संकेत व तंत्र: LTI विश्लेषण, लाप्लास व फुरिये रूपांतर, प्रतिचयन, DFT, z-रूपांतर व अंकीय फ़िल्टर

GATE जैव-चिकित्सा अभियांत्रिकी (BM) पेपर का खंड 3, संकेत व तंत्र, एक अध्याय में। पाठ्यक्रम इसे संतत-व-विविक्त आधे और विविक्त-काल आधे में बाँटता है, और अध्याय उसी विभाजन का अनुसरण करता है। पहले स्वयं संकेत — आवर्ती, अनावर्ती व आवेग — और रैखिक काल-अपरिवर्ती (LTI) तंत्र जो अपनी आवेग अनुक्रिया द्वारा पूर्णतः अभिलक्षित होता है। फिर संवलन व सहसंबंध, जो एक ही समाकल हैं पर भिन्न प्रश्न पूछते हैं। फिर लाप्लास व फुरिये रूपांतर, अंतरण फलन, तथा प्रथम व द्वितीय-कोटि LTI तंत्रों की आवृत्ति अनुक्रिया। फिर प्रतिचयन प्रमेय, जो तय करता है कि अंकीकृत ECG या EEG में संकेत अब भी है या नहीं। अंत में विविक्त-काल तंत्र: आवेग व आवृत्ति अनुक्रिया, DFT, z-रूपांतर, तथा FIR व IIR फ़िल्टरों के मूल, जिनमें वह 50 Hz नॉच भी है जो हर जैव-विभव रिकॉर्डर को चाहिए।

1. आवर्ती, अनावर्ती व आवेग संकेत; LTI तंत्र

संकेत आवर्ती है यदि किसी न्यूनतम T > 0, मूल आवर्तकाल, हेतु x(t) = x(t + T); आवर्ती संकेतों का योग तभी आवर्ती है जब उनके आवर्तकालों का अनुपात परिमेय हो, और तब मूल आवर्तकाल लघुत्तम समापवर्त्य होता है। शेष सब अनावर्ती है। इकाई आवेग δ(t), t = 0 के अतिरिक्त शून्य है और उसका क्षेत्रफल इकाई है; उसका परिभाषक छँटाई गुण ∫x(t)δ(t − t₀)dt = x(t₀) है, और इकाई चरण u(t) उसका संचयी समाकल है। परिमित कुल ऊर्जा वाला संकेत ऊर्जा संकेत है (एक ECG स्पंद); परिमित औसत शक्ति पर अनंत ऊर्जा वाला शक्ति संकेत है (ज्यावक्र)।

तंत्र गुण व उनके परीक्षण
गुणपरीक्षणप्रति-उदाहरण
रैखिकa x₁ + b x₂ → a y₁ + b y₂ (योज्यता व समांगता)y = x + 1 (शून्य निवेश पर विफल)
काल-अपरिवर्तीx(t − t₀) → y(t − t₀)y(t) = t·x(t)
कारणात्मकनिर्गत केवल वर्तमान व भूत निवेश पर निर्भर; t < 0 हेतु h(t) = 0y(t) = x(t + 1)
BIBO स्थिर∫|h(t)|dt < ∞; सभी ध्रुव बाएँ अर्ध s-तल मेंआदर्श समाकलक, h(t) = u(t)

LTI तंत्र हेतु आवेग अनुक्रिया h(t) सब कुछ है: किसी भी निवेश का निर्गत संवलन y = x * h है, और अंतरण फलन h का रूपांतर है। LTI तंत्रों के सोपानी संयोजन की आवेग अनुक्रिया h₁ * h₂ और समांतर संयोजन की h₁ + h₂ है।

2. संवलन व सहसंबंध

संवलन y(t) = ∫x(τ)h(t − τ)dτ, h को पलटता है, x पर सरकाता है और अतिव्याप्ति का समाकलन करता है; विविक्त काल में y[n] = Σ x[k]h[n − k]। यह क्रमविनिमेय, साहचर्य व वितरणी है; δ(t − t₀) से संवलन केवल t₀ का विलंब देता है; और निर्गत की अवधि निवेश-अवधियों का योग है (N व M लंबाई के अनुक्रमों हेतु N + M − 1 प्रतिदर्श)। समान चौड़ाई के दो आयताकार स्पंद संवलित होकर त्रिकोण बनते हैं।

प्रति-सहसंबंध R_xy(τ) = ∫x(t)y(t + τ)dt मापता है कि एक को खिसकाने पर दो संकेत कितने समान हैं — संवलन वाला ही समाकल, पलटे बिना। स्वसहसंबंध R_xx(τ) सम है, τ = 0 पर अधिकतम है जहाँ वह संकेत की ऊर्जा (या शक्ति) के बराबर है, और आवर्ती संकेत का आवर्तकाल बनाए रखता है। वीनर–खिंचिन प्रमेय से स्वसहसंबंध का फुरिये रूपांतर शक्ति (या ऊर्जा) वर्णक्रमीय घनत्व है। सहसंबंध से ही शोरयुक्त ECG में टेम्पलेट QRS संकुल खोजा जाता है और पृष्ठभूमि EEG से आवर्ती उद्भूत अनुक्रिया निकाली जाती है।

⚠️ संवलन पलटता है; सहसंबंध नहीं
सममित कर्नेल हेतु दोनों संपाती होते हैं, इसीलिए अंतर भूलना सहज है। असममित हेतु — मान लें क्षयमान चरघातांकी — संवलन व सहसंबंध दर्पण-प्रतिबिंब परिणाम देते हैं, और केवल संवलन तंत्र का निर्गत देता है।

3. लाप्लास व फुरिये रूपांतर; प्रथम व द्वितीय-कोटि आवृत्ति अनुक्रिया

लाप्लास रूपांतर X(s) = ∫x(t)e−stdt संवलन को गुणन और अवकलजों को s के गुणकों में बदलता है, अतः शून्य आरंभिक प्रतिबंधों सहित अंतरण फलन H(s) = Y(s)/X(s), h(t) का लाप्लास रूपांतर है। उसके ध्रुव प्राकृतिक विधाएँ तय करते हैं: कारणात्मक तंत्र तब स्थिर है जब प्रत्येक ध्रुव का वास्तविक भाग ऋणात्मक हो। फुरिये रूपांतर X(jω) = ∫x(t)e−jωtdt काल्पनिक अक्ष पर लाप्लास रूपांतर है (जब वह अक्ष अभिसरण क्षेत्र में हो), और H(jω) आवृत्ति अनुक्रिया है — ω आवृत्ति के ज्यावक्र पर लगाई गई लब्धि व कला।

सर्वाधिक प्रयुक्त युग्म व गुण
काल प्रक्षेत्रलाप्लासफुरिये
δ(t)11
u(t)1/sπδ(ω) + 1/(jω)
e−atu(t), a > 01/(s + a)1/(a + jω)
T चौड़ाई का आयताकार स्पंद(1 − e−sT)/s (0 से आरंभ)T sinc — 1/T Hz के गुणजों पर शून्य
x(t − t₀)e−st₀X(s)e−jωt₀X(jω) — केवल कला
x * hX(s)H(s)X(jω)H(jω)

प्रथम-कोटि तंत्र H(s) = K/(1 + sτ) की चरण अनुक्रिया K(1 − e−t/τ) है — t = τ पर 63.2%, 10–90% उदय काल 2.2τ — और −3 dB बैंड-विस्तार ω = 1/τ (f = 1/(2πτ))। द्वितीय-कोटि तंत्र H(s) = ω_n²/(s² + 2ζω_n s + ω_n²), 0 < ζ < 1 हेतु अल्प-अवमंदित है, जिसकी अवमंदित आवृत्ति ω_d = ω_n√(1 − ζ²), शिखर काल t_p = π/ω_d, प्रतिशत अतिलंघन 100·exp(−ζπ/√(1 − ζ²)) और 2% स्थिरण काल लगभग 4/(ζω_n) है। उसकी आवृत्ति अनुक्रिया में अनुनादी शिखर केवल ζ < 0.707 पर होता है, ω_r = ω_n√(1 − 2ζ²) पर, ऊँचाई M_r = 1/(2ζ√(1 − ζ²))।

🎯 अति-अवमंदित रक्तचाप कैथेटर फिर भी विकृति क्यों करता है
द्रव-भरा कैथेटर व उसका ट्रांसड्यूसर द्वितीय-कोटि तंत्र की भाँति व्यवहार करते हैं। बहुत कम अवमंदन पर अनुनादी शिखर दाब-तरंग की हार्मोनिकों को बढ़ाता है और प्रकुंचन दाब को अधिक बताता है; बहुत अधिक पर बैंड-विस्तार सिकुड़ता है और तरंगरूप चिकना हो जाता है। लगभग 0.6–0.7 का अवमंदन अनुपात महत्वपूर्ण बैंड पर परिमाण को सबसे सपाट रखता है।

4. प्रतिचयन प्रमेय व उपनामन

x(t) का प्रत्येक T_s सेकंड पर प्रतिचयन उसे आवेग-शृंखला से गुणा करता है, जो आवृत्ति में वर्णक्रम को f_s = 1/T_s के प्रत्येक गुणज पर दोहराता है। यदि x, f_max तक बैंड-सीमित है, तो प्रतियाँ तभी अतिव्याप्त नहीं होतीं जब f_s > 2f_max; 2f_max नाइक्विस्ट दर है, और तब x को f_s/2 कट-ऑफ़ वाले आदर्श निम्न-पारक फ़िल्टर (sinc अंतर्वेशन) से यथावत पुनः प्राप्त किया जाता है। यदि f_s बहुत कम हो तो प्रतियाँ अतिव्याप्त होती हैं और f पर का घटक उपनाम |f − k f_s| पर, 0 से f_s/2 बैंड में मुड़कर, दिखता है — और प्रतिचायक के बाद कुछ भी इसे निरस्त नहीं कर सकता।

  • ADC से पहले उपनामन-रोधी एनालॉग निम्न-पारक फ़िल्टर f_s/2 से ऊपर का वह सब हटाता है जिसकी संकेत को आवश्यकता नहीं, पेशी-शोर व रेडियो ग्रहण सहित।
  • वास्तविक फ़िल्टर धीरे-धीरे गिरते हैं, अतः व्यवहार में नाइक्विस्ट दर के कई गुना पर प्रतिचयन होता है — लगभग 150 Hz तक की सामग्री वाला नैदानिक ECG प्रायः 500 Hz या अधिक पर प्रतिचयित होता है।
  • ज्यावक्रों के योग हेतु नाइक्विस्ट दर उपस्थित उच्चतम आवृत्ति की दोगुनी है, न्यूनतम की दोगुनी या उनके योग की नहीं।
🧠 मोड़कर उपनाम खोजें
f_s का निकटतम गुणज घटाएँ और परिमाण लें: 100 Hz पर प्रतिचयित 70 Hz, |70 − 100| = 30 Hz पर दिखता है; 100 Hz पर प्रतिचयित 130 Hz भी 30 Hz पर। उपनाम सदैव 0 व f_s/2 के बीच आता है।

5. विविक्त-काल तंत्र: DFT, z-रूपांतर, FIR व IIR फ़िल्टर

विविक्त-काल LTI तंत्र अपनी आवेग अनुक्रिया h[n] या अंतर समीकरण से वर्णित होता है, और उसकी आवृत्ति अनुक्रिया H(ejω), ω में 2π आवर्तकाल से आवर्ती है, अंकीय आवृत्ति ω = 2πf/f_s। N-बिंदु DFT X[k] = Σn=0N−1 x[n]e−j2πkn/N उस वर्णक्रम का N समान अंतराल वाले बिंदुओं पर प्रतिचयन करता है: बिन k, f = k·f_s/N के संगत है, अतः आवृत्ति विभेदन f_s/N है — जो अभिलेख लंबाई N/f_s से तय होता है, केवल प्रतिचयन दर से नहीं। DFT गुणा करने से वृत्तीय संवलन मिलता है, रैखिक नहीं, जब तक अनुक्रमों को कम से कम N + M − 1 तक शून्य-पूरित न किया जाए। FFT वही DFT N² के स्थान पर N log₂N कोटि की संक्रियाओं में परिकलित करता है।

z-रूपांतर X(z) = Σx[n]z−n अनुक्रमों हेतु वही करता है जो लाप्लास रूपांतर संकेतों हेतु: एक प्रतिदर्श का विलंब z−1 का गुणक है, और a^n u[n] ↔ 1/(1 − az−1), अभिसरण क्षेत्र |z| > |a| सहित। कारणात्मक तंत्र ठीक तब स्थिर है जब उसके सभी ध्रुव इकाई वृत्त के भीतर हों, और आवृत्ति अनुक्रिया |z| = 1 पर H(z) है।

FIR व IIR फ़िल्टर
विशेषताFIR (परिमित आवेग अनुक्रिया)IIR (अनंत आवेग अनुक्रिया)
संरचनाअ-पुनरावर्ती: y[n] = Σb_k x[n − k]पुनरावर्ती: पूर्व निर्गत पुनर्निवेशित
ध्रुवकेवल z = 0 पर — सदैव स्थिरकहीं भी — इकाई वृत्त के भीतर होने पर ही स्थिर
कलागुणांक सममित हों तो यथावत रैखिकसामान्यतः अरैखिक
दी गई तीक्ष्णता हेतु कोटिअधिककम — बहुत कम गुणांक
सामान्य अभिकल्पविंडो विधि, आवृत्ति प्रतिचयनएनालॉग प्रोटोटाइप का द्विरैखिक रूपांतर या आवेग निश्चरता
ℹ️ 50 Hz नॉच
मेन्स व्यतिकरण को इकाई वृत्त पर z = e±jω₀ पर शून्यकों का युग्म रखकर हटाया जाता है, ω₀ = 2π × 50/f_s, और उसी कोण पर ठीक भीतर ध्रुवों का युग्म ताकि नॉच संकीर्ण रहे। f_s = 500 Hz पर शून्यक ±36° (0.2π rad) पर होते हैं। N लंबाई का FIR गतिमान औसत इसके स्थान पर f_s/N के गुणजों पर शून्यक रखता है, और मोटे निम्न-पारक का काम भी करता है।

मुख्य बिंदु

  • LTI तंत्र उसकी आवेग अनुक्रिया ही है: y = x * h, और H(s), h का लाप्लास रूपांतर है।
  • स्वसहसंबंध सम है, शून्य विलंब पर शिखर देता है, और उसका फुरिये रूपांतर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है।
  • प्रथम कोटि: τ पर 63.2%, बैंड-विस्तार 1/τ; द्वितीय कोटि: अतिलंघन exp(−ζπ/√(1 − ζ²)), अनुनादी शिखर केवल ζ < 0.707 पर।
  • f_s > 2f_max; f का स्वर |f − kf_s| पर उपनामित होता है; प्रतिचयन से पहले फ़िल्टर करें, बाद में कभी नहीं।
  • DFT विभेदन f_s/N है; कारणात्मक स्थिरता का अर्थ |z| = 1 के भीतर ध्रुव; FIR सदैव स्थिर है और यथावत रैखिक-कला हो सकता है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. t₀ पर संतत किसी भी संकेत x(t) हेतु ∫−∞∞ x(t)δ(t − t₀) dt बराबर है

    1. x(t₀)
    2. x(0)
    3. 1
    4. 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x(t₀)

    यह छँटाई गुण है: आवेग x का उस क्षण का मान चुनता है जहाँ वह स्थित है, t₀। x(0) केवल मूल-बिंदु पर आवेग हेतु सही होगा, और 1 स्वयं आवेग का क्षेत्रफल है, x के साथ उसके गुणनफल का नहीं।

  2. x(t) = cos(2πt/3) + sin(2πt/5) का मूल आवर्तकाल है

    1. 15 s
    2. 8 s
    3. 1.875 s
    4. संकेत आवर्ती नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 15 s

    आवर्तकाल 3 s व 5 s हैं; उनका अनुपात 3/5 परिमेय है, अतः योग लघुत्तम समापवर्त्य 15 s के साथ आवर्ती है। आवर्तकाल जोड़ने पर 8 s, और गुणनफल बटा योग 1.875 s आता है — दोनों में से कोई भी दोनों पदों को नहीं दोहराता।

  3. एक 70 Hz ज्यावक्र का 100 प्रतिदर्श प्रति सेकंड पर प्रतिचयन किया जाता है। प्रतिचयित संकेत में, 0 व 50 Hz के बीच, वह जिस आवृत्ति (Hz में) पर दिखता है वह ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 30

    70 Hz, f_s/2 = 50 Hz से ऊपर है, अतः वह |70 − 100| = 30 Hz पर मुड़ता है। 70 उत्तर देना उपनामन की उपेक्षा है; 170 उत्तर देना आधार बैंड में मोड़ने के स्थान पर f_s जोड़ना है।

  4. x(t) = cos(200πt) + cos(600πt) हेतु नाइक्विस्ट दर (Hz में) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 600

    घटक 100 Hz व 300 Hz पर हैं, अतः f_max = 300 Hz और नाइक्विस्ट दर 2 × 300 = 600 Hz। 600π को 600 Hz पढ़ने पर 1200 Hz, और निचले घटक को दोगुना करने पर 200 Hz आता है।

  5. 500 Hz पर प्रतिचयित ECG का 1000-बिंदु DFT से विश्लेषण किया जाता है। 50 Hz मेन्स व्यतिकरण जिस बिन सूचकांक k (k = 0 से गिनकर) पर दिखता है वह ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 100

    बिन अंतराल f_s/N = 500/1000 = 0.5 Hz है, अतः 50 Hz, k = 50/0.5 = 100 पर पड़ता है। अंतराल 1 Hz मानने पर 50 आता है; यह भूलना कि बिन 1/N के नहीं, f_s/N के चरणों में चलते हैं, 0.1 जैसा निरर्थक उत्तर देता है।

  6. एक द्वितीय-कोटि तंत्र का अवमंदन अनुपात ζ = 0.5 है। उसकी इकाई-चरण अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 16.3

    M_p = exp(−ζπ/√(1 − ζ²)) = exp(−0.5π/0.866) = exp(−1.814) = 0.163, अर्थात 16.3%। वर्गमूल छोड़ने पर exp(−π/2) = 20.8%, और अतिलंघन के स्थान पर अनुनादी-शिखर सूत्र लगाने पर 1.155 आता है।

  7. एक प्रथम-कोटि तंत्र का अंतरण फलन 1/(1 + 2s) है। उसका −3 dB बैंड-विस्तार है

    1. 0.5 rad/s
    2. 2 rad/s
    3. 0.5 Hz
    4. 3.14 rad/s
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.5 rad/s

    τ = 2 s के साथ कोना ω = 1/τ = 0.5 rad/s (लगभग 0.08 Hz) पर है। 2 rad/s संबंध को उलट देता है, और 0.5 Hz, rad/s वाले मान को गलत इकाई में रखता है।

  8. FIR व IIR अंकीय फ़िल्टरों के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. FIR फ़िल्टर सदैव BIBO स्थिर होता है
    2. सममित गुणांकों वाले FIR फ़िल्टर की कला रैखिक होती है
    3. IIR फ़िल्टर प्रायः किसी दिए परिमाण विनिर्देश को कम गुणांकों से पूरा करता है
    4. IIR फ़िल्टर कभी अस्थिर नहीं हो सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — FIR फ़िल्टर सदैव BIBO स्थिर होता है; B — सममित गुणांकों वाले FIR फ़िल्टर की कला रैखिक होती है; C — IIR फ़िल्टर प्रायः किसी दिए परिमाण विनिर्देश को कम गुणांकों से पूरा करता है

    FIR फ़िल्टर के सभी ध्रुव मूल-बिंदु पर होते हैं, अतः वह अस्थिर नहीं हो सकता, और सममित टैप यथावत रैखिक कला देते हैं। IIR पुनर्निवेश कम गुणांकों से तीक्ष्णता देता है, पर उसके ध्रुव इकाई वृत्त से बाहर जा सकते हैं — अभिकल्प से या गुणांक क्वांटीकरण से — और तब वह अस्थिर है।

  9. कौन-सा कारणात्मक तंत्र अस्थिर है?

    1. H(z) = 1/(1 − 1.2z−1)
    2. H(z) = 1/(1 − 0.5z−1)
    3. H(z) = 1 + z−1 + z−2
    4. H(z) = 1/(1 + 0.9z−1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — H(z) = 1/(1 − 1.2z^{−1})

    कारणात्मक तंत्र तभी स्थिर है जब प्रत्येक ध्रुव इकाई वृत्त के भीतर हो। z = 1.2 का ध्रुव बाहर है, अतः h[n] = 1.2^n u[n] असीम बढ़ता है। 0.5 व −0.9 के ध्रुव भीतर हैं, और FIR स्थिति में ध्रुव केवल मूल-बिंदु पर हैं।

  10. n = 0, 1, 2 हेतु x[n] = {1, 2, 3} को n = 0, 1 हेतु h[n] = {1, 1} से संवलित किया जाता है। निर्गत प्रतिदर्श y[2] ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    y[n] = x[n] + x[n − 1], जिससे y = {1, 3, 5, 3}; अतः y[2] = x[2] + x[1] = 3 + 2 = 5। संवलन के स्थान पर बिंदुवार गुणा करने पर 3, और पूरे x का योग लेने पर 6 आता है।

  11. किसी वास्तविक संकेत के स्वसहसंबंध R_xx(τ) के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. R_xx(τ), τ का सम फलन है
    2. |R_xx(τ)| ≤ R_xx(0)
    3. उसका फुरिये रूपांतर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है
    4. आवर्ती संकेत का स्वसहसंबंध अनावर्ती होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — R_xx(τ), τ का सम फलन है; B — |R_xx(τ)| ≤ R_xx(0); C — उसका फुरिये रूपांतर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है

    x को स्वयं के सापेक्ष τ या −τ खिसकाने पर वही अतिव्याप्ति मिलती है, अतः R_xx सम है; अतिव्याप्ति बिना खिसकाव के अधिकतम है, जहाँ वह शक्ति के बराबर है; और वीनर–खिंचिन प्रमेय उसके रूपांतर को PSD बनाता है। आवर्ती संकेत प्रत्येक आवर्तकाल पर फिर स्वयं से मेल खाता है, अतः उसका स्वसहसंबंध उसी आवर्तकाल से आवर्ती है।

  12. 500 Hz पर प्रतिचयित ECG में एक अंकीय नॉच फ़िल्टर को 50 Hz मेन्स अस्वीकार करना है। इकाई वृत्त पर उसके शून्यकों का कोण (डिग्री में), धनात्मक वास्तविक अक्ष से मापा गया, ± ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 36

    ω₀ = 2π f/f_s = 2π × 50/500 = 0.2π rad, जो 0.2 × 180° = 36° है। ω₀ = 2πf = 314 rad लेना f_s से भाग भूलना है; 18°, 2π के स्थान पर π लेने से आता है।

  13. 1/[s(s + 2)] का प्रतिलोम लाप्लास रूपांतर है

    1. ½(1 − e−2t)u(t)
    2. (1 − e−2t)u(t)
    3. ½e−2tu(t)
    4. (1 + e−2t)u(t)/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ½(1 − e^{−2t})u(t)

    आंशिक भिन्न: 1/[s(s + 2)] = (1/2)/s − (1/2)/(s + 2), अतः प्रतिलोम ½(1 − e−2t)u(t) है। अंतिम मान प्रमेय जाँचता है: lim s·F(s) = ½। ½ का गुणक छोड़ने पर अंतिम मान 1 आता है, जो रूपांतर का नहीं है।

  14. एक द्वितीय-कोटि तंत्र का ζ = 0.4 है। उसकी मानकीकृत आवृत्ति-अनुक्रिया परिमाण का शिखर M_r, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.36

    M_r = 1/(2ζ√(1 − ζ²)) = 1/(0.8 × √0.84) = 1/(0.8 × 0.9165) = 1.36, जो ω_r = ω_n√(1 − 2ζ²) = 0.825ω_n पर आता है। 1/(2ζ) = 1.25, ω = ω_n पर का मान है, शिखर नहीं, और 25.4% अतिलंघन चरण अनुक्रिया का है।