सार्थकता परीक्षण, सांख्यिकीय शक्ति व प्रतिदर्श आकार, समाश्रयण व सहसंबंध, तथा आव्यूह व्युत्क्रमण

GATE जैव-चिकित्सा अभियांत्रिकी (BM) पेपर का खंड 1 चार ऐसी बातें नामित करता है जो साझा अभियांत्रिकी गणित के किसी अध्याय में नहीं पढ़ाई गईं, और यह अध्याय केवल इसी पेपर हेतु उन्हें समेटने के लिए लिखा गया है। इसका प्रायिकता व सांख्यिकी शीर्षक बंटनों से आगे सार्थकता परीक्षण, सांख्यिकीय शक्ति विश्लेषण व प्रतिदर्श आकार आकलन तक, और फिर रैखिक समाश्रयण व सहसंबंध विश्लेषण तक जाता है — वही सांख्यिकी जिस पर कोई नैदानिक अध्ययन या उपकरण-सत्यापन वास्तव में चलता है। इसका आंकिक विधियाँ शीर्षक आव्यूह व्युत्क्रमण से आरंभ होता है, जिसे रैखिक बीजगणित अध्याय प्रयोग तो करता है पर कभी परिकलित नहीं करता। अतः अध्याय इसी क्रम में चलता है: परिकल्पना परीक्षण का तर्क व उसकी दो प्रकार की त्रुटियाँ; z, t, काई-वर्ग व F परीक्षण तथा प्रत्येक कब लागू होता है; शक्ति व उससे निकलने वाला प्रतिदर्श-आकार सूत्र; सहसंबंध व न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण; तथा सहखंडज व गाउस–जॉर्डन निरसन से आव्यूह का व्युत्क्रम। बंटन स्वयं (प्रसामान्य, द्विपद, प्वासों) प्रायिकता व सांख्यिकी अध्याय में हैं, जिसे पहले पढ़ें।

1. परिकल्पना परीक्षण का तर्क

सार्थकता परीक्षण यह पूछता है कि क्या प्रेक्षित प्रभाव उससे बड़ा है जो केवल संयोग से संभवतः उत्पन्न हो सकता था। शून्य परिकल्पना H₀ प्रभाव-रहित कथन है (नए इलेक्ट्रोड का माध्य ऑफ़सेट पुराने के समान है; औषधि रक्तचाप नहीं बदलती); वैकल्पिक परिकल्पना H₁ वह है जिसे अध्ययन दिखाना चाहता है। परीक्षण प्रतिदर्शज मापता है कि आँकड़े H₀ से अपनी ही मानक त्रुटि की इकाइयों में कितनी दूर हैं, और p-मान वह प्रायिकता है, H₀ को सत्य मानकर परिकलित, कि प्रतिदर्शज प्रेक्षित जितना या उससे अधिक चरम हो। H₀ तब अस्वीकृत होती है जब p पहले से चुने गए सार्थकता स्तर α, प्रायः 0.05, से कम हो।

दो प्रकार की त्रुटियाँ, व उन्हें नाम देने वाली प्रायिकताएँ
निर्णयH₀ वास्तव में सत्यH₀ वास्तव में असत्य
H₀ अस्वीकारप्रथम प्रकार की त्रुटि — प्रायिकता α (झूठी चेतावनी)सही — प्रायिकता 1 − β, अर्थात शक्ति
H₀ अस्वीकार नहींसही — प्रायिकता 1 − αद्वितीय प्रकार की त्रुटि — प्रायिकता β (छूटा हुआ प्रभाव)

परीक्षण द्वि-पुच्छी होता है जब H₁ किसी भी दिशा में अंतर स्वीकारती है (μ ≠ μ₀) और एक-पुच्छी जब वह दिशा नामित करती है (μ > μ₀)। मानक प्रसामान्य प्रतिदर्शज हेतु कंठस्थ रखने योग्य क्रांतिक मान हैं 1.96 (द्वि-पुच्छी, α = 0.05), 1.645 (एक-पुच्छी, α = 0.05), 2.576 (द्वि-पुच्छी, α = 0.01) व 2.326 (एक-पुच्छी, α = 0.01)। 95% विश्वास्यता अंतराल x̄ ± 1.96σ/√n व α = 0.05 पर द्वि-पुच्छी परीक्षण एक ही निर्णय हैं: H₀ ठीक तब अस्वीकृत होती है जब μ₀ अंतराल से बाहर पड़े।

⚠️ बड़ा p-मान H₀ को सिद्ध नहीं करता
H₀ को अस्वीकार न कर पाने का अर्थ है कि आँकड़े प्रभाव-रहितता से संगत हैं, यह नहीं कि प्रभाव शून्य है — छोटा अध्ययन वास्तविक अंतर केवल इसलिए चूक सकता है कि β बड़ा था। इसी प्रकार p यह प्रायिकता नहीं कि H₀ सत्य है; यह आँकड़ों के विषय में प्रायिकता है, जो H₀ को सत्य मानकर परिकलित की जाती है।

2. z, t, काई-वर्ग व F परीक्षण

कौन-सा परीक्षण लागू होगा, यह इससे तय होता है कि क्या ज्ञात है और किसकी तुलना हो रही है। समष्टि मानक विचलन σ ज्ञात होने पर (या n बड़ा, मान लें 30 से अधिक), माध्य हेतु z-परीक्षण z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) प्रयोग करता है। σ का प्रतिदर्श से s द्वारा आकलन होने पर प्रतिदर्शज t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) n − 1 स्वातंत्र्य कोटियों वाले स्टूडेंट t बंटन का अनुसरण करता है, जिसकी पूँछें प्रसामान्य से भारी होती हैं और n बढ़ने पर यह उसी की ओर जाता है: द्वि-पुच्छी 5% क्रांतिक मान 4 स्वातंत्र्य कोटियों पर 2.776, 9 पर 2.262 व 10 पर 2.228 है, जो 1.96 की ओर घटता है।

परीक्षण का चयन
प्रश्नप्रतिदर्शजस्वातंत्र्य कोटि
एक माध्य, σ ज्ञातz = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)— (प्रसामान्य)
एक माध्य, σ अज्ञातt = (x̄ − μ₀)/(s/√n)n − 1
वही व्यक्ति पहले व बाद में (युग्मित)अंतरों पर t = d̄/(s_d/√n)n − 1 (n युग्म)
दो स्वतंत्र समूह, समान प्रसरणt = (x̄₁ − x̄₂)/[s_p√(1/n₁ + 1/n₂)]n₁ + n₂ − 2
प्रेक्षित गणनाएँ बनाम अपेक्षित (समंजन, या r × c सारणी में स्वतंत्रता)χ² = Σ(O − E)²/Eसमंजन हेतु k − 1; सारणी हेतु (r − 1)(c − 1)
दो प्रसरणF = s₁²/s₂² (बड़ा ऊपर)n₁ − 1, n₂ − 1

संयुक्त प्रसरण s_p² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²]/(n₁ + n₂ − 2) है। आसंग सारणी में किसी कोष्ठ की अपेक्षित गणना (पंक्ति योग × स्तंभ योग)/कुल योग होती है, और एक स्वातंत्र्य कोटि वाले χ² का 5% क्रांतिक मान 3.841 है। प्रसरणों का F अनुपात वही है जो प्रसरण विश्लेषण (ANOVA) दो से अधिक माध्यों की एक साथ तुलना हेतु प्रयोग करता है — समूह-माध्यों के बीच के प्रसरण को समूहों के भीतर के प्रसरण के सामने रखकर।

🎯 युग्मन इतना प्रभावी क्यों है
उन्हीं रोगियों को पहले व बाद में मापने से एक रोगी व दूसरे के बीच के बड़े अंतर हट जाते हैं, जो अन्यथा हर में बैठते। युग्मित परीक्षण केवल अंतरों पर चलता है, अतः s_d प्रायः किसी भी समूह के अपने मानक विचलन से बहुत छोटा होता है — और वही प्रभाव कहीं बड़ा t देता है।

3. सांख्यिकीय शक्ति व प्रतिदर्श आकार आकलन

परीक्षण की शक्ति, 1 − β, वह प्रायिकता है कि कोई निर्दिष्ट वास्तविक प्रभाव δ विद्यमान होने पर H₀ अस्वीकृत हो। यह प्रतिदर्श आकार n, प्रभाव आकार δ, व α (ढीली सीमा सहजता से अस्वीकार करती है) के साथ बढ़ती है, और प्रकीर्णन σ बढ़ने पर घटती है। मानकीकृत प्रभाव आकार कोहेन का d = δ/σ है। अध्ययन परंपरागत रूप से 80% शक्ति (z_β = 0.842) या 90% शक्ति (z_β = 1.282) हेतु अभिकल्पित होते हैं।

प्रतिदर्श आकार यह माँग कर निकलता है कि क्रांतिक मान व शक्ति-बिंदु संपाती हों। एक माध्य (या युग्मित अंतर) हेतु द्वि-पुच्छी परीक्षण में n = [(zα/2 + z_β)σ/δ]²; समान आकार के दो स्वतंत्र समूहों में प्रत्येक समूह को n = 2[(zα/2 + z_β)σ/δ]² चाहिए। किसी अनुपात p का मार्जिन E के भीतर आकलन करने हेतु n = z²p(1 − p)/E², जो p = 0.5 पर अधिकतम है। उत्तर सदैव अगले पूर्ण व्यक्ति तक ऊपर पूर्णांकित होता है।

  • संसूच्य अंतर δ को आधा करने से n चौगुना होता है, क्योंकि n, 1/δ² के अनुसार चलता है।
  • शक्ति 80% से 90% करने पर (zα/2 + z_β) 2.80 से 3.24 होता है, अतः n लगभग एक-तिहाई बढ़ता है।
  • α को 0.05 से 0.01 करने पर भी n बढ़ता है; α ढीला करने पर घटता है, अधिक झूठी चेतावनियों की कीमत पर।
🧠 ऊपर पूर्णांकित करें, और देखें कौन-सा n पूछा गया है
n = 31.4 का अर्थ 32 व्यक्ति है, कभी 31 नहीं — 31 बताई गई शक्ति से कम पड़ता है। और दो-समूह प्रश्न प्रत्येक समूह का आकार या कुल पूछ सकता है; सूत्र प्रत्येक समूह का आकार देता है।

4. रैखिक समाश्रयण व सहसंबंध विश्लेषण

S_xx = Σ(x − x̄)², S_yy = Σ(y − ȳ)² व S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) के साथ पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = S_xy/√(S_xx S_yy) है, जो −1 ≤ r ≤ 1 से परिबद्ध है और किसी भी चर को खिसकाने या धनात्मक गुणक से पुनर्मापित करने पर अपरिवर्तित रहता है। x पर y की न्यूनतम-वर्ग रेखा, जो ऊर्ध्वाधर अवशिष्टों के वर्गों का योग न्यूनतम करती है, की प्रवणता b_yx = S_xy/S_xx है और यह माध्य-बिंदु से गुज़रती है, अतः अंतःखंड a = ȳ − b_yx x̄ है। y पर x की रेखा की प्रवणता b_xy = S_xy/S_yy है; दोनों रेखाएँ |r| = 1 न होने पर भिन्न होती हैं, (x̄, ȳ) पर काटती हैं, और b_yx · b_xy = r², दोनों गुणांक r का चिह्न लिए होते हैं।

r² निर्धारण गुणांक है, y के प्रसरण का वह अंश जिसे रेखा समझाती है। प्रतिदर्श r शून्य से सार्थक रूप से भिन्न है या नहीं, इसका परीक्षण n − 2 स्वातंत्र्य कोटियों पर t = r√(n − 2)/√(1 − r²) से होता है। कोटि-आँकड़ों हेतु स्पीयरमैन गुणांक ρ = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] है, d कोटियों का अंतर है। किसी संवेदक का संदर्भ के सापेक्ष अंशांकन ठीक यही परिकलन है: प्रवणता संवेदनशीलता है, अंतःखंड ऑफ़सेट, और अवशिष्ट प्रकीर्णन अ-पुनरावर्तनीयता।

⚠️ r = 0 का अर्थ स्वतंत्रता नहीं
r केवल रैखिक संबंध मापता है। शून्य के सापेक्ष सममित परास पर y = x² का r = 0 है, फिर भी वह पूर्णतः x द्वारा निर्धारित है। न ही बड़ा r कारणता स्थापित करता है: आयु के साथ बढ़ने वाली दो राशियाँ बिना एक-दूसरे को चलाए सहसंबद्ध होती हैं।

5. आव्यूह व्युत्क्रमण — सहखंडज व गाउस–जॉर्डन निरसन

वर्ग आव्यूह A का व्युत्क्रम ठीक तब होता है जब det A ≠ 0, और तब A⁻¹ = adj(A)/det A, जहाँ adj(A) सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। 2 × 2 आव्यूह [[a, b], [c, d]] हेतु यह (1/(ad − bc))·[[d, −b], [−c, a]] बन जाता है: विकर्ण अदला-बदली करें, अविकर्ण को ऋणात्मक करें, सारणिक से भाग दें। नियम (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ व det(A⁻¹) = 1/det A सीधे निकलते हैं।

सहखंड n! कोटि की संक्रियाएँ लेते हैं और 3 × 3 से आगे निरर्थक हैं, अतः आंकिक कार्य गाउस–जॉर्डन निरसन प्रयोग करता है: संवर्धित आव्यूह [A | I] लिखें, प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाएँ तब तक लगाएँ जब तक बायाँ खंड I न बन जाए, तब दायाँ खंड A⁻¹ है। इसकी लागत n³ कोटि की संक्रियाएँ है। आंशिक धुरीकरण — पंक्तियाँ अदल-बदल कर स्तंभ की सबसे बड़ी उपलब्ध प्रविष्टि को धुरी बनाना — छोटी संख्या से भाग द्वारा पूर्णांकन त्रुटि को बढ़ने से रोकता है। यदि बाईं ओर शून्य पंक्ति आ जाए तो A अव्युत्क्रमणीय है।

दोनों विधियों से हल किया 2 × 2 व्युत्क्रमण
चरणसहखंडज मार्गगाउस–जॉर्डन मार्ग
आरंभA = [[2, 1], [5, 3]], det A = 6 − 5 = 1[2 1 | 1 0; 5 3 | 0 1]
मध्यadj A = [[3, −1], [−5, 2]]R2 → R2 − 2.5R1: [2 1 | 1 0; 0 0.5 | −2.5 1]
अंतA⁻¹ = [[3, −1], [−5, 2]]R2 × 2, फिर R1 → (R1 − R2)/2: [1 0 | 3 −1; 0 1 | −5 2]
🧠 गुणा करके व्युत्क्रम जाँचें
A·A⁻¹ = I दस सेकंड की जाँच है जो सहखंडों में चिह्न की भूल पकड़ती है, जो सामान्य त्रुटि है। उदाहरण हेतु [[2, 1], [5, 3]]·[[3, −1], [−5, 2]] = [[6 − 5, −2 + 2], [15 − 15, −5 + 6]] = I।

मुख्य बिंदु

  • α वह झूठी-चेतावनी प्रायिकता है जो आप चुनते हैं; β वास्तविक प्रभाव चूकने की प्रायिकता; शक्ति 1 − β है।
  • σ ज्ञात हो तो z, आकलित हो तो n − 1 स्वातंत्र्य कोटियों पर t, अंतरों पर युग्मित t, गणनाओं हेतु χ² = Σ(O − E)²/E, प्रसरण-अनुपात हेतु F।
  • एक माध्य हेतु n = [(zα/2 + z_β)σ/δ]², दो समूहों में प्रति समूह उसका दोगुना; सदैव ऊपर पूर्णांकित करें।
  • b_yx = S_xy/S_xx, रेखा (x̄, ȳ) से गुज़रती है, और b_yx · b_xy = r²।
  • छोटे आव्यूहों हेतु A⁻¹ = adj A/det A; बड़े हेतु गाउस–जॉर्डन से [A | I] → [I | A⁻¹]।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. परिकल्पना परीक्षण में प्रथम प्रकार की त्रुटि है

    1. H₀ के सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना
    2. H₀ के असत्य होने पर उसे अस्वीकार न करना
    3. H₁ के सत्य होने पर उसे स्वीकार करना
    4. द्वि-पुच्छी के स्थान पर एक-पुच्छी परीक्षण चुनना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — H₀ के सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना

    प्रथम प्रकार की त्रुटि झूठी चेतावनी है — वास्तव में सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना — और उसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर α है। असत्य H₀ को अस्वीकार न करना द्वितीय प्रकार की त्रुटि है, प्रायिकता β; सत्य H₁ को स्वीकारना सही निर्णय है।

  2. α व वास्तविक प्रभाव स्थिर रखते हुए कौन-सा परिवर्तन परीक्षण की शक्ति बढ़ाता है?

    1. प्रतिदर्श आकार बढ़ाना
    2. समष्टि मानक विचलन बढ़ाना
    3. युग्मित अभिकल्प से उन्हीं व्यक्तियों के दो स्वतंत्र समूहों पर जाना
    4. मापन-लागत घटाने हेतु प्रतिदर्श आकार घटाना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रतिदर्श आकार बढ़ाना

    बड़ा n मानक त्रुटि σ/√n को घटाता है, अतः वही वास्तविक अंतर H₀ से अधिक मानक त्रुटियाँ दूर होता है और अधिक बार संसूचित होता है। बड़ा σ इसका उल्टा करता है, और युग्मन छोड़ने से व्यक्तियों के बीच का प्रकीर्णन हर में लौट आता है, जिससे शक्ति घटती है।

  3. एक दाब संवेदक के पाठ्यांकों का ज्ञात मानक विचलन σ = 12 mmHg है। नाममात्र 100 mmHg के संदर्भ के n = 36 पाठ्यांकों का प्रतिदर्श माध्य 104 mmHg है। H₀: μ = 100 mmHg हेतु z प्रतिदर्शज ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (104 − 100)/(12/6) = 4/2 = 2। √n भूलकर केवल σ से भाग देने पर 0.33 आता है, जो गलत ढंग से H₀ के विरुद्ध कोई साक्ष्य न होना सुझाएगा; |z| = 2 > 1.96 होने से द्वि-पुच्छी परीक्षण 5% पर अस्वीकार करता है।

  4. एक नए कफ़-रहित रक्तचाप मॉनिटर के युग्मित अध्ययन में युग्मित अंतरों का मानक विचलन 10 mmHg अपेक्षित है और द्वि-पुच्छी α = 0.05 व 80% शक्ति के साथ 5 mmHg का माध्य अंतर संसूचित करना है (zα/2 = 1.96 व z_β = 0.84 लें)। व्यक्तियों की न्यूनतम संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 32

    n = [(zα/2 + z_β)σ/δ]² = [(1.96 + 0.84) × 10/5]² = (5.6)² = 31.36, ऊपर पूर्णांकित कर 32। निकटतम पूर्णांक लेने पर 31 आता है, जो 80% शक्ति से कम पड़ता है; दो-समूह सूत्र (इसका दोगुना) लगाने पर प्रति समूह 63 आता है, जो युग्मित अभिकल्प नहीं है।

  5. किसी आँकड़ा समुच्चय के दो समाश्रयण गुणांक b_yx = 0.8 व b_xy = 0.45 हैं। सहसंबंध गुणांक r ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6

    b_yx · b_xy = r², अतः r² = 0.8 × 0.45 = 0.36 व r = +0.6, धनात्मक क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं। दोनों गुणांकों का समांतर माध्य (0.625) लेना लुभावनी भूल है; r उनका गुणोत्तर माध्य है।

  6. पाँच अंशांकन बिंदु (x, y) हैं (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4) व (5, 5)। x पर y की न्यूनतम-वर्ग रेखा से x = 6 पर अनुमानित y ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5.8

    x̄ = 3, ȳ = 4। S_xy = (−2)(−2) + (−1)(0) + 0(1) + 1(0) + 2(1) = 6 व S_xx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10, अतः b = 0.6 व a = 4 − 0.6 × 3 = 2.2। x = 6 पर y = 2.2 + 3.6 = 5.8। अंतिम प्रेक्षित चरण को आगे बढ़ाने पर 6 आता है, जो न्यूनतम-वर्ग अनुमान नहीं है।

  7. पियर्सन सहसंबंध गुणांक r के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. −1 ≤ r ≤ 1
    2. r = 0 का अर्थ है कि x व y सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं
    3. x को 3x + 7 से बदलने पर r अपरिवर्तित रहता है
    4. दोनों समाश्रयण गुणांकों का चिह्न r के समान होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — −1 ≤ r ≤ 1; C — x को 3x + 7 से बदलने पर r अपरिवर्तित रहता है; D — दोनों समाश्रयण गुणांकों का चिह्न r के समान होता है

    r ±1 से परिबद्ध है, मूल-बिंदु परिवर्तन व धनात्मक पैमाना-परिवर्तन से अप्रभावित है, और उसका चिह्न S_xy का, अतः दोनों समाश्रयण प्रवणताओं का, होता है। r = 0 केवल रैखिक संबंध को नकारता है — सममित परास पर y = x² का r = 0 है, फिर भी y, x से निर्धारित है।

  8. 3 पंक्तियों व 4 स्तंभों वाली आसंग सारणी पर स्वतंत्रता का काई-वर्ग परीक्षण लगाया गया है। स्वातंत्र्य कोटियों की संख्या है

    1. 6
    2. 12
    3. 11
    4. 7
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 6

    r × c सारणी हेतु स्वातंत्र्य कोटियाँ (r − 1)(c − 1) = 2 × 3 = 6 हैं। बारह कोष्ठों की संख्या है और 11 कोष्ठ घटा एक, समंजन-सुष्ठुता वाली गणना, जो पंक्ति व स्तंभ दोनों योगों के स्थिर होने का ध्यान नहीं रखती।

  9. युग्मित t-परीक्षण उपयुक्त परीक्षण है जब

    1. उन्हीं व्यक्तियों को किसी हस्तक्षेप से पहले व बाद में मापा जाए
    2. रोगियों के दो असंबद्ध समूहों की तुलना हो
    3. प्रेक्षित गणनाओं की अपेक्षित गणनाओं से तुलना हो
    4. दो प्रसरणों की तुलना हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उन्हीं व्यक्तियों को किसी हस्तक्षेप से पहले व बाद में मापा जाए

    युग्मन उन्हीं व्यक्तियों पर पुनरावृत्त मापनों हेतु है, जिससे प्रत्येक व्यक्ति अपना ही नियंत्रण बनता है और परीक्षण अंतरों पर चलता है। असंबद्ध समूहों हेतु द्वि-प्रतिदर्श t-परीक्षण, गणनाओं हेतु काई-वर्ग और प्रसरण-अनुपात हेतु F-परीक्षण चाहिए।

  10. A = [[4, 7], [2, 6]] हेतु A⁻¹ की पंक्ति 1, स्तंभ 2 का अवयव ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -0.7

    det A = 24 − 14 = 10 और A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]], अतः (1, 2) अवयव −7/10 = −0.7 है। अविकर्ण को ऋणात्मक करना भूलने पर +0.7, और सारणिक से भाग देना भूलने पर −7 आता है; वापस गुणा करने पर A·A⁻¹ = I, जो −0.7 की पुष्टि करता है। उत्तर -0.7 के रूप में टाइप करें।

  11. गाउस–जॉर्डन व्युत्क्रमण में संवर्धित आव्यूह [A | I] को तब तक पंक्ति-समानीत किया जाता है जब तक बायाँ खंड तत्समक न बन जाए। तब दायाँ खंड है

    1. A⁻¹
    2. adj A
    3. Aᵀ
    4. det A · I
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A⁻¹

    प्रत्येक पंक्ति संक्रिया किसी प्रारंभिक आव्यूह से बाएँ गुणा है, और उन सबका गुणनफल E, EA = I को संतुष्ट करता है, अतः E = A⁻¹ — और I पर वही संक्रियाएँ दाईं ओर E·I = A⁻¹ छोड़ती हैं। सहखंडज तभी आता जब सारणिक से कभी भाग न दिया जाता।

  12. दो माध्यों की तुलना वाले अध्ययन में, शेष सब अपरिवर्तित रहते हुए, कौन-से परिवर्तन आवश्यक प्रतिदर्श आकार बढ़ाते हैं?

    1. संसूचित किया जाने वाला छोटा अंतर
    2. अधिक आवश्यक शक्ति
    3. α को 0.05 से 0.10 करना
    4. मापन का बड़ा मानक विचलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संसूचित किया जाने वाला छोटा अंतर; B — अधिक आवश्यक शक्ति; D — मापन का बड़ा मानक विचलन

    n ∝ [(zα/2 + z_β)σ/δ]²: छोटा δ, बड़ा σ व बड़ा z_β (अधिक शक्ति) सभी इसे बढ़ाते हैं। α बढ़ाने से zα/2 1.96 से 1.645 हो जाता है और n घटता है — ढीली सीमा को कम व्यक्ति चाहिए, जिसकी कीमत झूठी चेतावनियाँ हैं।

  13. दस रोगियों की हृदय-दर किसी औषधि से पहले व बाद में दर्ज की गई। दस अंतरों का माध्य 3 स्पंद/मिनट और उनका प्रतिदर्श मानक विचलन 4 स्पंद/मिनट है। युग्मित t प्रतिदर्शज, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.37

    t = d̄/(s_d/√n) = 3/(4/√10) = 3/1.265 = 2.37, 9 स्वातंत्र्य कोटियों पर। यह द्वि-पुच्छी 5% मान 2.262 से अधिक है, अतः परिवर्तन सार्थक है। √n के बिना s_d से भाग देने पर 0.75; √10 के स्थान पर √9 लेने पर 2.25 और गलत निष्कर्ष आता है।