जैवयांत्रिकी: संधि स्थैतिकी व चाल, अस्थि में प्रतिबल व विकृति, तथा मृदु-ऊतक यांत्रिकी
2. संधियों में बल व प्रतिबल; संधियों का जैवयांत्रिक विश्लेषण
एक-पैर खड़े होने पर कूल्हा। एक पैर भूमि से ऊपर होने पर, खड़े पैर वाले कूल्हे के ऊपर का शरीर-भार (पूरा शरीर घटा खड़ा पैर, शरीर-भार का लगभग पाँच-छठा) कूल्हे की संधि से कुछ दूरी भीतर की ओर कार्य करता है, और संधि के कहीं निकट बृहद् शिखरक (ग्रेटर ट्रोकेंटर) से जुड़ी कूल्हे की अपवर्तनी पेशियाँ (ग्लूटियस मीडियस व मिनिमस) उसका आघूर्ण संतुलित करती हैं। शरीर-भार आघूर्ण भुजा अपवर्तनी आघूर्ण भुजा की लगभग दोगुनी होने पर अपवर्तनी बल उस शरीर-भार का लगभग दोगुना होता है, और संधि प्रतिक्रिया — मोटे तौर पर अपवर्तनी बल व शरीर-भार का योग — खड़े होने में शरीर-भार का लगभग 2.5 से 3 गुना और चलने में अधिक होती है। विपरीत हाथ में छड़ी दूसरी ओर लंबी आघूर्ण भुजा जोड़ती है और कूल्हे को काफ़ी राहत देती है।
- संधि में संपर्क प्रतिबल संधि बल बटा संपर्क क्षेत्रफल है, अतः वही बल छोटे क्षेत्रफल पर कहीं अधिक हानिकारक है — सर्वांगसम संधि सतहों के पक्ष में और बिंदु-संपर्क प्रत्यारोपण अभिकल्पों के विरुद्ध तर्क।
- घुटना जानुफलक (पटेला) के माध्यम से चतुःशिरस्क द्वारा भारित होता है, जिसकी उपस्थिति चतुःशिरस्क आघूर्ण भुजा बढ़ाती है; जानुफलक-ऊर्विका बल घुटना मुड़ने के साथ तीव्रता से बढ़ते हैं, इसीलिए सीढ़ी चढ़ना व उकड़ूँ बैठना उसे भारी रूप से भारित करते हैं।
- उठाने में कटि मेरुदंड: पृष्ठ प्रसारक पेशियाँ चक्रिका से कुछ सेंटीमीटर पीछे कार्य करती हैं जबकि भार बहुत आगे, अतः झुकी पीठ व शरीर से दूर रखे भार के साथ उठाना शरीर-भार के कई गुना संपीडी चक्रिका बल उत्पन्न करता है।
- साइनोवियल संधियाँ साइनोवियल द्रव से और भार पर संधि उपास्थि से निचोड़े गए द्रव से स्नेहित होती हैं, जिससे 0.01 या उससे कम कोटि के घर्षण गुणांक मिलते हैं — अधिकांश अभियांत्रिकी बेयरिंगों से कहीं कम।
3. चाल विश्लेषण
चाल चक्र एक एड़ी-प्रहार से उसी पैर के अगले एड़ी-प्रहार तक चलता है। सामान्य चलने की गति पर स्थिति चरण (पैर भूमि पर) चक्र का लगभग 60% और झूल चरण लगभग 40% लेता है, लगभग 10% प्रत्येक के दोहरे आधार के दो काल सहित। स्थिति को एड़ी-प्रहार (प्रारंभिक संपर्क), पाद-समतल (भारण अनुक्रिया), मध्य-स्थिति, एड़ी-उत्थान व पंजा-उत्थान में, और झूल को प्रारंभिक, मध्य व अंतिम झूल में विभाजित किया जाता है। दौड़ना दोहरा आधार हटाकर उड़ान चरण लाता है जिसमें कोई पैर भूमि पर नहीं होता।
| प्राचल | परिभाषा |
|---|---|
| पद लंबाई | एक पैर के एड़ी-प्रहार से दूसरे के एड़ी-प्रहार तक की दूरी |
| डग लंबाई | उसी पैर के क्रमिक एड़ी-प्रहारों के बीच दूरी — दो पद |
| लय | प्रति मिनट पद |
| चलने की गति | पद लंबाई × लय (प्रति सेकंड हेतु 60 से भाग) = डग लंबाई × प्रति इकाई समय डग |
चाल प्रयोगशाला प्रकाशिक गति अभिग्रहण (शारीरिक चिह्नों पर परावर्ती चिह्नकों का अनुसरण करते कैमरे, जो संधि कोण देते हैं), बल पट्टिकाओं (भूमि प्रतिक्रिया बल व उसका दाब केंद्र; चलने में ऊर्ध्वाधर घटक का दोहरा कूबड़ शरीर-भार से थोड़ा ऊपर शिखर लेता है, मध्य-स्थिति में गर्त सहित), और मुख्य पेशी समूहों के EMG को संयोजित करती है। फिर संधि आघूर्ण व शक्तियाँ प्रतिलोम गतिकी से परिकलित होती हैं — मापित भूमि प्रतिक्रिया बल से ऊपर पैर, पिंडली व जाँघ से होकर प्रत्येक खंड के द्रव्यमान, जड़त्व व त्वरण के प्रयोग से। नैदानिक उपयोगों में प्रमस्तिष्क घात (सेरेब्रल पाल्सी) में शल्यक्रिया योजना, कृत्रिम अंगों की फिटिंग व संरेखण, और पुनर्वास का अनुसरण सम्मिलित हैं।
4. प्रतिबल, विकृति व अस्थि की यांत्रिकी
अभिलंब प्रतिबल σ = F/A किसी सतह के लंबवत प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है, और अपरूपण प्रतिबल τ = V/A उसके अनुदिश प्रति इकाई क्षेत्रफल बल; इकाई N/m² = Pa, प्रायः MPa। अभिलंब विकृति ε = ΔL/L₀ विमाहीन है (प्रायः सूक्ष्मविकृति, 10⁻⁶, में बताई जाती है), और अपरूपण विकृति γ समकोण में परिवर्तन है, रेडियन में। रैखिक प्रत्यास्थ परास में σ = Eε (हुक नियम) व τ = Gγ; प्वासों अनुपात ν = −ε_पार्श्व/ε_अक्षीय, और समदैशिक पदार्थ हेतु G = E/[2(1 + ν)]। अभियांत्रिकी प्रतिबल मूल क्षेत्रफल, और वास्तविक प्रतिबल वर्तमान क्षेत्रफल प्रयोग करता है।
अस्थि एक संयुक्त पदार्थ है: हाइड्रॉक्सीऐपटाइट, Ca₁₀(PO₄)₆(OH)₂, की खनिज प्रावस्था, जो दृढ़ता व संपीडी सामर्थ्य देती है, प्रकार I कोलेजन की आधात्री में, जो कठोरता (टफ़नेस) व तनन सामर्थ्य देता है, और जल। वल्कुटी (सघन) अस्थि लंबी अस्थियों के दंड व सभी अस्थियों का बाह्य आवरण बनाती है; यह ऑस्टियॉनों (हैवर्सियन तंत्रों) — केंद्रीय नलिका के चारों ओर संकेंद्री पटलिकाएँ — में संगठित है और इसकी सरंध्रता कम, लगभग 5–10%, है। स्पंजी (ट्रैबिक्युलर) अस्थि लंबी अस्थियों के सिरों व कशेरुक-पिंडों को लगभग 50–90% सरंध्रता वाले ट्रैबिक्युला के जालक के रूप में भरती है, इसकी दृढ़ता व सामर्थ्य आभासी घनत्व के साथ तीव्रता से बढ़ती है।
| गुण | वल्कुटी अस्थि (अनुदैर्ध्य) | स्पंजी अस्थि |
|---|---|---|
| प्रत्यास्थता मापांक | लगभग 17–20 GPa | लगभग 0.1–2 GPa, घनत्व पर अत्यधिक निर्भर |
| परम सामर्थ्य | संपीडन लगभग 190 MPa > तनन लगभग 130 MPa > अपरूपण लगभग 70 MPa | संपीडन में कुछ MPa से दसियों MPa |
| सरंध्रता | लगभग 5–10% | लगभग 50–90% |
| व्यवहार | विषमदैशिक (दंड के अनुदिश सबसे दृढ़), श्यान-प्रत्यास्थ, उच्च विकृति दर पर अधिक दृढ़ | ऊर्जा अवशोषित करती है; ट्रैबिक्युलर बंकुचन व कुचलन से विफल होती है |
लंबी अस्थि का बंकन। दंड को धरन मानते हुए बंकन प्रतिबल σ = My/I है, बाह्य सतह पर अधिकतम; D बाह्य व d आंतरिक व्यास वाले खोखले वृत्ताकार काट हेतु I = π(D⁴ − d⁴)/64। क्योंकि I अक्ष से दूरी की चतुर्थ घात पर निर्भर है, खोखली नली समान बाह्य व्यास की ठोस छड़ की लगभग बंकन दृढ़ता कहीं कम भार पर वहन करती है — हर लंबी अस्थि का अभिकल्प। ऐंठन में τ = Tr/J, J = π(D⁴ − d⁴)/32, इसीलिए स्कीइंग की चोटें टिबिया को ऐंठकर सर्पिल अस्थिभंग करती हैं। वुल्फ़ नियम कहता है कि अस्थि अपने वहन किए भारों के अनुसार पुनर्निर्मित होती है: जहाँ भारित वहाँ मोटी होती है और जहाँ नहीं वहाँ पुनरवशोषित, जो प्रतिबल परिरक्षण की क्रियाविधि है जब दृढ़ प्रत्यारोपण अस्थि के स्थान पर भार वहन करता है।
5. मृदु ऊतक व श्यान-प्रत्यास्थ मॉडल
| ऊतक | संरचना | कार्य | यांत्रिक पहचान |
|---|---|---|---|
| कंडरा व स्नायु | कम कोशिकाओं सहित प्रकार I कोलेजन के समांतर, सिकुड़े बंडल | कंडरा पेशी को अस्थि से; स्नायु अस्थि को अस्थि से जोड़ता व संधियों को निर्देशित करता है | J-आकार प्रतिबल–विकृति वक्र: सिकुड़न सीधी होने पर पंजा क्षेत्र, फिर दृढ़ रैखिक क्षेत्र (कंडरा हेतु लगभग 1 GPa कोटि का मापांक), फिर विफलता |
| संधि उपास्थि | ऋण-आवेशित प्रोटियोग्लाइकन व जल को थामे प्रकार II कोलेजन जाल; रक्तवाहिका-रहित | निम्न-घर्षण, भार फैलाने वाली बेयरिंग सतह | द्विप्रावस्थी: आकस्मिक भार पर उसकी दृढ़ता फँसे द्रव से आती है, जो फिर धीरे-धीरे बाहर बहता है (विसर्पण) |
| कंकाल पेशी | संयोजी ऊतक में लिपटे सार्कोमियरों के तंतु | सक्रिय बल उत्पादन | हिल मॉडल: श्रेणी व समांतर प्रत्यास्थ अवयवों सहित संकुचनशील अवयव; बल–लंबाई व बल–वेग संबंध |
| त्वचा व रक्तवाहिकाएँ | जलयोजित आधात्री में इलास्टिन व कोलेजन | सुरक्षा; दाब स्पंद को धारण व अवमंदित करना | इलास्टिन निम्न विकृतियाँ वहन करता है, उच्च विकृति पर कोलेजन जुड़ता है — अरैखिक व विषमदैशिक |
श्यान-प्रत्यास्थता वह अनुक्रिया है जो समय व दर पर निर्भर हो: स्थिर प्रतिबल पर ऊतक विसर्पण करता है, स्थिर विकृति पर उसका प्रतिबल शिथिल होता है, और भारण–अभारण चक्र एक शैथिल्य पाश बनाता है जिसका क्षेत्रफल क्षयित ऊर्जा है। तीन सांद्रित मॉडल इसे स्प्रिंगों (प्रतिबल = Eε) व डैशपॉटों (प्रतिबल = η dε/dt) से वर्णित करते हैं, और उनका अभिलक्षणिक काल τ = η/E है।
| मॉडल | व्यवस्था | σ₀ पर विसर्पण | ε₀ पर शिथिलन |
|---|---|---|---|
| मैक्सवेल | स्प्रिंग व डैशपॉट श्रेणी में | तत्क्षण σ₀/E, फिर असीमित रैखिक वृद्धि: ε = σ₀/E + σ₀t/η | σ = σ₀e−t/τ, शून्य तक क्षय |
| केल्विन–वॉइट | स्प्रिंग व डैशपॉट समांतर में | कोई तात्क्षणिक विकृति नहीं; ε = (σ₀/E)(1 − e−t/τ), परिबद्ध | कोई शिथिलन नहीं — चरण पूर्ण होने पर प्रतिबल Eε₀ पर रहता है |
| मानक रैखिक ठोस (ज़ेनर) | मैक्सवेल अवयव के समांतर एक स्प्रिंग | तात्क्षणिक विकृति, फिर परिबद्ध चरघातांकी विसर्पण | शून्येतर साम्य प्रतिबल तक चरघातांकी शिथिलन |
मुख्य बिंदु
- पेशी बल हेतु संधि केंद्र के परितः आघूर्ण लें, फिर संधि प्रतिक्रिया हेतु बल संतुलन; तृतीय-वर्ग उत्तोलक पेशी बलों को भार का कई गुना बनाते हैं।
- एक-पैर स्थिति में कूल्हा प्रतिक्रिया लगभग 2.5–3 × शरीर-भार; संपर्क प्रतिबल = बल/क्षेत्रफल।
- चाल: स्थिति लगभग 60%, झूल 40%, दोहरा आधार लगभग 10% दो बार; गति = पद लंबाई × लय।
- वल्कुटी अस्थि: E लगभग 17–20 GPa, संपीडन में सबसे प्रबल, अपरूपण में सबसे दुर्बल, विषमदैशिक; खोखले दंड हेतु σ = My/I, I = π(D⁴ − d⁴)/64।
- मैक्सवेल σ₀e−t/τ शिथिल होता है पर असीम विसर्पण करता है; केल्विन–वॉइट (σ₀/E)(1 − e−t/τ) विसर्पण करता है पर शिथिल नहीं होता; τ = η/E।
अभ्यास प्रश्न (13)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
हाथ में भार पकड़े द्विशिरस्क से कोहनी मोड़ना किस वर्ग के उत्तोलक का उदाहरण है?
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उत्तर: A — तृतीय वर्ग
कोहनी आलंब है, द्विशिरस्क कुछ सेंटीमीटर दूर जुड़ती है, और भार आगे हाथ पर है, अतः प्रयास आलंब व भार के बीच है: तृतीय वर्ग, यांत्रिक लाभ 1 से कम। पंजों पर उठना द्वितीय वर्ग है; ऐटलस पर सिर हिलाना प्रथम वर्ग है।एक क्षैतिज अग्रबाहु का भार 15 N कोहनी से 15 cm पर कार्यरत है, और हाथ 35 cm पर 50 N पकड़े है। द्विशिरस्क कोहनी से 4 cm पर ऊर्ध्वाधर कार्य करती है। द्विशिरस्क बल (N में), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 493.75
कोहनी के परितः आघूर्ण: 4F = 15 × 15 + 50 × 35 = 225 + 1750 = 1975, अतः F = 493.75 N, और संधि प्रतिक्रिया 493.75 − 65 = 428.75 N है। अग्रबाहु का अपना भार छोड़ने पर 437.5 N; आघूर्ण भुजाओं के बिना भार जोड़ने पर 65 N आता है।3 cm² के अस्थि अनुप्रस्थ-काट पर 3000 N का संपीडी भार कार्यरत है। संपीडी प्रतिबल (MPa में) ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 10
σ = F/A = 3000/(3 × 10⁻⁴ m²) = 10⁷ Pa = 10 MPa, वल्कुटी अस्थि की लगभग 190 MPa संपीडी सामर्थ्य से बहुत नीचे। यह भूलना कि 1 cm² = 10⁻⁴ m², 1000 Pa देता है, 10⁴ के गुणक से गलत।एक ऊर्विका दंड को 100 N·m बंकन आघूर्ण पर 30 mm बाह्य व 15 mm आंतरिक व्यास की खोखली वृत्ताकार नली माना गया है। अधिकतम बंकन प्रतिबल (MPa में), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 40.2
I = π(30⁴ − 15⁴)/64 = π(810 000 − 50 625)/64 = 37 276 mm⁴ और y = 15 mm, अतः σ = My/I = 100 000 × 15/37 276 = 40.2 MPa। अस्थि को समान बाह्य व्यास की ठोस छड़ मानने पर I = 39 761 mm⁴ व 37.7 MPa — दोगुने पदार्थ हेतु केवल थोड़ा कम प्रतिबल, जो खोखले अभिकल्प का तात्पर्य है।E = 17 GPa वाली वल्कुटी अस्थि अपने रैखिक परास में 34 MPa का एकअक्षीय प्रतिबल वहन करती है। विकृति (सूक्ष्मविकृति में) ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2000
ε = σ/E = 34 × 10⁶/17 × 10⁹ = 0.002 = 2000 सूक्ष्मविकृति, तीव्र गतिविधि में सामान्य शिखर विकृति। 0.002 बताना माँगी गई सूक्ष्मविकृति के स्थान पर साधारण विकृति में उत्तर देना है; MPa व GPa को बिना बदले मिलाने पर 2 आता है।मैक्सवेल अवयव (τ = η/E = 50 s) के रूप में प्रतिरूपित एक स्नायु को अचानक खींचकर रोका जाता है, आरंभिक प्रतिबल 2 MPa है। 50 s बाद प्रतिबल (MPa में), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.736
मैक्सवेल अवयव में प्रतिबल शिथिलन σ = σ₀e−t/τ = 2e−1 = 2 × 0.3679 = 0.736 MPa है। 2(1 − e−1) = 1.264 MPa लिखना केल्विन–वॉइट मॉडल का विसर्पण रूप प्रयोग करना है, जो भिन्न परीक्षण का वर्णन करता है।केल्विन–वॉइट अवयव के रूप में प्रतिरूपित ऊतक का E = 10 MPa व η = 100 MPa·s है। t = 0 पर 1 MPa का स्थिर प्रतिबल लगाया जाता है। t = 10 s पर विकृति, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.0632
τ = η/E = 10 s, और ε = (σ₀/E)(1 − e−t/τ) = 0.1 × (1 − e−1) = 0.1 × 0.6321 = 0.0632, जो 0.1 की ओर बढ़ती है। मैक्सवेल विसर्पण सूत्र σ₀/E + σ₀t/η = 0.1 + 0.1 = 0.2 श्रेणी में स्प्रिंग व डैशपॉट पर लागू है, समांतर पर नहीं।स्थिर विकृति पर रोके जाने पर कौन-सा श्यान-प्रत्यास्थ मॉडल कोई प्रतिबल शिथिलन नहीं दिखाता?
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उत्तर: A — केल्विन–वॉइट
समांतर केल्विन–वॉइट मॉडल में विकृति स्थिर होते ही डैशपॉट कोई प्रतिबल नहीं वहन करता और स्प्रिंग अनिश्चित काल तक Eε₀ वहन करती है। मैक्सवेल मॉडल शून्य तक और मानक रैखिक ठोस शून्येतर पठार तक शिथिल होता है, अतः तीनों में केवल एक कोई शिथिलन नहीं दिखाता।अस्थि के विषय में कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — वल्कुटी अस्थि तनन की अपेक्षा संपीडन में अधिक प्रबल है; B — अस्थि यांत्रिक रूप से विषमदैशिक है; C — स्पंजी अस्थि की सरंध्रता वल्कुटी अस्थि से कहीं अधिक है
वल्कुटी अस्थि की सामर्थ्य का क्रम संपीडन (लगभग 190 MPa) > तनन (लगभग 130 MPa) > अपरूपण (लगभग 70 MPa) है, अतः वह अपरूपण में सबसे दुर्बल है, संपीडन में नहीं; उसके ऑस्टियॉन उसे दंड के अनुदिश सबसे दृढ़ बनाते हैं। स्पंजी की 50–90% सरंध्रता वल्कुटी अस्थि के 5–10% से बहुत अधिक है।सामान्य चलने की गति पर स्थिति चरण चाल चक्र का लगभग कितना अंश घेरता है?
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उत्तर: A — 60%
स्थिति लगभग 60% और झूल लगभग 40% है, दोनों पैरों के स्थिति चरणों का अतिव्यापन लगभग 10% प्रत्येक के दो दोहरे-आधार काल देता है। 40% झूल चरण है; 50% कोई दोहरा आधार नहीं छोड़ता, जो चलने व दौड़ने की सीमा है।एक व्यक्ति 0.7 m पद लंबाई व 110 पद प्रति मिनट लय से चलता है। चलने की गति (m/s में), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1.28
गति = पद लंबाई × लय = 0.7 × 110/60 = 1.283 m/s। 0.7 m को डग लंबाई मानकर आधा करने पर 0.64 m/s; प्रति मिनट से रूपांतरण भूलने पर 77 m/s आता है।कंडरा के तनन व्यवहार के विषय में कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — आरंभिक पंजा क्षेत्र सिकुड़े कोलेजन तंतुओं के सीधे होने को दर्शाता है; B — भारण व अभारण वक्र शैथिल्य पाश बनाते हैं; C — उसकी आभासी दृढ़ता विकृति दर के साथ बढ़ती है
J-आकार वक्र अनुवर्ती पंजा क्षेत्र से आरंभ होता है जब सिकुड़न खिंचती है, फिर तंतुओं के सीधे भार वहन करने पर दृढ़ होता है; श्यान-प्रत्यास्थ ऊतक के रूप में यह प्रत्येक चक्र में ऊर्जा क्षय करता है और तीव्र भारण का धीमे से अधिक प्रतिरोध करता है। पंजा क्षेत्र ही कारण है कि यह शून्य से रैखिक नहीं है।एक-पैर स्थिति में खड़े पैर वाले कूल्हे के ऊपर शरीर-भार 600 N कूल्हा संधि केंद्र से 10 cm भीतर की ओर कार्यरत है, और अपवर्तनी पेशियाँ उससे 5 cm बाहर की ओर ऊर्ध्वाधर कार्य करती हैं। सभी बलों को ऊर्ध्वाधर मानते हुए कूल्हा संधि प्रतिक्रिया बल (N में) ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1800
कूल्हे के परितः आघूर्ण: F_ab × 5 = 600 × 10, अतः F_ab = 1200 N; अपवर्तनी खिंचाव व शरीर-भार दोनों ऊर्विका शीर्ष के सापेक्ष श्रोणि पर नीचे कार्य करते हैं, अतः संधि प्रतिक्रिया 1200 + 600 = 1800 N है, वहन किए भार का तीन गुना। अंतर, 600 N, लेना अपवर्तनियों को ऐसे मानना है मानो वे श्रोणि को संधि से ऊपर उठाती हों।