भूगणित (Geodesy): गुरुत्व क्षेत्र, पृथ्वी की आकृति, जियॉइड, डेटम व GPS

यह अध्याय भूविज्ञान एवं भूभौतिकी (GG) पेपर के भाग B2 के शीर्षक “Geodesy” का उत्तर देता है: “पृथ्वी का गुरुत्वीय क्षेत्र; क्लेरो (Clairaut) की प्रमेय, पृथ्वी का आकार व आकृति; जियॉइड; दीर्घवृत्तज; भूगणितीय संदर्भ प्रणालियाँ; डेटम; GPS।” इसमें गुरुत्व विभव व समविभव पृष्ठ, चपटापन, उत्केंद्रता व वक्रता-त्रिज्याओं सहित संदर्भ दीर्घवृत्तज, सामान्य गुरुत्व व क्लेरो की प्रमेय, जियॉइड व दीर्घवृत्तज से उसका पृथक्करण, डेटम व संदर्भ प्रणालियाँ, तथा GPS द्वारा छद्म-दूरियों से स्थिति निकालना पढ़ाया गया है। संख्यात्मक प्रश्न हैं: अक्षों से उत्केंद्रता, किसी अक्षांश पर सामान्य गुरुत्व, क्लेरो का संबंध, देशांतर की एक डिग्री की लंबाई, ऊँचाइयों से जियॉइड-उच्चावच तथा छद्म-दूरी से घड़ी-अभिनति।

1. पृथ्वी का गुरुत्वीय क्षेत्र: विभव, समविभव पृष्ठ व साहुल रेखा

घूर्णी पृथ्वी पर गुरुत्व न्यूटनीय आकर्षण व अपकेंद्री त्वरण का योग है, और दोनों एक गुरुत्व विभव (gravity potential) W = V + Φ से व्युत्पन्न होते हैं। द्रव्यमान M के गोले हेतु V = GM/r और अक्षांश φ पर अपकेंद्री भाग Φ = ½ ω² r² cos²φ है। गुरुत्व g = −∇W है, अतः वह प्रत्येक समविभव पृष्ठ (equipotential surface) (W = नियत) के लंबवत है, और साहुल रेखा (plumb line) उसी की दिशा में चलती है। जहाँ समविभव पृष्ठ पास-पास आते हैं वहाँ g अधिक होता है। उपयोगी स्थिरांक हैं GM = 3.986×10¹⁴ m³/s², ω = 7.292×10⁻⁵ rad/s और माध्य g लगभग 9.8 m/s²।

गोलीय-हार्मोनिक में प्रसारित करने पर विभव में GM/r प्रभावी है। मूल-बिंदु द्रव्यमान-केंद्र पर होने से घात-1 वाले पद शून्य हो जाते हैं, और शेष में सबसे बड़ा पद घात-2 का ज़ोनल गुणांक J₂ ≈ 1.08×10⁻³ है, जो विषुवतीय उभार का माप है। प्रथम कोटि तक J₂ = (2f − m)/3 है, जहाँ m = ω²a³/GM ≈ 1/289, अतः उपग्रह से मिले J₂ से चपटापन f ≈ (3J₂ + m)/2 ≈ 3.35×10⁻³ मिलता है। GRACE (काल-परिवर्ती गुरुत्व) व GOCE (गुरुत्व-प्रवणताएँ) जैसे उपग्रह तथा EGM2008 (घात व क्रम 2159 तक) जैसे वैश्विक मॉडल क्षेत्र का महीन विवरण बनाते हैं।

🎯 क्षेत्र गोले जैसा क्यों नहीं है
घूर्णन पदार्थ को बाहर की ओर फेंकता है, अतः पृथ्वी चपटा आकार लेती है जिसमें सतह W का एक समतल (समविभव) पृष्ठ है। उस पृष्ठ पर गुरुत्व नियत नहीं रहता: वह केंद्र से दूरी और अपकेंद्री पद पर निर्भर करता है, और दोनों अक्षांश के साथ बदलते हैं। यही खंड 3 के सामान्य-गुरुत्व सूत्र का मूल है।

2. पृथ्वी का आकार व आकृति: दीर्घवृत्तज, चपटापन व वक्रता-त्रिज्याएँ

लगभग 6371 km त्रिज्या का गोला प्रथम सन्निकटन है। बेहतर आकृति विषुवतीय अर्ध-अक्ष a और ध्रुवीय अर्ध-अक्ष b < a वाला चपटा परिक्रमण दीर्घवृत्तज (oblate ellipsoid of revolution) है। चपटापन (flattening) f = (a − b)/a है और प्रथम उत्केंद्रता (eccentricity) e² = (a² − b²)/a² = 2f − f² को संतुष्ट करती है। WGS 84 हेतु a = 6 378 137 m और 1/f = 298.257 223 563, अतः b ≈ 6 356 752 m और a − b ≈ 21.4 km। चपटापन केवल 1/298 है, अतः पृथ्वी लगभग गोलाकार है, और प्रेक्षित मान द्रवस्थैतिक साम्य के मान के बहुत निकट है, यद्यपि ठीक वही नहीं।

दीर्घवृत्तज की वक्रता अक्षांश φ के साथ बदलती है। याम्योत्तर वक्रता-त्रिज्या (उत्तर–दक्षिण) M = a(1 − e²)/(1 − e² sin²φ)^(3/2) है और प्रमुख-ऊर्ध्वाधर त्रिज्या (prime-vertical radius) (पूर्व–पश्चिम) N = a/(1 − e² sin²φ)^(1/2) है। अक्षांश की एक डिग्री (π/180) M है, विषुवत् पर 110.57 km और ध्रुवों पर 111.69 km, और देशांतर की एक डिग्री (π/180) N cosφ है, विषुवत् पर 111.32 km और ध्रुवों पर शून्य। हल उदाहरण। φ = 60° पर a = 6378.137 km व e² = 0.00669438 से: 1 − e² sin²φ = 0.99498, N = 6394.21 km, अतः देशांतर की 1° = 111.60 × cos 60° = 55.80 km।

  • चाप-मापन। 1730 के दशक में लैपलैंड व पेरू गए फ़्रांसीसी अभियानों ने पाया कि अक्षांश की एक डिग्री ध्रुव के निकट अधिक लंबी है। लंबी डिग्री का अर्थ अधिक सपाट वक्र, अतः बड़ी वक्रता-त्रिज्या है, इसलिए पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी है। भारत का महान त्रिकोणमितीय सर्वेक्षण (Great Trigonometric Survey), जिसे विलियम लैम्बटन ने 1802 में आरंभ किया और जॉर्ज एवरेस्ट ने आगे बढ़ाया, ने लंबा याम्योत्तर चाप मापा और भारत के पुराने मानचित्रों में प्रयुक्त एवरेस्ट दीर्घवृत्तज दिया।
  • अक्षांश। भू-गणितीय अक्षांश φ (दीर्घवृत्तज के अभिलंब का विषुवतीय तल से कोण) वही है जो मानचित्र व GPS प्रयोग करते हैं। भूकेंद्रीय अक्षांश φ_c त्रिज्या-सदिश का कोण है, जहाँ tan φ_c = (1 − e²) tan φ। वे विषुवत् व ध्रुवों पर बराबर हैं और 45° के निकट सबसे अधिक, लगभग 0.19° (11.5′), भिन्न होते हैं।

3. सामान्य गुरुत्व, क्लेरो की प्रमेय व अक्षांश प्रभाव

सामान्य गुरुत्व (normal gravity) γ संदर्भ दीर्घवृत्तज का गुरुत्व है, जो स्वयं अपने विभव का समतल पृष्ठ है, और वह संदर्भ है जिससे गुरुत्व-विसंगतियाँ मापी जाती हैं। यह विषुवत् (γe ≈ 9.7803 m/s²) से ध्रुव (γp ≈ 9.8322 m/s²) तक लगभग 0.53%, यानी 5.2 cm/s² (5200 mGal), बढ़ता है। दो कारण साथ काम करते हैं: विषुवत् पर अपकेंद्री त्वरण ω²a ≈ 0.034 m/s², जो ध्रुवों पर शून्य हो जाता है और अंतर के लगभग दो-तिहाई का कारण है, तथा चपटापन, जो ध्रुवों को केंद्र के निकट रखता है।

क्लेरो की प्रमेय (Clairaut’s theorem) द्रवस्थैतिक साम्य में घूमते पिंड हेतु आकृति को गुरुत्व से जोड़ती है। विषुवत् पर अपकेंद्री व गुरुत्वीय त्वरण के अनुपात हेतु m = ω²a/γe ≈ 0.00347 (लगभग 1/288) और β = (γp − γe)/γe लिखें। f व m में प्रथम कोटि तक f + β = (5/2) m है। अतः गुरुत्व (β) व घूर्णन-दर मापने से आकृति का सर्वेक्षण किए बिना चपटापन मिल जाता है। अक्षांश φ पर सामान्य गुरुत्व अंतर्राष्ट्रीय गुरुत्व सूत्र (International Gravity Formula) (GRS 80) का अनुसरण करता है: γ(φ) = 9.780327 (1 + 0.0053024 sin²φ − 0.0000058 sin²2φ) m/s²। बंद रूप सोमिग्लियाना (Somigliana) का है, γ = γe (1 + k sin²φ)/√(1 − e² sin²φ), जहाँ k एक स्थिरांक है जो γe, γp, a व b से तय होता है।

हल उदाहरण। φ = 30° पर sin²φ = 0.25 और sin²2φ = 0.75, अतः γ = 9.780327 × (1 + 0.0013256 − 0.0000044) = 9.7932 m/s²। उत्तर–दक्षिण प्रवणता dγ/dφ ≈ γe β sin 2φ है, लगभग 0.81 sin 2φ mGal प्रति km, जो 45° पर सर्वाधिक और विषुवत् व ध्रुवों पर शून्य है। गुरुत्व ऊँचाई के साथ मुक्त-वायु प्रवणता, लगभग 0.3086 mGal प्रति मीटर, से घटता है, अतः γ से तुलना से पहले पाठ्यांक को उभयनिष्ठ स्तर पर लाना होता है।

⚠️ सामान्य गुरुत्व अक्षांश पर निर्भर है, चट्टान पर नहीं
γ(φ) एक चिकने, समांगी-से दीर्घवृत्तज का वर्णन करता है। स्थानीय चट्टान-घनत्व, स्थलाकृति व उपसतही संरचना विसंगति पैदा करते हैं, जो मापे गए गुरुत्व (समायोजन के बाद) व γ का अंतर है। क्लेरो की प्रमेय का चिह्न-नियम भी महत्त्वपूर्ण है: β धनात्मक है क्योंकि ध्रुवों पर गुरुत्व अधिक है, और f व β दोनों छोटी धनात्मक संख्याएँ हैं जिनका योग 5m/2 है।

4. जियॉइड, दीर्घवृत्तज व ऊँचाइयाँ

जियॉइड (geoid) पृथ्वी के गुरुत्व क्षेत्र का वह समविभव पृष्ठ W = W₀ है जो माध्य समुद्र-तल से सर्वोत्तम मेल खाता है; साहुल रेखा उसके लंबवत होती है और उसे महाद्वीपों के नीचे भी कल्पित किया जाता है। यह अनियमित है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान पूर्ण सममिति से वितरित नहीं है। संदर्भ दीर्घवृत्तज (reference ellipsoid) चिकना गणितीय पृष्ठ है जिसे जियॉइड से यथासंभव मिलाकर चुना जाता है, और उनका ऊर्ध्वाधर पृथक्करण जियॉइड-उच्चावच (geoid undulation) N है, जो विश्व भर में लगभग ±100 m के भीतर रहता है: सबसे गहरा निम्न, लगभग −100 m, भारत के दक्षिण में हिंद महासागर में है, और लगभग +60 से +85 m के उच्च उत्तरी अटलांटिक व न्यू गिनी के निकट हैं। जहाँ जियॉइड दीर्घवृत्तज से ऊपर है, द्रव्यमान आधिक्य के ऊपर, वहाँ N धनात्मक है।

तीन ऊँचाइयों को अलग रखना होता है। दीर्घवृत्तज ऊँचाई (ellipsoidal height) h दीर्घवृत्तज के अभिलंब के अनुदिश मापी जाती है और GPS वही देता है। ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाई (orthometric height) H जियॉइड के ऊपर साहुल रेखा के अनुदिश मापी जाती है और मानचित्रों व समतलन (levelling तथा गुरुत्व) की ऊँचाई है। उनका अंतर उच्चावच है: h = H + N, अतः N = h − H। हल उदाहरण। GPS से h = 524.8 m और समतलन से H = 507.4 m मिलता है, अतः N = +17.4 m है और वहाँ जियॉइड दीर्घवृत्तज से 17.4 m ऊपर है। GPS ऊँचाइयों को मानचित्र-ऊँचाई बनाने हेतु जियॉइड मॉडल से लिया N घटाया जाता है।

  • N की गणना। विक्षोभ विभव T (वास्तविक घटा सामान्य विभव) के साथ ब्रन्स (Bruns) सूत्र N = T/γ देता है, और गुरुत्व-विसंगतियों पर स्टोक्स (Stokes) समाकल T देता है। उपग्रह मॉडल दीर्घ तरंगदैर्घ्य और पृष्ठीय गुरुत्व लघु तरंगदैर्घ्य देते हैं।
  • जियॉइड व समुद्र-तल। माध्य समुद्र-तल जियॉइड से लगभग 1 से 2 m तक भिन्न होता है (धाराओं, तापमान व लवणता से समुद्र-सतह स्थलाकृति), अतः महासागरों पर भी दोनों एक नहीं हैं।
⚠️ जल विभव का अनुसरण करता है, दीर्घवृत्तज ऊँचाई का नहीं
समान दीर्घवृत्तज ऊँचाई h वाले दो बिंदु भिन्न समविभव पृष्ठों पर हो सकते हैं, क्योंकि जियॉइड दीर्घवृत्तज के समानांतर नहीं है। जल व स्प्रिट-लेवल समविभव का अनुसरण करते हैं, अतः प्रवाह की दिशा केवल GPS ऊँचाई से नहीं, ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाई H (या विभव) से तय होती है।

5. भूगणितीय संदर्भ प्रणालियाँ, फ़्रेम व डेटम

डेटम (datum) संदर्भ दीर्घवृत्तज को पृथ्वी से बाँधता है। वह दीर्घवृत्तज का आकार व आकृति (a व f), उसके केंद्र की स्थिति और उसके अक्षों का अभिविन्यास तय करता है। स्थानीय (क्षेत्रीय) डेटम, जैसे भारत में कालियानपुर (Kalianpur) मूल-बिंदु वाला एवरेस्ट डेटम, ऐसे चुना जाता है कि दीर्घवृत्तज एक देश पर जियॉइड से सर्वोत्तम मेल खाए; उसका केंद्र पृथ्वी के द्रव्यमान-केंद्र से विस्थापित होता है और उसके निर्देशांक वैश्विक नहीं होते। भूकेंद्रीय (वैश्विक) डेटम केंद्र को द्रव्यमान-केंद्र पर और Z अक्ष को माध्य घूर्णन-अक्ष के अनुदिश रखता है: GPS का डेटम WGS 84 इसी प्रकार का है। ऊर्ध्वाधर डेटम (vertical datum) वह पृष्ठ है जिससे ऊँचाइयाँ गिनी जाती हैं, सामान्यतः ज्वार-मापियों पर माध्य समुद्र-तल।

स्थानीय व भूकेंद्रीय डेटम की तुलना
विशेषतास्थानीय डेटमभूकेंद्रीय डेटम
दीर्घवृत्तज का केंद्रद्रव्यमान-केंद्र से विस्थापितद्रव्यमान-केंद्र पर
जियॉइड से सर्वोत्तम मेलएक देश या क्षेत्र परसंपूर्ण पृथ्वी पर
विशिष्ट उपयोगपुराने राष्ट्रीय मानचित्र व सर्वेक्षणGPS, उपग्रह भूगणित
उदाहरणभारत का एवरेस्ट डेटमWGS 84, ITRF

संदर्भ प्रणाली (reference system) परिभाषा है (परिपाटियाँ, स्थिरांक, अक्ष); संदर्भ फ़्रेम (reference frame) चिह्नित बिंदुओं के निर्देशांकों से उसका साकार रूप है। अंतर्राष्ट्रीय पार्थिव संदर्भ प्रणाली (ITRS) ITRF के केंद्रों के निर्देशांकों से साकार होती है, जिनमें वेग भी सम्मिलित होते हैं क्योंकि प्लेटें प्रति वर्ष सेंटीमीटरों में खिसकती हैं, अतः निर्देशांक के साथ एक कालांक (epoch) चाहिए। भू-गणितीय निर्देशांक पृथ्वी-केंद्रित कार्तीय निर्देशांकों में X = (N + h) cosφ cosλ, Y = (N + h) cosφ sinλ, Z = [N(1 − e²) + h] sinφ से बदलते हैं। एक डेटम से दूसरे में जाने पर तीन-प्राचल विस्थापन (ΔX, ΔY, ΔZ) या सात-प्राचल हेल्मर्ट (Helmert) रूपांतरण (तीन विस्थापन, तीन घूर्णन व एक पैमाना-गुणक) लगता है। रूपांतरण छोड़ने पर प्रत्येक स्थिति लगभग एक ही दिशा में विस्थापित होती है, यह क्रमबद्ध विचलन है, यादृच्छिक बिखराव नहीं।

6. GPS: स्थिति की गणना कैसे होती है

GPS में अंतरिक्ष खंड (नाममात्र 24 या अधिक उपग्रह, 55° झुकाव वाले छह कक्षीय तलों में, लगभग 20 200 km ऊँचाई पर, कक्षीय त्रिज्या लगभग 26 560 km और आवर्तकाल लगभग 12 नाक्षत्र घंटे), भू-स्टेशनों का नियंत्रण खंड और ग्राहियों का उपयोगकर्ता खंड हैं। प्रत्येक उपग्रह L1 = 1575.42 MHz व L2 = 1227.60 MHz पर प्रसारण करता है (10.23 MHz का 154 व 120 गुना), जिनमें समय-कोड और उसकी कक्षा होती है।

ग्राही प्रत्येक संकेत को अपनी सस्ती घड़ी से मापता है, जिससे छद्म-दूरी (pseudorange) ρ = R + c(δt_r − δt_s) + I + T + ε मिलती है। यहाँ R = √[(x_s − x)² + (y_s − y)² + (z_s − z)²] ज्यामितीय दूरी है, δt_r व δt_s ग्राही व उपग्रह की घड़ियों की त्रुटियाँ हैं (दूसरी प्रसारित डेटा से मॉडल की जाती है), I व T आयनमंडलीय व क्षोभमंडलीय विलंब हैं और ε बहुपथ (multipath) व रव है। अज्ञात x, y, z व δt_r हैं, कुल चार, अतः कम से कम चार उपग्रह चाहिए, और अधिक होने पर न्यूनतम वर्ग विधि प्रयुक्त होती है। हल उदाहरण। यदि ρ = 22 150 km और R = 22 000 km हो, तो c δt_r = 150 km और δt_r = 1.5×10⁵ / 3.00×10⁸ = 500 µs। 1 µs की घड़ी-त्रुटि दूरी में 300 m है।

  • आयनमंडल। विलंब परिक्षेपी है, 1/f² के अनुक्रमानुपाती, अतः दो आवृत्तियाँ उसका प्रथम-कोटि प्रभाव हटा देती हैं: ρ_IF = (f₁²ρ₁ − f₂²ρ₂)/(f₁² − f₂²)। चूँकि (f₁/f₂)² = 1.647, L1 पर 5.00 m का विलंब L2 पर 8.23 m है। इन आवृत्तियों पर क्षोभमंडल परिक्षेपी नहीं है, अतः उसे मॉडल किया जाता है।
  • ज्यामिति व सटीकता। परिशुद्धता-क्षय (DOP) बताता है कि उपग्रह-ज्यामिति दूरी-त्रुटि को कैसे बढ़ाती है: स्थिति-त्रुटि ≈ DOP × दूरी-त्रुटि, और आकाश में फैले उपग्रह कम DOP देते हैं। अंतरीय (differential) GPS और RTK जैसी वाहक-कला विधियाँ आधार स्टेशन से सेंटीमीटर स्तर तक पहुँचती हैं।
  • सापेक्षिकता। उपग्रह-घड़ियाँ शुद्ध रूप से प्रतिदिन लगभग 38 µs आगे चलती हैं (गुरुत्वीय व वेग प्रभाव मिलाकर), अतः प्रक्षेपण से पहले उन्हें थोड़ा धीमा चलाने हेतु नियत किया जाता है। अशोधित रहने पर 38 µs प्रतिदिन लगभग 11.4 km की दूरी-त्रुटि होती।
⚠️ GPS h देता है, H नहीं
GPS ग्राही जो ऊँचाई बताता है वह दीर्घवृत्तज ऊँचाई है। उसकी तुलना समतलित या मानचित्र-ऊँचाई से करने के लिए जियॉइड-उच्चावच घटाना होता है, H = h − N। यह भूलने पर दसियों मीटर तक की त्रुटि रह जाती है, जो स्थिति-निर्धारण की स्वयं की सेंटीमीटर परिशुद्धता से कहीं बड़ी है।

मुख्य बिंदु

  • गुरुत्व विभव W = V + Φ की प्रवणता है और समविभव पृष्ठों के लंबवत है; साहुल रेखा उसी का अनुसरण करती है। गोले से मुख्य विचलन J₂ ≈ 1.08×10⁻³, विषुवतीय उभार, है, जिससे f ≈ (3J₂ + m)/2।
  • संदर्भ दीर्घवृत्तज में f = (a − b)/a व e² = 2f − f² है (WGS 84: a = 6 378 137 m, 1/f = 298.257, a − b ≈ 21.4 km)। M व N याम्योत्तर व प्रमुख-ऊर्ध्वाधर त्रिज्याएँ हैं; अक्षांश की डिग्री ध्रुवों पर लंबी है, जिसने दिखाया कि पृथ्वी चपटी है।
  • क्लेरो: प्रथम कोटि तक f + β = (5/2) m। सामान्य गुरुत्व γ = 9.780327 (1 + 0.0053024 sin²φ − 0.0000058 sin²2φ) m/s² विषुवत् से ध्रुव तक लगभग 0.53% बढ़ता है, कुछ अपकेंद्री पद से और कुछ चपटेपन से; उसकी उत्तर–दक्षिण प्रवणता लगभग 0.81 sin 2φ mGal/km है।
  • जियॉइड वह समविभव पृष्ठ है जो माध्य समुद्र-तल से सर्वोत्तम मेल खाता है; वह दीर्घवृत्तज से लगभग ±100 m के भीतर N से भिन्न है (सबसे निम्न भारत के दक्षिण में)। ऊँचाइयाँ h = H + N का पालन करती हैं, अतः N = h − H, और GPS h देता है, H नहीं।
  • डेटम दीर्घवृत्तज को पृथ्वी से बाँधता है (आकार, केंद्र, अभिविन्यास)। एवरेस्ट डेटम जैसे स्थानीय डेटम द्रव्यमान-केंद्र से विस्थापित होते हैं; WGS 84 व ITRF जैसे भूकेंद्रीय नहीं। डेटम-परिवर्तन तीन- या सात-प्राचल रूपांतरण है, और उसे छोड़ने से क्रमबद्ध विस्थापन आता है।
  • GPS छद्म-दूरियों ρ = R + c(δt_r − δt_s) + त्रुटियाँ से चार अज्ञात (x, y, z व ग्राही घड़ी-अभिनति) हल करता है, अतः चार उपग्रह चाहिए। दो आवृत्तियाँ 1/f² आयनमंडलीय विलंब हटाती हैं, कम DOP का अर्थ अच्छी ज्यामिति है, और 1 µs की घड़ी-त्रुटि 300 m है।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. जियॉइड का कौन-सा वर्णन सही है?

    1. सर्वोत्तम-मेल वाले परिक्रमण दीर्घवृत्तज का पृष्ठ, जो केवल एक अर्ध-दीर्घ अक्ष व एक चपटेपन से परिभाषित है
    2. महाद्वीपों की सतह व समुद्र-तल को मिलाकर बना स्थलाकृतिक पृष्ठ, जो कुछ किलोमीटर की दूरी पर औसतित (समतल) किया हुआ है
    3. गुरुत्व क्षेत्र का वह समविभव पृष्ठ जो माध्य समुद्र-तल से सर्वोत्तम मेल खाता है और हर स्थान पर साहुल रेखा के लंबवत है
    4. वह पृष्ठ जिस पर गुरुत्व का मान हर जगह समान है, और जो इसीलिए ध्रुवों पर केंद्र के अधिक निकट स्थित है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — गुरुत्व क्षेत्र का वह समविभव पृष्ठ जो माध्य समुद्र-तल से सर्वोत्तम मेल खाता है और हर स्थान पर साहुल रेखा के लंबवत है

    जियॉइड समविभव पृष्ठ (W = नियत) है जो माध्य समुद्र-तल से सर्वोत्तम मेल खाता है, अतः साहुल रेखा उसके लंबवत है। दीर्घवृत्तज भिन्न, अधिक चिकना, विशुद्ध गणितीय पृष्ठ है। नियत गुरुत्व वाला पृष्ठ समविभव नहीं होता, क्योंकि जियॉइड पर गुरुत्व अक्षांश के साथ बदलता है।

  2. दो बेंचमार्कों की WGS 84 दीर्घवृत्तज के ऊपर GPS ऊँचाई समान है, फिर भी उनके बीच की नहर में जल एक से दूसरे की ओर बहता है। सर्वोत्तम स्पष्टीकरण क्या है?

    1. GPS ऊँचाइयों में कई मीटर की यादृच्छिक त्रुटि होती है, जो नहर का वास्तविक ढाल छिपा देती है और प्रवाह की दिशा उलट दिखाती है
    2. जल गुरुत्व विभव के अनुसार बहता है, और दोनों स्थानों पर जियॉइड-उच्चावच N भिन्न है, अतः उनकी ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाइयाँ भिन्न हैं
    3. दीर्घवृत्तज ध्रुवों पर चपटा है, अतः एक अक्षांश का प्रत्येक बिंदु दूसरे अक्षांश के प्रत्येक बिंदु से भिन्न ऊँचाई पर होता है
    4. स्वयं जल का गुरुत्वीय खिंचाव साहुल रेखा को झुकाता है और इस प्रकार बेंचमार्क को मापने योग्य मात्रा में ऊर्ध्वाधर सरकाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — जल गुरुत्व विभव के अनुसार बहता है, और दोनों स्थानों पर जियॉइड-उच्चावच N भिन्न है, अतः उनकी ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाइयाँ भिन्न हैं

    प्रवाह समविभव पृष्ठों का अनुसरण करता है। जियॉइड दीर्घवृत्तज के समानांतर नहीं है, अतः N भिन्न होने पर समान दीर्घवृत्तज ऊँचाइयाँ h = H + N भिन्न ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाइयों H के अनुरूप हो सकती हैं। अच्छे GPS की ऊँचाई-त्रुटि नहर के ढाल की आवश्यकता से बहुत कम है, और न दीर्घवृत्तज का चपटापन, न स्वयं जल का खिंचाव प्रवाह की व्याख्या करता है।

  3. क्लेरो की प्रमेय, चपटेपन f और m = ω²a/γe में प्रथम कोटि तक, f, m और β = (γp − γe)/γe को जोड़ती है। कौन-सा संबंध सही है?

    1. f β = (5/2) m
    2. f − β = (5/2) m
    3. f = β + (5/2) m
    4. f + β = (5/2) m
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — f + β = (5/2) m

    क्लेरो का संबंध f + β = (5/2) m है: तेज़ घूर्णन (बड़ा m) चपटापन और ध्रुव-से-विषुवत् गुरुत्व-वृद्धि, दोनों बढ़ाता है। संख्यात्मक रूप से m = 0.00347 व β = 0.00530 से f ≈ 0.0034 मिलता है, जो वास्तविक 0.00335 के निकट है। अंतर या गुणनफल वाले रूप इन परिमाणों को नहीं दोहराते।

  4. निम्नलिखित में से कौन-सा भू-गणितीय डेटम को पूर्णतः परिभाषित करता है?

    1. संदर्भ दीर्घवृत्तज (a व f) के साथ उसके केंद्र की स्थिति और उसके अक्षों का अभिविन्यास
    2. केवल संदर्भ दीर्घवृत्तज का अर्ध-दीर्घ अक्ष व चपटापन, पर्याप्त अंकों तक उद्धृत किए हुए
    3. वह जियॉइड मॉडल जो किसी देश या क्षेत्र में दीर्घवृत्तज ऊँचाइयों को ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाइयों में बदलता है
    4. वह मानचित्र-प्रक्षेप जो दीर्घवृत्तज के पृष्ठ को छपे या स्क्रीन पर दिखाए मानचित्र-पन्ने पर समतल करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संदर्भ दीर्घवृत्तज (a व f) के साथ उसके केंद्र की स्थिति और उसके अक्षों का अभिविन्यास

    डेटम को दीर्घवृत्तज का आकार व आकृति चाहिए और यह भी कि वह पृथ्वी के सापेक्ष कहाँ स्थित है और कैसे घुमा है। दो डेटम में a व f समान हो सकते हैं पर केंद्र व अभिविन्यास भिन्न, अतः केवल अक्ष पर्याप्त नहीं। जियॉइड मॉडल व प्रक्षेप अलग विकल्प हैं।

  5. एक सर्वेक्षक WGS 84 में मिली GPS स्थितियाँ बिना किसी रूपांतरण के क्षेत्रीय (एवरेस्ट) डेटम पर बने पुराने मानचित्र पर सीधे आलेखित करता है। अपेक्षित परिणाम क्या है?

    1. आलेखित बिंदुओं का यादृच्छिक बिखराव, क्योंकि GPS रव किसी भी डेटम-अंतर से बहुत अधिक है
    2. त्रुटि केवल ऊँचाई में, क्योंकि दोनों डेटम प्रत्येक बिंदु को समान क्षैतिज निर्देशांक देते हैं
    3. लगभग एक ही मात्रा में लगभग एक ही दिशा में खिसके बिंदु, क्योंकि दीर्घवृत्तज आकार व केंद्र में भिन्न हैं
    4. कोई दृश्य त्रुटि नहीं, क्योंकि डेटम-परिवर्तन किसी भी मानचित्र पर स्थितियों को केवल कुछ सेंटीमीटर खिसकाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — लगभग एक ही मात्रा में लगभग एक ही दिशा में खिसके बिंदु, क्योंकि दीर्घवृत्तज आकार व केंद्र में भिन्न हैं

    भिन्न केंद्रों व अभिविन्यासों वाले भिन्न दीर्घवृत्तज एक ही भूमि-बिंदु को भिन्न निर्देशांक देते हैं, और किसी क्षेत्र पर वह अंतर क्रमबद्ध होता है, समान परिमाण व दिशा का विस्थापन। यह यादृच्छिक रव नहीं है, यह क्षैतिज स्थिति को भी प्रभावित करता है, और सेंटीमीटरों से बहुत बड़ा है, इसीलिए डेटम-रूपांतरण लगाया जाता है।

  6. GPS ग्राही को कम से कम चार उपग्रहों के संकेत चाहिए, यद्यपि तीन उपग्रहों की दूरी अंतरिक्ष में बिंदु तय कर देती है। क्यों?

    1. चार उपग्रह इसलिए चाहिए कि कम से कम एक सदा ग्राही के क्षितिज के ऊपर रहे
    2. ग्राही-घड़ी में अज्ञात अभिनति है, जो x, y व z के साथ चौथा अज्ञात है
    3. प्रत्येक उपग्रह अपनी स्थिति का केवल एक निर्देशांक प्रसारित करता है, अतः चार संकेत पूर्ण स्थिति देते हैं
    4. चौथे उपग्रह का उपयोग ग्राही के स्थान पर जियॉइड-उच्चावच मापने में होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ग्राही-घड़ी में अज्ञात अभिनति है, जो x, y व z के साथ चौथा अज्ञात है

    छद्म-दूरियों में c·δt_r होता है क्योंकि ग्राही की सस्ती घड़ी उपग्रह-समय से समकालिक नहीं है। x, y, z व δt_r अज्ञात होने पर चार समीकरण चाहिए। उपग्रह पूरी कक्षा प्रसारित करता है, एक निर्देशांक नहीं, और जियॉइड-उच्चावच मॉडल से आता है, उपग्रह-संकेत से नहीं।

  7. द्वि-आवृत्ति GPS ग्राही आयनमंडलीय त्रुटि का अधिकांश इसलिए हटा देते हैं क्योंकि

    1. क्षोभमंडल दोनों आवृत्तियों को समान विलंबित करता है, अतः अंतर प्रत्येक वायुमंडलीय त्रुटि को निरस्त कर देता है
    2. दूसरी आवृत्ति आयनमंडल से बिना विलंब गुज़रती है और इसलिए यथार्थ दूरी-संदर्भ का काम करती है
    3. उपग्रह-घड़ी की त्रुटि L2 पर L1 से अधिक है और संयोजन से घट जाती है
    4. आयनमंडलीय विलंब आवृत्ति पर 1/f² की तरह निर्भर है, अतः दो मापन उसे हल करके हटाने देते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — आयनमंडलीय विलंब आवृत्ति पर 1/f² की तरह निर्भर है, अतः दो मापन उसे हल करके हटाने देते हैं

    आयनमंडल परिक्षेपी है और विलंब 1/f² के अनुक्रमानुपाती है, अतः एक ही दूरी को दो आवृत्तियों पर मापने से दो समीकरण मिलते हैं जो प्रथम-कोटि विलंब हटाते हैं। इन आवृत्तियों पर क्षोभमंडल अपरिक्षेपी है और इस ढंग से नहीं हटता, और कोई आवृत्ति आयनमंडल को बिना विलंब पार नहीं करती।

  8. मापे गए चाप दिखाते हैं कि अक्षांश की एक डिग्री विषुवत् के निकट लगभग 110.6 km और ध्रुवों के निकट लगभग 111.7 km है। यह पृथ्वी के बारे में क्या दर्शाता है?

    1. पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी है, क्योंकि लंबी डिग्री का अर्थ बड़ी वक्रता-त्रिज्या वाला अधिक सपाट वक्र है
    2. पृथ्वी ध्रुवों पर लंबी है, क्योंकि लंबी डिग्री का अर्थ वहाँ अधिक तीक्ष्ण वक्र पृष्ठ है
    3. पृथ्वी पूर्ण गोला है, क्योंकि अंतर सर्वेक्षण की त्रुटि से कम है
    4. पृथ्वी ध्रुवों के निकट तेज़ घूमती है, जो याम्योत्तर के अनुदिश सतह को खींचकर डिग्री को लंबा करती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पृथ्वी ध्रुवों पर चपटी है, क्योंकि लंबी डिग्री का अर्थ बड़ी वक्रता-त्रिज्या वाला अधिक सपाट वक्र है

    प्रति डिग्री चाप-लंबाई वक्रता-त्रिज्या का (π/180) गुना है, अतः ध्रुवों के निकट लंबी डिग्री का अर्थ वहाँ बड़ी त्रिज्या, यानी अधिक सपाट, कम वक्र पृष्ठ है: पृथ्वी चपटी है (M विषुवत् पर 6335 km और ध्रुव पर 6400 km है)। ध्रुवों पर लंबी डिग्री वह उलटा है जो लंबी आकृति देती।

  9. जियॉइड व संदर्भ दीर्घवृत्तज के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. जियॉइड गुरुत्व का समविभव पृष्ठ है, जबकि संदर्भ दीर्घवृत्तज चिकना गणितीय पृष्ठ है
    2. जियॉइड अनियमित है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान-वितरण पूर्णतः सममित नहीं है
    3. जियॉइड-उच्चावच N = h − H का पालन करता है, जहाँ h दीर्घवृत्तज ऊँचाई और H ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाई है
    4. जियॉइड प्रत्येक बिंदु पर सर्वोत्तम-मेल वाले वैश्विक दीर्घवृत्तज से ठीक मेल खाता है, अतः N शून्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — जियॉइड गुरुत्व का समविभव पृष्ठ है, जबकि संदर्भ दीर्घवृत्तज चिकना गणितीय पृष्ठ है; B — जियॉइड अनियमित है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान-वितरण पूर्णतः सममित नहीं है; C — जियॉइड-उच्चावच N = h − H का पालन करता है, जहाँ h दीर्घवृत्तज ऊँचाई और H ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाई है

    यह कि जियॉइड समविभव पृष्ठ है, कि वह असमान द्रव्यमान-वितरण के कारण अनियमित है, और कि N = h − H, ये मानक संबंध हैं। यह दावा कि जियॉइड दीर्घवृत्तज से ठीक मेल खाता है, असत्य है: जियॉइड सर्वोत्तम-मेल वाले दीर्घवृत्तज से लगभग 100 m तक भिन्न होता है, जो जियॉइड-उच्चावच N है, अतः N सामान्यतः शून्य नहीं है।

  10. GPS स्थिति-निर्धारण के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. छद्म-दूरी ज्यामितीय दूरी से c गुणा ग्राही-घड़ी-अभिनति तथा वायुमंडलीय विलंब व रव के योग से भिन्न होती है
    2. आकाश में दूर-दूर फैले उपग्रह कम DOP देते हैं और इसलिए समान दूरी-त्रुटि पर कम स्थिति-त्रुटि
    3. आयनमंडलीय विलंब कम आवृत्ति वाले संकेत पर अधिक होता है, 1/f² के अनुपात में
    4. GPS द्वारा बताई ऊँचाई जियॉइड के ऊपर की ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाई है, अतः मानचित्रण हेतु उसे आगे संशोधन नहीं चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — छद्म-दूरी ज्यामितीय दूरी से c गुणा ग्राही-घड़ी-अभिनति तथा वायुमंडलीय विलंब व रव के योग से भिन्न होती है; B — आकाश में दूर-दूर फैले उपग्रह कम DOP देते हैं और इसलिए समान दूरी-त्रुटि पर कम स्थिति-त्रुटि; C — आयनमंडलीय विलंब कम आवृत्ति वाले संकेत पर अधिक होता है, 1/f² के अनुपात में

    छद्म-दूरी समीकरण, DOP ज्यामिति-गुणक और 1/f² परिक्षेपण, तीनों सही हैं। GPS ऊँचाइयाँ दीर्घवृत्तज हैं, अतः मानचित्र-ऊँचाई के रूप में प्रयोग से पहले जियॉइड-उच्चावच घटाना होगा (H = h − N)।

  11. सामान्य गुरुत्व γ(φ) के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. γ विषुवत् पर लगभग 9.780 m/s² से ध्रुवों पर लगभग 9.832 m/s² तक बढ़ता है
    2. अक्षांश के साथ वृद्धि में अपकेंद्री त्वरण और पृथ्वी का चपटापन, दोनों योगदान देते हैं
    3. γ की उत्तर–दक्षिण प्रवणता, जो sin 2φ के अनुपाती है, 45° अक्षांश पर सर्वाधिक है
    4. γ की उत्तर–दक्षिण प्रवणता ध्रुवों पर सर्वाधिक है, जहाँ पृथ्वी सबसे सपाट है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — γ विषुवत् पर लगभग 9.780 m/s² से ध्रुवों पर लगभग 9.832 m/s² तक बढ़ता है; B — अक्षांश के साथ वृद्धि में अपकेंद्री त्वरण और पृथ्वी का चपटापन, दोनों योगदान देते हैं; C — γ की उत्तर–दक्षिण प्रवणता, जो sin 2φ के अनुपाती है, 45° अक्षांश पर सर्वाधिक है

    9.780 से 9.832 m/s² तक की वृद्धि में अपकेंद्री भाग और आकृति-भाग है, और dγ/dφ ≈ γe β sin 2φ का शिखर 45° पर है। ध्रुवों पर sin 2φ = 0 है और γ अपने अधिकतम मान पर है, परंतु समतल है, अतः वहाँ प्रवणता शून्य है, सर्वाधिक नहीं।

  12. एक संदर्भ दीर्घवृत्तज में अर्ध-दीर्घ अक्ष a = 6378.137 km और अर्ध-लघु अक्ष b = 6356.752 km है। प्रथम उत्केंद्रता का वर्ग e² = (a² − b²)/a² है। e² × 10³ का मान दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6.69

    b/a = 6356.752 / 6378.137 = 0.996647, अतः (b/a)² = 0.993306 और e² = 1 − 0.993306 = 0.0066945, जो 6.69 × 10⁻³ है। जाँच हेतु, f = (a − b)/a = 0.0033529 और 2f − f² = 0.0066945।

  13. अंतर्राष्ट्रीय गुरुत्व सूत्र γ(φ) = 9.780327 (1 + 0.0053024 sin²φ − 0.0000058 sin²2φ) m/s² का प्रयोग कीजिए। अक्षांश 30° पर सामान्य गुरुत्व m/s² में तीन दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 9.793

    30° पर sin²φ = 0.25 और sin²2φ = sin²60° = 0.75। कोष्ठक 1 + 0.0053024 × 0.25 − 0.0000058 × 0.75 = 1 + 0.0013256 − 0.00000435 = 1.0013213 है। γ = 9.780327 × 1.0013213 = 9.79325, जो तीन दशमलव तक 9.793 m/s² है। sin²2φ = 0.75 है, 2 sin²φ = 0.5 नहीं; sin²2φ पद γ को केवल लगभग 4×10⁻⁵ m/s² बदलता है, अतः तीसरे दशमलव पर उसका असर नहीं पड़ता, और लगभग सारा काम sin²φ पद करता है।

  14. एक स्टेशन पर GPS ग्राही दीर्घवृत्तज ऊँचाई h = 524.8 m देता है। वहाँ जियॉइड मॉडल से जियॉइड-उच्चावच N = +17.4 m मिलता है। ऑर्थोमेट्रिक ऊँचाई H मीटर में, एक दशमलव स्थान तक, ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 507.4

    ऊँचाइयाँ h = H + N को संतुष्ट करती हैं, अतः H = h − N = 524.8 − 17.4 = 507.4 m। N जोड़ने पर 542.2 m आता है, जो प्रचलित चिह्न-भूल है; धनात्मक N का अर्थ है कि जियॉइड दीर्घवृत्तज से ऊपर है, अतः भू-तल दीर्घवृत्तज के ऊपर जियॉइड के ऊपर की तुलना में उसी मात्रा से अधिक ऊँचा है।

  15. a = 6378.137 km और e² = 0.00669438 लें। अक्षांश φ पर देशांतर की एक डिग्री की लंबाई (π/180) N cosφ है, जहाँ N = a/√(1 − e² sin²φ)। अक्षांश 60° पर इसे km में, एक दशमलव स्थान तक, ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 55.8

    60° पर sin²φ = 0.75, अतः 1 − e² sin²φ = 1 − 0.00502 = 0.99498 और उसका वर्गमूल 0.99749 है। N = 6378.137 / 0.99749 = 6394.2 km। तब (π/180) × 6394.2 = 111.60 km और cos 60° = 0.5 से गुणा करने पर 55.80 km, यानी 55.8 km। N की जगह याम्योत्तर त्रिज्या M लेना प्रचलित भूल है।

  16. एक ग्राही एक उपग्रह की छद्म-दूरी 22 150.00 km मापता है, जबकि उसकी वास्तविक ज्यामितीय दूरी 22 000.00 km है। ग्राही-घड़ी-अभिनति के अतिरिक्त प्रत्येक त्रुटि अनदेखी करके वह अभिनति माइक्रोसेकंड में ज्ञात कीजिए। c = 3.00 × 10⁸ m/s लें।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 500

    छद्म-दूरी का आधिक्य 22 150 − 22 000 = 150 km = 1.5 × 10⁵ m है, और यह c δt_r के बराबर है। अतः δt_r = 1.5 × 10⁵ / 3.00 × 10⁸ = 5.0 × 10⁻⁴ s = 500 µs। उत्तर मिलीसेकंड (0.5) में देना या km को m में न बदलना प्रचलित भूलें हैं।

  17. प्रथम कोटि तक क्लेरो की प्रमेय f + β = (5/2) m है। m = 0.00346 और विषुवत् से ध्रुव तक गुरुत्व-वृद्धि β = 0.00530 वाली घूर्णी पृथ्वी हेतु चपटापन f, 10⁻³ की इकाई में, दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3.35

    f = (5/2) m − β = 2.5 × 0.00346 − 0.00530 = 0.00865 − 0.00530 = 0.00335 = 3.35 × 10⁻³ (1/f ≈ 298.5)। (5/2) m की जगह m लेने पर ऋणात्मक चपटापन आता है, जो भूल का संकेत है।