गणना की गति, सरलीकरण और सन्निकटन

यह अध्याय IBPS Clerk, SBI Clerk, IBPS PO, SBI PO तथा IBPS RRB की प्रारंभिक परीक्षा के मात्रात्मक अभिरुचि (Quantitative Aptitude) खंड के सरलीकरण और सन्निकटन (Simplification and Approximation) वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, जहाँ IBPS Clerk, SBI Clerk, IBPS PO और SBI PO की प्रारंभिक परीक्षा में मात्रात्मक खंड में प्रायः 20 मिनट में लगभग 35 प्रश्न, यानी प्रति प्रश्न लगभग 35 सेकंड रहे हैं (IBPS RRB का प्रतिरूप भिन्न है, और वर्तमान प्रतिरूप के लिए प्रत्येक अधिसूचना देखें)। इसमें स्मरण योग्य सारणियाँ (35 तक वर्ग, 15 तक घन, भिन्न-दशमलव-प्रतिशत तुल्यांक), गुणा व भाग की शॉर्टकट विधियाँ और प्रत्येक के काम करने का कारण, लंबी सरलीकरण-शृंखला में संक्रियाओं का क्रम, निकटतम मान वाली सन्निकटन विधि तथा पूर्णांकन कब असुरक्षित है, और इकाई अंक व अंकों के योग से उत्तर की त्वरित जाँच सिखाई गई है। सभी प्रश्न संख्यात्मक हैं, इसलिए अंक गति और शुद्धता से मिलते हैं: प्रत्येक गलत उत्तर पर एक-चौथाई अंक कटता है।

बिना सोचे याद रखने योग्य सारणियाँ

बैंक की प्रारंभिक परीक्षा प्रत्येक प्रश्न के पहले पाँच सेकंड में जीती जाती है: यदि 27² कागज़ पर निकालना पड़े तो प्रश्न हाथ से निकल गया। इसलिए तीन सारणियाँ एक बार पक्की करें: 35 तक वर्ग, 15 तक घन तथा भिन्न-दशमलव-प्रतिशत तुल्यांक। नीचे की वर्ग-सारणी ऐसे पढ़ें: पंक्ति का नाम पहली संख्या a देता है और स्तंभ क्रमशः a, a+1, … a+4 के वर्ग हैं।

11 से 35 के वर्ग
परासaa + 1a + 2a + 3a + 4
11–15121144169196225
16–20256289324361400
21–25441484529576625
26–30676729784841900
31–359611024108911561225

घन: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000, 11³ = 1331, 12³ = 1728, 13³ = 2197, 14³ = 2744, 15³ = 3375।

भिन्न, दशमलव व प्रतिशत
भिन्नदशमलवप्रतिशत (%)
1/20.550
1/30.333333.33
1/40.2525
1/50.220
1/60.166716.67
1/70.142914.29
1/80.12512.5
1/90.111111.11
1/100.110
1/110.09099.09
1/120.08338.33
1/130.07697.69
1/140.07147.14
1/150.06676.67
1/160.06256.25
1/200.055
1/250.044
🧠 थोड़े याद करके बाकी बनाएँ
प्रत्येक प्रविष्टि अलग से रटना आवश्यक नहीं। गुणज इकाई-भिन्न से बनते हैं: 1/8 = 12.5% है, इसलिए 3/8 = 37.5% और 5/8 = 62.5%; 1/16 = 6.25% है, अतः 5/16 = 31.25%। 3/7 जैसी भिन्न 14.29% की तीन गुनी, लगभग 42.86%, है। 25 से ऊपर के वर्गों के लिए (30 + k)² = 900 + 60k + k² लें: 33² = 900 + 180 + 9 = 1089।

गुणा व भाग के शॉर्टकट और उनके काम करने का कारण

प्रत्येक शॉर्टकट कोई बीजीय सर्वसमिका या किसी गुणनखंड का पुनर्लेखन है। कारण जानने से पता चलता है कि वह कब लागू होगा।

  • 5 पर समाप्त संख्या का वर्ग: (10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25, अतः a × (a + 1) लिखकर उसके आगे 25 लिखें। 65² = (6 × 7) | 25 = 4225; 35² = (3 × 4) | 25 = 1225।
  • आधार से समान दूरी वाली संख्याओं का गुणनफल: (b − d)(b + d) = b² − d²। 97 × 103 = 100² − 3² = 9991; 997 × 1003 = 1000² − 9 = 999991।
  • दहाई अंक समान, इकाई अंकों का योग 10: (10a + u)(10a + 10 − u) = 100a(a + 1) + u(10 − u)। 47 × 43 = (4 × 5) | (7 × 3) = 20 | 21 = 2021; 68 × 62 = (6 × 7) | (8 × 2) = 42 | 16 = 4216।
  • 11 से गुणा: दोनों सिरों के अंकों के बीच पड़ोसी अंकों का योग रखें, 9 से अधिक होने पर हासिल जोड़ें। 63 × 11 = 6 | 9 | 3 = 693; 78 × 11 = 7 | (7 + 8) | 8 = 7 | 15 | 8 = 858।
  • 5, 25, 125 तथा 9, 99 से गुणा: × 5 = × 10 ÷ 2; × 25 = × 100 ÷ 4; × 125 = × 1000 ÷ 8; × 99 = × 100 − वह संख्या। 36 × 25 = 3600 ÷ 4 = 900; 48 × 125 = 48000 ÷ 8 = 6000; 47 × 99 = 4700 − 47 = 4653।

भाग इनका उलटा है: ÷ 5 = × 2 ÷ 10; ÷ 25 = × 4 ÷ 100; ÷ 12.5 = × 8 ÷ 100। अतः 340 ÷ 25 = 1360 ÷ 100 = 13.6। 50 के निकट के वर्ग के लिए 47² = (50 − 3)² = 2500 − 300 + 9 = 2209 लिखें।

⚠️ शॉर्टकट की शर्त जाँचें
दहाई-इकाई वाला शॉर्टकट तभी चलता है जब दहाई अंक समान हों और इकाई अंकों का योग ठीक 10 हो। 47 × 44 पर इसे लगाने से 20 | 28 = 2028 मिलता है, पर सही गुणनफल 2068 है। यह भी ध्यान रखें कि दोनों भाग दो-अंकीय खंडों में लिखे जाते हैं: 7 × 3 = 21 दो स्थान भरता है, पर 9 × 1 = 9 को 09 लिखना होगा (49 × 41 = 20 | 09 = 2009)।

सरलीकरण की शृंखलाएँ

लंबी शृंखलाएँ कठिनाई की नहीं, अनुशासन की परीक्षा लेती हैं। BODMAS का प्रयोग करें: कोष्ठक (क्रम ( ), { }, [ ]), घात व मूल, फिर भाग और गुणा साथ-साथ बाएँ से दाएँ, फिर जोड़ और घटाव साथ-साथ बाएँ से दाएँ। भाग और गुणा का दर्जा समान है, इसलिए आदतवश किसी एक को पहले न करें।

हल की गई शृंखला 1: (640 का 45%) + (480 का 3/8) − 17²। यहाँ 640 का 45% = 0.45 × 640 = 288; 480 का 3/8 = 180; 17² = 289। मान 288 + 180 − 289 = 179 है।

हल की गई शृंखला 2: (36² − 24²) ÷ 12 + √1156 − 2.5 × 16। a² − b² = (a − b)(a + b) लगाएँ: 36² − 24² = 12 × 60 = 720, और 720 ÷ 12 = 60। आगे √1156 = 34 (क्योंकि 34² = 1156) तथा 2.5 × 16 = 40। मान 60 + 34 − 40 = 54 है।

अज्ञात मान वाला रूप। '? × 18 = 2250 का 40% − 450 का 3/5 − 12²' में पहले दायाँ पक्ष निकालें: 900 − 270 − 144 = 486, फिर ? = 486 ÷ 18 = 27। ज्ञात पक्ष के एक ही संख्या बन जाने के बाद ही प्रतिलोम संक्रियाओं से अज्ञात तक पहुँचें। जब शृंखला में बराबर आकार के वर्गों के चिह्न बारी-बारी से बदलें तो उन्हें जोड़ों में लें: 15² − 14² + 13² − 12² = (15 + 14) + (13 + 12) = 54, क्योंकि प्रत्येक जोड़ा a² − (a − 1)² = a + (a − 1) होता है।

⚠️ बाएँ से दाएँ, 'पहले गुणा' नहीं
48 ÷ 6 × 2 = 8 × 2 = 16 होता है, 48 ÷ 12 = 4 नहीं। इसलिए 48 ÷ 6 × 2 + 3 × 4 − 8 ÷ 2 = 16 + 12 − 4 = 24। गुणा को भाग से पहले करने की गलत आदत से 4 + 12 − 4 = 12 मिलता है, जो प्रायः भ्रामक विकल्प के रूप में दिया जाता है। कोष्ठक से पहले का ऋण चिह्न भीतर के प्रत्येक चिह्न को पलट देता है: 20 − (5 − 3) = 18, 12 नहीं।

सन्निकटन: निकटतम मान विधि

सन्निकटन के प्रश्न में बेढंगे दशमलवों वाला व्यंजक देकर परिणाम के निकटतम मान, या '≈ ?', की माँग होती है। विकल्प दूर-दूर होते हैं, इसलिए उत्तर केवल लगभग 1 से 2 प्रतिशत तक शुद्ध चाहिए। प्रत्येक संख्या को एक या दो सार्थक अंकों वाली सुविधाजनक संख्या में पूर्णांकित करें, गणना करें और निकटतम विकल्प चुनें।

उदाहरण 1: 1203 का 49.8% + 799 का 24.9%। 1200 का 50% = 600 और 800 का 25% = 200 लें, लगभग 800 मिलता है। यथार्थ मान 599.09 + 198.95 = 798.05 है, अतः निकटतम विकल्प 800 है। उदाहरण 2: 7990 ÷ 39.8 ≈ 8000 ÷ 40 = 200 (यथार्थ 200.75), और √2400 ≈ 49 क्योंकि 49² = 2401, इसलिए योग 200.75 + 48.99 लगभग 250 है।

  • वर्गमूल: निकटतम पूर्ण वर्ग लें। √1450 ≈ 38 क्योंकि 38² = 1444; √5000 ≈ 70.7 क्योंकि 70² = 4900 और 71² = 5041।
  • प्रतिशत: भिन्न-सारणी का प्रयोग करें: 480 का 16.67% = 480 का 1/6 = 80; 3996 का 12.5% ≈ 4000 ÷ 8 = 500।
  • त्रुटि: दो गुणनखंडों में 1% - 1% त्रुटि गुणनफल में लगभग 2% त्रुटि देती है; भागफल में यदि दोनों संख्याएँ एक ही दिशा में पूर्णांकित हों तो त्रुटियाँ आंशिक रूप से कट जाती हैं।
⚠️ लगभग बराबर संख्याओं के घटाव से पहले पूर्णांकन न करें
(1004.8 − 998.7) × 25 = 6.1 × 25 = 152.5, अतः निकटतम मान लगभग 150 है। यदि पहले दोनों संख्याओं को 1000 कर दें तो कोष्ठक 0 हो जाता है और उत्तर 0 आता है, जो बहुत गलत है। पूर्णांकन उन्हीं अंकों को मिटा देता है जो घटाव के बाद बचते हैं। लगभग बराबर संख्याओं को घटाने वाले किसी भी कोष्ठक के भीतर पूरे दशमलव रखें और उसके बाद ही पूर्णांकन करें।

गति का अनुशासन और त्वरित जाँच

बीस मिनट में पैंतीस प्रश्न के प्रचलित प्रतिरूप में प्रति प्रश्न लगभग 35 सेकंड मिलते हैं। जो प्रश्न एक ही चरण में हो जाएँ उन्हें पहले करें, लंबी शृंखलाओं पर निशान लगाकर बाद में लौटें, और किसी एक प्रश्न पर दो मिनट न खपाएँ जबकि उसका अंक व एक-चौथाई ऋणात्मक अंक का जोखिम दूसरों जितना ही है।

  • इकाई अंक की जाँच: गुणनफल का अंतिम अंक केवल गुणनखंडों के अंतिम अंकों पर निर्भर करता है। 487 × 63 का अंतिम अंक 7 × 3 = 21 से 1 है।
  • अंक-योग (नौ-शेष) जाँच: कोई संख्या 9 से भाग देने पर वही शेष देती है जो उसके अंकों का योग देता है। 487 का अंक-योग 19 → 1 है और 63 → 0, इसलिए गुणनफल का शेष 0 होना चाहिए, यानी उसका अंक-योग 9 से विभाज्य हो।
  • विकल्पों का उपयोग करें: विकल्प 30681, 30781, 31681 और 30581 सभी का अंतिम अंक 1 है, इसलिए इकाई अंक निर्णय नहीं कर सकता और अंक-योग को करना होगा: 3 + 0 + 6 + 8 + 1 = 18 उत्तीर्ण होता है, जबकि 30781 व 31681 का योग 19 और 30581 का 17 है। अतः 487 × 63 = 30681।
🎯 नौ-शेष क्यों काम करता है
स्थानीय मान 10, 100, 1000 … को 9 से भाग देने पर शेष 1 रहता है, इसलिए कोई संख्या और उसके अंकों का योग 9 के गुणज से भिन्न होते हैं। यह जाँच अधिकांश भूलें पकड़ लेती है, पर अदल-बदल हुए अंकों को नहीं देख पाती (31 और 13 दोनों का शेष 4 है), इसलिए इसे परिमाण-जाँच के साथ लें: 487 × 63 लगभग 500 × 60 = 30000 के निकट होना चाहिए।

मुख्य बिंदु

  • 35 तक वर्ग, 15 तक घन और 1/16, 1/20, 1/25 तक भिन्न-सारणी याद करें; गुणज (3/8, 5/16) इकाई-भिन्न से बनाएँ।
  • प्रत्येक शॉर्टकट की शर्त है: 5 पर समाप्ति, आधार से समान दूरी, समान दहाई व इकाइयों का योग 10। प्रयोग से पहले शर्त जाँचें।
  • शृंखला में BODMAS लगाएँ: भाग व गुणा साथ-साथ बाएँ से दाएँ, फिर जोड़-घटाव बाएँ से दाएँ; कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न भीतर के चिह्न पलटता है।
  • बारी-बारी के चिह्न वाले वर्गों को a² − b² = (a − b)(a + b) से जोड़ें; क्रमागत संख्याओं के लिए a² − (a − 1)² = a + (a − 1)।
  • निकटतम मान वाले प्रश्नों में एक-दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकन करें और निकटतम विकल्प चुनें, पर लगभग बराबर संख्याओं के घटाव के भीतर कभी पूर्णांकन न करें।
  • विकल्पों का उपयोग करें: इकाई अंक और अंक-योग (नौ-शेष) सेकंडों में गलत उत्तर हटाते हैं, और अंकों की अदला-बदली के लिए परिमाण-जाँच साथ रखें।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 28² + 12³ का मान क्या है?

    1. 2412
    2. 2502
    3. 2512
    4. 2612
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 2512

    28² = 784 और 12³ = 1728, इसलिए योग 784 + 1728 = 2512 है। मान 2412 घन में चूक से 12³ को 1628 लिखने पर और 2502 में 28² को 774 लेने पर आता है।

  2. 5/16 को प्रतिशत में व्यक्त करने पर वह बराबर है

    1. 31.25%
    2. 32.5%
    3. 33.25%
    4. 30.75%
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 31.25%

    1/16 = 6.25%, अतः 5/16 = 5 × 6.25% = 31.25%। 33.25% भ्रामक है क्योंकि 1/3 = 33.33% है, पर 5/16, 1/3 से छोटी है।

  3. इन तुल्यांकों पर विचार करें। P: 1/7 लगभग 14.29% है। Q: 1/9 लगभग 11.11% है। R: 1/12 लगभग 8.33% है। S: 1/13 लगभग 6.67% है। कौन-से कथन सही हैं?

    1. केवल Q, R और S
    2. केवल P, R और S
    3. केवल P, Q और S
    4. केवल P, Q और R
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — केवल P, Q और R

    P, Q और R सही हैं। S गलत है: 1/13 लगभग 7.69% है, जबकि 6.67% तो 1/15 है। 13 और 15 की अदला-बदली आसानी से हो जाती है, इसीलिए S भ्रामक रूप से शामिल किया जाता है।

  4. 65² का मान क्या है?

    1. 4125
    2. 4225
    3. 4325
    4. 4215
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4225

    5 पर समाप्त संख्या में दहाई अंक को उसके अगले अंक से गुणा कर पीछे 25 लिखें: 6 × 7 = 42, अतः 65² = 4225। 4215 जैसा उत्तर यह भूल जाता है कि अंत सदा 25 होता है।

  5. 997 × 1003 का मान क्या है?

    1. 999901
    2. 1000009
    3. 999991
    4. 999909
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 999991

    दोनों संख्याएँ 1000 से 3 की दूरी पर हैं, इसलिए गुणनफल 1000² − 3² = 1000000 − 9 = 999991 है। 1000009 तब आता है जब 3² को घटाने की जगह जोड़ दिया जाए, जबकि एक गुणनखंड आधार से नीचे है।

  6. 68 × 62 का मान क्या है?

    1. 4216
    2. 4116
    3. 4196
    4. 4236
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 4216

    दहाई अंक समान (6) हैं और इकाई अंक 8 व 2 का योग 10 है, इसलिए गुणनफल (6 × 7) | (8 × 2) = 42 | 16 = 4216 है। 4116 तब आता है जब 8 × 2 को 6 मानकर अंकों को खिसका दिया जाए।

  7. चार शॉर्टकट परिणाम दिए गए हैं। P: 48 × 125 = 6000। Q: 75² = 5525। R: 73 × 11 = 803। S: 52 × 99 = 5148। कौन-सा सही नहीं है?

    1. P
    2. Q
    3. R
    4. S
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Q

    75² = (7 × 8) | 25 = 5625, इसलिए Q गलत है। P सही है (48000 ÷ 8), R सही है (7 | 10 | 3 में हासिल से 803) और S सही है (5200 − 52)। हासिल के कारण R को गलत मान लेना भ्रामक है।

  8. (640 का 45%) + (480 का 3/8) − 17² का मान ज्ञात कीजिए।

    1. 189
    2. 169
    3. 279
    4. 179
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 179

    640 का 45% = 288, 480 का 3/8 = 180 और 17² = 289, अतः मान 288 + 180 − 289 = 179 है। परिणाम 279 तब आता है जब 17² को 389 मान लिया जाए या योग में 100 की चूक हो।

  9. 48 ÷ 6 × 2 + 3 × 4 − 8 ÷ 2 का मान ज्ञात कीजिए।

    1. 12
    2. 24
    3. 20
    4. 28
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 24

    भाग व गुणा का दर्जा समान है और वे बाएँ से दाएँ चलते हैं: 48 ÷ 6 × 2 = 16, 3 × 4 = 12 और 8 ÷ 2 = 4, इसलिए 16 + 12 − 4 = 24। मान 12 पहले 6 × 2 करने (48 ÷ 12 = 4) से आता है, जो बाएँ से दाएँ के नियम को तोड़ता है।

  10. (36² − 24²) ÷ 12 + √1156 − 2.5 × 16 का मान ज्ञात कीजिए।

    1. 44
    2. 64
    3. 54
    4. 74
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 54

    36² − 24² = (36 − 24)(36 + 24) = 720 और 720 ÷ 12 = 60; √1156 = 34 तथा 2.5 × 16 = 40, इसलिए 60 + 34 − 40 = 54। 74 तब आता है जब 40 को घटाने की जगह जोड़ दिया जाए।

  11. यदि ? × 18 = 2250 का 40% − 450 का 3/5 − 12², तो ? बराबर है

    1. 27
    2. 31
    3. 24
    4. 36
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 27

    दायाँ पक्ष 900 − 270 − 144 = 486 है, अतः ? = 486 ÷ 18 = 27। एक भ्रामक चूक 144 को घटाने की जगह जोड़ना है, जिससे 774 ÷ 18 = 43 आता है; केवल 27 ही 27 × 18 = 486 को संतुष्ट करता है।

  12. 15² − 14² + 13² − 12² + 11² − 10² का मान ज्ञात कीजिए।

    1. 65
    2. 75
    3. 85
    4. 49
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 75

    प्रत्येक जोड़ा a² − (a − 1)² = a + (a − 1) होता है: 29 + 25 + 21 = 75, जो 15 से 10 तक का योग है। 49 छह पदों को वर्गों का एक ही एकांतर योग मानकर जोड़ी बनाना छोड़ देता है।

  13. 1203 का 49.8% + 799 का 24.9% का मान निकटतम है

    1. 760
    2. 850
    3. 900
    4. 800
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 800

    पूर्णांकन से 1200 का 50% + 800 का 25% = 600 + 200 = 800 मिलता है; यथार्थ मान 798.05 इसकी पुष्टि करता है। 760 और 850 क्रमशः 38 और 52 दूर हैं, वास्तविक परिणाम से बहुत अलग।

  14. (1004.8 − 998.7) × 25 का मान निकटतम है

    1. 0
    2. 100
    3. 150
    4. 200
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 150

    कोष्ठक 1004.8 − 998.7 = 6.1 है और 6.1 × 25 = 152.5, जो 150 के निकटतम है। उत्तर 0 तब आता है जब पहले दोनों संख्याओं को 1000 कर दिया जाए, जिससे अंतर मिट जाता है; इसलिए लगभग बराबर संख्याओं के कोष्ठक में पूरे दशमलव रखें।

  15. 7990 ÷ 39.8 + √2400 का मान निकटतम है

    1. 250
    2. 240
    3. 260
    4. 230
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 250

    7990 ÷ 39.8 लगभग 200 (यथार्थ 200.75) है और √2400 लगभग 49 (क्योंकि 49² = 2401), इसलिए योग लगभग 250 है। 240 के लिए √2400 को 40 के निकट होना पड़ता, जो 1600 का मूल है।

  16. अंक-योग (नौ-शेष) जाँच से, इनमें से कौन-सा 487 × 63 का गुणनफल हो सकता है?

    1. 30781
    2. 30681
    3. 31681
    4. 30581
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 30681

    487 का शेष 1 (अंक-योग 19) और 63 का शेष 0 है, इसलिए गुणनफल का शेष 0 होना चाहिए। केवल 30681 का अंक-योग 18 है; 30781 और 31681 के 19 तथा 30581 का 17 है। चारों का अंतिम अंक 1 है, इसलिए अकेला इकाई अंक निर्णय नहीं कर सकता था।

  17. किस स्थिति में संख्याओं को पहले एक-दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करना सबसे असुरक्षित है?

    1. किसी संख्या का प्रतिशत निकालना, जैसे 799 का 24.9%
    2. एक संख्या को दूसरी से भाग देना, जैसे 7990 ÷ 39.8
    3. समान आकार की दो संख्याओं का जोड़, जैसे 1203 + 799
    4. लगभग बराबर दो संख्याओं का घटाव, जैसे 1004.8 − 998.7
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — लगभग बराबर दो संख्याओं का घटाव, जैसे 1004.8 − 998.7

    लगभग बराबर संख्याओं का घटाव केवल छोटा अंतर बचाता है, इसलिए अंतर के आकार की पूर्णांकन-त्रुटियाँ उसे बिगाड़ देती हैं। प्रतिशत, भाग और जोड़ में सापेक्ष त्रुटि छोटी रहती है, इसीलिए वहाँ पूर्णांकन सुरक्षित है।