्षैतिज ध्रुवित बताने वाला विकल्प दोनों के गुण आपस में बदल देता है; पृष्ठ तरंगें S तरंगों से धीमी हैं, और लव तरंगों को परतें चाहिए और वे परिक्षेपी हैं।
लंबे महाद्वीपीय पथ पर, 100 s आवर्तकाल की पृष्ठ तरंगें 20 s आवर्तकाल वाली तरंगों से पहले पहुँचती हैं। इसका कारण क्या है?
1. 100 s वाली तरंगें स्रोत पर पहले उत्पन्न होती हैं, क्योंकि बड़े भूकंप लंबे आवर्तकाल पहले मुक्त करते हैं
2. 100 s वाली तरंगें पिंड तरंगें हैं, जो परतदार माध्यमों में सदा पृष्ठ तरंगों से आगे निकलती हैं
3. 100 s वाली तरंगों की आवृत्ति अधिक है, और उच्च आवृत्ति की तरंगें सदा तेज़ चलती हैं
4. लंबे आवर्तकाल अधिक गहरी, तेज़ परतों का प्रतिदर्श लेते हैं, अतः उनकी चाल अधिक है, यही सामान्य परिक्षेपण है
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उत्तर: D — लंबे आवर्तकाल अधिक गहरी, तेज़ परतों का प्रतिदर्श लेते हैं, अतः उनकी चाल अधिक है, यही सामान्य परिक्षेपण है
भेदन-गहराई तरंगदैर्घ्य के साथ बढ़ती है, और चाल प्रायः गहराई के साथ बढ़ती है, अतः लंबे आवर्तकालों की चाल अधिक होती है और वे पहले पहुँचते हैं (सामान्य परिक्षेपण)। आवृत्ति आवर्तकाल का व्युत्क्रम है, अतः 100 s वाली तरंगों की आवृत्ति कम है, और उनके पहुँचने का क्रम संचरण से तय होता है, उत्पत्ति के समय से नहीं।
आइकोनल समीकरण |∇T|² = 1/v² प्रत्यास्थ तरंग-समीकरण से उस सीमा में निकलता है जिसमें
1. तरंग की आवृत्ति शून्य की ओर जाती है, ताकि तरंगदैर्घ्य माध्यम की किसी भी संरचना से बहुत बड़ा हो
2. तरंग की आवृत्ति उच्च है, ताकि तरंगदैर्घ्य उस मापनी से बहुत छोटा हो जिस पर वेग बदलता है
3. माध्यम समांगी है, ताकि वेग सर्वत्र समान हो और किरणें सरल रेखाएँ हों
4. ग्राही स्रोत से दूर है, ताकि तरंगाग्र पूरे ऐरे पर प्रभावी रूप से समतल हो
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उत्तर: B — तरंग की आवृत्ति उच्च है, ताकि तरंगदैर्घ्य उस मापनी से बहुत छोटा हो जिस पर वेग बदलता है
किरण सिद्धांत उच्च-आवृत्ति सीमा है: u = A exp[iω(T − t)] रखकर ω में अग्र कोटि लेने पर आइकोनल समीकरण मिलता है, जो तब मान्य है जब तरंगदैर्घ्य वेग-परिवर्तन की मापनी की तुलना में छोटा हो। समीकरण विषमांगी माध्यमों में भी लागू है, अतः समांगता आवश्यक नहीं, और निम्न-आवृत्ति सीमा उलटी व्यवस्था है।
समान कोष्ठों का एक 2 × 2 ग्रिड केवल अपनी दो पंक्तियों व दो स्तंभों के अनुदिश किरणों से पार किया जाता है। कौन-सा विचलन-प्रतिरूप चारों यात्रा-कालों में से किसी को नहीं बदलता और इसलिए पुनर्प्राप्त नहीं हो सकता?
1. चारों कोष्ठों में समान मंदता-परिवर्तन, क्योंकि समान परिवर्तन प्रत्येक किरण के अनुदिश निरस्त हो जाता है
2. चेकरबोर्ड प्रतिरूप (+, −, −, +), क्योंकि प्रत्येक पंक्ति-योग व प्रत्येक स्तंभ-योग शून्य है
3. केवल एक कोने के कोष्ठ में परिवर्तन, क्योंकि उस कोष्ठ को केवल एक किरण पार करती है
4. केवल एक पंक्ति के दो कोष्ठों में परिवर्तन, क्योंकि पंक्ति-किरण उनका औसत लेती है
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उत्तर: B — चेकरबोर्ड प्रतिरूप (+, −, −, +), क्योंकि प्रत्येक पंक्ति-योग व प्रत्येक स्तंभ-योग शून्य है
पंक्तियों व स्तंभों के अनुदिश किरणों में G की कोटि 3 है, और सदिश (+, −, −, +) उसकी शून्य-समष्टि में है क्योंकि प्रत्येक पंक्ति व स्तंभ की किरण को +1 और −1 बराबर मिलते हैं। समान परिवर्तन प्रत्येक यात्रा-काल में जुड़ता है, एकल कोष्ठ दो किरणें बदलता है, और एक पंक्ति में परिवर्तन उस पंक्ति की किरण और दोनों स्तंभ-किरणें बदलता है।
अपवर्तन यात्रा-काल आलेख पर शीर्ष तरंग की शाखा मूल-बिंदु से न जाने वाली सरल रेखा है। उसकी ढाल व अंतःखंड क्या देते हैं?
1. ढाल ऊपरी परत का 1/v₁ है, और अंतःखंड अंतरापृष्ठ तक का एक-ओर यात्रा-काल है
2. ढाल निचली परत का 1/v₂ है, और v₁ व v₂ के साथ अंतःखंड-काल परत की मोटाई h देता है
3. ढाल निचली परत का 1/v₂ है, और अंतःखंड वह क्रांतिक दूरी है जहाँ शीर्ष तरंग शुरू होती है
4. ढाल 2h/v₁ है, और अंतःखंड निचली परत की चाल है
उत्तर देखें
उत्तर: B — ढाल निचली परत का 1/v₂ है, और v₁ व v₂ के साथ अंतःखंड-काल परत की मोटाई h देता है
शीर्ष तरंग का काल t = x/v₂ + t_i है, अतः ढाल 1/v₂ है, और sin θ_c = v₁/v₂ के साथ t_i = 2h cosθ_c/v₁ से, v₁ (प्रत्यक्ष तरंग से) व v₂ ज्ञात होने पर, h निकल आता है। ढाल 1/v₁ प्रत्यक्ष तरंग की है, शीर्ष तरंग की नहीं, और अंतःखंड एक काल है, दूरी या चाल नहीं।
परिबद्ध व क्षयी तरंगों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. समांगी अर्ध-समष्टि के पृष्ठ पर रैले तरंग अपरिक्षेपी होती है
2. पृष्ठ तरंगें दूरी के साथ पिंड तरंगों से तेज़ घटती हैं, 1/r के सामने 1/r² की तरह
3. समांगी अर्ध-समष्टि के पृष्ठ पर लव तरंगें नहीं हो सकतीं
4. क्षयी तरंग का आयाम अंतरापृष्ठ से दूरी के साथ चरघातांकी रूप से घटता है
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उत्तर: A — समांगी अर्ध-समष्टि के पृष्ठ पर रैले तरंग अपरिक्षेपी होती है; C — समांगी अर्ध-समष्टि के पृष्ठ पर लव तरंगें नहीं हो सकतीं; D — क्षयी तरंग का आयाम अंतरापृष्ठ से दूरी के साथ चरघातांकी रूप से घटता है
तीन सही कथन मानक हैं। पृष्ठ तरंगें पृष्ठ पर फैलती हैं और 1/√r से घटती हैं, जो पिंड तरंगों के 1/r से धीमा है, अतः 1/r² का दावा गलत है।
किरण सिद्धांत के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. किरण सिद्धांत कॉस्टिकों पर, जहाँ निकटवर्ती किरणें एक फ़ोकस पर संकेंद्रित होती हैं, यथार्थ बना रहता है
2. आइकोनल समीकरण यात्रा-काल क्षेत्र T(x) और इस प्रकार तरंगाग्र देता है
3. परिवहन समीकरण निर्धारित करता है कि किरण के अनुदिश आयाम कैसे बदलता है, और किरण-नलिका में ऊर्जा-फ्लक्स नियत रखता है
4. फ़र्मा के सिद्धांत से वास्तविक किरण-पथ पर यात्रा-काल पथ के छोटे परिवर्तनों के सापेक्ष स्थिरमान (stationary) होता है
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उत्तर: B — आइकोनल समीकरण यात्रा-काल क्षेत्र T(x) और इस प्रकार तरंगाग्र देता है; C — परिवहन समीकरण निर्धारित करता है कि किरण के अनुदिश आयाम कैसे बदलता है, और किरण-नलिका में ऊर्जा-फ्लक्स नियत रखता है; D — फ़र्मा के सिद्धांत से वास्तविक किरण-पथ पर यात्रा-काल पथ के छोटे परिवर्तनों के सापेक्ष स्थिरमान (stationary) होता है
आइकोनल व परिवहन समीकरण और फ़र्मा का सिद्धांत किरण सिद्धांत का मूल हैं। कॉस्टिक पर किरण-सिद्धांत का आयाम अनंत हो जाता है, अतः वहाँ, छाया-क्षेत्रों व विवर्तन के साथ, विधि विफल हो जाती है।
भूकंपीय टोमोग्राफी के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. रैखिकीकरण के बाद यात्रा-काल अवशेष d = G m का पालन करते हैं, जहाँ G कोष्ठों में किरणों की पथ-लंबाइयाँ रखता है
2. कम किरण-आच्छादन मॉडल के भाग को शून्य-समष्टि में छोड़ता है, अतः अवमंदन या अन्य नियमितीकरण चाहिए
3. धनात्मक मंदता-विचलन संदर्भ मॉडल से कम वेग के अनुरूप है
4. तेज़ विसंगति का सदा अर्थ ठंडा पदार्थ है, क्योंकि चाल केवल तापमान से बदलती है
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उत्तर: A — रैखिकीकरण के बाद यात्रा-काल अवशेष d = G m का पालन करते हैं, जहाँ G कोष्ठों में किरणों की पथ-लंबाइयाँ रखता है; B — कम किरण-आच्छादन मॉडल के भाग को शून्य-समष्टि में छोड़ता है, अतः अवमंदन या अन्य नियमितीकरण चाहिए; C — धनात्मक मंदता-विचलन संदर्भ मॉडल से कम वेग के अनुरूप है
रैखिक तंत्र, शून्य-समष्टि और मंदता का चिह्न सब सही हैं, क्योंकि s = 1/v और बड़ा s का अर्थ छोटा v है। संघटन, गलित पदार्थ, जल व विषमदैशिकता भी चाल बदलते हैं, अतः तेज़ विसंगति सदा ठंडी नहीं होती।
3.0 km/s से चलती P तरंग 5.0 km/s वाले माध्यम की सीमा से अभिलंब से 30° आपतन कोण पर मिलती है। अपवर्तित P किरण का अभिलंब से कोण, डिग्री में, निकटतम डिग्री तक ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 56
स्नेल का नियम: sin j = (v₂/v₁) sin i = (5.0/3.0) × 0.5 = 0.8333, अतः j = 56.4°, जो पूर्णांकित होकर 56° है। क्रांतिक कोण arcsin(0.6) = 36.9° है, और 30° उससे कम है, अतः पारगमित तरंग है।
अभिलंबवत आपतन पर एक P तरंग ρ = 2000 kg/m³ व v = 2000 m/s वाली परत से ρ = 2500 kg/m³ व v = 3000 m/s वाली परत में जाती है। परावर्तित आपतित ऊर्जा का प्रतिशत दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए। R में कम से कम चार सार्थक अंक रखें।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9.26
Z₁ = 2000 × 2000 = 4.0×10⁶ व Z₂ = 2500 × 3000 = 7.5×10⁶। R = (7.5 − 4.0)/(7.5 + 4.0) = 0.3043, और ऊर्जा-अंश R² = 0.0926, यानी 9.26%। R × 100 = 30.4% बताना आयाम को ऊर्जा समझना होता।
एक अपवर्तन सर्वेक्षण में ऊपरी परत की v₁ = 2000 m/s और निचली परत की v₂ = 4000 m/s है। शीर्ष तरंग शाखा का अंतःखंड-काल 0.433 s है। t_i = 2h cosθ_c / v₁ का, sin θ_c = v₁/v₂ के साथ, प्रयोग कीजिए। ऊपरी परत की मोटाई h मीटर में, निकटतम मीटर तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 500
sin θ_c = 2000/4000 = 0.5, अतः θ_c = 30° और cos θ_c = 0.866। तब h = t_i v₁ / (2 cosθ_c) = 0.433 × 2000 / (2 × 0.866) = 500 m। cos θ_c की जगह sin θ_c लेने पर 866 m आता।
वेग गहराई के साथ रैखिक रूप से v = 2.0 + 0.5 z बढ़ता है (v km/s में, z km में)। एक किरण सतह से ऊर्ध्वाधर से 30° पर चलती है। वह गहराई km में ज्ञात कीजिए जिस पर किरण अपने गहनतम बिंदु पर पहुँचती है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 4
किरण-प्राचल p = sin 30° / 2.0 = 0.25 s/km है। किरण वहाँ मुड़ती है जहाँ sin i = 1, यानी जहाँ v = 1/p = 4.0 km/s। तब 2.0 + 0.5 z = 4.0 से z = 4 km। प्रत्यावर्तन-बिंदु पर 1/p की जगह प्रक्षेप-चाल 2.0 km/s लेना प्रचलित भूल है।
एक 2 × 2 ग्रिड के कोष्ठों की भुजा 10 km है, जिनकी संख्या 1 2 के नीचे 3 4 है। चार किरणें पंक्ति 1 (कोष्ठ 1, 2), पंक्ति 2 (कोष्ठ 3, 4), स्तंभ 1 (कोष्ठ 1, 3) और स्तंभ 2 (कोष्ठ 2, 4) के अनुदिश चलती हैं। यात्रा-काल अवशेष क्रमशः 0.10, 0.30, 0.20 व 0.20 s हैं। कोष्ठ 1 अविक्षुब्ध ज्ञात है। कोष्ठ 4 का मंदता-विचलन 10⁻³ s/km की इकाई में ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 10
प्रत्येक किरण 10 km × (अपने कोष्ठों के δs का योग) = अवशेष देती है। स्तंभ 1: 10 (δs₁ + δs₃) = 0.20, δs₁ = 0 से δs₃ = 0.020 s/km। पंक्ति 2: 10 (δs₃ + δs₄) = 0.30 से δs₄ = 0.030 − 0.020 = 0.010 s/km = 10 × 10⁻³ s/km। स्तंभ 2 जाँच देता है: 10 (0.010 + 0.010) = 0.20 s।