ऊष्मा-संचरण: श्रेणी में प्रतिरोध, पंख, विकिरण व ऊष्मा-विनिमयक
Q = ΔT/R लिखें, पटल हेतु R = L/kA तथा पृष्ठ हेतु R = 1/hA सहित, प्रतिरोध पथ के अनुदिश श्रेणी में और उसके आड़े समांतर में रखें, और मिश्रित भित्तियाँ, कुचालक-आवृत नलिकाएँ व पंखयुक्त पृष्ठ सब वही गणना बन जाते हैं। उपमान यह भी बताता है कि कहाँ देखें — किसी भी श्रेणी-श्रृंखला में बृहत्तम प्रतिरोध प्रभावी होता है, और व्यावहारिक परिणाम यह है कि सुकुचालित भित्ति का प्रदर्शन लगभग पूर्णतः कुचालक से नियत होता है और उसके दोनों ओर की धातु से लगभग कुछ भी नहीं। पंख ताप के बदले क्षेत्रफल देकर काम करते हैं: पृष्ठ जोड़ना सदा क्षेत्रफल जोड़ता है, किंतु जोड़ा गया पृष्ठ आधार से शीतल है, और पंख-दक्षता tanh(mL)/mL ठीक उसी दंड का माप है। अस्थायी समस्याएँ बायो संख्या Bi = hL_c/k पर विभाजित होती हैं: 0.1 से नीचे पिंड वस्तुतः समतापीय है और एक चरघातांकी उसका वर्णन करता है; 0.1 से ऊपर आंतरिक प्रवणता महत्व रखती है और आपको चार्ट अथवा श्रेणी-हल चाहिए। संवहन वहाँ है जहाँ सहसंबंध रहते हैं, और वे सब Nu = f(Re, Pr) रूप के कथन हैं — उपयोगी अनुशासन यह है कि गुणांक कंठस्थ करने के बजाय जानें कि प्रत्येक समूह का भौतिक अर्थ क्या है। विकिरण, T⁴ के रूप में चलता है, जो उसे कक्ष-ताप पर उपेक्षणीय और भट्ठी में प्रभावी बना देता है, और धूसर पृष्ठ काले पृष्ठों से ऐसे गुणक द्वारा कम विनिमय करते हैं जो उत्सर्जकताओं का सरल गुणनफल नहीं। ऊष्मा-विनिमयकों के अंततः दो स्थितियों हेतु दो विधियाँ हैं: LMTD जब आप चारों ताप जानें, प्रभाविता–NTU जब न जानें।संवहन-समूह तथा चतुर्थ घात
पाठ्यक्रम के प्रत्येक संवहन-सहसंबंध का वही आकार है — प्रणोदित संवहन हेतु Nu = f(Re, Pr), मुक्त हेतु Nu = f(Gr, Pr) — और अंक इसमें हैं कि समूहों का अर्थ क्या है, क्योंकि वही आपको बिना चार्ट परिवर्तन की दिशा बताने देता है। नसेल्ट संख्या Nu = hL/k, उसी स्तर के आड़े संवहनी व शुद्ध चालनीय ऊष्मा-संचरण का अनुपात है, अतः Nu = 1 का अर्थ है तरल चालन के अतिरिक्त कुछ नहीं कर रहा। प्रांटल संख्या Pr = ν/α तुलना करती है कि संवेग कितनी तीव्रता से विसरित होता है और ऊष्मा कितनी, और वह ठीक सीमा-स्तर मोटाइयों का अनुपात है: वायु हेतु Pr ≈ 0.7 का अर्थ है तापीय स्तर वेग-स्तर से कुछ मोटा है, जल हेतु Pr ≈ 7 का अर्थ है वह पतला है, और द्रव धातुओं हेतु Pr ≈ 0.01 का अर्थ है ऊष्मा संवेग से बहुत आगे दौड़ती है। रेनॉल्ड्स संख्या सदा की तरह स्तरीय या विक्षुब्ध निर्णीत करती है। स्टैंटन व पेक्ले नए विचारों के बजाय इन्हीं के संयोजन हैं। दो आदतें निकलती हैं। प्रथम, सहसंबंध अपने परिसर सहित उद्धृत करें — डिटस–बोल्टर मध्यम Pr पर विक्षुब्ध नलिका-प्रवाह हेतु है, और उसे Re = 500 पर प्रयोग करना रूढ़िवादी नहीं, गलत है। द्वितीय, जब प्रश्न एक चर बदले, सहसंबंध के बजाय समूहों से होकर काम करें: वेग दुगुना करना Re बढ़ाता है, और Nu ∝ Re^0.8 क्षेत्र में वह h को 2^0.8 = 1.74 से बढ़ाता है, 2 से नहीं।
q = σ(T₁⁴ − T₂⁴) का पालन करता है, σ = 5.67 × 10⁻⁸ W/m²·K⁴ सहित, और चतुर्थ घात ही उस विधा का सम्पूर्ण चरित्र है: वह कक्ष-ताप पर संवहन के सामने उपेक्षणीय है और भट्ठी में प्रभावी, और विशिष्ट पृष्ठों हेतु संक्रमण कहीं 400–500 K के आस-पास है। ताप परम होने ही चाहिए — यहाँ °C प्रयोग करना सन्निकटन नहीं बल्कि भिन्न भौतिक दावा है, और वह विकिरण-समस्याओं की सर्वाधिक सामान्य एकल त्रुटि है। अब वह भाग जो नियम ठीक जानने वालों को पकड़ता है। दो बृहत् समांतर धूसर पट्टिकाओं हेतु शुद्ध विनिमय σ ε₁ ε₂ (T₁⁴ − T₂⁴) नहीं है; वह σ F_ε (T₁⁴ − T₂⁴) है, F_ε = 1/(1/ε₁ + 1/ε₂ − 1) सहित। ε₁ = ε₂ = 0.8 सहित वह गुणक 1/(1.25 + 1.25 − 1) = 0.6667 है, जबकि सरल गुणनफल ε₁ε₂, 0.64 देता — यहाँ निकट, किंतु न्यून उत्सर्जकता पर दोनों बुरी तरह अलग हो जाते हैं, और कारण बीजगणितीय के बजाय भौतिक है: पट्टिका 1 से निकलता विकिरण जो पट्टिका 2 से परावर्तित हो वह लौट आता है, आंशिकतः पुनः परावर्तित होता है, और पुनः-परावर्तनों की वह अनंत श्रेणी ठीक वही है जिसका लेखा −1 रखता है। 800 K व 300 K पर दोनों पट्टिकाएँ 15.18 kW/m² विनिमय करती हैं, उस 22.77 kW/m² के सामने जो दोनों काली होने पर होता। और ध्यान दें कि कौन-सा ताप प्रभावी है: 800⁴, 300⁴ का 50 गुना है, अतः शीतल पट्टिका का ताप उत्तर हेतु लगभग अप्रासंगिक है — उपयोगी विवेक-जाँच, और वही कारण कि भट्ठी शीतल कक्ष को और अधिक शीतल कक्ष को लगभग समान ऊष्मा खोती है।ऊष्मा-विनिमयक: दो विधियाँ, तथा प्रतिप्रवाह सदा क्यों जीतता है
जब चारों सिरा-ताप ज्ञात हों, अभिकल्प-समीकरण Q = U A × LMTD है, LMTD = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) सहित। लघुगणकीय माध्य, समांतर माध्य नहीं, क्योंकि ताप-अंतर विनिमयक के अनुदिश चरघातांकी रूप से बदलता है। 100 °C से 60 °C तक शीतल होती उष्ण धारा लें, 20 °C से 50 °C तक गरम होती शीतल धारा के सामने। प्रतिप्रवाह में सिरे 100 − 50 = 50 व 60 − 20 = 40 अंतर देखते हैं, जिससे LMTD = 10/ln 1.25 = 44.81 °C। समप्रवाह में वही चार ताप 100 − 20 = 80 व 60 − 50 = 10 देते हैं, अतः LMTD = 70/ln 8 = 33.66 °C। प्रतिप्रवाह का प्रेरक बल 33.1 प्रतिशत बृहत्तर है, अतः उसी कार्य व उसी U हेतु उसे 24.9 प्रतिशत कम क्षेत्रफल चाहिए — वही धातु केवल इस कारण एक-चौथाई अधिक ऊष्मा चलाती है कि धाराएँ किस दिशा में बहती हैं। और समप्रवाह की एक कठोर सीमा है जो प्रतिप्रवाह की नहीं: शीतल निर्गम उष्ण निर्गम से कभी अधिक नहीं हो सकता, अतः समप्रवाह विनिमयक कुछ कार्यों में 50 °C शीतल निर्गम तक पहुँच ही नहीं सकता जहाँ प्रतिप्रवाह सुखपूर्वक पहुँचता है।
C_r = C_min/C_max | NTU = 1.5 पर ε | NTU = 3 पर ε | यह स्थिति क्या है |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.7769 | 0.9502 | संघनित्र अथवा वाष्पित्र — एक धारा अचर T पर |
| 0.5 | 0.6908 | 0.8744 | विशिष्ट असंतुलित विनिमयक |
| 1 | 0.6000 | 0.7500 | संतुलित — कठिनतम स्थिति, ε = NTU/(1+NTU) |
ε = Q/Q_max परिभाषित करें, जहाँ Q_max = C_min(T_h,in − T_c,in) वह अधिकतम है जो उस विन्यास का कोई भी विनिमयक संभवतः संचरित कर सकता, NTU = UA/C_min विमाहीन आकार के रूप में, तथा C_r = C_min/C_max। तब ε, NTU व C_r का ज्ञात फलन है, और एक ही अवलोकन आपको सीधे कार्य दे देता है। दो अभिकल्प-पाठों हेतु ऊपर की सारणी पढ़ें। प्रथम, ह्रासमान प्रतिफल: C_r = 0.5 पर, NTU को 1.5 से 3 तक दुगुना करना — दुगुना क्षेत्रफल, दुगुनी लागत — प्रभाविता केवल 0.691 से 0.874 तक उठाता है। लगभग NTU = 3 के पश्चात् अतिरिक्त क्षेत्रफल लगभग व्यर्थ है, और इसीलिए वास्तविक विनिमयक ε → 1 का पीछा करने के बजाय उसी परिसर में एकत्र होते हैं। द्वितीय, क्षमता-अनुपात आकार जितना ही महत्व रखता है: उसी NTU = 1.5 पर, C_r के 0 से 1 तक जाने पर प्रभाविता 0.777 से नीचे 0.600 तक चलती है। C_r = 0 पंक्ति संघनित्र अथवा वाष्पित्र है, जहाँ एक धारा प्रावस्था बदलती है और अतः अचर ताप पर रहती है — उसकी ऊष्मा-क्षमता दर प्रभावतः अनंत है, और वही बनाने में सरलतम विनिमयक है। C_r = 1 संतुलित स्थिति है, जहाँ दोनों धाराओं की क्षमता-दरें समान हैं, ताप-अंतर सम्पूर्ण लंबाई भर अचर है, और ε = NTU/(1 + NTU) — कठिनतम स्थिति, और वही जिसके साथ पुनर्योजक को जीना पड़ता है।मुख्य बिंदु
- गणना से पूर्व प्रतिरोध क्रमबद्ध करें। इस्पात / कुचालक / ऐलुमिनियम भित्ति में कुचालक
Rका 99.91 प्रतिशत है, अतःq = 199.82 W/m², केवल कुचालक के कार्य करने से 0.09 प्रतिशत के भीतर है। - पंख-दक्षता
tanh(mL)/mLशीतलतर पृष्ठ का मूल्य है। 5 mm × 50 mm खूँटी-पंख काm = 10 /m,mL = 0.5, η = 92.4 प्रतिशत है और वह 1.452 W हटाता है — अनंत-पंख सीमा का केवल 46.2 प्रतिशत।mL ≈ 3के पश्चात् अतिरिक्त लंबाई व्यर्थ धातु है। - पंख वहाँ लाभ देते हैं जहाँ
hलघु है। वही पंख वायु में 37 प्रभाविता रखता है; द्रव-विनिमयक के उच्च-hपक्ष पर वही ज्यामिति अपनी लागत भर की भी नहीं। Bi = hL_c/k < 0.1समुच्चित हल की छूट देता है। वायु में 10 mm इस्पात-गोले काBi = 0.0017व समय-अचर 119.6 s है, अतः 359 s परिवेश तक के अभिगमन का 95 प्रतिशत ढक लेता है।- विकिरण को परम ताप चाहिए, और धूसर पट्टिकाएँ
1/(1/ε₁ + 1/ε₂ − 1)प्रयोग करती हैं,ε₁ε₂नहीं। दोनों पर ε = 0.8 पर वह 0.6667 है, और 800 K व 300 K पर दो पट्टिकाएँ 15.18 kW/m² विनिमय करती हैं, काले पिंडों के 22.77 के सामने। - प्रतिप्रवाह सदा समप्रवाह को हराता है। उष्ण 100 → 60 व शीतल 20 → 50 पर LMTD, 33.66 °C के सामने 44.81 है — 33.1 प्रतिशत अधिक प्रेरक बल, अतः उसी कार्य हेतु 24.9 प्रतिशत कम क्षेत्रफल।
- प्रभाविता संतृप्त होती है:
C_r = 0.5पर NTU को 1.5 से 3 तक दुगुना करना ε को केवल 0.691 से 0.874 तक उठाता है।C_r = 0संघनित्र है (सरलतम स्थिति),C_r = 1संतुलित,ε = NTU/(1 + NTU)सहित।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
किसी भित्ति में 20 mm इस्पात (k = 50 W/m·K), 50 mm कुचालक (k = 0.05 W/m·K) व 10 mm ऐलुमिनियम (k = 20 W/m·K) है। इस्पात की मोटाई दुगुनी करने से ऊष्मा-अभिवाह लगभग बदलेगा
उत्तर देखें
उत्तर: A — 0.04 प्रतिशत
लगभग 0.04 प्रतिशत। पहले प्रति वर्ग मीटर प्रतिरोध क्रमबद्ध करें: इस्पात0.02/50 = 0.0004, कुचालक0.05/0.05 = 1.0000, ऐलुमिनियम0.01/20 = 0.0005 K·m²/W। कुल1.0009है, जिसमें कुचालक 99.91 प्रतिशत है। इस्पात दुगुना करना1.0009के कुल में और0.0004जोड़ता है, 0.04 प्रतिशत का परिवर्तन — और ऊष्मा-अभिवाह उसी अंश से बदलता है, ΔT = 200 K पर199.82से199.74 W/m²। विकल्प B, C व D वे उत्तर हैं जो आपको इस्पात के विषय में पृथक् रूप से तर्क करने से मिलते हैं, और प्रश्न का प्रयोजन यह है कि आप श्रेणी-अवयव के विषय में पृथक् रूप से तर्क नहीं कर सकते: महत्व कुल में उसके भाग का है, उसके अपने आकार का नहीं। यह विषय की सर्वाधिक उपयोगी एकल आदत है। किसी अंकगणित से पूर्व प्रतिरोध सूचीबद्ध करें और देखें कि कौन प्रभावी है; यदि एक पद शेष का हज़ार गुना हो, तो गणना वस्तुतः पहले ही हो चुकी है और शेष दशमलव स्थान हैं। वही तर्क समझाता है कि जल-से-वायु विनिमयक के जल-पक्ष पर पंख जोड़ना धन का अपव्यय क्यों है — वायु-पक्ष का प्रतिरोध ही सम्पूर्ण प्रतिरोध है, और लघु पद सुधारना कुछ नहीं सुधारता।5 mm व्यास व 50 mm लंबाई का ऐलुमिनियम खूँटी-पंख (k = 200 W/m·K), h = 25 W/m²·K वाली वायु के संपर्क में है। उसकी पंख-दक्षता, प्रतिशत में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 92.42
92.42 प्रतिशत। पंख-प्राचल निकालें:P = πd = 0.015708 m,A = πd²/4 = 1.9635 × 10⁻⁵ m², अतःm = √(hP/kA) = √(25 × 0.015708/(200 × 1.9635 × 10⁻⁵)) = √100 = ठीक 10 /m— संख्याएँ ऐसे चुनी गई हैं कि यह स्वच्छ निकले और आप संरचना देख सकें। तत्पश्चात्mL = 10 × 0.05 = 0.5, और कुचालित-नोक पंख हेतुη = tanh(mL)/(mL) = 0.462117/0.5 = 0.92423। 92 प्रतिशत दक्षता सुव्यवस्थित अभिकल्प के पंख जैसी सुनाई देती है, और यहाँ वह जाल है जिसे समझना उचित है: उच्च दक्षता उच्च ऊष्मा-निष्कासन के समान नहीं है। दक्षता मापती है कि पंख आधार-ताप पर समतापीय होने के कितने निकट आता है, और लघु पंख उसमें ठीक इसलिए अच्छा अंक पाता है कि वह शीतल ही नहीं होता — शून्य लंबाई का पंख 100 प्रतिशत दक्ष होता और कुछ नहीं हटाता। वस्तुतः हटाई गई ऊष्मा√(hPkA) θ_b tanh(mL) = 1.452 Wहै, उसी अनुच्छेद के अनंत लंबे पंख के3.142 Wके सामने, अतः यह पंख उपलब्ध सीमा का केवल 46.2 प्रतिशत पकड़ता है। उसे लंबा करना हटाई गई ऊष्मा सुधारता है और दक्षता बिगाड़ता है, और वही सौदा है जिसे व्यक्त करने हेतु दोनों संख्याएँ विद्यमान हैं। लगभगmL = 3के पश्चात्tanhसंतृप्त हो चुका है और आगे की लंबाई कार्य जोड़े बिना द्रव्यमान जोड़ती है।उष्ण धारा 100 °C से 60 °C तक शीतल होती है जबकि शीतल धारा 20 °C से 50 °C तक गरम होती है। प्रतिप्रवाह LMTD, °C में, ______ है (दो दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 44.81
44.81 °C। प्रतिप्रवाह में धाराएँ सिरे से सिरे मिलती हैं, अतः उष्ण प्रवेश को शीतल निर्गम के साथ जोड़ें:ΔT₁ = 100 − 50 = 50तथाΔT₂ = 60 − 20 = 40। तत्पश्चात्LMTD = (50 − 40)/ln(50/40) = 10/0.22314 = 44.814 °C। चलाने योग्य दो जाँचें। लघुगणकीय माध्य सदा समांतर माध्य से नीचे होता है — यहाँ 45.00 के सामने 44.81 — और उसके बराबर केवल तब होता है जब दोनों सिरा-अंतर समान हों; यदि आपका उत्तर समांतर माध्य से ऊपर निकले, तो कोई पद उलटा है। और लघुगणकीय माध्य दोनों सिरा-अंतरों के बीच होता है, जो स्थूल चूकें बाहर कर देता है। अब वह तुलना जो इसे सूत्र के बजाय अभिकल्प-परिणाम बनाती है: समप्रवाह में वही चार ताप उष्ण प्रवेश को शीतल प्रवेश के साथ जोड़ते हैं, जिससेΔT₁ = 80,ΔT₂ = 10वLMTD = 70/ln 8 = 33.66 °Cमिलता है। प्रतिप्रवाह का प्रेरक बल 33.1 प्रतिशत बृहत्तर है, अतः उसी कार्य व समग्र गुणांक हेतु उसे 24.9 प्रतिशत कम क्षेत्रफल चाहिए। वही धातु, वही तरल, एक-चौथाई कम विनिमयक, केवल इससे कि धाराएँ किस दिशा में बहती हैं — और समप्रवाह की एक कठोर अधिसीमा है जो प्रतिप्रवाह की नहीं, क्योंकि उसका शीतल निर्गम उसके उष्ण निर्गम से कभी ऊपर नहीं उठ सकता।दो बृहत् समांतर धूसर पट्टिकाओं में प्रत्येक की उत्सर्जकता 0.8 है। उनके बीच शुद्ध विकिरण-विनिमय
σ(T₁⁴ − T₂⁴)गुणा किस गुणक के समानुपाती है?उत्तर देखें
उत्तर: B — 0.6667
0.6667। दो बृहत् समांतर धूसर पट्टिकाओं हेतु गुणकF_ε = 1/(1/ε₁ + 1/ε₂ − 1) = 1/(1.25 + 1.25 − 1) = 1/1.5 = 0.6667है। विकल्प A,ε₁ε₂ = 0.64, सहज अनुमान है और वह गलत है — यहाँ निकट, किंतु न्यून उत्सर्जकता पर दोनों बुरी तरह अलग हो जाते हैं, और कारण भौतिक है: जो विकिरण पट्टिका 1 से निकलकर पट्टिका 2 से परावर्तित हो वह लौट आता है, आंशिकतः पुनः परावर्तित होता है, और इसी प्रकार। हर का−1ठीक पुनः-परावर्तनों की उसी अनंत श्रेणी का योग है, जिसकी सरल गुणनफल पूर्णतः उपेक्षा करता है। विकल्प C एक उत्सर्जकता ऐसे प्रयोग करता है जैसे दूसरा पृष्ठ काला हो। विकल्प D विमीय रूप से असंभव है — गुणक 1 से कभी अधिक नहीं हो सकता, क्योंकि दो धूसर पृष्ठ दो काले पृष्ठों से अधिक विनिमय नहीं कर सकते। 800 K व 300 K पर पट्टिकाएँ0.6667 × 5.67 × 10⁻⁸ × (800⁴ − 300⁴) = 15.18 kW/m²विनिमय करती हैं, काले पिंडों के22.77 kW/m²के सामने। और चतुर्थ घात जो असममिति उत्पन्न करती है उस पर ध्यान दें:800⁴,300⁴का 50 गुना से अधिक है, अतः शीतल पट्टिका का ताप उत्तर को नगण्य प्रभावित करता है — भट्ठी शीतल कक्ष को और अधिक शीतल कक्ष को लगभग समान ऊष्मा खोती है, और वह किसी भी विकिरण-परिणाम पर उपयोगी जाँच है।किसी अस्थायी शीतलन-समस्या के समुच्चित-धारिता विश्लेषण के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — वह तब वैध है जब `Bi = hL_c/k` लगभग 0.1 से नीचे हो; B — लाक्षणिक लंबाई `L_c`, आयतन को अनावृत पृष्ठ-क्षेत्रफल से भाग देकर मिलती है; C — समय-अचर `ρVc/hA` है, अतः बृहत्तर पिंड धीमे अनुक्रिया करता है
A, B व C। A कसौटी है और 0.1 परंपरागत देहली; B परिभाषा है,L_c = V/A, जो गोले हेतुd/6और दोनों फलकों पर शीतल होते2Lमोटाई के पटल हेतुLदेती है; C समय-अचर है, और उसका भौतिक अर्थ सही है — द्रव्यमान व विशिष्ट ऊष्मा ऊर्जा संचित करते हैं जबकिhAउसे हटाता है, अतः बड़ा अथवा भारी पिंड पिछड़ता है। D में अनुपात ठीक उलटा है, और प्रश्न वही जाँच रहा है।Bi = hL_c/k, आंतरिक चालन-प्रतिरोध को बाह्य संवहन-प्रतिरोध से भाग देकर मिलता है, अतः न्यून बायो संख्या का अर्थ है पिंड के भीतर चालन पृष्ठ के आड़े ऊष्मा पार कराने की तुलना में सरल है — और ठीक इसीलिए अंतस्तल लगभग समतापीय रहता है और एक समुच्चित ताप उसका वर्णन करता है। जो पिंड दुर्बल चालन करता उसकी बायो संख्या उच्च होती, उष्ण पृष्ठ व शीतल अंतस्तल होता, और समुच्चित प्रतिरूप उसके लिए ठीक गलत होता। हल:h = 50वाली वायु में 10 mm इस्पात-गोले काL_c = 1.667 mm,Bi = 0.0017— गहराई से समुच्चित — वτ = ρcL_c/h = 119.6 s, अतः लगभग3τ = 359 sउसे परिवेश तक के मार्ग का 95 प्रतिशत ले जाता है। पहलेBiजाँचने का व्यावहारिक मूल्य यह है कि दोनों शाखाएँ वहीं सर्वाधिक असहमत हैं जहाँ महत्व है: बृहत्Biपिंड हेतु समुच्चित सूत्र केंद्र को परिवेश तक बहुत पहले पहुँचता बताता है।C_min/C_max = 0.5वाले प्रतिप्रवाह ऊष्मा-विनिमयक में NTU को 1.5 से 3 तक बढ़ाना प्रभाविता 0.691 से 0.874 तक उठाता है। इसका श्रेष्ठतम अर्थ यह है किउत्तर देखें
उत्तर: B — क्षेत्रफल दुगुना करना तीव्रता से ह्रासमान प्रतिफल देता है, अतः वास्तविक विनिमयक NTU ≈ 3 से बहुत आगे विरले जाते हैं
ह्रासमान प्रतिफल।NTUदुगुना करने का अर्थ लगभग क्षेत्रफल दुगुना करना है — और अतः लागत — जबकि प्रभाविता केवल 0.183 से बढ़ती है, 0.691 से 0.874। आगे जाना उसे बुरा करता है: पूर्णता तक शेष 0.126 हेतु कई और दुगुनीकरण लगते, क्योंकिε, 1 के निकट अनंतस्पर्शी रूप से आता है। इसीलिए व्यावहारिक विनिमयकε → 1का पीछा करने के बजायNTU = 1से 3 के आस-पास एकत्र होते हैं, और इसीलिए आर्थिक इष्टतम ऊष्मागतिक के बजाय अभिकल्प का निर्णय है। विकल्प A प्रवृत्ति को रैखिक पढ़ता है, जो NTU = 3 परε = 1.38बनाता — असंभव, क्योंकि प्रभाविता संभव अधिकतम संचरण का अंश है और 1 से अधिक नहीं हो सकती। वह असंभवता ही A को अस्वीकार करने का तीव्रतम उपाय है। विकल्प C गलत है और संख्याएँ वही कहती हैं: उसीNTU = 1.5पर प्रभाविताC_r = 0पर 0.777 से नीचेC_r = 1पर 0.600 तक चलती है, अतः क्षमता-अनुपात सर्वत्र महत्व रखता है।C_r = 0स्थिति संघनित्र अथवा वाष्पित्र है — एक धारा प्रावस्था बदलती है और अचर ताप रखती है, विद्यमान सरलतम विनिमयक — जबकिC_r = 1संतुलित स्थिति है, सम्पूर्ण लंबाई भर अचर ताप-अंतर वε = NTU/(1 + NTU)सहित। विकल्प D का खंडन स्वयं प्रश्न के आँकड़े से होता है।किसी तरल की प्रांटल संख्या 0.01 है, जो द्रव धातु हेतु विशिष्ट है। इसका निगमन है कि
उत्तर देखें
उत्तर: A — तापीय सीमा-स्तर वेग सीमा-स्तर से बहुत अधिक मोटा है
बहुत अधिक मोटा।Pr = ν/α, संवेग विसरणशीलता की तापीय विसरणशीलता से तुलना करता है, और सीमा-स्तर मोटाइयाँ उसी अनुपात का अनुसरण करती हैं: लगभगδ_तापीय/δ_वेग ≈ Pr^(−1/3)। 0.01 प्रांटल संख्या का अर्थ है ऊष्मा संवेग से लगभग सौ गुना तीव्रता से विसरित होती है, अतः तापीय स्तर वेग-स्तर से बहुत आगे दौड़ता है — और द्रव धातु में ठीक वही भौतिक स्थिति है, जिसके मुक्त इलेक्ट्रॉन ऊष्मा का चालन करते हैं जबकि उसकी श्यानता मध्यम रहती है। इसीलिए द्रव सोडियम रिएक्टर-शीतलक के रूप में प्रयुक्त होता है और इसीलिए द्रव-धातु सहसंबंध पृथक् कुल हैं:Pr ≈ 1के निकट अंशांकित सामान्यNu = f(Re, Pr)फ़िट 0.01 तक बहिर्वेशित नहीं होते। विकल्प B, तेल जैसे उच्चPrतरल हेतु उत्तर है, औरPr ≈ 7पर जल पहले से हल्के रूप से उसी ओर बैठा है। विकल्प C,Prको — जो केवल तरल का गुणधर्म है —Reसे मिला देता है, जो प्रवाह का वर्णन करता है; तरल की प्रांटल संख्या होती है, वह गतिमान हो या न हो। विकल्प D वर्णित करता है कि 1 के निकट नसेल्ट संख्या का क्या अर्थ होता, प्रांटल संख्या का नहीं:Nu = hL/kवह समूह है जो संवहन की चालन से तुलना करता है, और दोनों को मिला देना ही वह त्रुटि है जिसके चारों ओर प्रश्न बना है। वायु काPr ≈ 0.7संदर्भ-बिंदु के रूप में धारण करने योग्य है, क्योंकि वह 1 के इतने निकट है कि दोनों स्तर तुलनीय हैं और अधिकांश पाठ्यपुस्तक-सहसंबंध वहीं फ़िट किए गए थे।10 mm व्यास का इस्पात-गोला (ρ = 7800 kg/m³, c = 460 J/kg·K), h = 50 W/m²·K वाली वायु में शीतल होता है। उसका समुच्चित समय-अचर, सेकंड में, ______ है (एक दशमलव तक)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 119.6
119.6 s। लाक्षणिक लंबाईL_c = V/Aहै, जो गोले हेतु(πd³/6)/(πd²) = d/6 = 1.6667 mmहै। तत्पश्चात्τ = ρVc/(hA) = ρcL_c/h = 7800 × 460 × 1.6667 × 10⁻³/50 = 5980/50 = 119.6 s। पहले छूट जाँचें, क्योंकि वही चरण निर्णय करता है कि सूत्र लागू होता ही है क्या: इस्पात हेतुk = 50 W/m·Kसहित,Bi = hL_c/k = 50 × 1.6667 × 10⁻³/50 = 0.0017, 0.1 से बहुत नीचे, अतः गोला वस्तुतः समतापीय है और एक चरघातांकी उसका वर्णन करता है। समय-अचर का व्यावहारिक अर्थ यह है कि(T − T_∞)/(T_i − T_∞) = e^(−t/τ), अतः गोला परिवेश तक की अपनी यात्रा का 63 प्रतिशत एकτमें और लगभग 95 प्रतिशत3τ = 359 sमें ढकता है। सामान्य चूक त्रिज्या अथवा व्यास कोL_cमानना है:d/6, 1.67 mm है, जबकिd = 10 mmसमय-अचर को छह गुना बढ़ाकर 718 s कर देता। परिभाषाL_c = V/Aपर स्मरण किए आकृति-गुणक से अधिक विश्वास करना उचित है, और वह सामान्यीकृत भी होती है — दोनों फलकों पर शीतल होते2Lमोटाई के पटल हेतु वहLदेती है, औरdव्यास के लंबे बेलन हेतुd/4।