श्रेणी व अभिसरण, रैखिक रूपांतरण, अरैखिक प्रथम-कोटि ODE, तथा सहसंबंध–समाश्रयण

यह अध्याय केवल GATE कृषि अभियांत्रिकी (AG) पेपर हेतु लिखा गया है। इसका खंड 1, अभियांत्रिकी गणित, पाँच ऐसे विषय नामित करता है जो साझा गणित अध्याय नहीं पढ़ाते, और वे यहाँ एकत्र हैं: अभिसरण परीक्षणों सहित अनुक्रम व अनंत श्रेणी; एक-चर फलन की टेलर व मैक्लॉरिन श्रेणी; रैखिक व लांबिक रूपांतरण; पृथक्करणीय, समघातीय व रैखिक रूपों से आगे के अरैखिक प्रथम-कोटि समीकरण — यथातथ (exact) समीकरण व बर्नूली समीकरण; तथा सहसंबंध व समाश्रयण विश्लेषण। AG के गणित का शेष — आव्यूह, आइगेन-मान व केली–हैमिल्टन, आंशिक अवकलज व आयलर प्रमेय, सदिश कलन, उच्च-कोटि ODE, लाप्लास रूपांतरण, तीन PDE, बंटन तथा आंकिक विधियाँ — आपके पेपर के पाठ्यक्रम पृष्ठ पर सूचीबद्ध साझा अध्यायों में है। प्रत्येक खंड उस रूप में समाप्त होता है जो GATE प्रश्न लेता है: लगाने हेतु एक परीक्षण, पढ़ने हेतु एक गुणांक, पहचानने हेतु एक रेखा।

1. अनुक्रम, अनंत श्रेणी व अभिसरण परीक्षण

अनुक्रम aₙ अभिसारी है यदि n → ∞ पर aₙ किसी परिमित सीमा की ओर जाता है। अनंत श्रेणी Σaₙ अभिसारी है यदि उसके आंशिक योगों Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ का अनुक्रम अभिसारी है। सबसे पहले सदा n-वें पद का परीक्षण देखें: यदि aₙ शून्य की ओर नहीं जाता, तो श्रेणी अपसारी है। इसका विलोम असत्य है — प्रसंवादी श्रेणी Σ1/n के पद शून्य की ओर जाते हैं फिर भी वह अपसारी है, क्योंकि उसके आंशिक योग ln n की भाँति बढ़ते हैं।

दो मानक श्रेणियाँ अधिकांश तुलनाएँ तय करती हैं। गुणोत्तर श्रेणी Σrⁿ ठीक तब अभिसारी है (प्रथम पद a से a/(1 − r) तक) जब |r| < 1। p-श्रेणी Σ1/nᵖ ठीक तब अभिसारी है जब p > 1: Σ1/n² अभिसारी है, Σ1/n व Σ1/√n अपसारी हैं। धनात्मक पदों की श्रेणियों हेतु तुलना परीक्षण कहता है कि किसी अभिसारी श्रेणी से पद-दर-पद छोटी श्रेणी अभिसारी है, और किसी अपसारी से बड़ी श्रेणी अपसारी है; सीमा तुलना परीक्षण कहता है कि यदि aₙ/bₙ किसी परिमित अशून्य सीमा की ओर जाता है, तो दोनों श्रेणियाँ साथ-साथ अभिसारी या अपसारी होती हैं।

परीक्षण, और कब कौन-सा उपयुक्त है
परीक्षणकथनकब लगाएँ
अनुपात (डी’एलम्बर्ट)L = lim |aₙ₊₁/aₙ|: L < 1 पर अभिसारी, L > 1 पर अपसारी, L = 1 पर निर्णय नहींक्रमगुणित व घात जैसे n!, aⁿ, nⁿ उपस्थित हों
मूल (कौशी)L = lim |aₙ|^(1/n): अनुपात परीक्षण जैसे ही निर्णयपूरा पद घात n पर उठाया गया हो
समाकलΣf(n) व 1 से ∞ तक ∫f(x)dx साथ अभिसारी होते हैं, f धनात्मक व ह्रासमानपद ऐसा फलन हो जिसका समाकलन हो सके, जैसे 1/(n ln n)
लाइबनिट्ज़ (एकांतर)Σ(−1)ⁿ⁺¹bₙ अभिसारी है यदि bₙ घटते हुए शून्य तक जाता हैचिह्न एकांतर हों

श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है यदि Σ|aₙ| अभिसारी है, और निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण निकलता है। जो श्रेणी अभिसारी हो जबकि Σ|aₙ| अपसारी हो, वह सप्रतिबंध अभिसारी है: एकांतर प्रसंवादी श्रेणी 1 − 1/2 + 1/3 − … अभिसारी है (ln 2 तक) यद्यपि Σ1/n अपसारी है।

⚠️ L = 1 का अर्थ "अभिसारी" नहीं
अनुपात व मूल परीक्षण प्रत्येक p-श्रेणी हेतु L = 1 देते हैं, चाहे वह अभिसारी हो (p = 2) या अपसारी (p = 1)। "अनुपात परीक्षण दिखाता है कि Σ1/n² अभिसारी है" कहने वाला विकल्प कारण के आधार पर ग़लत है, यद्यपि श्रेणी अभिसारी ही है — निर्णय p-श्रेणी परीक्षण या समाकल परीक्षण करता है।

2. टेलर व मैक्लॉरिन श्रेणी

यदि x = a पर f के सभी कोटि के अवकलज हों, तो a के परितः उसकी टेलर श्रेणी f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … = Σ f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! है। मैक्लॉरिन श्रेणी a = 0 की विशेष स्थिति है। अतः (x − a)ⁿ का गुणांक f⁽ⁿ⁾(a)/n! है, और किसी ज्ञात श्रेणी से गुणांक पढ़ना प्रायः n बार अवकलन करने से तेज़ है।

कंठस्थ करने योग्य मैक्लॉरिन श्रेणियाँ
फलनश्रेणीवैध परिसर
eˣ1 + x + x²/2! + x³/3! + …सभी x
sin xx − x³/3! + x⁵/5! − …सभी x
cos x1 − x²/2! + x⁴/4! − …सभी x
ln(1 + x)x − x²/2 + x³/3 − …−1 < x ≤ 1
1/(1 − x)1 + x + x² + x³ + …|x| < 1
(1 + x)ᵐ1 + mx + m(m − 1)x²/2! + …|x| < 1 (m पूर्ण संख्या न हो)

जिस अंतराल में घात श्रेणी Σcₙxⁿ अभिसारी है, वह पदों पर अनुपात परीक्षण लगाकर मिलता है: अभिसरण त्रिज्या R = lim |cₙ/cₙ₊₁| है जब वह सीमा विद्यमान हो। Σxⁿ/n हेतु क्रमिक गुणांकों का अनुपात 1 की ओर जाता है, अतः R = 1; अंत-बिंदु अलग से जाँचे जाते हैं (x = −1 पर यह एकांतर प्रसंवादी श्रेणी है और अभिसारी है, x = 1 पर प्रसंवादी श्रेणी और अपसारी)। प्रतिस्थापन नई श्रेणियाँ बनाता है: e^(2x) वह eˣ श्रेणी है जिसमें x के स्थान पर 2x रखा गया है, अतः उसका x³ गुणांक 2³/3! = 4/3 है।

ℹ️ फुरिये श्रेणी कहाँ है
AG का कलन शीर्षक "फुरिये, टेलर व मैक्लॉरिन श्रेणी" को साथ नामित करता है। फुरिये श्रेणी — समाकलन से गुणांक, सम व विषम फलन, विच्छेद पर मान — साझा रूपांतर अध्याय के पहले खंड में पढ़ाई गई है; वह खंड पढ़कर रुक जाएँ, क्योंकि AG कोई फुरिये रूपांतर नामित नहीं करता।

3. रैखिक व लांबिक रूपांतरण

रैखिक रूपांतरण y = Ax सदिश x को सदिश y पर ले जाता है और A(αu + βv) = αAu + βAv को संतुष्ट करता है। A के बाद B लगाना एक ही रूपांतरण BA है, अतः संयोजन आव्यूह गुणन है और क्रम महत्वपूर्ण है। रूपांतरण ठीक तब उलटा जा सकता है जब A अव्युत्क्रमणीय न हो (det A ≠ 0), और तब x = A⁻¹y; व्युत्क्रमणीय न होने वाला A किसी अशून्य सदिश को शून्य पर गिरा देता है और उलटा नहीं जा सकता। सारणिक वह गुणक भी है जिससे रूपांतरण क्षेत्रफलों (दो विमाओं में) या आयतनों (तीन में) को मापता है।

रूपांतरण लांबिक है जब AᵀA = AAᵀ = I। तब A⁻¹ = Aᵀ, स्तंभ (व पंक्तियाँ) परस्पर लंबवत एकांक सदिश हैं, लंबाइयाँ व कोण संरक्षित रहते हैं (|Ax| = |x|), det A = ±1 (शुद्ध घूर्णन हेतु +1, परावर्तन सम्मिलित होने पर −1), और प्रत्येक आइगेन-मान का मापांक 1 है — अतः वास्तविक आइगेन-मान केवल +1 या −1 हो सकता है, और तल में θ कोण का घूर्णन e^(±iθ) आइगेन-मान रखता है। तलीय घूर्णन R = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] मानक उदाहरण है: θ = 90° पर यह (1, 0) को (0, 1) पर भेजता है।

🧠 पूरा गुणा किए बिना लांबिकता जाँचें
स्तंभ देखें: प्रत्येक की लंबाई 1 हो और प्रत्येक युग्म का अदिश गुणनफल शून्य हो। [[0.6, −0.8], [0.8, 0.6]] दोनों पर खरा उतरता है (0.36 + 0.64 = 1; 0.6 × −0.8 + 0.8 × 0.6 = 0), अतः उसका व्युत्क्रम बस उसका परिवर्त है।

4. अरैखिक प्रथम-कोटि ODE: यथातथ समीकरण व बर्नूली समीकरण

साझा प्रथम-कोटि अध्याय चर-पृथक्करणीय, समघातीय (y = vx) व रैखिक (समाकलन गुणक e^(∫P dx)) रूप समेटता है। AG का शब्दांकन "रैखिक व अरैखिक प्रथम-कोटि ODE" है, और दो और रूप इसे पूरा करते हैं। समीकरण M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 यथातथ है जब ∂M/∂y = ∂N/∂x; तब एक फलन u(x, y) होता है जिसके लिए ∂u/∂x = M व ∂u/∂y = N, और हल u(x, y) = c है। u बनाने हेतु M का x के सापेक्ष समाकलन करें (y स्थिर रखकर) और N के उन पदों को जोड़ें जिनमें x नहीं है, उनका y के सापेक्ष समाकलन करके।

हल किया उदाहरण: (2xy + 3)dx + (x² + 4y)dy = 0। यहाँ ∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x, अतः यह यथातथ है। ∫M dx = x²y + 3x; N का x-रहित पद 4y है, जिसका समाकल 2y² है। हल x²y + 3x + 2y² = c है। अयथातथ समीकरण को कभी-कभी समाकलन गुणक से यथातथ बनाया जा सकता है: यदि (∂M/∂y − ∂N/∂x)/N केवल x का फलन हो, तो e^(∫ उसका dx) एक समाकलन गुणक है।

बर्नूली समीकरण dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ (n ≠ 0, 1) yⁿ के कारण अरैखिक है, परंतु yⁿ से भाग देकर v = y^(1−n) प्रतिस्थापित करने पर रैखिक हो जाता है: dv/dx + (1 − n)P v = (1 − n)Q, जो समाकलन गुणक से हल होता है। dy/dx + y = xy³ हेतु n = 3 और प्रतिस्थापन v = y⁻² है; समीकरण dv/dx − 2v = −2x बन जाता है।

⚠️ बर्नूली प्रतिस्थापन में घातांक 1 − n है, n − 1 या n नहीं
n = 3 हेतु प्रतिस्थापन v = y⁻² है, और v = y² अथवा v = y³ दोनों समीकरण को अरैखिक छोड़ देते हैं। चिह्न ही मूल बात है: v = y^(1−n) ही दाईं ओर के yⁿ को निरस्त करता है।

5. सहसंबंध व समाश्रयण विश्लेषण

युग्मित आँकड़ों (xᵢ, yᵢ) हेतु सहप्रसरण cov(x, y) = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)/n है और कार्ल पियर्सन का सहसंबंध गुणांक r = cov(x, y)/(σₓσᵧ) है। यह विमाहीन है, −1 व +1 के बीच रहता है, किसी चर को खिसकाने या धनात्मक गुणक से मापांतरित करने पर अपरिवर्तित रहता है, और केवल रैखिक संबंध मापता है: r = 0 का अर्थ कोई रैखिक संबंध नहीं, कोई संबंध नहीं नहीं (x के सममित परिसर पर y = x² का r = 0 है)।

y का x पर न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण रेखा ऊर्ध्वाधर विचलनों के वर्गों का योग न्यूनतम करती है और y − ȳ = bᵧₓ(x − x̄) है, जहाँ bᵧₓ = r σᵧ/σₓ = cov(x, y)/σₓ²। x का y पर रेखा x − x̄ = bₓᵧ(y − ȳ) है, जहाँ bₓᵧ = r σₓ/σᵧ। तीन तथ्य निकलते हैं और निरंतर पूछे जाते हैं: दोनों रेखाएँ (x̄, ȳ) से गुज़रती हैं, अतः माध्य दोनों रेखा-समीकरणों को युगपत हल करके मिलते हैं; r² = bᵧₓ · bₓᵧ, और r दोनों गुणांकों का उभयनिष्ठ चिह्न लेता है; और चूँकि r² ≤ 1, गुणांकों का गुणनफल कभी 1 से अधिक नहीं हो सकता — इसी से पता चलता है कि दी गई कौन-सी रेखा कौन-सी है।

क्रमित आँकड़ों हेतु स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध ρ = 1 − 6Σdᵢ²/(n(n² − 1)) है, जहाँ dᵢ वस्तु i की दोनों कोटियों का अंतर है। n = 5 व Σd² = 8 पर ρ = 1 − 48/120 = 0.6।

🧠 दोनों रेखाओं की पहचान
x + 2y = 5 व 2x + 3y = 8 दिए हों: पहली को y का x पर लेने से bᵧₓ = −1/2, और दूसरी को x का y पर लेने से bₓᵧ = −3/2; गुणनफल 3/4 ≤ 1 स्वीकार्य है। दूसरा विन्यास bₓᵧ = −2 व bᵧₓ = −2/3 देता है, गुणनफल 4/3 > 1, असंभव। अतः r = −√0.75 = −0.866, और युग्म हल करने पर माध्य x̄ = 1, ȳ = 2 मिलते हैं।

मुख्य बिंदु

  • यदि aₙ शून्य की ओर न जाए तो श्रेणी अपसारी है; यदि जाए, तब भी परीक्षण चाहिए। Σ1/nᵖ केवल p > 1 पर, और Σrⁿ केवल |r| < 1 पर अभिसारी है।
  • सीमा 1 होने पर अनुपात व मूल परीक्षण मौन रहते हैं — प्रत्येक p-श्रेणी वहीं पहुँचती है।
  • टेलर श्रेणी में (x − a)ⁿ का गुणांक f⁽ⁿ⁾(a)/n! है; अवकलन के बजाय ज्ञात श्रेणी में प्रतिस्थापन से पढ़ें।
  • लांबिक आव्यूह का व्युत्क्रम Aᵀ है, सारणिक ±1 है, वह लंबाई संरक्षित रखता है, और उसके आइगेन-मानों का मापांक 1 है।
  • यथातथ का अर्थ ∂M/∂y = ∂N/∂x; बर्नूली v = y^(1−n) से रैखिक बनता है।
  • दोनों समाश्रयण रेखाएँ माध्यों से गुज़रती हैं, r² = bᵧₓbₓᵧ ≤ 1, और r गुणांकों का चिह्न लेता है।

अभ्यास प्रश्न (12)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्न में से कौन-सी श्रेणी अभिसारी है?

    1. Σ 1/n
    2. Σ 1/√n
    3. Σ 1/n²
    4. Σ n/(n + 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — Σ 1/n²

    Σ1/n², p = 2 > 1 वाली p-श्रेणी है, अतः अभिसारी है (उसका योग π²/6 है)। Σ1/n व Σ1/√n, p = 1 व p = 1/2 वाली p-श्रेणियाँ हैं, दोनों ≤ 1, अतः अपसारी। Σn/(n + 1) सीधे n-वें पद के परीक्षण में विफल है, क्योंकि उसके पद 0 नहीं, 1 की ओर जाते हैं।

  2. श्रेणी Σ n!/nⁿ हेतु अनुपात परीक्षण में प्रयुक्त सीमा L = lim |aₙ₊₁/aₙ| बराबर है:

    1. e, अतः श्रेणी अपसारी है
    2. 1/e, अतः श्रेणी अभिसारी है
    3. 1, अतः परीक्षण अनिर्णायक है
    4. 0, अतः श्रेणी अभिसारी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1/e, अतः श्रेणी अभिसारी है

    aₙ₊₁/aₙ = [(n + 1)!/(n + 1)ⁿ⁺¹]·[nⁿ/n!] = (n + 1)nⁿ/(n + 1)ⁿ⁺¹ = (n/(n + 1))ⁿ = 1/(1 + 1/n)ⁿ, जो 1/e ≈ 0.368 < 1 की ओर जाता है, अतः श्रेणी अभिसारी है। क्रमगुणित काटकर घात में (n + 1) भूलने पर 1 आता है, लुभावना "अनिर्णायक"; अनुपात उलटने पर e आता है।

  3. e^(2x) की मैक्लॉरिन श्रेणी में x³ का गुणांक क्या है? उत्तर दो दशमलव स्थानों तक दें।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.33

    eˣ = Σxⁿ/n! में x के स्थान पर 2x रखें: x³ पद (2x)³/3! = 8x³/6 है, अतः गुणांक 4/3 = 1.33 है। 2 का घन भूलने पर 2/6 = 0.33, और क्रमगुणित छोड़ने पर 8 आता है।

  4. A एक वास्तविक लांबिक आव्यूह है। निम्न में से कौन-से कथन अनिवार्यतः सत्य हैं?

    1. AᵀA = I
    2. det A = +1 या −1
    3. A⁻¹ = Aᵀ
    4. A के सभी आइगेन-मान वास्तविक हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — AᵀA = I; B — det A = +1 या −1; C — A⁻¹ = Aᵀ

    लांबिकता AᵀA = I है, जिससे A⁻¹ = Aᵀ और (det A)² = 1, अतः det A = ±1। आइगेन-मानों का मापांक 1 है परंतु उनका वास्तविक होना आवश्यक नहीं: 90° का तलीय घूर्णन [[0, −1], [1, 0]] लांबिक है और उसके आइगेन-मान ±i हैं। चौथा विकल्प चुनना लांबिक को सममित आव्यूहों से भ्रमित करना है, जिनके आइगेन-मान सदा वास्तविक होते हैं।

  5. आव्यूह [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] वाला रूपांतरण θ = 90° पर सदिश (1, 0) को किस पर ले जाता है?

    1. (0, 1)
    2. (0, −1)
    3. (−1, 0)
    4. (1, 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (0, 1)

    θ = 90° पर आव्यूह [[0, −1], [1, 0]] है, और स्तंभ (1, 0) से गुणा पहला स्तंभ (0, 1) चुनता है: वामावर्त चौथाई घुमाव। (0, −1) दक्षिणावर्त घुमाव है, जो परिवर्त देता।

  6. यथातथ समीकरण (2xy + 3)dx + (x² + 4y)dy = 0 का व्यापक हल है:

    1. x²y + 3x + 2y² = c
    2. x²y + 3x + 4y² = c
    3. 2x²y + 3x + 2y² = c
    4. x²y + 3xy + 2y² = c
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x²y + 3x + 2y² = c

    ∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x, अतः समीकरण यथातथ है। ∫(2xy + 3)dx = x²y + 3x; N का x-रहित एकमात्र पद 4y है, और ∫4y dy = 2y²। अतः x²y + 3x + 2y² = c। 4y² लिखना समाकलन भूलना है, और N से x² फिर जोड़ना पहले से प्राप्त x²y पद को दोहरा गिनना है।

  7. dy/dx + y = xy³ को रैखिक समीकरण में बदलने वाला प्रतिस्थापन है:

    1. v = y³
    2. v = y²
    3. v = y⁻²
    4. v = y/x
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — v = y⁻²

    यह n = 3 वाला बर्नूली समीकरण है, और v = y^(1−n) = y⁻² से dv/dx = −2y⁻³ dy/dx; समीकरण को y³ से भाग देकर प्रतिस्थापित करने पर dv/dx − 2v = −2x मिलता है, जो रैखिक है। v = y/x समघातीय समीकरण का प्रतिस्थापन है, और y की धनात्मक घातें y³ पद को यथावत छोड़ देती हैं।

  8. किसी द्विचर आँकड़ा-समुच्चय के दो समाश्रयण गुणांक bᵧₓ = 0.8 व bₓᵧ = 0.45 हैं। सहसंबंध गुणांक r क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6

    r² = bᵧₓ · bₓᵧ = 0.8 × 0.45 = 0.36, अतः |r| = 0.6, और r धनात्मक है क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं। दोनों गुणांकों का औसत (0.625) लेना आम भूल है; सहसंबंध उनका गुणोत्तर माध्य है, समांतर माध्य नहीं।

  9. किसी आँकड़ा-समुच्चय की दो समाश्रयण रेखाएँ x + 2y = 5 व 2x + 3y = 8 हैं। सहसंबंध गुणांक r क्या है? उत्तर तीन दशमलव स्थानों तक दें।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -0.866

    x + 2y = 5 को y का x पर लें: y = -x/2 + 5/2, अतः bᵧₓ = -0.5; फिर 2x + 3y = 8 को x का y पर: x = -1.5y + 4, अतः bₓᵧ = -1.5। गुणनफल 0.75, 1 से अधिक नहीं, अतः यह विन्यास वैध है (उलटा 4/3 देता है, असंभव)। r = -√0.75 = -0.866, ऋणात्मक क्योंकि दोनों गुणांक ऋणात्मक हैं। +0.866 बताना चिह्न नियम की उपेक्षा है।

  10. दो निर्णायक 5 प्रविष्टियों को कोटि देते हैं। कोटि-अंतरों के वर्गों का योग 8 है। स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध गुणांक क्या है?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6

    ρ = 1 − 6Σd²/(n(n² − 1)) = 1 − 6 × 8/(5 × 24) = 1 − 48/120 = 0.6। हर में n² − 1 के स्थान पर n² लेने पर 1 − 48/125 = 0.616, और 6 भूलने पर 0.933 आता है।

  11. निम्न में से कौन-सी श्रेणियाँ अभिसारी हैं?

    1. Σ 1/n²
    2. Σ (1/2)ⁿ
    3. Σ 1/n
    4. Σ (−1)ⁿ/√n
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ 1/n²; B — Σ (1/2)ⁿ; D — Σ (−1)ⁿ/√n

    Σ1/n², p = 2 वाली p-श्रेणी है; Σ(1/2)ⁿ, r = 1/2 वाली गुणोत्तर है; Σ(−1)ⁿ/√n एकांतर है और 1/√n घटकर शून्य तक जाता है, अतः लाइबनिट्ज़ परीक्षण से अभिसारी है — सप्रतिबंध, क्योंकि Σ1/√n अपसारी है। Σ1/n प्रसंवादी श्रेणी है और अपसारी। चौथा विकल्प छोड़ना सप्रतिबंध अभिसरण को अपसरण मान लेना है।

  12. मैक्लॉरिन श्रेणी ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … फलन को निरूपित करती है:

    1. सभी वास्तविक x
    2. −1 < x ≤ 1
    3. −1 ≤ x < 1
    4. |x| < 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — −1 < x ≤ 1

    गुणांकों का अनुपात n/(n + 1) → 1, अतः अभिसरण त्रिज्या 1 है। x = 1 पर श्रेणी 1 − 1/2 + 1/3 − … है, जो अभिसारी है (ln 2 तक); x = −1 पर यह −(1 + 1/2 + 1/3 + …) है, जो अपसारी है — जैसा होना चाहिए, क्योंकि ln 0 अपरिभाषित है। अतः अंतराल −1 < x ≤ 1 है; अंत-बिंदु उलटे वाला अंतराल, −1 ≤ x < 1, ln(1 − x) की श्रेणी का है।